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Esta es la clase número cinco del curso de álgebra y vamos a hablar de relaciones de orden y antes de eso vamos a hablar de otras clasificaciones de relaciones.
Entonces, recordamos que teníamos relaciones binarias sobre un conjunto de un conjunto en otro. Y ahora vamos durante esta clase vamos a trabajar con relaciones binarias de un conjunto en sí mismo. Es decir, vamos a considerar relaciones binarias R que de A en A, es decir, que R es un subconjunto de A por A, ¿no? Recordemos que R será un subconjunto del producto cartesiano de A por A. Las dos eh elementos pertenecen al mismo conjunto A. El conjunto de llegada y de partida son el mismo A. En ese caso vamos a decir que tenemos directamente una relación binaria sobre A. Eso cuando digamos sobre A un solo conjunto quiere decir que es de A en A.
Entonces, lo que vamos a hacer en este curso, en esta clase, es clasificarlas de acuerdo a algunas propiedades y vamos a tener que razonar y entender algú con algunos ejemplos lo que quieren decir estas definiciones. Algunas son más simples que otras.
Entonces, la primera definición eh es de lo que quiere decir que una relación sea reflexiva. Consideramos una relación binaria sobre a y vamos a decir que es reflexiva cuando para todo elemento de a x el par xx pertenece a la relación.
Entonces, consideremos este primer ejemplo. Tengo a el conjunto que tiene tres elementos, el número uno, el dos y el tres. Y la relación R1 que está escrita acá en la pantalla que tiene cuántos elementos de esta relación? cinco, el 1 el 1 2, el 2 el 2 3 y el 33 3. Entonces, nos preguntamos si esta relación es reflexiva. Para que sea reflexiva tiene que cumplirse que para todos los x de a el par xx está en. Entonces podemos hacer lo siguiente. Pregunta. Miro el número uno. El número uno, que es el el primer elemento de A. ¿Está el 1 en la relación? Sí, acá está. Por lo tanto, este cumple. Miro el Vamos a cambiar de color. El dos, el número dos, el segundo elemento de A. ¿Está en la relación el 2? Sí, está. Por lo tanto, bien. Después miro el tres. ¿Está el 33 en la relación? Sí. está. Entonces, lo que hemos visto es que para todo x de a, para todo elemento de a, el par xx, que tiene la misma componente en primer y segundo lugar está en la relación. Por lo tanto, esta sí es una relación reflexiva.
Pensemos ahora en este segundo ejemplo. De nuevo, una relación va a ser reflexiva, ¿sí? Para todo elemento del conjunto A, el par XX eh relacionado con sí mismo está en R. Y si miramos, hacemos lo mismo de recién, uno por un buscamos el 1 está en la relación, no está. Eh, el 1 no pertenece a la relación. Luego R2 no es reflexiva. Simplemente eso.
Seguimos con otro ejemplo. Tengo la relación R1, que son los X y tales que X es menor o igual que Y. Ahora esta estamos considerando el conjunto este R, esta es relación R1 en todos los reales. Por lo tanto, R1 son todos los pares de números reales tales que la primera componente es menor o igual que la segunda. Si quisiera graficar esto en como un subconjunto de R2, lo que tengo que hacer, vamos a seguir, es este es el eje X, este es el eje Y. Voy a graficar la recta y = X. Me quedó un poquito corrida, esa la voy a acomodar. Y los puntos xi del plano tales que x es menor o igual que y son los que están a la izquierda de esta recta. Vamos en azul. Los que están de la recta hacia la izquierda. Todo este seno plano son los puntos de la relación, incluyendo los puntos que están en esta recta. ¿Por qué incluyo estos puntos? Porque acá tengo un x menor o igual a y. Por ejemplo, vamos a hacer algunos ejemplitos. Este, el 13 pertenece a la relación R1 porque el x, la primera componente es menor o igual que la segunda. El 31 no pertenece a la relación R1 porque la primera componente no es menor o igual que la segunda. El 2 sí pertenece a la R1 porque el dos, la primera componente es menor o igual a la segunda, es igual. Entonces, cuando la primera componente es menor o igual a la segunda, está en la relación. Como su nombre lo dica, si estamos diciendo menor o igual, quiere decir que cuando es igual está. Por lo tanto, esta relación sí es reflexiva, pues x es menor o igual que x. para todo xn r, para todo x real de este simbolito que es una a dada vuelta se llama para todo. Para todo x real, número real se cumple que x es menor o igual que r. Por lo tanto, el par xx pertenece a la relación r1 para todo x real. Si miramos una relación de números reales, ¿cuál es la recta donde están los puntos cuyas dos coordenadas son iguales? Bueno, esa es la recta y = x que está dibujada ahí. Y = x. Entonces, geométricamente, lo que quiere decir que una relación reflexiva en R es que la recta igual a x está contenida en la en el gráfico de la relación.
Consideremos ahora este otro ejemplo. Vamos a hacer como recién los ejes X y la recta igual a X. Voy a acomodar y ahora me voy a copiar esto para poder pegarlo en los dibujos de las páginas que sigue. Bien, entonces eso es nuestro gráfico de Ah, vamos en Está bien. Ahora quiero, tengo esta nueva relación, la R2, que es la relación dada por los pares Xies que es ig 2x. Eso es lo mismo que decir la relación R2 los pares donde I, la segunda componente es el doble que la primera. Por lo tanto, son los pares de la forma x 2x con x en r. Esa es otra forma de escribirla. Y también es la relación, el conjunto de los puntos y los pienso geométricamente de la recta y = 2x. Si hago la recta y = 2x, va a ser una recta con tendiente dos. Más o menos así. Lo voy a acomodar porque nunca me queda que pase por el centro. Ahí está. Esa es la recta y = 2x. La relación R2 y la grafico es ese conjunto de puntos pintado de violeta. Pregunta, la recta azul, que es la recta que llamamos acá y = x, ¿es un subconjunto de la recta violeta? ¿Está contenida? no se intersectan en un punto acá en el origen, pero no está contenida la recta, por lo tanto, no es reflexiva. Fíjense que estamos usando las nociones de conjunto. Eh, no está contenida. Uy, perdón, no es reflexiva. Uno puede decir, bueno, no sea falta todo. Uno puede decir no reflexiva porque basta con un punto. El 1 no pertenece a R2 porque la segunda componente no es el doble que la primera.
Bien, pasemos a otro ejemplo. Acá tengo la red el esta relación R2 que vimos la vez pasada. Vamos a escribir una cosa. Eh, acá le voy a escribir = x. Me voy a copiar esto para después. Bien, la relación R2 es ahora la de los puntos X² y cuadrado, o sea, las los puntos de R2, los del plano, donde la primera componente y la segunda cumplen que la primera al cuadrado es lo mismo que la segunda al cuadrado. Y habíamos dicho que esta R2 era lo mismo que decir los pares X y tales que el valor absoluto de X es igual al valor absoluto de Y. Y si quiero graficar, la voy a graficar de rojo, pero con este lápiz para que se vea lo anterior. Sería la unión de esta recta con esta otra recta a 45 gr o a -45. La voy a acomodar. Entonces, la unión de esas dos rectas es la relación R2. R2. Me quedó tachado. Pregunta, ¿es cierto que todos los puntos de la forma xx están contenidos en R2? Y la respuesta es afirmativa, eh, sí es reflexiva. Y si quiero que escribirlo esto de una manera convincente, más allá del dibujito, puedo decir, perdón, me quedó este lápiz. Si x pertenece a r, x al cuadrado es igual a x² y luego xx pertenece a la relación R2. Entonces esta oración lo que me dice es que hemos probado o demostrado nos guste que XX pertenece a R2 para todo XMR, para todo número R. Por lo tanto, sí es reflexivo. Hay veces que las demostraciones son confusas porque son verdades demasiado obvias, pero hay veces que no son tan obvias.
Sigamos viendo ejemplos. Otra relación que quiero ver si es reflexiva o no es esta relación que relaciona, no puede ser la relación L, que relaciona a personas con videos. ¿Se acuerdan esta? Vamos a repasarla. Tenemos un conjunto de personas que es el conjunto P1, P sub2, P3 y P4. Cuatro personas y seis videos que son el video uno, el video dos, el video 3, el cu, el 5, el seis. Y tenemos la relación like que va de P en B dada por estos pares. La relación like me dice que a la persona uno le gustó el video dos, el cinco. A la persona dos le gustó el video uno, el dos, el tres y el cco. Que a la persona tres le gustó el video dos, que a la persona cuatro le gustó el video uno y que a la persona cuatro le gustó el video tres. Esta es una relación que va de un conjunto P en un conjunto B que es distinto. Uno es de personas y el otro es de virus. La definición de reflexiva es para una relación, en este caso no en R, sino en el conjunto de partida. Tiene que ser una relación eh, perdón, de un conjunto en sí mismo. En este caso, el conjunto se llama P. Por lo tanto, para todo X en P, el par XX tiene que estar en R, no puede ser el BM. Entonces, la que la relación que estamos estudiando no puede ser esta. Esto no se puede estudiar la reflexividad porque no va los pares son no son los dos de la misma población, por decirlo de alguna manera, o del mismo conjunto. Tienen que ser del mismo conjunto. Pero sí podemos estudiar la reflexividad, decir si es reflexiva o no esta relación. R que está definida. Acá decimos que dos personas están relacionadas, P y Q P y Q personas están relacionadas cuando existe un video B tal que PB está en L y QB está en L. Es decir, dos personas o P y Q personas están relacionadas cuando las dos le dieron like al mismo video. Entonces, habíamos visto en eh en la clase pasada que esta relación R tenía el P1 P1. ¿Por qué? Porque P1 había visto el video B2 y P1 también había visto el video B2. Por lo tanto, si yo en el lugar de P y Q pongo P1 y P1, existe un video, el B2, tal que P1 le gustó el video B2 y P1 le gustó el video B2. Entonces, este era un caso un poco raro porque son la misma persona, pero si uno lo mira matemáticamente de manera abstracta, puede decir que P1 P1 pertenece a la relación porque P1 le dio like al video B2 y P1 le dio like al video B. un poquito raro. Si les quedan dudas lo charlamos en las clases de práctica. Después estaba también que como a P1 le gustó el video B2 y a P sub2 le gustó el video B2, también estaba P2, P1, P2 y así seguía. Después, como a P2 le gustó el video B1, P2 iba a estar relacionado con B2, eh, y como le gustó el video B2 y también a P1, el B1, quedaba que a P2 le gustó el estaba relacionada con P1 y así seguíamos también como P3 le gustó algún video, P3, P3 aparece y como a P4 le gustó algún video, P4, P4 también es un elemento de la relación. Entonces, me faltan acá, no escribí todos porque solamente estoy tratando de ver si las cuatro personas del conjunto P aparecen cada una relacionada con sí mismos. Y la respuesta es que sí. En este caso, la persona P1 está relacionada con P1, la P sub2 está relacionada con P sub2, la P3 está relacionada con P3 y me falta un color, P4 está relacionada con P4, por lo tanto, esta relación sí es reflexiva, pero ahora voy Voy a cambiar una cosa de esta de esta relación. Voy a mirar esta nueva relación. El conjunto L, este conjunto L es el mismo que en la diapositiva anterior y esta definición de la relación binaria R también es la misma. ¿Qué es lo que cambió? Lo único que cambió es que ahora el conjunto tiene siete personas en vez de cuatro. Esa es la única diferencia. Así que voy a dejar marcada solamente la única diferencia que tiene con respecto a la diapositiva anterior. Entonces ahora nos preguntamos, si yo escribo la relación R, va a ser la misma que la que teníamos acá. La voy a copiar. Botón de copiar. Acá abajo me cambiado de lugar, perdón. La relación R ahora en realidad es la misma que la del eh el conjunto R es el mismo que el de la diapositiva anterior. ¿Cuál es la diferencia ahora? Es que el conjunto P donde está definida es otro. Entonces, si miramos esta relación, vemos que el P5 P5 no pertenece a la relación R. Tampoco el P6 P6 y tampoco el P7 P7. para que sea reflexiva todos el P1 P1 P sub2 P sub2 P3 P3 P4 P4 P5 P5 P6 P6 los siete componentes, los siete pares con con la componente esa repetida tienen que estar pero no están los siete hay cuatro de los siet por lo tanto no es reflexiva voy a borrar eso. Por lo tanto, no es reflexiva.
Bien, pasemos a otro ejemplo. Perdón, antes de otro ejemplo, en realidad vamos ahora a una nueva definición. ¿Qué quiere decir que una relación es simétrica? una relación de nuevo binaria sobre A, o sea, que es un una relación de A por A, de A en A. Es una relación, va a ser un subconjunto del producto cartesiano de A por A. Vamos a mirar elementos de un mismo conjunto. Vamos a decir que es simétrica siempre que ocurra lo siguiente. Cada vez que encontramos un par X y en R, se tiene que cumplir que el par Ix está en R. Esa es la definición. Cada vez que vemos un par en la relación, les cambio de lugar las coordenadas y ese otro par que es diferente casi siempre tiene que estar también en la relación.
Veamos un ejemplo. Tenemos que mirar uno por uno los pares. Entonces encuentro el par 1. 1 está en R1. Entonces les cambio de lugar las coordenadas. Me pregunto, ¿está 1 en R1? ¿Cómo que dio lo más breve? Y sí, es obvio, las dos coordenadas son iguales y las cambio de lugar me da la misma. Si este es obvio. Ahora sigo con el segundo. Vamos a cambiar de color. 1 2 1 2 pertenece a R1. pregunta, ¿está 21 en R1? Lo busco. Y no está acá, no está acá. No está acá, no está ahí. No está. No, fin de la historia. No necesito chequear nada más. Esta R, que es la R1, no es simétrica. Pues si quiero completar la oración, no es simétrica porque el 1 2 está en R1, pero el 21 no está en R1. Esa es toda la explicación para decir que R1 no es simétrica. Encuentra un par que está y su recíproco, por decir de alguna manera, no está. Para que sea simétrica. Cada vez que encuentro un par lo doy vuelta y tiene que estar.
Veamos otro ejemplo. ¿Qué les parece esta relación simétrica? Pueden poner pausa, mirarla y pensar un poquito. El 22 está y también está su simétrico, eh, su recíproco. Por lo tanto, este está bien. Acá está el 23. Entonces, tengo que ver si está el 32. Está el 32. Sí, acá está. Ahora encuentro el 32 y me fijo si está el 23. Está el 23. Sí está. Por lo tanto, sí es simétrica. Cada elemento que está lo doy vuelta y lo vuelvo a encontrar.
Ahora tengo esta otra. Vamos a buscar el dibujito que teníamos acá. este dibujo. Copiar. Voy a la página donde estábamos. Au. Bien, ahí está el dibujito. Entonces, esta relación R1 son todos los X y tal que X es menor o igual que est. ¿Qué les parece? ¿Será simétrica esta relación? Uno puede empezar a probar con ejemplo, no quiere decir que una demostración. Si prueba dos o tres ejemplos y le da que está bien, tiene que seguir pensando una demostración. Pero si cuenta un ejemplo y le da que ya este falla la definición, se termina la historia. Entonces uno acá puede decir, puede elegir un punto que esté en la relación. No voy a elegir yo un punto sobre acá porque estos puntos son todos los de la forma 1 2 2 3 3 y si los doy vuelta me dan el mismo. Este es el pero si elijo un punto por acá, por ejemplo, este que es el 01, vamos a usar un color que se vea más. El punto 01 coordenada x = 0, coordenada e = 1. El 01 pertenece a la relación r1. ¿Por qué? Porque la definición es primera componente menor o igual que la segunda. Y es cierto acá que la primera componente es menor o igual que la segunda. Bien, si lo doy vuelta, miro el 1 y el 10 no está en R1. Si lo pongo en el dibujito, el 10 está acá abajo. Me quedó un poquito desubicado. Vamos a hacer eh el 1 ahora sí queda acá 1 y no está en R1 porque no es cierto que la primera componente sea menor o igual que la segunda. primera componente. En este ejemplo, en ese número es en ese par es mayor que la por lo tanto la respuesta es no es simétrica. Pues 01 pertenece a R1 y 10 no pertenece a R1. Finijar un poquito. Basta con encontrar un ejemplo para que decir que no es simétrico, porque para que sea simétrica cada vez que está uno tiene que estar el del otro lado. Otros ejemplos de puntos podemos verlos gráficamente. Si tomo este punto acá, el este es el -1, si los cambio de lugar me queda el 1 - 1 y este no está. Este sí y este no. Y así puedo ver que para que sea simétrica la gráfica tiene que ser simétrica con respecto a la recta y = x. Por lo tanto, esta no lo es. está solo de un lado, tiene que ser todo todo punto que está un lado tiene que mirar el espejo y tiene que estar del otro.
Sigamos con otro ejemplo. X² = Y². Voy a ir a buscar el dibujito para no hacerlo de nuevo. Este es el dibujo. Vamos a hacer así. vayan viendo. Ahora vuelvo a la página en la que estaba. Bien, ahí está el dibujo. ¿Qué les parece a ustedes? Esta es una relación simétrica. Es cierto que cada vez que hay un xi, el X está, uno puede mirar el dibujo y ver que efectivamente la gráfica es simétrica con respecto a esta recta. Si yo la paso, lo que está de este lado para este y este para este, me queda el mismo dibujo, por lo tanto es simétrico. Pero uno podría tratar de pensar si este es simétrica de una manera analítica. Hay veces que no vamos a tener el dibujo, entonces está bueno. En este caso, aunque tengamos el dibujo, entender cómo uno tiene que la definición. Me está diciendo cada vez que yo tengo un par, otra definición podría hacerla con letras AB. Si el par AB pertenece a la relación, entonces el par BA pertenece a la relación. Eso es lo que me dice la definición. Entonces, veamos si podemos demostrar esta. Veamos si podemos mostrar eso. Supongamos que sea AB un elemento de la relación R2. ¿Cuál es la definición entonces? Bueno, A² es igual a B cuad. Pero si a cuadrado es igual a B cuad por definición de res, este ahora digo, ah, eso es lo mismo que decir B² = A². Y pero si B² igual a cuadrado, eso quiere decir que BA pertenece a la relación. No lo podría haber hecho mentalmente obviando si quieren este paso, pero lo hice como para ver que en realidad la relación está definida con esta igualdad. Dice, ¿qué dice? digo que el par x y pertenece a la relación si el primero al cuadrado es igual al segundo al cuadrado. La primera componente igual al cuadrado igual al segundo al cuadrado. Entonces acá dije la primera componente al cuadrado igual a la segunda, pero esto es lo mismo que decir que b² ig a cuadrado. Ahora esta la pongo como primera componente y esta como segunda. Entonces partí de una B que está en la relación y llegué a que B está en la relación por lo tanto es simétrica. Y esa que está acá arriba es la demostración.
Bien, veamos otro ejemplo. Este ejemplo, me tomé la libertad de incluir los dibujitos que hicimos en la clase pasada. Este ejemplo es la relación este dada por x² + y² = 1. O sea, los puntos x y el par xi va a pertenecer a la relación siempre que x cuad + y cuad = 1. Si vemos la gráfica y trazamos el eje de simetría a 45 gr. Vemos que los puntos que están de este lado, si les hago la simétrica, vienen a parar al otro lado. Eh, el 01 está acá y el 10 está acá. Por acá habrá otro que viene a parar ahí cuando le hago la le cambio de coordenadas. Entonces, se ve gráficamente que ese dibujo es simétrico. Es como que acá tuviera un espejo y lo que se ve de este lado se duplica del otro. Pero, ¿cómo se demuestra? Eh, esto analíticamente, si no tuviéramos un dibujo o si quisiéramos convencernos de una manera más rigurosa. Bueno, digamos así, sí, perdón, no cambiar. Eh, decimos así, si el par Xi pertenece a la relación R2, acá dice 3, pero es R2, entonces X² + y² = 1. Si x² + y² = 1, entonces también es cierto que + x² = 1 por la propiedad conmutativa de la suma. Y si el par, si la suma y² + x² da 1, quiere decir que x pertenece a la relación R2. Así de simple. están obvias. Si uno piena este que a veces confunde, uno tiene que pensar también un poquito en abstracto y decir, si yo miro esta definición, lo que puedo decirla sin fórmula, es decir, un par ordenado pertenece a R2 si la suma de sus componentes da uno. Entonces, cuando yo hablo de la suma de las componentes, no estoy hablando en qué orden sumo, porque sabemos que la suma es conmutativa. Entonces, si esa definición dicha en palabra suena simétrica, eh, la suma de las componentes da uno. Si les cambio el orden, la suma de las componentes, perdón, al cuadrado también da uno. Así que este esa relación va a ser simétrica.
Veamos este otro ejemplo. Este ejemplo dice este r4 es 2xy tal que 3x + 2i = 9. De nuevo puedo hacer el eje de simetría. A ver cómo me quedó. Lo acomodo. Y acá no se ve muy bien, pero si yo quisiera hacer una reflexión de esa de esa recta, tendría que ser una una recta que pasa por qué puntos. Bueno, acá dice el 30 pertenece a R4, pero si yo miro el 03, el 03 está acá. Y si miro este punto que es el 04,5, si miro el 4,50 viene a parar por acá. Este es el 4,50. Entonces, estos dos ejemplos ya me muestran que la relación no es reflexiva, pero puedo hacer igualmente el dibujito a ver cómo me sale, que es así, más o menos así. Entonces se ve que si hago la reflexión a través de ese eje no me da lo mismo, pero uno puede decirlo analíticamente y decir que la relación por el dibujo vemos que no es simétrica y podemos decir porque pues el 30 pertenece a la relación, ya que 3 * 3 + 2 * 0 = 9. Eh, lo que hice fue poner este 3 acá como lugar del x y este ahí. Entonces, el 30 pertenece a la relación, pero el 03 relación, ya que si hacemos lo mismo, 3 por la componente x, que es 0 + 2 por la componente i que es 3, eso es 3 * 0 + 2 * 3 da 6, que es distinto de 9. Entonces eso me está diciendo que el 03 R4 tenían que cumplir esta fórmula. Muy bien.
Otro ejemplo. Este es un ejemplo que no habíamos visto el otro día, que son los x y tal que y es igual a -x. Es decir, la segunda componente esta acá es la opuesta - x es la opuesta de la primera. Entonces, si grafico esto, vamos a hacer una línea gruesa. Eso es la recta y = - x es una recta de 45 grente negativa que cruza así. Esa es la recta y = a - x. Y acá se ve que es simétrica con respecto a este eje imaginario que es la recta y = x. air acá eje de simetría. Entonces se ve que es simétrica, pero vamos a demostrarlo. La respuesta acá es sí. Y veamos cómo se demuestra. Bueno, sea xi un elemento de la relación de R5. Luego, por definición, la segunda componente es igual a menos la primera. Pero si ahora multiplico por -1, me dice que - y vamos a poner flechita. Entonces - es ig a men - x, es decir, - i = x, que es lo mismo que decir que x es ig a - i. Ya sé que ustedes lo hicieron mentalmente, pero déjenme que lo haga así con detalle. para ver este pasito a pasito cómo llegamos. Entonces, fíjense lo que vemos acá. Teníamos dicho, ¿qué quería decir? Que x y está en R5, que el IG = a -x, pero ahora estoy diciendo que x es ig a - diciendo que el par I x pertenece a R5. Y esa es la demostración. Entonces, esto que está acá escrito es la demostración con lujo de detalle de que esta R5 es simétrica, algo que ustedes se dieron cuenta seguro enseguida, pero está bien también ver cómo se demuestra analíticamente algo así, porque hay situaciones donde es más complicado.
Sigamos. Ahora volvemos a esta relación interesante que tiene que ver con los videos. Entonces, la pregunta es, sin escribir la relación, ¿qué les parece? ¿Esta será simétrica? Pueden tratar de pensar cuando vimos el ejemplo en detalle. Y la respuesta es que sí es simétrica. Y fíjense por qué. Vamos a hacer la demostración. Vamos a empezar con un PQ está en R, o sea, P está relacionado con Q. Eso quiere decir, voy a escribir un poco más breve, que existe un B, un video B. Estoy copiando esto, pero voy a escribir de una manera un poquito más corta. Existe un video B tal que P B pertenece a L y QB pertenece a L. Pero si PB pertenece a L y QB pertenece a L, entonces también pasa que QB pertenece a L y Ptene a L. ¿Qué es lo que hice en este entonces? En esta razonamiento lo que hice fue decir que si se cumple esta proposición y esta, también se cumplen en el orden inverso, porque el orden interesa cuándo es verdadero esto cuando se cumplen las dos. ¿Y cuándo es verdadero esto? cuando se cumplen las dos. Por lo tanto, decir que PB pertenece a L y QB pertenece a L es equivalente a decir que QB pertenece a L y Pvtenece a L. Pero escrito así estoy diciendo que QV pertenece a L y Ptenece a L, pero eso implica entonces que QP pertenece a la relación R, que es la que más nos interesaba. Empecé con PQ pertenece a R y concluí que QP pertenece a R. Por lo tanto, lo que estoy demostrando es que si xi pertenece a mi relación y x también, solo que lo llame PQ y QP en lugar de Xi y X. Fin. Por lo tanto, esta sí es simétrica.
Entonces, hasta ahora vimos dos definiciones, reflexiva y simétrica. Y ahora vamos a repasar un poquito todas las definiciones, definiciones equivalentes de simétrica. Muchas veces ver definiciones dichas con otras palabras nos ayuda a terminar de asimilar un concepto. Entonces, ¿cuándo decimos que una relación es simétrica? Eh, en símbolos lo vimos escrito en la diapositiva anterior de esta manera, xi pertenece a R implica que X pertenece a R. En palabras, eso es quiere, eso se dice, a mí me gusta decirlo de esta manera porque ayuda a entender un poco mejor. Dice, "Cada vez que encontremos un par XI en R, se cumple que el par Ix pertenece a R." Eso todo, todos estos quieren decir lo mismo que esto. También quiere decir lo mismo, se puede decir lo mismo de esta manera, decir X pertenece a R para todo X y en R. O sea, cada vez que encuentre un par X y en R, el Ix tiene que estar. Otra forma para todo X y en R, el I X está en R y se separan con dos puntos. Es lo mismo que decir que cada vez que encuentro un par X y en R se tiene que cumplir que el par y X está en R. Son todas maneras de decir lo mismo. Los dejo para que las piensen, que las asimilen. Cópiensenlas, escríbanlas, hágans. Se las pueden tatuar si quieren o hacer un póster, una hojita, un machete.
Bien, pasemos ahora a una nueva definición, la definición de antisimétrica, que no es lo mismo que no ser simétrica. Vamos a ver que puede pueden existir relaciones que son simétricas y antisimétricas a la vez. Al final le voy a plantear el problema. Entonces, vamos a ver la definición de antisimétrica. De nuevo, tengo un conjunto A y una relación binaria sobre A. Eso quería decir que el conjunto R es un subconjunto de A por A. Las componentes son las dos del mismo conjunto A. ¿Cuándo vamos a decir que es antisimétrica? Esta la vamos a ver despacito porque es bastante difícil. Vamos a decir que es antisimétrica. Sí. Cada vez que Xi está en R e Yx están en R. O sea, cada vez que se cumplan estas dos cosas a la vez, vamos a pintarlos distintos. Cada vez que yo encuentre xi e y e x, que las dos están en R, tiene que ser porque X es igual a Y. O sea, que cuando la di vuelta no cambió nada. Eh, si yo tomo un par que pertenece a la relación, lo doy vuelta y ese también está en la relación, era porque x era igual a Y. Entonces, la única posibilidad, lo que estoy diciendo, es la única posibilidad de que un par esté de las dos formas es que en realidad tenga las dos componentes iguales. Eso es lo que quiere decir antisimmetro. Otra manera de decirlo con símbolo, lo mismo de arriba, es que si x y pertenece a R e y X pertenece a R, entonces X = Y otra manera de decirlo un poco con la contrarrecíproca es, no es la contrarrecíproca, pero es otra interpretación. es la siguiente, que si yo encuentro un par X y en R con X distinto de Y, o sea, un par con dos componentes distintas, como el X y está en R, el X no está en R. Acá es importante resaltar que no está en R. Entonces, si yo encuentro un par que tiene X y con x e distintas, entonces el I X no tiene que estar. Si está ese quiere decir que no se estaría cumpliendo esto de acá arriba. Quiere decir que tengo un par xi e y x, pero no es cierto que son iguales porque eran distintas de entrada.
Entonces, veamos un ejemplo. Primer ejemplo, tengo esta relación R1 en el conjunto A, que es el 1 2 3 y tengo el par 1 el 1 2 y el 2 2. Entonces, la única forma de que no sea antisimétrica es que yo encuentre un par de dos componentes distintas y que está de las dos formas. Entonces, fíjense, yo tomo el 1, le cambio las coordenadas de lugar, me da de nuevo el 1, o sea, que este es un par que cumple que está el xi y está el y, pero el x = a y entonces está perfecto, no hay problema. Ahora miro el 1 2. El 1 2 pertenece el 21 pertenece a la relación, ¿no? Bueno, listo, no olvido, no pasa nada. Eh, si tengo un vector eh un perdón, un par que tiene 1 do y lo doy vuelta y no está, listo, no tengo nada más que que verificar. Ahora tomo el 22 do está en la relación, lo doy vuelta, sigue estando en la relación, pero eran los dos componentes iguales, entonces no hay ningún problema. Entonces esta relación sí es antisimétrica.
Ahora vamos a ver un ejemplo donde no es, o sea, para que no sea antisimétrica tenemos que encontrar dos pares ordenados que rompan la antisimetría. Es decir, que está el 1 2 y el 21, por ejemplo. Esos dos ya rompen la antisimetría. Antisimétrico quiere decir que este cada vez que hay este uno de estos que son los dos componentes distintas está ese y no está el otro.
Veamos otro ejemplo. Fíjense esta relación, la relación que tiene el 22. Perfecto. Ese nos rompe la antisimetría, nos olvidamos, pero tiene el 23 y el 32. Esto son las dos componentes distintas y está tanto el Xi como el Ix. Así que fin de la historia. Esta no perdonen, no es antisimétrica. Porque o pues 2 3 pertenece a la relación 2 3 2 también pertenece a la relación y dos distinto de tres. Es obvio lo distinto de tres, pero lo pongo porque estamos aprendiendo. Entonces estos dos pares, como son uno reflejado del otro y están los dos, rompen la antisimetría. Eh, estos dos, vamos a ponerlo así entre comillas, rompen la anti simétrica.
Acá tenemos de nuevo, empezamos con las relaciones en los números reales. Tenemos esta relación R1 que dice que tiene todos los pares X y tales que X es menor o igual que Y nos preguntamos si es antisimétrica. Entonces, si miro el dibujo, para que no sea antisimétrica, yo tendría que encontrar un par de puntos hasta que uno está de este lado y su simétrico de este lado también está. Sin embargo, eso no ocurre. Si está de este lado, este está en la relación, el de la izquierda, pero el T de abajo no está en la relación. Los únicos que si los reflejos están en la relación son todos los que están en la recta y = x. cualquiera de estos si les cambio las componentes, como son iguales, me da el mismo el mismo par ordenado. Entonces, todo esto que digo en palabra es bastante confuso, pero uno lo puede escribir de manera detallada de la siguiente manera. Fíjense una cosa, queremos probar que es antisimétrico, entonces voy a usar esta definición, la original. XY pertenece a R e Yx pertenecen a R. Se cumple que X es ig a Y. Vamos, lo voy a escribir para demostrar. Vamos a poner que sí, perdón, sí. Para demostrarlo, veremos que X pertenece a R1 y X pertenece a R1 implican x = Y. Esta definición es un poco la más rara, pero es la más útil para hacer cuentas y demostraciones. Fíjense lo siguiente. Supongamos que se cumplen las dos cosas, que X y pertenece a R1 y también el par I x pertenece a R1. Entonces, si X y pertenece a R1, X es menor o igual que Y. Y si pertenece a R1, quiere decir que era esta definición, que la primera componente es menor o igual que la segunda. Bien, si x pertenece R1, entonces menor o igual que X. Pero si uno tiene estas dos propiedades a la vez que x menor o igual que y menor o igual que x, no queda otra que que sea x = a. No sé si se acuerdan eso del ingreso cuando estuvieron trabajando con desigualdades y si no, bueno, es una propiedad que volveremos a eh a trabajar durante el curso, que es cuando se cumplen las dos desigualdades con menor o igual, quiere decir que en realidad x e y serán el mismo número. Entonces, si se cumplen las dos son el mismo, la única posibilidad de que un punto y el espejado estén eh que un punto y el espejado estén los dos en la relación es que en realidad estén sobre esta recta. A eso se les permite estar de los dos lados porque están justo en el Entonces esta sí es antisimétrica.
¿Qué les parece esta otra relación que está dibujada ahí y pintada de colorado? La pregunta es si esa es antisimétrica. Se cumple que cada vez que un punto y el espejado están en la en la relación quiere solamente porque están acá, ¿no? Fíjense que si yo pinto esto, quedan partes sin pintar. Claro, yo tengo este punto acá, su despejado está acá, pero no son el mismo punto acá en el medio. Por lo tanto, esta no es antisimétrica, tiene puntos que rompen la antisimétrica. Entonces, vamos a poner no no es antisimétrica y vamos a poner por qué. Porque por ejemplo este punto que está acá, puedo pensar que es el -1 coordenada x y 1 coordenada y este que está acá, la coordenada x es 1 y la y es -1. Entonces digo, ¿por qué? Porque el -1 1 pertenece a la relación y también el 1 men 1 pertenece a la relación. ¿Y cómo se obtiene este de acá? intercambiando las componentes. Entonces, están los dos y además las dos componentes son distintas. Entonces ahí se termina. Encontré un par con componentes distintas hasta que ese par y el recíproco están. Entonces, los dos están, quiere decir que esa no es antisimétrica.
¿Y qué les parece esta que está acá? ¿Será antisimétrica? ¿Hay algún par del tal del que está el par? Lo doy vuelta y sigue estando y las componentes no son iguales. Yo creería que sí. Bueno, el ejemplo no es este, porque ese si le cambio las componentes me vuelve a dar. Este no es un ejemplo que rompe la antisimetría, pero sí es un ejemplo que rompe la simetría, el 01 y el 1. Entonces, es antisimétrica, ¿no? Porque vamos a escribirlo en otro orden. Porque 0 distinto de 1 y se cumple que 01 pertenece a la relación. Y también el 10 pertenece a la relación. Sigamos. Si les lleva tiempo, pueden poner pausa o pueden rebobinar el video, pensarlo un ratito más, ver que no entiende. Anótense todas las preguntas para charlar cuando nos veamos en las clases.
Este ejemplo será y este es más difícil de ver gráficamente, así que lo vamos a hacer analíticamente. Vamos a ver si es antisimétrica. Entonces, vamos a pensar, vamos a intentar demostrar que es antisimétrica usando esta propiedad que está acá. Vamos a demostrar a ver si nos sale. Y si nos sale es porque es antisimétrica. Lo voy a copiar acá para demostrar que es antisimétrica. Veamos eso. Entonces, la idea que estoy planteando es, supongamos que tengo xi e x que pertenecen a la relación, que en este caso se llama R4. Y veamos si nos da que X = Y. Entonces, Xi e Yx pertenecen, eh, vamos a limpiar un poquito, a R4. Entonces, supongamos supongamos que xi pertenece a la relación y el X también. Entonces, si xi pertenece a la relación, ¿qué me dice? ¿Qué quiere decir que x pertenece a la relación? Que 3 * x + 2y = 9. 3 * x + 2y = 9. Y si pertenece a la relación, uy, quiere decir ahora que 3 * y + 2 * x = 9.
Entonces, ahora tengo que resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Te lo voy a escribir de la forma más usual. 3x + 2y = 9 y al otro le voy a escribir como 2x + 3y = 9.
Entonces, fíjense una cosa, hay muchas maneras de resolver este sistema. Van a aprender en matemática básica algunas de ellas. Yo lo que veo acá como que hay una especie de simetría en la forma. Entonces voy a hacer lo siguiente. Si resto las ecuaciones, eh, las hago primera menos segunda, lo que me da es que 3x - 2x es x y arriba tengo 2i - i - 3y, por lo tanto es x - y = 0. Sí, vamos.
Lo voy a hacer con cuidado. Fíjense, tengo 3x - 2x + 2y - 3y = 9 - 9. Ahora 3x - 2x es x. 2i - 3i es -i. O sea, que me queda x - y = 9 - 9, que es 0. Pero x - y = 0, quiere decir que x = y. Entonces yo partí de que x y estaban en la relación 4 e y x en la r4 y con razonamiento matemático llegué a que necesariamente x = y. Por lo tanto, la única posibilidad de que de que los dos estén en R4 es que el x sea igual a Y. Es el un punto que está por acá, este de acá, el único que si yo hago la reflexión me queda en su lugar, eh, está de los dos lados. Por lo tanto, la respuesta es que sí es antisimétrica.
Pueden poner pausa, pensarlo un poquito, pensarlo ustedes. Si tienen alguna otra forma de pensarlo, estamos felices de escucharlos y pueden también hacernos preguntas. Bien, ¿qué les parece este otro ejemplo? Este es el ejemplo de la recta i = - x. ¿Será antisimétrica o hay algún punto que rompe la antisimetría? ¿Hay algún punto que está y su simétrico también está? Y me parece que sí, ¿no? Si uno toma un punto por acá y hace su simétrico, ese punto está de este lado y este es este rompe la simetría. Entonces, veamos. me parece que no es antisimétrica porque, por ejemplo, el punto este de acá podría ser el -2, pertenece a R5 y el 2 - 2 que se obtiene intercambiando las componentes también pertenece a R5. Eh, y esto es rompe la antisimetría porque también dos es distinto de -2, son dos números distintos. eh no podría haberlo hecho con el 00 porque el 00 lo cambio, pero son los dos componentes igual. La única forma es asegurarme de que estos dos puntos son efectivamente dos puntos distintos. De nuevo, voy rápido porque son muchos ejemplos, pero pueden verificarlos ustedes y hacernos.
El último ejemplo es el de los like. Es el mismo ejemplo de hoy en el primer conjunto que era el P1 hasta P4. Bueno, acá uno recordaba que el P1 P2 este pertenecía a R y también P2 P1 pertenecen a R y P1 y P2 son dos personas distintas. Por lo tanto, este ejemplo, esta R no es antisimétrica.
Bien, este video se está haciendo un poco largo, pero tenemos un concepto más que este que definir y que es el de la transitividad. es todavía un poquito más difícil que si están cansados les recomiendo poner pausa, tomar un café, salir a caminar un rato antes de volver a seguir con este video. Este es un concepto un poquito más difícil.
Este, vamos, seguimos hablando de relaciones binarias sobre un conjunto A, entonces que trabajamos en un solo conjunto y vamos a decir que una relación R es transitiva. Esta es la definición. Una relación es transitiva, perdón, transitiva. Si cada vez que yo encuentro un par X en la relación y un par y z en la relación, ¿qué quiere qué estoy viendo acá? Cada vez que yo encuentre un par donde la segunda componente de uno es igual a la primera del otro, se tiene que cumplir que este otro par está en la relación, el Xz. Entonces, si tengo un par donde se tienen la misma componente, segunda uno y primera la otra, tiene que estar el par con la x y la z. Eso es lo que dice. ¿Ves que es tan difícil decirlo en palabras que por eso los matemáticos usamos símbolos para esto, decimos, si xi pertenece a la relación e y z pertenece a la relación, estoy usando la misma letra I. Eso quiere decir que son dos pares donde esta componente y esta son la misma. Si eso ocurre, para que sea transitiva, tiene que estar el par con el X y el Z.
Acá veamos un ejemplo. Fíjense este ejemplo. Acá tengo un par. Si llamo x = 1, = 2 y z = 3. Acá tengo un ejemplo donde el xi pertenece a la relación, el i z pertenece a la relación, pero el xz, que es el 13, no pertenece a la relación. Entonces tengo el 1 2 y el 2 3, pero no tengo el uno con el tres, por lo tanto no es transitiva. Y esta es la explicación. No hace falta escribir x y z. Lo estoy escribiendo solo para explicar los conceptos. Otra explicación sería acá, no es transitiva, pues eh 1 2 pertenece a la relación y 2 3 pertenece a la relación, pero el 13 no pertenece a la relación. Para que sea la transitiva, el 13 debería pertenecer, ¿no es cierto? Eh, no se cumple que cada vez que yo encuentre estos dos está el tercero que conecta el primero con el otro. Vamos, más ejemplos.
Ahora la completé. Tomé la relación anterior y agregué la 13. Entonces, la pregunta es, para saber si es transitiva, ¿tengo que buscar pares donde un par tenga la segunda componente igual a la primera del otro? Entonces, hay un solo par de pares que cumplen esto y son este, el 1 2 y el 2 3. Entonces, como está el 1 2 y está el 2 3, tiene que estar el 13 y acá está. Ahora, si busco otro par donde la segunda componente de uno es igual a la primera del otro, no está. Porque el uno nunca aparece como segunda componente. Acá está como primera, pero nunca aparece como segunda. Y el tres nunca aparece como primera componente. Entonces, no tengo más que chequear. Ya chequeé todos los pares donde la primera componente de uno es igual a la del otro. Estos son los dos. Por lo tanto, esta sí es transitiva.
Veamos otro ejemplo. Miren este ejemplo. Tengo el 1 2 y el 2 2. ¿Qué piensan ustedes? Es transitiva. Tengo que buscar todas las veces que se cumple esto, es decir, todas las veces que yo tenga dos pares con las donde la segunda componente de uno es igual a la primera del otro. Entonces, fíjense, acá está el 1 y el 1 2. La segunda componente de este par es el uno, que pertenece a la relación y la primera componente de este par es un número que pertenece a la relación. Entonces, déjenme pintar. Este uno coincide con este uno. Este es el i. El pintado de rosado es el I. Entonces, como está este par 1 y está este par 1 2, este uno es igual, ese es el i, tiene que estar el par 1 2. El 1 2. Pregunta, ¿el 1 pertenece a la relación? Sí, es el mismo que este. Ya sabemos que pertenece. Ah, perfecto. Entonces, esto está bien. Esto no me rompe la transitividad. La única manera de romper la transitividad es encontrar dos pares que coincidan una letra, un una componente. La segunda es la primera y que falte el tercer par que me da esto. En este caso, este tercer par es el mismo que este. ¿Por qué? Y por qué este tenía un uno?
Veamos el otro. El otro eh caso que coincide. Vamos a limpiar un poco que ensucie todo. El otro caso donde la segunda componente de un par es igual a la primera del otro es el caso donde tengo el 1 2 que pertenece a la relación y el 2 que también pertenece a la relación. Son este y este. ¿Cuál es la componente que tienen en común? Esta es la segunda y esta es la primera del otro. Si está ese par tiene que estar el 1, pero el 1 2 está de nuevo el mismo de hoy. Y esos son los dos casos donde una componente, la segunda de un par, es igual a la primera del otro. Y acá no hay ningún problema. Lo que podemos sacar como conclusión es que cada vez que yo tenga pares como el 1, ese 1 si yo lo junto con un 1 2, me dice que tiene que estar el 1 que es el mismo. Por lo tanto, los pares que tienen las dos componentes iguales nunca pueden romper la transitividad. No me van a molestar. Pueden estar o no estar, no me molesta. Lo que pueden molestar es cuando tengo cadenitas que no tenga el primero con el último. Vamos a seguir viendo ejemplos. Entonces esta sí es transitiva. Transitiva, sí.
Y comparado con el ejemplo anterior, este, ¿qué diferencia hay en este? Acá falta el 1 dos. Muchos pensarán, "Esta no es transitiva." ¿Por qué? Porque no se cumple esta hipótesis. No encuentro ningún par de pares donde la segunda componente de uno es igual a la primera del otro. No encuentro ningún par de pares donde la segunda componente de uno es igual a la primera del otro. Por lo tanto, como esto no se cumple nunca, nunca me tengo que fijar si se cumple esto. Fin de la historia. No hay ningún par de pares que me rompa la transitividad. Esto es difícil, ya lo sé. Vamos a seguir pensando. Entonces, la manera que yo les digo de pensar esto es, si me vas a decir que no es transitiva, me tenés que encontrar dos pares e que tengan la segunda componente de uno igual a la primera del otro. tienen que tener una en común ahí y que no esté este solo podemos afirmar que una relación no es transitiva. Si encontramos dos pares X y I y Z, vamos a poner entre paréntesis la segunda la segunda componente del primero igual a la primera del segundo. Eso es lo que quiere decir esta i de acá. Encontramos esos dos pares. Sigo un rojo, pero falta el XZ. Encontramos esa esos pares en la relación, pero falta el XZ en la relación. Eso es lo que quiere decir, que no sea transitiva. Si no los encontrás, entonces sí es transitivo. Esto es un poquito raro para los que no están entrenados en lógica, pero por eso este ejemplo es esta sí es una relación transitiva, porque esto no ocurre nunca. Es como que yo nunca jugué el tenis convic, entonces puedo afirmar cualquier cosa. Esto sí es verdadero. Entonces, como nunca encuentro. Eh, por eso a mí me gusta escribir esto diciendo, cada vez que encuentre dos pares que cumplen esto, se tiene que cumplir esto. Si no encontrás dos pares que cumplen esto, no pasa nada, está todo bien.
Bien, sigamos viendo ejemplos, así este afirmamos estos conceptos. Fíjense, esta relación será transitiva. 1 2 2 3 y 3 2. Pregunto, ¿enuentran dos pares donde la segunda componente del primero sea igual a la primera del segundo? A ver, me parece que sí. Uno puede encontrar rápidamente acá dos pares, ¿no? El i y el i. Acá tengo el dos y el dos. Como esos dos pares tienen la segunda componente del primero, que es un dos igual a la primera del segundo, tiene que estar el 13, pero no está. Por lo tanto, esta no es transitiva, ¿no? Pues 1 2 pertenece a R5, el 23 pertenece a R5, pero el 13 no pertenece a R5. Listo. Como diría Messi, andá para allá, bobo. No es transitivo. Fin de la historia.
Miren esta, esta es un poquito más rara. ¿Qué les parece? ¿Será transitiva esta? A ver, busco si encuentro algún par donde la segunda componente del primero es igual a la primera del segundo. Entonces dice, "Ah, sí, acá está de nuevo el 1 2 y el 2 1." Como está el 1 2 y el 2 1, para que sea transitiva, ¿cuál par debería estar en la relación? el 1 y no está, eh, por lo tanto no es transitiva, pues el 1 2 pertenece a la relación 6, el 21 pertenece a la relación, pero el 11 no pertenece a la relación. Déjenme ver el ejemplo que sigue bien. Está bien. Como está el 1 2 y el 21, tendría que estar el 11 para que sea transitivo. Bueno, agreguemos el 1 ahora tengo esta 1 2 y 2 1 y el 1 1. Eh, parece que es transitivo, pero pero ¿qué pasa si miro los dos pares donde la segunda componente es el dos y esta el primer uno, me dice que tiene que estar el 1 y acá está? Perfecto. Pero también puedo mirar los dos pares donde está el 21 y el 1 2. El 2 1 tiene su segunda componente que es un y el 1 2 tiene su primera componente que es el uno. Si yo los escribo en otro orden, digo, el 21 pertenece a la relación 7 y el 1 2 pertenece a la relación 7. Recuérdense que en un conjunto no importa el entonces los puedo mirar, los tengo que mirar desde todos los ángulos posibles. Entonces, el 21 pertenece a la relación 7 y el 1 2 pertenece a relación 7. Acá está el uno en común. Por lo tanto, ¿cuál debería pertenecer y no está? El 22 no pertenece a la relación 7, por lo tanto no es transitiva. Acá está la explicación. Pues el 21 y el 1 2 están, pero el 2 no está. Espero que se vaya entendiendo. Eh, para que sea transitiva tendría que estar también el 22. Esta que está escrita acá, ahora sí es transitiva porque todas las posibilidades de combinar también está la la que debería estar. Bien, recuerden de pensar ustedes esto, no convencerse de memoria porque les voy a dar ejemplos y tienen que saber determinar si una relación es transitiva o no.
Miremos esta un poquito más. Quiero preguntarles una cosa. Esta relación es simétrica. Bueno, está el 11, lo de vuelta está el 22 también, el 1 2 y el 21. Están todos y todos sus simétricos, por lo tanto, sí es simétrica y será antisimétrica. Y no, no es antisimétrica porque está el 1 2 y el 2 1. No pueden estar esos dos para que sea antisimétrica. Entonces, no es antisimétrica.
Entonces, ahora les hago una pregunta. ¿Existirá alguna relación que sea simétrica también antisimétrica? y también transitiva. Piensen, no den la respuesta rápida. Pueden pensar, ¿existirá una relación que sea simétrica y antisimétrica? Parecen cosas opuestas. Eh, ¿existirá una que cumpla esas dos? Bueno, si existe una que cumple esas dos, ¿podrá ser también transitiva? o como que se contradicen esas cosas. Se lo dejo para pensar. Seguro está en los ejercicios para hacer, así que si se olvidan este, si no están los ejercicios, lo vamos a pedir en un parcial, así que vayan pensándolo. Bien, les dejo esta pregunta para pensar y seguimos con algunos ejemplitos más.
Os ahora la relación R1, de nuevo se llama R1 dada por en los reales, dada por esta desigualdad que también se vamos a llamar en un rato el orden natural. La pregunta que nos hacemos es si es transitiva. La respuesta que probablemente se están dando cuenta es que sí es transitiva. ¿Y cómo se demuestra? Bueno, de la siguiente manera. Supongamos que, perdón, que tenemos un par Xi en la relación y un par y X en la relación. Eso quiere decir que X es menor o igual que I y que I, perdón, no X, sino y Z. X Y en la relación e Y Z en la relación. Eso quiere decir que X es menor o igual que Y, que Y menor o igual que Z. Pero entonces sabemos eh o a veces lo escribimos de esta manera, es decir, x menor o igual que Y e Y menor o igual que Z. Y entonces X es menor o igual que Z. Eso ya lo conocemos para la desigualdad. También lo llamábamos propiedad transitiva. Si tengo un x menor o igual que otro y ese y menor o igual que un z, entonces el x es menor o igual que z. Acá es fácil de ver lo que significa transitividad en esta notación, pero si x es menor o igual que z es lo mismo que decir que x z pertenece a la relación R1. Por lo tanto, ¿qué hicimos? Empezamos con un Xi en R1 e con un mismo I y demostramos que el XZ está en R1. Y esa es la demostración de que esa propiedad o esa relación es transitiva.
A ver, estas no las voy a dibujar ahora porque este las los dibujos no sirven tanto para analizar, por lo menos para mí. para analizar si una relación es transitiva, pero este sí los podemos pensar. Fíjense lo que dice esto. Si yo tengo quiero saber si es transitiva o no. Entonces mi relación me dice que el par el par x y está en la relación, es decir, que el x está relacionado con el y cuando y es 5 veces x. Entonces podemos escribir algunos si uno quiere escribir algunos ejemplos de este puede servir siempre escribir algunos ejemplos tiene infinitos componentes o infinitos elementos esta relación R2 pero podemos escribir algunos. Si yo pongo x = 1, el I tiene que valer 5. 5*. Este pertenece a la relación. ¿Qué otro está en la relación? Si pongo el 3, 3 * 5 15 está en la relación. Siempre la segunda componente es cinco veces la primera. Por ejemplo, también el cer está en la relación porque 0 * 5 da 0 y el -1 -5 también está en la relación y así puedo seguir por horas, pero también puedo ver qué pasa si pongo el 5. Si el c está la relación tiene que estar el 25 en la relación. Y si miro estos dos, el 1 y el 525, comparten la segunda componente de este igual a la primera. Para que sea transitiva, ¿qué debería pasar? debería estar el 125, pero el 125 no está en la relación porque 25 no es igual a 5 volumen. Entonces, ¿es transistiva? No, porque basta con un ejemplo para decir queitiva. El 15 pertenece a la relación, el 525 pertenece a la relación, pero el pero 125 no pertenece a la relación. Entonces esta línea era un poco de razonamiento y esta es nuestra respuesta. Es transitiva por eso.
Y esta será transitiva. Esta está buena, ¿eh? Me gusta. Esta me gusta pensar. A ver, pensémosla en abstracto. Si yo tengo que Xi pertenece a la relación y después voy a escribir y z pertenece a la relación. Si xi pertenece a la relación, quiere decir que X² es ig a Y². y z pertenece a la relación, quiere decir que i cuadrado es igual a z². Pero si yo miro estas dos, acá está el i, que es el mismo. Y si x² es ig a i² y² = z², entonces x² es = a z². Y eso quiere decir que xz pertenece a la relación. ¿Qué tal? Esta era rara, ¿eh? Sin embargo, si 2x 2x están en la relación, este, si un x y un y z, el x y el z también está en la relación. Los invito a pensar en el dibujito, a ver dónde puedo poner un xi, un y z y dónde está el xz para ver que está en la relación. Entonces, la respuesta de este es sí, es transitiva.
Y esta también tenemos que pensar si es transitiva o no. A ver, vamos a tratar de hacer la demostración. La verdad que no lo sé. Si fuera transitiva, ¿qué pasa? Tengo que tomar un xi en la relación. Le puse R2 a todos. Al final tendría que haber puesto R para no andar poniendo y eso quiere decir que x² + i² = 1. Y si tengo un i z mr2, eso quiere decir que i² + z² = 1. Acá pinto el i. Y la pregunta es, ¿puedo concluir de acá que x² + z² = 1? Hm. H, me parece que no. Me parece que no. Y el ejemplo que puedo tomar, o sea, esto acá esto es una gran pregunta, eh, no sé si esto es cierto, me parece que no. Y el ejemplo, este es nuestro tablero de pensar. El ejemplo que puedo tomar es si tomo x = 1 e y = 0. Si tomo y = 0 y x y z = 1, sonamos. Fíjense, si tomo el 1 que pertenece a la relación, eh, este es el punto. No sé si se acuerdan que esta relación era una circunferencia así, me salió ovalada. Está el 1 0. Este puntito de acá, el 01 puedo poner para que sea distinto. -1 también está en la relación porque es este K, no, perdón, el 0 men 1 es este. Este es el 1 el 0-1 y tienen en común este i el cer. Sin embargo, ¿cuál tendría que estar para que sea transitiva? El 1 - 1. Y no está. El 1 - 1 no está en la relación. El 1 men 1 es este acá. Este es el 1 men 1 que no está en la circunferencia, no está acá. Circunferencia está fuera. Los invito a encontrar otros ejemplos porque hay montones más divertidos sin usar el cero, por ejemplo. A ver qué les qué le sale. Bien, estoy cansando de tantos ejemplos. Yo creería que esta no es transitiva. Se lo dejo para pensar.
Esta y = a - x tampoco es transitiva. De nuevo pensar. Pongan pausa y traten de demostrarlo ustedes. Y esta última está buena para pensar. será transitiva. Acá voy a estar relacionando. Dos personas van a estar relacionadas si les gustó el mismo video, pero puede ser que a la persona uno está relacionada con la persona dos porque les gustó el mismo video B2 y la persona dos está relacionada con la persona cuatro porque le gustó el video B3. Eh, la persona dos le gustó el video B3 y está relacionado con la persona 4. Sin embargo, la P1 y la P4 no tienen ningún video en común, por lo tanto, no están relacionadas. Eh, entonces les voy a dejar, piénsenlo, la respuesta es no es transitiva, pues eh la P1 está relacionada con, dijimos con P sub2 y P sub2 está relacionado con P4, la persona uno con la persona 4. Eh, es como decir relaciones que uno puede pensar es también relaciones de hermanos. Eh, si uno tiene uno es un hermano del otro y son hermanos, ese es hermano de otro, son hermanos en primero del tercero. Acá estamos viendo personas que les gustó la misma película o el mismo video, pero sin embargo P1 y P4 no encontraron ningún video que les haya gustado a los dos. Eh, P1 y P2 les gustó un video en común, P2 y P4 otro, pero P1 y P4 no.
Bien, estamos terminando. Eh, última definición que ya no involucra definiciones complicadas nuevas. Lo único que dice es lo siguiente. Si uno piensa en la relación de menor o igual, que es lo que se llama orden natural en los números reales, esa relación cumple que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Vimos varias definiciones: reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Vimos esas cuatro definiciones y estuvimos viendo ejemplos de qué relaciones cumplen unas y otras. Bien, si cumplen estas tres se va a llamar una relación de orden. Eh, si cumple, que es reflexiva, antisimétrica y transitiva, se llama relación de orden. Entonces, acá está escrito de nuevo, un orden o parcial o simplemente orden es cuando es transitiva, antisimétrica y reflexiva. Tiene que ser antisimétrica para que dé un orden, para que diga que uno está a la izquierda del otro o uno está por encima del otro. Y hay una jerarquía. Podemos pensarlo así. Ejemplos. El orden natural en los reales es una relación de orden. Vimos en los ejemplos e que esta relación la relación R, perdón, la relación R dada por los X y en R2 tales que X es menor o igual que Y. Se puede definir de una manera así más breve, decir que el x y están relacionados cuando x es menor o igual que y. ¿Se acuerdan que esto es lo mismo que decir que decir xi pertenece a la relación es lo mismo que decir que el x está relacionado con i? Bueno, justamente eso es lo que hacemos acá, poner el símbolo de menor o igual como letra r para indicar que el x es menor o igual que de paso el símbolo no es una letra, sino un símbolo que apunta eh la puntita más chiquita apunta el que es más chico, eh, y la parte abierta está acá apunta al que es más grande. Bien, esta es una relación de orden. Acabamos de ver cuando fuimos recorriendo los ejemplos que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si tomo cualquier subconjunto de los reales, no vacío, también puedo tomar el orden natural y es una relación de es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por ejemplo, cuando miremos los números naturales, esta es una relación de orden en los números naturales, también en los enteros, también en los racionales.
Y por último, algo que va a quedar como ejercicio para tratar de demostrar ustedes es que si considero un conjunto A no vacío, por ejemplo, los números reales y después con miro todos los el conjunto de sus partes. El conjunto de sus partes son todos los subconjuntos de números reales. Puedo establecer un orden entre los subconjuntos de de números reales usando la relación de inclusión. Acá estoy diciendo la relación de inclusión es una relación de orden en partes de A. Entonces, lo voy a escribir para que lo vean escrito un poco más más ordenadamente. Voy a definir una relación R va a tener pares, por ejemplo, A y B. E no, A no. Vamos a usar A es el conjunto grande B y C que van a ser un, perdón, B va a ser un elemento de partes de A, es decir, un subconjunto de A y C también es un subconjunto de A. Y vamos a decir que están en la relación si B está incluido en C. Fíjense que estoy usando el símbolo de incluido como relación. Estoy diciendo que el B está relacionado con C, si solo sí. Bueno, los dos son subconjuntos de A. B y C subconjuntos de A y B está incluido en C. Entonces, esto es esta relación entre conjuntos, es decir, si está incluido o no, es una relación de orden, es reflexiva, es antisimétrica y es transitiva. Entonces, para poder hacer este ejercicio que que implica demostrar, lo vamos a ver en la práctica, así que no se aflijan si no les sale, pero sí tienen que entender todas las definiciones de esta clase en este video. Así que a repasar el video, a tratar de hacer los ejercicios y aprovechar a los profesores en las clases para pretirles que les expliquemos lo que les haya quedado el día. Muy bien, hasta la próxima. Yeah.