Was macht Eulers Zahl e so besonders? | Essenz der Analysis, Kapitel 5

[Musik] ich habe euch jetzt einige Ableitungsregeln vorgestellt, aber etwas wirklich Wichtiges, das ich immer weggelassen habe: wann die Exponentialfunktion. Also will ich jetzt über die Ableitung von so Funktionen wie 2 hoch x oder 7 hoch x sprechen und euch zeigen, warum man sagen könnte, dass e hoch x so ziemlich die wichtigste aller Exponentialfunktionen ist.

Um erst mal ein Gespür zu bekommen, wollen wir uns auf 2 hoch x konzentrieren. Denken wir über den Eingangswert mal als eine Zeit nach, zum Beispiel t, und über den Ausgangswert 2 hoch x als eine Populationsgröße. Hier zum Beispiel eine besonders fruchtbare Gruppe von Chinesen, eine Gruppe, die sich jeden Tag verdoppelt. Und vielleicht wollen wir anstatt einer Populationsgröße, die mit jedem neuen Baby-Wesen um einen diskreten Wert zunimmt, lieber 2 hoch x als das Gesamtgewicht dieser Population verstehen. Ich finde, das gibt besser die Kontinuität dieser Funktion wieder. Oder? Also zum Beispiel, dass zum Zeitpunkt t gleich null das Gesamtgewicht der Wesen 2 hoch 0, was 1 ist. Bei t gleich einem Tag hat die Population auf 2 hoch 1, gleich zweimal das Gewicht eines Wesens, zugenommen. Nach zwei Tagen ist es t Quadrat oder 4. Und allgemein verdoppelt sich das Gewicht einfach jeden Tag.

Für die Ableitung suchen wir ja dm durch dt, also das folgende Verhältnis: die Zunahme des Gesamtgewichts, was wir als kleine Veränderung des Gewichts betrachten, geteilt durch eine kleine Veränderung der Zeit. Denken wir erst mal über die Veränderungsrate im Laufe eines Tages nach, sagen wir mal zwischen dem dritten und dem vierten Tag. In diesem Fall nimmt das Gesamtgewicht von 8 auf 16 Wesen zu. Das bedeutet, es werden über einen ganzen Tag acht mal das Gewicht eines Wesens hinzugefügt. Und beachte, dass die Wachstumsrate der Bevölkerungsgröße am Anfang des Tages entspricht. Zwischen Tag 4 und 5 nimmt diese von 16 auf 32 zu. Das sind also weitere 16 mal das Gewicht eines Wesens, was schon wieder der Population am Anfang des Tages entspricht. Im Allgemeinen: die Wachstumsrate über einen gesamten Tag gesehen immer gleich der Populationsgröße am Beginn des Tages.

Es wäre also verlockend zu sagen, dass das heißt, die Ableitung von t hoch 2 ist gleich sich selbst. Also, dass die Änderungsraten dieser Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt t gleicht dem Wert dieser Funktion ist. Und das ist die richtige Richtung, aber ist nicht ganz korrekt. Wir ziehen hier nur Vergleiche über die Spanne eines Tages und betrachten nur die Differenz zwischen 2 hoch t + 1 und 2 hoch t. Aber die Ableitung müssen wir uns fragen, was bei kleiner und kleiner werdenden Veränderungen passiert. Was ist die Zunahme über ein Zehntel eines Tages? Ein Hundertstel eines Tages? Ein ein-milliardenstel eines Tages?

Aus diesem Grund habe ich uns über die Funktion als das Gewicht der Population nachdenken lassen. Es ergibt Sinn, dass wir über winzige Veränderungen des Gewichts geteilt durch einen Bruchteil eines Tages nachdenken, während die diskrete Veränderung der Bevölkerungsgröße pro Sekunde keinen Sinn ergibt. Etwas abstrakter formuliert: wollen wir für eine winzige Veränderung der Zeit dt die Differenz zwischen 2 hoch t + dt und 2 hoch t, das alles geteilt durch dt verstehen. Also eine Veränderung der Funktion pro Zeiteinheit. Und jetzt schauen wir uns das sehr genau um einen bestimmten Zeitpunkt herum an, anstatt den ganzen Tag zu betrachten. Und das ist das Problem. Ich wünschte, es gäbe eine sonnenklare geometrische Abbildung, die alles, was jetzt kommt, ganz einfach erklärt. Irgendeine Abbildung, wo man einfach auf einen Wert zeigt und sagt: "Siehst du, dieser Teil? Genau das ist die Ableitung von 2 hoch t." Falls die eins einfällt, sagt bitte Bescheid.

Und obwohl Ziel hier und auch für den Rest der Serie eigentlich genau dieses spielerische Entdecken ist, folgen jetzt leider erst mal ein paar Abschnitte, bei denen es mehr um Numerisches als um Visuelles geht. Also fangen wir mal an, indem wir uns sehr genau diesen Term 2 hoch t + dt anschauen. Ein Hauptmerkmal von Exponenten ist, dass du das hier in 2 hoch t mal 2 hoch dt aufteilen kannst. Das ist sogar eigentlich das wichtigste Merkmal von Exponenten: Wenn du zwei Werte innerhalb eines Exponenten addierst, kannst du das Endergebnis als irgendein Produkt formulieren. Aus diesem Grund kannst du Addition, sowas wie winzige Zeitschritte, mit Multiplikation, also so Sachen wie Raten oder Verhältnissen, verbinden. Ich meine, schau dir mal an, was hier passiert. Mit diesem Trick können wir 2 hoch t heraus multiplizieren. Das wird jetzt einfach nur mit 2 hoch dt - 1 multipliziert und dann alles durch dt geteilt. Und denk, die Ableitung von 2 hoch t ist der Wert, dem sich dieser ganze Ausdruck hier nähert, wenn dt 0 mehr und mehr kommt.

Auf den ersten Blick vielleicht wie eine bedeutungslose Umformung aus, aber ein unglaublich wichtiger Fakt ist, dass dieser Term auf der rechten Seite hier, wo all dieser dt-Kram wohnt, vollkommen unabhängig vom t selbst ist. Er hängt nicht von der tatsächlichen Anfangszeit ab. Du kannst dir einen Taschenrechner schnappen und hier sehr kleine Werte für dt einfügen. Zum Beispiel 2 hoch 0,001 - 1 geteilt durch 0,001. Was du sehen wirst, ist, dass für kleinere und kleinere dt-Werte sich dieses Ergebnis einer Zahl ungefähr 0,6931 nähert. Mach dir keine Sorgen, wenn dir diese Zahl ein bisschen mysteriös erscheint. Das Wichtigste ist, dass das irgend eine Konstante ist. Anders als die Ableitung von anderen Funktionen ist hier der ganze Kram, der von dt abhängt, von t selbst vollkommen unabhängig. Also ist die Ableitung von 2 hoch t einfach genau das gleiche mal irgend eine Konstante. Und das ergibt eigentlich Sinn, weil es sich vorhin ja auch so angefühlt hat, als sollte die Ableitung für 2 hoch t 2 hoch t sein. Jedenfalls, wenn wir uns die Veränderungen über die Spanne eines Tages ansehen. Und wie wir sehen, ist die Änderungsraten dieser Funktion bei viel kleineren Zeitabschnitten nicht ganz sie selbst, aber proportional zu sich selbst mit dieser sehr besonderen Proportionalitätskonstante 0,6931.

Und diese 2 hier ist nichts Besonderes. Wenn wir uns stattdessen mit der Funktion 3 hoch t beschäftigt hätten, wären wir auch zu dem Schluss gekommen, dass die Ableitung von 3 hoch t proportional zu sich selbst ist, aber in diesem Fall mit der Proportionalitätskonstante 1,0986. Und auch für andere Basen deines Exponenten kannst du dich jetzt austoben und nachrechnen, was verschiedene Konstanten wären. Vielleicht findest du sogar ein Muster dabei. Wenn du zum Beispiel 8 hoch irgendeine kleine Zahl einfügst und das dann durch dieselbe kleine Zahl teilst, wirst du eine Proportionalitätskonstante von ungefähr 2,079 erhalten. Und ganz vielleicht, wenn du Glück hast, bemerkst du, dass diese Zahl zufälligerweise ganz genau dreimal die Konstante für die Basis von 2 ist. Also sind diese Werte ganz eindeutig nicht Zufall, sondern durch irgendein Muster verbunden. Aber welches? Was hat mit der Zahl 0,6931 zu tun? Und was hat 8 mit der Zahl 2,079 zu tun?

Naja, eine zweite Frage, die uns letztendlich diese mysteriösen Konstanten erklären wird, ist, ob es irgendeine Basis gibt, bei der die Proportionalitätskonstante genau 1 ist. Also, bei der die Ableitung von hochtief nicht nur proportional zu sich selbst, sondern genau gleich sich selbst ist. Und die gibt es. Es ist die spezielle Konstante e, ungefähr 2,71828. Und das ist nicht nur die Zahl, die hier angibt, sondern diese Zahl definiert im Prinzip, was e eigentlich ist. Wenn du jetzt fragst, warum hat ausgerechnet diese Eigenschaft, ist das, wie zu fragen, warum ausgerechnet e das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist. Das ist einfach genau das, was diesen Wert definiert. Alle Exponentialfunktionen sind proportional zu ihrer eigenen Ableitung, aber nur e ist der Spezialfall, in dem diese Proportionalitätskonstante 1 ist. Was bedeutet, dass e hoch t tatsächlich gleicht der eigenen Ableitung ist.

Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, wäre es sich den Graphen von e hoch t anzusehen. Dieser hat die besondere Eigenschaft, dass die Steigung einer Tangente an irgendeinen Punkt des Graphen gleich der Höhe dieses Punktes über der horizontalen Achse ist. Die Existenz einer solchen Funktion gibt uns die Antwort auf die Frage nach den mysteriösen Konstanten und außerdem gibt das uns noch eine andere Möglichkeit, wie wir über Funktionen, die proportional zu ihrer eigenen Ableitung sind, nachdenken können. Der Trick hier ist die Kettenregel. Was ist dann zum Beispiel die Ableitung von e hoch 3t? Doch mal die äußerste Funktion ab und dank der besonderen Eigenschaft von e ist diese Ableitung genau dasselbe und multipliziere das mit der Ableitung der inneren Funktion 3t, was eine Konstante ist, nämlich 3. Oder anstatt diese Regel einfach nur blind anzuwenden, können wir uns auch einen Moment Zeit lassen und unsere Intuition für die Kettenregel, wie im letzten Video, vertiefen. Überlege dir, wie diese kleine Veränderung von t den Wert 3t verändert und wie dieser Zwischenwert den Endwert von e hoch 3t beeinflusst.

So oder so will ich einfach zeigen, dass e hoch irgendeine Konstante mal t gleich dieser Konstante mal sich selbst ist. Und von hier aus ist die Antwort auf unsere Frage nach den mysteriösen Konstanten wirklich nur eine algebraische Manipulation. Man kann die Zahl 2 nämlich auch als e hoch dem natürlichen Logarithmus, oder ln von 2, schreiben. Das ist nichts, was uns umhaut, sondern einfach nur die Definition des natürlichen Logarithmus. Dieser stellt uns die Frage: "e hoch was ist gleich 2?" Also die Funktion 2 hoch t ist dieselbe wie die Funktion e hoch ln von 2 mal t. Und wenn wir jetzt alle Fakten kombinieren und beachten, dass e hoch t seine eigene Ableitung ist, erkennen wir mit Hilfe der Kettenregel, dass diese Funktion proportional zu sich selbst ist mit einer Proportionalitätskonstante gleich dem natürlichen Logarithmus von 2. Und tatsächlich, wenn du jetzt diesen natürlichen Logarithmus von 2 in den Taschenrechner eingibst, wirst du sehen, dass das genau 0,6931 ergibt, die mysteriöse Konstante, die uns vorhin über den Weg gelaufen ist.

Und dasselbe gilt für jede andere Basis. Die mysteriöse Proportionalitätskonstante, die wir beim Ableiten erhalten, ist einfach der natürliche Logarithmus der Basis. Also die Antwort auf die Frage: "e hoch was ist gleich dieser Basis?" Und eigentlich sehen wir in der gewandten Analysis kaum noch Exponenten, die als irgendeine Basis hoch t geschrieben werden. Stattdessen schreibst du eigentlich immer e hoch irgendeine Konstante mal t. Das ist alles äquivalent. Ich meine, egal welche Funktion, sowas wie 2 hoch t oder 3 hoch t, kann immer als e hoch irgendeine Konstante mal t geschrieben werden. Obwohl ich hier möglicherweise zu viel auf die Symbole eingehe, möchte ich wirklich betonen, dass es sehr viele Wege gibt, jede Exponentialfunktion zu schreiben. Und wenn du irgendwas siehst, das wie e hoch eine Konstante mal t aussieht, ist das eine bewusste Entscheidung, das so aufzuschreiben. Das ist also nicht ein Grundbestandteil dieser Funktion.

Was aber an dieser Schreibweise besonders ist, ist, dass es der Konstante im Exponenten eine übersichtliche und leicht verständliche Bedeutung gibt. Lasst mich kurz zeigen, was ich meine. Alle möglichen natürlichen Phänomene haben irgendwas mit Änderungsraten zu tun, die proportional zu der Sache sind, die sich verändert. Zum Beispiel ist die Wachstumsrate einer Population normalerweise proportional zu der Größe der Population selbst, solange es keine begrenzten Ressourcen gibt. Und wenn du eine Tasse mit heißem Wasser in ein kaltes Zimmer stellst, ist die Änderungsrate, mit der das Wasser abkühlt, proportional zum Temperaturunterschied zwischen Zimmer und Wasser. Oder um es anders auszudrücken: die Rate, mit der sich die Differenz ändert, ist proportional zu sich selbst. Wenn du dein Geld investierst, ist die Rate, mit der es zunimmt, proportional zur gesamten Menge Geld zu jedem Zeitpunkt.

In allen diesen Fällen, bei denen die Änderungsraten einer Variable proportional zu sich selbst ist, wird die Funktion, die diese Variable im Lauf der Zeit beschreibt, wie irgendeine Art von Exponentialfunktion aussehen. Und obwohl es viele Wege gibt, auf die man Exponentialfunktionen schreiben kann, bietet es sich immer an, diese als e hoch irgendeine Konstante mal t zu formulieren, weil diese Konstante dann eine sehr natürliche Bedeutung in sich trägt. Sie ist dieselbe wie die Proportionalitätskonstante zwischen der Größe der sich verändernden Variable und der Änderungsrate.

[Musik] Wie immer möchte ich mich bei allen bedanken, die diese Serie möglich gemacht haben. Bis zum nächsten Mal. [Musik]