Ejercicio resuelto de efecto renta y efecto sustitución

Hola, vamos a resolver este ejercicio que trata del equilibrio del consumidor. Va a constar de distintas partes. El inicio del enunciado lo tenéis ahora ya en pantalla, en el que nos dan la función de utilidad de un individuo y nos piden que calculemos la función de demanda de los dos bienes a partir del equilibrio del consumidor. Apartados posteriores vamos a ver cómo podemos calcular el efecto renta y el efecto sustitución por la técnica de Hicks y por la técnica de Slutsky. Igualmente, vamos a tener otros apartados en los que se produzca una variación del precio de uno de los bienes a partir de un determinado nivel de consumo. Lo vamos a ir viendo en distintos apartados.

Por lo tanto, el enunciado nos dice que la función de utilidad actual, el consumo de dos bienes X e Y, responde a esa forma de X*Y. Es la forma más sencilla que podíamos encontrar. Y nos pide en el primer apartado, a partir del equilibrio del consumidor, obtener la función de demanda de ambos bienes.

El equilibrio del consumidor proviene del hecho de que estamos suponiendo —vamos a suponer— que el consumidor lo que busca es maximizar su utilidad. Si eso se produce, estará actuando conforme a la ley de la igualdad de las utilidades marginales ponderadas, que nos dice, como es en pantalla, que la utilidad marginal de X partido por P de X ha de ser igual a la utilidad marginal de Y partido por P de Y. Esta igualdad se debería dar para todos los posibles bienes existentes en la economía. Si esa igualdad se da, está maximizando su utilidad. Después, tenemos que tener en cuenta, por supuesto, que existe una restricción presupuestaria, que no podemos gastarnos más dinero del que tenemos, pero eso lo vamos a tener en consideración a continuación.

Bien, para calcular, como tenemos ahí, la utilidad marginal de X, lo que hacemos es derivar la utilidad respecto de X. Es decir, X*Y derivado respecto de X sería Y partido por Px, igual a la utilidad marginal de Y partido por el porte del utilidad marginal de Y es la derivada de la utilidad respecto de Y, es decir, X. X partido por Py. Si multiplicamos en cruz, tenemos, por tanto, que para maximizar la utilidad, este consumidor deberá gastar su dinero de forma que Px por X sea igual a Py por Y. Ahí estará maximizando su utilidad.

Como decía anteriormente, tenemos también una restricción presupuestaria, que es R es igual a Px por X más Py por Y. Es decir, que Px por X es lo que yo gasto en el consumo del bien X, Py por Y es lo que gasto en el consumo del bien Y. La suma de ambos no puede ser mayor que la renta que yo tengo: la restricción presupuestaria.

Claro, vemos que Py por Y es igual a Px por X. Luego, podemos sustituirlo en la función que tenemos abajo. El residual ap de X por X, más, puede decir que R es igual a Px por X más Px. Dado que, como hemos visto arriba, perejil por Y y Px por X son iguales, si R es igual a Px por X, R es igual a dos veces Px por X. Y de ahí podemos deducir cuál es la función de demanda del bien X: qué cantidad del bien X podremos consumir o desear a consumir este individuo en función del nivel de renta y del precio de dicho bien.

Si despejamos X, tenemos que X es igual a R partido por 2 Px. Fijaos que la renta está en el numerador, es decir, que cuanta mayor sea la renta, mayor será el consumo del bien X que vayamos a hacer. El precio está en el denominador: cuanto mayor sea el precio, menor será la cantidad del bien X que podremos, que deseará consumir este individuo. Por lo tanto, hay una relación inversa entre precios y cantidades, lo normal en una función de demanda con pendiente negativa. Y cuanta mayor es la renta, mayor será el consumo de bien X, dado que está en el numerador. Luego, se trata de un bien normal. X es igual a R partido por 2 Px es la función de demanda del bien.

Procedemos de manera análoga para obtener la función de demanda del bien Y. Partimos de que para maximizar la utilidad, Px por X ha de ser igual a Py por Y, y que la restricción presupuestaria nos dice que R será igual a Px por X más Py por Y. Bien, a partir de esa igualdad que tenemos, sabemos, podemos, podemos sustituir en la restricción presupuestaria quién es perejil por X, perejil por Y, Py por Y. Luego, R será igual a Py por Y, más Py por Y. R será igual a dos veces Py por Y. Despejando quién es Y, es un proceso análogo al hecho anteriormente. Y será igual a R partido por 2 Py.

Esta es la función de demanda del bien Y, que, como en el caso anterior, pues tenemos una función de demanda con pendiente negativa, dado que cuanto mayor es el precio, menor es la cantidad demandada. Menor es Y, lo que queréis, también en el denominador. Y R está en el numerador, por lo tanto, cuanto mayor es la renta, mayor demanda nos da el bien. Es un bien normal, ¿vale?

Bien, en el apartado B ya nos dan una serie de valores en el enunciado, como que la renta vale 160, el precio del bien X vale 2, y el precio del bien Y es 4. Y nos piden obtener las combinaciones de demanda de equilibrio y el nivel de utilidad sabiendo estos valores. Bueno, esto es muy sencillo, puesto que consiste simplemente en sustituir estos valores en las funciones de demanda que hemos calculado. Es decir, X será igual a R partido por 2 Px, que lo hemos calculado. Por tanto, Y es igual a R partido por 2 Py. Por tanto, sustituyendo: X es igual a 160 partido por 2 por 2, e Y es igual a 160 partido por 2 por 4. Es decir, las combinaciones de demanda de equilibrio es que demandará 40 unidades del bien X y 20 unidades del bien Y.

¿Qué utilidad alcanzará? Pues, si simplemente sustituimos en la función que nos da el enunciado, nos dice que U es igual a X por Y. Como X vale 40 e Y vale 20, 40 por 20 son 800. Una utilidad de 800.

Bien, el tercer epígrafe del ejercicio nos pide representar gráficamente el equilibrio del consumidor. Para representar gráficamente es sencillo si tenemos en cuenta que la restricción presupuestaria es una recta. Vamos a poner en el eje vertical la X, en el eje de ordenadas la Y. Y, como decía, es una recta la restricción presupuestaria, cuyos cortes con los ejes son R partido por Px con el eje de abscisas, y R partido por Py con el eje de ordenadas. Por tanto, con los datos del enunciado, que Px es 2, Py es 4, y R es 160, pues simplemente 160 entre 2 son 80, 160 entre 4 son 40. Esos son los puntos de corte de la restricción presupuestaria con los ejes. Y luego sabemos también que está en equilibrio, que está maximizando su utilidad: X 30 e Y 20. Luego, el punto de tangencia de la curva de indiferencia con la restricción presupuestaria se produce para esos valores. Ahí es donde estará maximizando la utilidad. Recordad que para maximizar la utilidad debemos encontrarnos en un punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria. El nivel de utilidad que hemos calculado era igual a 800, ¿de acuerdo?

Siguiente epígrafe: para resolver el apartado D, nos piden que supongamos que se produce una variación en el precio del bien X, y ahora pasa a ser Px prima igual a 4. Hemos de calcular el efecto renta y el efecto sustitución según la técnica de Hicks y según la técnica de Slutsky. Nos lo van a pedir a continuación, ¿vale? Vamos allá.

Teníamos esta representación. Ahora, ¿qué ocurre? Que el precio del bien X ha aumentado, ha pasado a ser de 2 a 4. Por consiguiente, la restricción presupuestaria va a disminuir, y lo va a hacer pivotando sobre el punto de corte con el otro eje. Ahora, R partido por Px prima serán 160 entre 4, no entre 2 como era anteriormente. Luego, ahora nos da 40. Hasta el 40, movemos aquí en esta recta de color verde que acabo de representar los acuerdos en la nueva restricción que les gustan.

Si calculamos cuáles son las cantidades de demanda de equilibrio dada esta variación, pues tenemos que la función de demanda que calculamos al principio, X igual a R partido por 2 Px, tenemos 160 partido por 2 por 4, es decir, 20. Del mismo modo, Y es R partido por 2 Py, según la 160 partido por 2 por 4, igual a 20. Este no ha variado, antes ya era así. ¿Por qué no ha variado? Porque no ha variado ni R ni ha variado el precio del bien Y, por consiguiente, que eran los dos factores determinantes de la cantidad demandada del bien Y. Por lo tanto, sigue siendo 20, ¿vale?

Entonces, si representamos, bueno, podemos calcular igualmente la utilidad. La utilidad ahora sería X por Y, pues 20 por 20, 400. Ha disminuido de 800 que era anterior, ¿vale? El punto, porque entonces, será 20, 20. Este punto que os acabo de contar azul, y la curva de indiferencia pasará por allá, por ese punto, será tangente a la restricción presupuestaria en ese punto. Y el nivel de utilidad, como hemos calculado, es 400.

Se ha producido, por lo tanto, una disminución en la cantidad demandada del bien X por el hecho de que su precio haya aumentado. El efecto total ha pasado de ser 40 a ser 20. Es el efecto total que he tenido sobre la demanda del bien X el hecho de que haya aumentado el precio de ese bien. Dentro de ese efecto total, tenemos que distinguir entre el efecto renta y el efecto sustitución con la técnica de Hicks. Hicks, recordad, que lo que hacía era dotar de renta al individuo de forma que pueda alcanzar el mismo nivel de utilidad que tenía antes. Es decir, que hemos de trazar una paralela a esta recta verde, que es la recta verde gris discontinua, no se ha representado, y que sea tangente a la curva de indiferencia inicial. Es decir, que tenga el mismo nivel de utilidad que tenía antes, porque a lo largo de toda esa curva de indiferencia vamos a tener el mismo nivel de utilidad: 800. Luego, ha de tener un nivel de utilidad de 800 en ese punto que os acabo de marcar.

Hemos de calcular, por lo tanto, cuál es la diferencia. Para ello, ¿qué vamos a hacer? Hombre, nosotros sabemos que para maximizar la utilidad, lo hicimos al principio, este individuo, conforme a la ley de la igualdad de las utilidades marginales ponderadas, va a gastar su dinero de forma que Px por X sea igual a Py por Y. Preston datos que nosotros tenemos: Px vale 4 y Py vale 4 en esta ocasión. Luego, X es igual a Y. Y también sabemos que el nivel de utilidad a alcanzar en esos puntos de utilidad es 800 a lo largo de toda la curva, tanto en el punto inicial como en este punto que acabamos de hallar. Por consiguiente, podemos sustituir X e Y. Como X es igual a Y, el horno, vamos, de veras, Y, pues será X al cuadrado, Y al cuadrado, 800. X será la raíz cuadrada de 800, que son 28.28. Y ahí lo hemos representado en el ejercicio, es el 28.28.

Por consiguiente, una vez que hemos eliminado el efecto renta, puesto que hemos dado renta de forma que pueda alcanzar el mismo nivel de utilidad que tenía inicialmente, estaría en este punto tercero que hemos pintado, este punto azul que está más alto, con un valor de la X de 28.28. Eliminando el efecto renta, hemos pasado de 40 a 28.28. Luego, el efecto sustitución es de 40 a 28.28, y el efecto renta será, por tanto, la disminución de 28.28 hasta 20. El efecto sustitución: 40 menos 28.28 son 11, concepto enteros. El efecto renta: 28.28 menos 20 son 8.28.

Bien, ya lo he avanzado anteriormente. Ahora nos piden que lo hagamos conforme a la técnica de Slutsky. Conforme a la técnica de Slutsky es fácil si tenemos en cuenta que podemos resolverlo respondiendo a dos preguntas. En primer lugar, ¿cuál es el nivel de renta que sería necesario para adquirir la cesta de bienes inicial con los precios finales, con los nuevos precios? Y después, dada esa renta, ¿cuánto demandaría de uno y otro bien, lo cual vemos en las funciones de demanda?

Bien, lo vemos aquí en el gráfico. Estará la situación inicial y la situación final. El efecto total, obviamente, es el mismo que para Hicks: es pasar de 40 a 20, que son 20 unidades del bien X que vamos a demandar menos que antes. Ahora, la diferencia entre Hicks y Slutsky es que cuando dotamos de renta al individuo para eliminar el efecto renta, lo hacemos de forma que pueda adquirir la cesta de bienes que compraba inicialmente. Es decir, que esta línea verde discontinua que acabo de pintar ha de pasar por el punto inicial. Fijaos, en Hicks no se desplazaba tanto hacia la derecha, sino que era menos, dado que tenía que ser tangente a la curva de indiferencia inicial. Ha de ser secante a la curva de indiferencia inicial, puesto que ha de pasar por el punto inicial, nos ha de permitir poder adquirir la cesta de bienes inicial, ¿vale?

Siendo esto así, el individuo no se gastará el dinero de esa misma manera, sino que, buscando maximizar su utilidad, nos surgirá una nueva curva de indiferencia, como seguimos representados. Y buscando el punto de tangencia, será donde pueda maximizar su utilidad dada esa restricción personal.

Bien, lo calculamos. ¿Qué renta es necesaria para adquirir la cesta de bienes inicial con un nuevo precio? Nuevos precios es que tanto Px y Py son valen 4. Y la cesta de bienes inicial teníamos 40 de X y 20 de Y. Los sustituimos ahí: es 4 por 40 más 4 por 20, son 240. Y a continuación nos preguntamos: con esa renta ficticia de 240, ¿cuánto adquiriríamos de uno y otro bien, lo cual nos da la función? X es igual a R partido por 2 Px: 240 entre 2 por 4 son 30. Y es R partido por 2 Py, que son 240 partido por 2 por 4, que son 30 igualmente. Luego, ese punto está en el 30, 30. Nos interesa el valor de la abscisa, puesto que es donde estamos midiendo la diferencia del efecto renta y del efecto sustitución, puesto que el precio del bien que ha variado es el del bien X. Por eso lo estamos midiendo en el eje de abscisas; si no, tendríamos que medirlo en el eje de ordenadas. ¿Qué nivel de utilidad alcanza? Pues 30 por 30 son 900. Ahí está puesto, ¿vale?

Por consiguiente, el efecto renta es pasar de 40 a 30, es, perdona, el efecto sustitución es pasar de 40 a 30. Y el efecto renta es pasar de 30 a 20. El efecto sustitución vale 10. El efecto renta vale igualmente 10. Como vemos, son valores algo diferentes de los que habíamos tenido con Hicks, puesto que la forma de medirlo es distinta, por eso arroja necesariamente resultados distintos.

El apartado G de este ejercicio nos pedía suponer que, en lugar del incremento de ver percibes bien X, se produce una reducción del mismo hasta Px igual a 2/3. Pero esa reducción se aplicaría únicamente a todas las unidades de ese bien que se adquieran que excedan de las primeras 50. Es decir, las primeras 50 se van a poder seguir comprando al precio de X igual a 2, y todas las demás ya se comprarían al precio de 2/3. Nos pide explicar qué equilibrio surgirá y representarlo gráficamente.

Para adquirir las primeras 50 unidades, ¿cuánto gastaríamos? Pues como nos el precio de esas unidades el 2, pues sería 2 por 50, son 100, ¿vale? Como la renta era 160, si compramos las 50 primeras unidades, nos gastamos 100. Nos quedan 60 unidades, y con ese dinero, ¿cuánto podríamos comprar? Dividiéndolo entre el precio del bien, que era de 2/3, podríamos comprar 90 unidades más, 90 unidades adicionales de esas 50. Por consiguiente, el punto de corte de la restricción presupuestaria quebrada ahora sería vender 140. Hasta el 50, sería la restricción presupuestaria que teníamos inicialmente, que es esa amarilla. Y a partir de ahí, ya cambiaría su pendiente, y sería la restricción presupuestaria en verde, ¿vale?

Bien, ¿qué es lo que puede ocurrir ahí? Pueden ocurrir varios supuestos. En primer lugar, que esta disminución del precio no nos acerque en lo que tenemos representado ahí, porque seguiríamos maximizando la utilidad para X 40, como tenemos, ¿vale? Eso no nos afectaría. Si fuese esta la forma que tiene la curva de indiferencia, ahí sí que podríamos estar totalmente indiferentes entre ambos puntos azules, puesto que obtenemos el mismo nivel de utilidad. Maximizaríamos la utilidad en cualquiera de ellos, seríamos absolutamente indiferentes entre los dos. Y finalmente, la tercera posibilidad es que fuese secante a ese tramo verde de la restricción presupuestaria, y por consiguiente, pudiésemos encontrar una curva de indiferencia más alejada del origen de coordenadas, en la que maximizaríamos nuestra utilidad en este segundo punto azul que tenemos ahí. Vamos a ver qué es lo que sucede de estos tres, de estas tres posibilidades, en nuestro caso concreto, a nuestro caso particular, que es lo que nos pide el ejercicio.

Bien, nosotros tenemos que R partido por Px es 140. Es decir, el punto de corte con el eje de abscisas es 140. Si queremos saber a qué renta correspondería eso, si todo el rato fuese así, pues seríamos el R partido por dos tercios de, qué es el precio del bien X, sería 140. Con una renta ficticia de 140, tendríamos eso. O sea, con la renta en este caso sería 280, porque si R partido por 2/3 es igual a 140, con una renta de 280 tercios, el precio de X el 2%, podríamos comprar 140 unidades. Es decir, que el tramo verde sería el correspondiente a una renta de 280 tercios.

Bien, siendo esto así, ¿qué cantidad demandaríamos del bien X? X sería R partido por 2 Px: 280 tercios partido por 2 por 2/3, igual a 70. Y sería R partido por 2 Py, que son 280 tercios partido por 2 por 4, son 11.66 y 67, ¿vale? Luego, ese sería el punto en el que cortaríamos: 11.67 y 70. ¿Qué nivel de utilidad alcanzaríamos? Recordad que inicialmente teníamos un nivel de utilidad de 800. Ahora nos ha salido un nivel de utilidad de 800.1677. Luego, hemos mejorado. Es decir, es una curva de indiferencia que está más alejada del origen de coordenadas. Luego, la representación gráfica, recordad que puse tres posibilidades, es esta en la que corta la curva de indiferencia inicial con la restricción presupuestaria en el tramo verde. Tan sencillo como esto era el apartado G.

El apartado H, finalmente, nos pide que, en lugar de un incremento de, perdón, una reducción del precio hasta 2/3, sea hasta 1. El resto del enunciado es el mismo: es decir, que las primeras 50 unidades las podemos seguir comprando a 2, como era inicialmente, y el resto las vamos a comprar a un precio de X igual a 1. Explique qué equilibrio surgirá y representarlo gráficamente.

Para adquirir las primeras 50 unidades, ¿qué gastaríamos? 2 por 50, 100. De las 160 de renta que tenemos, si quitamos 100, nos quedarían 60. Como ahora el precio de X es 1, pues, ¿cuántas podemos comprar? 60 más 50 que podemos comprar a precio 2, más 60 que nos podemos comprar al precio 1, es 110. Es decir, que el punto de corte de la restricción presupuestaria quebrada con el eje de abscisas sería 110, como vemos aquí en el gráfico.

Ahora procedemos de manera análoga como hemos hecho en el apartado G. Es decir, decimos: bueno, ese es el punto de corte, el 110. Luego, ¿a qué renta correspondería eso si todo el rato fuese al mismo precio? Es decir, si la línea verde fuese todo el rato, no es no amarillo, ratón y verde después, es decir, no fuese quebrada. Como el precio del bien X es 1, pues esa renta que tendríamos sería 110. No es R partido por 1 es igual a 110. R es igual a 7. Mirando en la función de demanda, ¿cuánto demandaría el individuo del bien X cuando la renta fuese ese 110 y el precio del bien X fuese 1? Sería 110 partido por 2 por 1, igual a 55. ¿Cuánto demandaríamos del bien Y? Pues R partido por 2 Py. R ahora sería 110, y Py sería, desde el principio, que es 4. Luego, 110 partido por 2 por 4, 110 entre 6, 13.75. Bueno, tendríamos ahí que la restricción presupuestaria, perdón, que la curva de indiferencia vendría más por dentro. Luego, ¿qué nivel de utilidad alcanzaríamos? 756.25. Ahí lo tenemos. Este era el ejercicio, ¿de acuerdo?

Bueno, pues nada más. Espero que os haya gustado y que me digáis si os gustan más los ejercicios como siempre los he hecho en formato PDF o preferís que sean en vídeo como este, en el que vamos viendo cómo van surgiendo las curvas, las rectas, etcétera, progresivamente. Un saludo.