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Hola chicos, yo soy Jorge de Mate Móvil y el día de hoy vamos a estudiar algunas fórmulas adicionales del movimiento parabólico de caída libre. Estas fórmulas nos van a ahorrar un montón de tiempo al momento de resolver nuestros problemas.
Vamos a ver qué tenemos por aquí. Tenemos a un proyectil, nuestra "poca bola" como siempre, que va a realizar un movimiento parabólico de caída libre. Esta "poca bola" sale disparada a alguna velocidad inicial v0 y esta velocidad inicial forma algún ángulo theta con la horizontal. La "poca bola" sube, sube, sube hasta que alcanza el punto de altura máxima y luego cae, cae, cae hasta que llega, y mucha atención con esto, termina al mismo nivel del punto de partida. Vamos a calcular a partir de ello algunos parámetros súper súper importantes y aplicando estas fórmulas después resolver muchísimos problemas en un solo cálculo, en una sola ecuación, al instante.
Primera fórmula: me permite encontrar la altura máxima. ¿Y qué es la altura máxima? Mira, es esta distancia vertical que tenemos entre el nivel del punto de partida y el nivel del punto de altura máxima. Así, recuerda que la "poca bola" se encuentra en su altura máxima, ya no va a subir más. Y allí, en su altura máxima, la componente vertical de su velocidad es igual a cero. Muy bien, altura máxima es igual a lo siguiente: velocidad inicial al cuadrado por el seno cuadrado del ángulo theta, dividido entre dos veces la aceleración de la gravedad.
A continuación, vamos a ver la fórmula de tiempo de vuelo. ¿Qué es el tiempo de vuelo? El tiempo que nuestra esfera va a permanecer en el aire. Recuerda una vez más que el viaje de esta esfera termina aquí, al mismo nivel del punto de partida. Tiempo de vuelo es igual a dos veces velocidad inicial por un seno del ángulo theta, dividido entre la aceleración de la gravedad.
Viene ahora el alcance horizontal. Lo tenemos ahora. Este es el alcance horizontal, es una distancia horizontal, por eso le hemos colocado d sub h. Alcance horizontal es igual a lo siguiente: dos veces velocidad inicial al cuadrado por el seno del ángulo theta por el coseno del ángulo theta, dividido entre la aceleración de la gravedad. Utilizando la fórmula del ángulo doble que vimos en nuestro curso de trigonometría, también el alcance horizontal se puede expresar de la siguiente manera: velocidad inicial al cuadrado multiplicado por el seno de dos veces el ángulo theta, dividido entre la aceleración de la gravedad.
Y por último, tenemos una fórmula que, gracias al ángulo theta, nos permite relacionar la altura máxima con el alcance horizontal. Tangente del ángulo theta es igual a cuatro veces la altura máxima, dividido entre el alcance horizontal d sub h.
Y ahora sí, vamos a ver el problema número cuatro de la guía de ejercicios. El problema número cuatro nos dice: "Del gráfico mostrado, determina la altura máxima y el tiempo de vuelo". Y nos pide trabajar un valor de la aceleración de la gravedad de 10 metros por segundo cuadrado.
Veamos nuestro gráfico. Tenemos por aquí una esfera que sale disparada a razón de 20 metros por segundo y va a realizar un movimiento parabólico de caída libre. Sabemos por aquí que esta velocidad de 20 metros por segundo forma un ángulo de 30 grados con la horizontal. Esos 20 metros por segundo, ¿qué son? Son el valor de la velocidad inicial, la velocidad con la cual sale disparada nuestro proyectil aquí en su posición inicial. Entonces, colocamos por aquí: velocidad inicial igual a 20 metros por segundo. Y el ángulo que forma esa inicial con la horizontal, ¿cómo lo hemos llamado nosotros? Lo hemos llamado theta. Puede que en algunos libros lo encuentres con alfa o con beta, no hay problema, pero aquí nosotros lo hemos llamado ángulo theta. ¿Qué nos piden del gráfico mostrado? Determine la altura máxima y el tiempo de vuelo.
Vamos a trazar por aquí la altura máxima. Entonces, nuestra esfera sube, sube, sube hasta que llega aquí, más o menos por aquí, al punto de altura máxima, donde ya no puede subir más. Y esta altura máxima la vamos a trazar respecto aquí, respecto al nivel del punto de partida de nuestra esfera. Entonces, trazamos por aquí. ¡Y está! Muy bien. Y ahora viene la altura máxima que estaría por aquí. Perfecto. A paso lento, pero ahí vamos. A paso lento, pero seguro. Entonces, aquí tenemos a quién. Ahí vamos a tener a nuestra altura máxima. Bien, entonces viene por aquí, ¿qué cosa? Viene por aquí nuestra altura máxima. Y como le habíamos llamado, la habíamos llamado h, y aquí abajito, max. Ahí está, altura máxima.
¿Y qué más? Y el tiempo de vuelo, el tiempo que permanece la "espinita" en el aire. Nos pide trabajar con un valor de la aceleración de la gravedad de cuánto, de 10 metros por segundo cuadrado. Vamos a colocarlo por aquí. Por supuesto, también en nuestra gráfica nos pide trabajar con un valor de la aceleración de la gravedad de 10 metros por segundo cuadrado.
Lo primero que vamos a calcular es la altura máxima. Igual, una fórmula de altura máxima directo con fórmulas. Reemplazamos y vas a ver que nos salen rápido. Altura máxima es igual a: velocidad inicial elevado al cuadrado, ¿qué más? Por seno cuadrado del ángulo theta, ¿dividido entre qué? Dividido entre dos veces la aceleración de la gravedad.
Mueve, ahora reemplazamos nuestros datos. Trabajamos todos los valores expresados en el sistema internacional. Altura máxima va a ser igual a: valor de la velocidad inicial, eso, 20 metros por segundo. Colocamos simplemente el 20 y lo elevamos al cuadrado, multiplicado por el seno cuadrado del ángulo theta. ¿Cuánto vale el ángulo theta? Ahí está, el ángulo que forma la velocidad inicial con la horizontal, eso es 30 grados. Y lo dividimos entre dos veces el valor de la aceleración de la gravedad. Trabajaremos con un valor de 10 metros por segundo cuadrado.
¿Qué más? Vamos a tener por aquí. Atención, atención. Aquí nos vamos a quedar con lo siguiente. Es el 20 al cuadrado. Luego volvemos a colocar por aquí, igualito. Y ahora, ¿cuánto es el seno de 30? Que por supuesto lo vamos a llevar al cuadrado. ¿En cuánto es el seno de 30? Te lo sabes. Si lo encuentras en las tablas de razones trigonométricas de ángulos notables, ahí lo vas a ver en su forma de fracción. Y en forma de fracción, ¿cuánto es este valor? Es un medio. Si tú prefieres utilizar la calculadora, lo encontrarás como 0.5. Por eso mismo, y lo importante es no olvidarse de que está elevado al cuadrado. Dividido entre, aquí vamos a tener 2 por 10. Para colocar el 2 por 10, no tenemos nada todavía. No puedes usarlo de manera directa.
Ahora tenemos 20 al cuadrado. Ahora siguen 20 al cuadrado. ¿Cuántos eso? Eso es 20 por 20. Entonces, colocamos aquí 20 por 20. Y aquí tenemos un medio elevado al cuadrado. Por partes: 1 al cuadrado, eso sería 1. Y 2 al cuadrado, eso sería 4. Y aquí tenemos 2 por 10. Ahora sí, eso sería. ¿Qué más podemos hacer por aquí? Vamos a aplicar nuestra clásica simplificación. Mira, cuarta de 4, eso es 1. Y cuarta de 20, eso serían 5. Lo que daría 20 por 5. Y volvemos a colocar por el 20 por 5. Y aquí abajito se queda este 20. Y ahora simplificamos otra vez. 20 que arriba y 20 que abajo se van. Y nos quedaría que altura máxima va a ser simplemente igual a 5. Y al ser una longitud en el sistema internacional, se expresa en metros. ¡Y esto ya tenemos el valor de la altura máxima que alcanza nuestra pelotita, y es de 5 metros!
Vamos ahora a calcular el tiempo de vuelo. Ahora calcular el tiempo de vuelo, el tiempo que nuestra esfera permanece ahí en el aire. Por ahora, vamos a calcular el tiempo de subida y luego el tiempo de bajada, no en una sola. Tiempo de vuelo. Me dictan la fórmula, por favor. Tiempo de vuelo es igual a dos veces la velocidad inicial, ¿qué más? Ayúdame, por el seno del ángulo theta. ¿Subsuelo del ángulo theta? Dividido entre la aceleración de la gravedad.
Reemplazamos todos nuestros valores. Ya sabemos que estamos trabajando con el sistema internacional de unidades. Viene por aquí: dos veces valor de la velocidad inicial, 20 metros por segundo. Entonces, colocamos por aquí el 20, por el seno del ángulo theta. ¿Cuánto es el valor del ángulo theta? Aquí está, 30 grados. Perfecto. Vienen ahí los 30 grados. Dividido entre el valor de la aceleración de la gravedad. Trabajamos con un valor de 10. ¿Qué más? Colocamos aquí 2 por 20. Y ahora, seno de 30. ¿Cuántos el seno de 30? A eso no es tan complicado. Lo acabamos de ver hace un ratito. Eso es un medio o 0.5. Dividido entre este valor de 10. Aquí, ¿qué más podemos hacer? Otra vez, este 2 aquí abajo con este 2 aquí arriba se van. Arriba quedaría 20 y un montón de unos. Eso es 20 dividido entre 10. Y 20 entre 10, ¿cuánto es? Eso, pues ya está. Los ceros se van y dos entre uno, eso es dos. Perfecto. Y el tiempo en el sistema internacional lo expresamos en segundos. Tiempo de vuelo es igual a dos segundos. Ya tenemos el valor de la altura máxima y el tiempo de vuelo. Muy rapidito utilizando la fórmula.
Le damos ahora a otro problema. Veamos ahora el problema número cinco de la guía de ejercicios. "Un proyectil es lanzado con una rapidez v0 como se muestra en la imagen. Si el proyectil impacta en q, en el punto q, nos piden calcular la altura máxima". Y nos piden considerar también que tangente de theta es igual a 4.
Pero soy gráfico para ver qué otros datos tenemos. Tenemos por aquí a nuestro proyectil, nuestra esfera, que sale disparada con una rapidez v sub zero. Podemos ver aquí el vectorcito que forma un ángulo de theta con la horizontal. La pelotita llega, llega, sube, sube y termina por aquí, impacta en el punto q. ¿Qué es q? Porque nos piden calcular, nos piden calcular la altura máxima. Entonces, vamos a trazar esa altura máxima. Atención, la pelotita viene, viene, viene y por aquí, más o menos por aquí, se encuentra su punto de altura máxima. Por supuesto, tenemos que trazar allí el gráfico para señalar que se trata aquí de la altura máxima. Viene por aquí. Muy bien. Ahí tenemos entonces nuestra altura máxima y le colocamos por aquí: altura máxima. Perfecto.
¿Qué más tenemos por aquí? ¿Y otros datos tenemos? ¿Cómo vamos a hacer para calcular esa altura máxima? Es la incógnita en este problema. ¿Qué datos tenemos? Tenemos el valor de la velocidad inicial, no. Tenemos el valor del ángulo theta, no. Tenemos el valor del ángulo theta. Sin embargo, aquí hay un dato muy interesante: tangente de theta es igual a 4. Lo anotamos. Viene de este ladito. Entonces, tangente del ángulo theta va a ser igual a 4. ¿Y algún otro dato más? Sí, hay un dato que se nos está escapando. Mira, tenemos aquí marcada la distancia horizontal entre el punto p y el punto q. Y esa distancia resulta nada más y nada menos que el alcance horizontal. El alcance horizontal que nosotros lo hemos llamado d sub h. Hoy tenemos el alcance horizontal, una distancia horizontal de cuánto. Aquí está, esta distancia horizontal entre el punto p, punto de lanzamiento, y el punto q, el punto de impacto, es de 200 metros. Viene por aquí entonces esta distancia horizontal, alcance horizontal de 200 metros.
¿Y cómo podemos calcular el valor de la altura máxima a partir de este alcance horizontal y de la tangente del ángulo theta? ¿Qué fórmula de todas estas podemos utilizar? ¡La última! Muy bien, la última. La última fórmula relaciona a la altura máxima con el alcance horizontal mediante el ángulo theta o la tangente del ángulo theta. Vamos a notar esa formulita de este lado. ¿Me la dictas, por favor? No se suele usar mucho, pero menos aquí vino y es importante que no te agarren desprevenidos en el examen. Tangente del ángulo theta va a ser igual a cuánto. Es igual a cuatro veces la altura máxima, dividido entre, ¿dividido entre? Dividido entre el alcance horizontal d sub h. Perfecto.
Ahora reemplazamos nuestros valores. Tangente del ángulo theta lo tenemos aquí, está. Colocamos entonces por aquí este 4. Viene por aquí, entonces el 4. Y va a ser igual a cuánto. Esto va a ser igual a 4 veces la altura máxima. ¿Cuánto es el valor de la altura máxima? No lo tenemos, es lo que queremos calcular. Entonces, viene por aquí: altura máxima, dividida entre el alcance total. Y ese sí lo tenemos. ¿Cuándo su valor? 200 metros. Colocamos simplemente el 200. Muy bien. ¿Qué más tenemos? ¿Qué es lo que queremos despejar? Queremos despejar el valor de la altura máxima. ¿Y cómo vamos a hacer eso? Este 4 lo dejamos aquí igualito. Y mira, este 4 que está multiplicando en el segundo miembro, lo vamos a pasar al primero realizando la operación contraria, es decir, dividiendo. Y este 200 que está dividiendo en el segundo miembro, pasa al primero multiplicando. Y entonces, la colocamos aquí. Y ahora podemos simplificar algo. Claro que sí. Mira, 4 entre 4 se van. Y nos quedaría simplemente el 200. 200 va a ser igual a qué. Va a ser igual al valor de la altura máxima. Y por supuesto, como estamos trabajando con todos nuestros valores expresados en el sistema internacional de unidades, la altura, al ser una longitud, distancia, la expresamos en metros. ¡Dice! Le damos la muerte. Y ahí está, altura máxima es igual a cuánto. Es igual a 200 metros.
Y listo, ya tenemos la respuesta. Muy bien, como verás, no hemos resuelto problemas tan complicados, muchos de tanta complejidad, sino simplemente de saber cómo aplicar las fórmulas. Pero en los siguientes videos que vas a encontrar de ese ladito, en los videos del movimiento parabólico de caída libre, vas a encontrar problemas de mucha mayor complejidad. Y hasta aquí llegamos por ahora. No olvides suscribirte al canal. Nos vemos en las siguientes clases. Un saludo y suerte.