Ableitungsformeln geometrisch herleiten | Essenz der Analysis, Kapitel 3

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Jetzt, wo wir gesehen haben, was eine Ableitung wirklich ist und was sie mit Änderungsraten zu tun hat, sollten wir als nächstes herausfinden, wie man die eigentlich ausrechnet. Also, wie du die Ableitung findest, wenn ich dir irgendeine Funktion mit einer expliziten Form gebe. Vielleicht ist das offensichtlich, aber ich glaube, es lohnt sich ganz genau zu erklären, warum es so wichtig ist, das zu können. Alle, die die Analysis betreiben, verwenden so viel Zeit auf den Kampf mit Ableitungen von abstrakten Funktionen, anstatt über spezifische Änderungsraten nachzudenken. Warum ist das so? Ganz einfach, weil viele Phänomene aus der realen Welt so beschaffen sind, dass wir solche Funktionen anwenden wollen. Funktionen wie Polynome, Potenziale und ähnliche reine Funktionen. Wenn du also eine gewisse Übung darin hast, die Idee der Änderungsraten auf konkrete Situationen anzuwenden, gibt dir das ein Vokabular, mit dem du über Änderungsraten in konkreten Situationen reden kannst, um Modelle zu entwickeln. Aber es wäre leicht zu sagen, dass du nur eine Reihe von Regeln auswendig lernen musst, denn wenn das passiert, verlierst du so leicht aus dem Blick, dass Ableitungen nur kleine quantitative Änderungen sind und wie diese sich gegenüber anderen kleinen quantitativen Ausgangswerten verhalten. Deshalb möchte ich dir in diesem und im nächsten Video ganz genau zeigen, wie du über einige dieser Regeln geometrisch und intuitiver nachdenken kannst, und ich möchte dich ermutigen, die wichtigen winzigen Twists nicht zu vergessen, die die Ableitung an sich ausmachen.

Beginnen wir mal mit Polynomfunktionen, wie z.B. f(x) = x². Was ist, wenn ich dich jetzt nach der Ableitung frage? Also, wenn du dir irgendeinen x-Wert, wie zum Beispiel x = 2, anschaust und den dann mit einem ganz klein bisschen größeren, nur um dx größeren Wert vergleichst. Was ist die vergleichbare Änderung der Funktion, df? Genauer gesagt, was ist df geteilt durch dx? Die Änderungsrate der ganzen Funktion pro Änderung von x. Als ein erster intuitiver Schritt kannst du dir dieses Verhältnis df durch dx als die Steigung der Tangente an den Graphen x² vorstellen, wie wir letztes Mal gesehen haben. Und dann siehst du, dass diese Steigung mit wachsendem x zunimmt. Bei Null ist die Tangente horizontal, also ist die Steigung bei x = 0, 0. Bei x = 1 ist sie schon ein bisschen steiler und dann noch ein bisschen steiler bei x = 2. Aber sich den Graphen anzuschauen ist nach wie vor nicht der beste Weg, um genauer Ableitungsformeln zu finden. Es ist besser, sich dafür im Quadrat mal weniger abstrakt anzuschauen.

Wir können uns dafür ein Quadrat mit Seitenlänge x vorstellen. Wenn du jetzt x ein kleines bisschen, sagen wir um dx, erhöhst, wie ändert sich dann der Flächeninhalt? Diese kleine Änderung der Fläche ist das, was df in diesem Kontext bedeutet. Es ist die kleine Erhöhung des Wertes von f(x) = x², wenn es um ein kleines Stückchen dx erhöht wird. Jetzt kannst du erkennen, dass diese Zeichnung drei neue Flächen hat: zwei dünne Rechtecke und ein winziges Quadrat. Die beiden Rechtecke haben eine Seitenlänge von x und dx, also repräsentieren sie die 2x * dx Einheiten der neuen Fläche. Nehmen wir mal an, dass x = 3 ist und dx = 0,01, dann ist diese neue Fläche der beiden Rechtecke gleich 2 * 3 * 0,01, also 0,06, was sechsmal der Wert von dx ist. Das kleine Quadrat hat eine Fläche von dx², aber du solltest es dir wirklich winzig vorstellen, also vernachlässigbar klein. Wenn dx = 0,01 wäre, wäre die Fläche nur 0,0001. Und denk daran, dass ich die dx hier als kleine Strecke zeichne, sodass du sie dir vorstellen kannst, aber dass du sie dir eigentlich als wirklich winzig vorstellen solltest. Eine gute Daumenregel ist, dass du alles vernachlässigen kannst, was dx mit irgendeinem Exponenten größer als eins ist. Das heißt, eine winzige Änderungsrate zum Quadrat ist eine vernachlässigbare Änderung. Was bedeutet das? df ist nur ein Vielfaches von dx, und dieses Vielfache 2x, was du auch als df durch dx schreiben könntest, ist die Ableitung von x². Zum Beispiel, wenn du bei x = 3 anfängst und dann den x-Wert ein kleines bisschen erhöhen würdest, wäre die Änderung dieses Flächeninhalts geteilt durch die Veränderung des x-Wertes dx² durch dx, oder einfach 2 * 3, also 6. Und wenn du stattdessen mit x = 5 beginnst, ist diese Änderung des Flächeninhalts 10.

Betrachten wir jetzt eine andere einfache Funktion, f(x) = x³. Das ist die geometrische Betrachtung von dem Zeug, das wir im letzten Video eingebracht und durchgekaut haben. Mit dabei ist, dass wir x³ als das Volumen eines wirklichen Würfels vorstellen können, dessen Seitenlänge gleich x ist. Wenn du x ein ganz klein wenig vergrößerst, um ein winziges dx, dann siehst du den Anstieg im Volumen hier in Gelb. Es repräsentiert alles zusätzliche Volumen in einem Würfel mit der Seitenlänge x + dx, das noch nicht in dem Würfel mit der Seitenlänge x war. Es ist praktisch, sich vorzustellen, dass dieses neue Volumen in winzige Teilchen zerfällt, aber dass der Hauptteil dieses Volumens von diesen drei quadratischen Platten kommt. Etwas genauer gesagt, wenn dx gegen Null geht, machen diese drei Platten mehr und mehr das gesamte neue Volumen aus. Jede dieser dünnen Platten hat ein Volumen von x² * dx, die Fläche der Oberfläche mal die kleine Dicke dx, also macht das alles zusammen 3x² * dx an Volumenänderung. Und noch mal, es gibt hier noch weitere Schnipsel an Volumen entlang der Kanten und das kleine Stück in der Ecke, aber das alles bleibt proportional zu dx² oder dx³, also können wir sie problemlos ignorieren. Und das ist nach wie vor, weil das alles später durch dx geteilt wird und falls dann immer noch irgendein dx übrig ist, würde dessen Term die Annäherung zu Null nicht überleben. Heißt das, die Ableitung von x³ also die Rate, mit der x³ sich pro Änderung von x verändert, ist 3x²? Und das bedeutet wiederum für die grafische Intuition, dass die Steigung des Graphen von x² an jedem Punkt x genau 3x² ist. Und wenn man mit dieser Steigung argumentiert, sollte es Sinn ergeben, dass die Ableitung links groß ist, dann am Ursprung 0 und dann wieder groß sein muss, wenn man sich nach rechts bewegt. Aber das Nachdenken über den Graphen alleine hätte uns nie den genauen Ausdruck 3x² ausgespuckt. Dafür mussten wir uns viel genauer anschauen, was x³ eigentlich in der Anwendung bedeutet.

Du würdest nicht unbedingt jedes Mal über ein Quadrat nachdenken, wenn du die Ableitung von x² suchst. Du würdest auch nicht jedes Mal diesen Würfel zu Hilfe holen, wenn du x³ ableitest, denn beide sind ziemlich eindeutig als Polynom erkennbar. Die Ableitung von x⁴ ist 4x³, die Ableitung von x⁵ ist 5x⁴ und so weiter. Allgemein würdest du das folgendermaßen ausdrücken: Die Ableitung von xⁿ ist nxⁿ⁻¹. Das hier heißt Potenzregel in der Anwendung. Stellen wir uns das schnell mal als ein Exponent vor, der darunter hüpft und sich selbst einmal weniger oben zurücklässt. Und nach einiger Zeit machen wir dann gar keine Pause mehr, um über die geometrischen Spielereien dahinter nachzudenken. Solche Sachen passieren, wenn das nur in der Mitte von viel längeren Rechnungen eingebaut wird. Aber anstatt jetzt alle symbolischen Muster zu jagen, könnten wir uns einfach einen Moment Zeit nehmen und nachdenken, warum das auch für hohe Zahlen größer als 2 und 3 funktioniert. Um für andere Potenzen als zwei und drei das Ergebnis dieses kleinen Schubs von x hinzu x + dx genau zu berechnen, müssen wir alle einzelnen (x + dx)ⁿ Terme multiplizieren. Das alles auszuschreiben wäre sehr kompliziert, aber der Sinn von Ableitungen ist, dass man das meiste Komplizierte ignorieren kann. Der erste Term in unserem expandierten Term ist xⁿ. Das ist analog zur Fläche des ursprünglichen Quadrats oder dem Volumen des ursprünglichen Würfels vom Beispiel vorhin. Für den nächsten Teil dieses ausgeschriebenen Ausdrucks kann man hauptsächlich xⁿ⁻¹ mit einzelnen dx wählen, da es in verschiedene Klammern gibt, aus denen wir uns dieses einzelne dx hätten aussuchen können. Gibt uns das an einzelne Terme, die alle ein (n-1) * x * dx haben. Das gibt uns xⁿ⁻¹ * dx. Das alles ist im Prinzip genauso wie die Tatsache, dass der Großteil der neuen Fläche im Quadrat von diesen zwei Balken mit dem Flächeninhalt x * dx kommt, oder wie der größte Teil des neuen Volumens im Würfel aus diesen drei dünnen Platten kam. Jedes hatte das Volumen x² * dx. Es wird noch viele weitere Terme in dieser ausgeschriebenen Form geben, aber alle werden ein Vielfaches von dx² sein, also können wir sie problemlos ignorieren. Das bedeutet, dass alles außer einem vernachlässigbaren Anteil der Zunahme des Ausgangswertes von Kopien sind, und zwar von xⁿ⁻¹ * dx. Also ist dann die Ableitung von xⁿ = n * xⁿ⁻¹. Und wie gesagt, für die Praxis bedeutet das, dass du diese Ableitung schnell im Kopf machen kannst und du dir vorstellst, wie der Exponent vor das x hüpft. Ab und zu ist es aber auch schön, einfach innezuhalten und sich daran zu erinnern, warum diese Regeln funktionieren. Nicht nur, weil es schön ist, und auch nicht nur deswegen, weil es uns daran erinnert, dass Mathe tatsächlich Sinn ergibt und nicht nur ein großer Haufen Formeln zum Auswendiglernen ist, sondern vor allem deswegen, weil es diese wichtige Art trainiert, über Ableitung als kleine Schubser nachzudenken.

Als ein weiteres Beispiel denken wir mal über die Funktion f(x) = 1/x nach. Jetzt, wenn wir natürlich einfach blind die Exponentialregel anwenden, weil 1/x dasselbe ist wie x⁻¹, das würde bedeuten, dass das -1 nach unten vor das x hüpft und 1 weniger als sich selbst zurücklässt, was hier -2 ist. Aber lasst uns mal ein bisschen Spaß haben und schauen, ob wir hier nicht vielleicht geometrisch argumentieren können, anstatt nur irgendwelche Formeln anzuwenden. Der Ausdruck 1/x fragt danach, welche Anzahl x = 1 ist. Ich stelle mir das eigentlich gerne folgendermaßen vor: als eine kleine rechteckige zweidimensionale Wasserpfütze, deren Flächeninhalt 1 und die Breite sagen wir mal x ist. Das heißt, dass die Höhe der Pfütze 1/x sein muss, da der gesamte Flächeninhalt 1 ist. Also, wenn ich x auf 2 ausdehnen würde, dann müsste die Höhe auf die Hälfte schrumpfen, und wenn du x auf 3 erhöhen würdest, dann würde die Höhe der Pfütze auf ein Drittel gequetscht werden. So kann man schön über den Graphen von 1/x nachdenken. Übrigens, wenn du über diese Breite x der Pfütze in der xy-Ebene nachdenkst, dann ist dieser korrespondierende Ausgangswert die Höhe des Graphen über dem jeweiligen Punkt. Die notwendige Höhe der Pfütze, um den Flächeninhalt 1 beizubehalten. Stell dir mit dieser Veranschaulichung im Hinterkopf mal vor, diesen Wert von x um einen kleinen Wert, ein winzig kleines dx, zu erhöhen. Wie muss sich die Höhe dieses Rechtecks verändern, damit der Flächeninhalt dieser Pfütze konstant 1 bleibt? Also erweitern wir die Breite um dx und kleben hier ein bisschen Fläche auf der rechten Seite an. Die Pfütze muss also ihre Höhe um einen Wert d(1/x) verringern, damit die Fläche, die wir oben weniger haben, gegen die Fläche auf der rechten Seite gekürzt werden kann. Du solltest dir d(1/x) übrigens am besten als einen negativen Wert vorstellen, weil es die Höhe des Rechtecks verringert. Weißt du was? Ich lasse die letzten paar Schritte ein Moment hier für dich stehen, zum Innehalten und Nachgrübeln und um den letzten Ausdruck herauszufinden. Sobald du rausgekriegt hast, was d(1/x) geteilt durch dx sein sollte, möchte ich, dass du das mit dem vergleichst, was herausgekommen wäre, wenn du vorhin einfach blind die Exponentialregel als Formel für x⁻¹ angewandt hättest. Und während ich eh schon eine Grübelpause vorschlage, ist hier noch eine weitere Herausforderung: Falls du Lust hast, schau mal, ob du herausfinden kannst, was die Ableitung der Wurzel aus x ist.

Zum Schluss möchte ich der Funktion angehen, die trigonometrische Funktionen und besonders wollen wir uns auf die Sinusfunktion konzentrieren. Deshalb werde ich für diesen Abschnitt mal annehmen, dass du dich schon ein bisschen mit trigonometrischen Funktionen und dem Einheitskreis auskennst. Verwenden wir den Einheitskreis mit Radius 1. Vom Ursprung ausgehend, für einen gegebenen Wert von Theta, sagen wir 0,8, dann kannst du dir vorstellen, wie du um den Kreis herum läufst, bis du die Entfernung 0,8 als Länge des Kreisabschnitts zurückgelegt hast. Das ist dasselbe, wie zu sagen, dass dieser Wert hier genau Theta Radians ist, also Radians oder Bogenmaß. Ich werde für diese Videoserie den englischen Begriff verwenden, da das üblicherweise auch in einem Taschenrechner so angegeben wird. Da der Kreis den Radius 1 hat, gibt Sinus von Theta dir deine Höhe des Punktes über der x-Achse an. Und wenn dieser Wert Theta steigt und du um den Kreis herumläufst, wird auch deine Höhe hoch und runter zwischen minus eins und eins. Also, wenn du Sinus Theta und Theta zusammen in einem Graphen darstellst, erhältst du diese Wellenbewegung. Und allein in dem wir uns diesen Graphen nur anschauen, können wir schon ein erstes Gespür dafür bekommen, wie diese Ableitung aussieht. Die Steigung bei Null ist positiv, weil Theta steigt, und während wir uns nach rechts bewegen und der Sinus von Theta sich seinem Höhepunkt nähert, sinkt die Steigung wieder auf Null ab. Danach ist die Steigung für eine kurze Zeit negativ, während der Sinus abnimmt, nur um dann wieder auf Null anzusteigen, wenn der Sinusgraph abflacht. Wenn du so darüber nachdenkst und das zeichnest und falls du die Graphen von trigonometrischen Funktionen schon ein bisschen kennst, könntest du erwarten, dass dieser Graph der Ableitung ganz genau der Cosinus von Theta ist. Alle Hoch- und Tiefpunkte sind genau da, wo man sie von der Cosinusfunktion erwartet. Und Achtung, Spoiler: Die Ableitung ist tatsächlich der Cosinus von Theta. Aber bist du nicht ein kleines bisschen neugierig, warum das genau der Cosinus ist? Ich meine, du könntest alle möglichen Funktionen mit den gleichen Hoch- und Tiefpunkten und ungefähr der gleichen Form anschauen, und wer weiß, vielleicht wäre die Ableitung des Sinus eine ganz neue Art von Funktion gewesen, die nur zufällig gleich aussieht.

Also, erinnere dich nochmal an den Spaziergang um den Einheitskreis, bei dem wir einen Bogen mit der Länge Theta zurückgelegt haben und über Sinus Theta als unsere Höhe an diesem Punkt nachdenken. Jetzt, so mal an diesem Punkt auf dem Kreis heran und stell dir einen kleinen Schritt der Theta entlang des Umkreises vor. Ein kleiner Schritt auf deinem Weg um den Kreis, wie verändert dieser kleine Schritt den Sinus von Theta und wie größer ist dieser dTheta, die Höhe über der x-Achse? Nun, wenn wir nahe genug heranzoomen, sieht der Kreis in dieser nahen Umgebung im Prinzip wie eine gerade Linie aus. Also machen wir mal weiter und stellen uns dieses rechtwinklige Dreieck vor, dessen Hypotenuse den gleichen Schritt der Theta entlang des Umkreises angibt und dessen linke Seite hier die Veränderung der Höhe ist, also das resultierende dSinus Theta. Dieses winzig kleine Dreieck ist jetzt sehr ähnlich zu diesem größeren Dreieck hier, mit dem ausschlaggebenden Wert Theta, dessen Hypotenuse der Radius des Kreises mit der Länge 1 ist. Genauer gesagt, ist dieser Winkel hier ganz genau gleich Theta Radians. Jetzt denke mal darüber nach, was die Ableitung von Sinus Theta eigentlich ist. Sie ist dSinus Theta, die winzige Veränderung der Höhe, geteilt durch dTheta, die winzig kleine Veränderung des Eingangswertes. Und anhand der Abbildungen können wir sehen, dass das die Länge der Ankathete geteilt durch die Hypotenuse ist. Mal sehen, Ankathete geteilt durch Hypotenuse, das ist genau, was Cosinus Theta bedeutet, und das ist auch die Definition des Cosinus. Auf diese Art und Weise erhalten wir zwei wirklich schöne und unterschiedliche Erklärungswegen, warum die Ableitung des Sinus der Cosinus ist. Ein Weg ist es, sich den Graphen anzuschauen und ein vages Gefühl für die Ableitungsfunktion anhand der Steigung des Sinusgraphen zu bekommen. Der andere Weg ist eine präzisere Argumentation, bei der wir uns den Einheitskreis selbst anschauen. Für diejenigen von euch, die gerne innehalten und grübeln: Schaut mal, ob ihr eine ähnliche Herangehensweise für die Ableitung von Cosinus Theta finden könnt.

Im nächsten Video werde ich dann darüber sprechen, wie man Funktionen ableiten kann, die mehrere einfache Funktionen wie diese hier als Summe oder Produkte oder so ähnlich kombinieren. Und ähnlich wie in diesem Video wollen wir alles geometrisch betrachten, damit es intuitiv Sinn ergibt und wir es uns auch leichter merken können. Bis zum nächsten Mal.

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