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[Música] ahora revisaremos un ejercicio de límites en dos variables a través del método de trayectorias. Pero antes, no olvides suscribirte y darle like a este video.
Límite de x y cuando tiene el 0 de x a la cuarta por y a la sexta partido x cubo más y a la cuarta. Al evaluar directamente el límite, nos queda 0 a la cuarta por 0 a la sexta partido 0 cubo más 0 a la quinta, lo que resulta 0 partido 0, y que corresponde a una forma indeterminada.
Como siempre, vamos a partir estudiando el límite a través de los límites iterados. El primer límite iterado corresponde al límite de x cuando tiende a 0 de límite de y cuando tiende a 0 de x a la cuarta por y a la sexta partido x cubo más y a la quinta, con lo que al evaluar se obtiene:
límite de x cuando tiende a 0 de x a la cuarta por 0 la sexta partido x cubo más 0 a la quinta, siendo equivalente a:
límite de x cuando tiende a 0 de 0 partido x cubo. 0 partido cualquier cosa es 0, así que nos queda:
límite de x cuando tienda a 0 de 0. El límite de una constante es la misma constante, así que límite de x cuando tiende a 0 de 0 resulta ser 0, siendo este el valor de L1.
El segundo límite iterado corresponde al límite de i cuando tiende a cero de límite de x cuando tiende a 0 de x a la cuarta por y a la sexta partido x cubo más y a la quinta, lo que al evaluar resulta:
límite de i cuando tiende a 0 de 0 a la cuarta por i a la sexta partido 0 cubo más i a la cuarta, y que a su vez es equivalente al:
límite de i cuando tienda a 0 de 0 partido i a la cuarta. 0 partido cualquier cosa es cero, así que nos queda el límite de i cuando tienda a cero de cero. El límite de una constante es la misma constante, por lo tanto, límite de i cuando tienda a 0 de cero es 0, lo que corresponde al valor de L2.
Como tenemos que L1 es igual a L2, y este valor es 0, entonces en caso de existir el límite, será cero. Por lo que pasaremos a la siguiente etapa, que corresponde a las trayectorias.
Este ejercicio es distinto de los anteriores, puesto que los grados de los elementos del denominador son impares. En ejercicios anteriores hemos tratado denominadores con expresiones de exponente par. La diferencia aquí es que los exponentes impares representan también cantidades negativas, en cambio los exponentes pares solo representan cantidades positivas. Por lo tanto, cuando nos enfrentemos a un ejercicio como este, la idea es siempre tratar de buscar una trayectoria que sea negativa.
En este caso, tomaremos la trayectoria x cubo igual a menos y a la cuarta, con ello podremos igualar los exponentes de los elementos del denominador. Así que al despejar, tendremos que x es igual a menos y elevado 5/3, puesto que la raíz cúbica mantiene el signo negativo.
Ahora bien, como x depende de i, si i tiende a 0, entonces x también tenderá a 0. Por lo que esta trayectoria nos permite ir al origen, que es el punto de interés para estudiar el límite. Así tenemos entonces que el límite de x com y cuando tiende al 0 de x a la cuarta por y a la sexta partido x cubo más y a la cuarta es igual a una expresión que dependerá solamente de i, puesto que las x serán igual a menos i elevado 5/3.
Ello resultará entonces:
límite de i cuando tienda a cero de menos i elevado 5/3 a la cuarta por i elevado 6 partido x cubo, que corresponde a menos y a la cuarta más y a la cuarta. Por potencia de potencias, tenemos que menos i elevado 5/3 elevado a la cuarta es igual a i elevado 20/3, por lo que este límite será igual al:
límite de i cuando tienda a 0 de i elevado 20/3 por i a la sexta partido 0. E independientemente de lo que queda en el numerador, no podemos dividir por cero. Por lo tanto, este límite no existe.
Como este límite, que representa al valor de L3, no existe, entonces el límite en general no existe, con lo que hemos concluido nuestro ejercicio. Espero que este video haya sido de utilidad. Recuerda revisar la lista de reproducción para encontrar contenido similar. Nos vemos en otra ocasión. Chao.