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In questo video parliamo di cinematica e prendiamo in esame il moto rettilineo e uniformemente accelerato. Rettilineo perché la traiettoria è rettilinea, uniformemente accelerato perché l'accelerazione costante.
Riprendiamo brevemente il concetto di accelerazione e distinguiamo tra accelerazione media e accelerazione istantanea. L'accelerazione media è il rapporto tra la variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui avviene, e le indichiamo con un segno sopra la l'. L'unità di misura nel sistema internazionale è il metro al secondo quadrato.
L'accelerazione istantanea invece è il valore al quale tende il rapporto delta v su delta t quando delta t diventa infinitamente piccolo. Matematicamente lo indichiamo con il limite, quindi il limite per delta t che tende a 0 del rapporto delta v su delta t. Essendo l'intervallo di tempo infinitamente piccolo, l'accelerazione istantanea è l'accelerazione del corpo in un determinato istante.
Facciamo attenzione al segno dell'accelerazione. Consideriamo un corpo che si muove su questa retta verso destra, dalla posizione s1 alla posizione s2. Se la velocità aumenta, quindi il modulo di v2 è maggiore del modulo di v1 e le due velocità sono concordi, allora l'accelerazione media sarà positiva. Se invece il modulo della velocità del corpo diminuisce, allora l'accelerazione sarà negativa, vuol dire che il corpo ha subito una decelerazione. Se invece la velocità iniziale è uguale alla velocità finale, ovviamente l'accelerazione è nulla.
Torniamo al moto rettilineo uniformemente accelerato. Abbiamo detto che l'accelerazione è costante, quindi l'accelerazione media è uguale all'accelerazione istantanea. Da questo fatto e dalla definizione di accelerazione, abbiamo che per il moto rettilineo uniformemente accelerato, l'accelerazione è uguale a delta v fratto delta t. Isolando delta v, abbiamo che delta v è uguale ad a per delta t. Questa relazione evidenzia che la variazione di velocità e l'intervallo di tempo sono direttamente proporzionali, con costante di proporzionalità uguale all'accelerazione del moto.
Se indichiamo con v0 la velocità iniziale, quindi all'istante iniziale t0 abbiamo che questa relazione può essere riscritta come v meno v0 uguale ad a per t meno t0, dove t0 è l'istante iniziale, quindi uguale a zero. Ora ci basta isolare v, che è uguale a v0 più a per t. Questa è la legge della velocità del moto rettilineo uniformemente accelerato. Questa legge è importante perché, conoscendo la velocità iniziale e l'accelerazione del corpo, ci permette di determinare la velocità del corpo in qualsiasi istante di tempo t.
Ricaviamo ora la legge oraria del moto. Consideriamo un corpo che viaggia con un moto rettilineo uniformemente accelerato. La velocità media per definizione è delta s fratto delta t, quindi s meno s0, che è la posizione iniziale, fratto t meno t0, istante iniziale che è uguale a zero. Isolando s, abbiamo che s è uguale a s0 più velocità media per t. Attenzione che la velocità del moto varia ed è quindi diversa dalla velocità media. Siccome l'accelerazione è costante, allora la velocità media è uguale a un mezzo per v0 più v, che è il valore medio tra la velocità iniziale v0 e quella finale v. Sostituendo questa espressione nell'equazione precedente, abbiamo che s è uguale a s0 più un mezzo per v0 più v per t. Dalla legge delle velocità sappiamo che v è uguale a v0 più a per t. Quindi s0 più un mezzo per v0 più v0 più a per t, tutto per t. Sommando i termini simili e distribuendo, otteniamo che s è uguale a s0 più v0 per t più un mezzo a t alla seconda, che è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato.
La legge oraria e la legge delle velocità sono le leggi fondamentali di questo moto.
Ricaviamo ora una terza legge che può essere utile a svolgere più rapidamente alcuni esercizi, ma non è necessaria. È la legge che mette in relazione lo spazio percorso alla velocità del corpo. Ora mostriamo in pochi passaggi che questa legge si ricava rapidamente dalle leggi che abbiamo appena visto. Mettiamo a sistema la legge della velocità e la legge del moto. Dalla legge della velocità ricaviamo il tempo e, per semplicità, nella legge oraria chiamiamo s meno s0 delta s. Sostituendo, troviamo la seguente espressione, dove possiamo semplificare l'accelerazione, distribuiamo e svolgiamo il quadrato dal binomio, facciamo il denominatore comune e sommiamo i termini simili. Otteniamo quindi la legge spazio velocità, che riscriviamo come v alla seconda uguale v0 alla seconda più 2 a per delta s.
Concludiamo questa lezione con un moto rettilineo uniformemente accelerato particolare, ovvero quel moto che ha come accelerazione l'accelerazione gravitazionale, che è quell'accelerazione che accelera tutti i corpi verso il suolo. Stiamo parlando del moto di caduta libera, ovvero il moto di un corpo che è soggetto solamente all'accelerazione gravitazionale. L'accelerazione gravitazionale, che indichiamo con g minuscolo, vicino alla superficie terrestre la consideriamo costante e vale circa 9,81 metri al secondo quadrato. Per questo moto valgono tutte le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato che abbiamo appena visto. Dobbiamo semplicemente sostituire più o meno g al posto della generica accelerazione, dove il segno di g dipende dal verso dell'asse verticale del sistema di riferimento che scegliamo, che come sempre è arbitrario. Se il verso positivo è verso l'alto, allora l'accelerazione sarà uguale a meno g. Se il verso positivo è in basso, invece, l'accelerazione sarà uguale a più g.
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Se la velocità iniziale è nulla o allo stesso verso di g, il moto è verso il basso. La pallina continua ad aumentare la velocità fino a che raggiunge il suolo. Se invece la velocità iniziale ha verso opposto di g, la prima parte del moto è verso l'alto, l'accelerazione quindi decelera il corpo. Nella seconda parte del moto, invece, la velocità si inverte e il corpo viene accelerato verso il basso.
Se il corpo viene lanciato verso l'alto e poi torna nella posizione iniziale, allora il moto è simmetrico. Il corpo parte con velocità iniziale v0, raggiunge il punto più alto dove la velocità si sa nulla, poi ritorna nella posizione iniziale con una velocità finale vf. Quindi il corpo che parte con una velocità iniziale rallenta fino a che raggiunge il punto più alto in cui la velocità del corpo è uguale a zero, dopodiché la velocità si inverte, il corpo viene accelerato verso il basso. Lo spazio percorso è ovviamente opposto, il tempo di salita è uguale al tempo di discesa e la velocità iniziale v0 è uguale e opposta alla velocità finale vf.
In questo video abbiamo visto le leggi che descrivono il moto rettilineo uniformemente accelerato. [Musica]