Transcription
Una forma de resolver los juegos es buscar el equilibrio de Nash existente en el mismo. Un equilibrio de Nash es una combinación de estrategias en la que la opción elegida por cada jugador es óptima dada la opción elegida por los demás; por tanto, si se encuentra en un equilibrio de Nash, ninguno de los jugadores tendrá incentivos individuales para variar de estrategia.
En este caso, si buscáramos resolver este juego mediante la eliminación interactiva de estrategias estrictamente dominadas, veríamos que no podríamos desechar ninguna de ellas; aunque se puede apreciar que la estrategia B domina débilmente a la estrategia A para el jugador número 1. Sin embargo, según la metodología del equilibrio de Nash, sí que vamos a poder encontrar un equilibrio, como mínimo. Así, podemos apreciar que A X es un equilibrio de Nash. En efecto, si se encuentran ambos jugadores en esa combinación de estrategias, ninguno tendrá incentivos para variar la suya. El jugador número 2 saldría perdiendo mientras que el jugador número 1 no saldría ganando tampoco.
Una forma muy habitual de encontrar los equilibrios de Nash, a partir de la representación matricial de un juego, consiste en subrayar los pagos correspondientes a la estrategia elegida por cada jugador, en función de lo que pudiera elegir el otro. En el gráfico anterior, si el jugador número 1 elige A, la mejor respuesta para el jugador número 2 es optar por Y, obteniendo un pago de 14. Si, por el contrario, el jugador número 1 elige B, lo mejor para el jugador número 2 es optar por X, puesto que 10 es mayor que 3. Subrayamos a continuación ambos pagos. Procedemos análogamente para el otro jugador. Si el jugador número 2 elige X, el jugador número 1 es indiferente entre A y B, pues en ambos casos obtiene el mismo pago: 9, por lo que subrayamos ambos. Por último, si el jugador número 2 elige Y, el jugador número 1 optaría por B, pues 10 es mayor que 6. Aquella casilla en la que ambos pagos estén subrayados constituye un equilibrio de Nash; en este caso es B X. En efecto, en estos casos la estrategia elegida por cada jugador es óptima dada la del otro, como proponía la definición del equilibrio de Nash. Nadie tiene incentivos individuales para variar de estrategia.
Aunque en el caso propuesto solo aparece un equilibrio de Nash, esta no es la única posibilidad. El caso siguiente, por ejemplo, muestra una matriz de pagos en la que existen dos equilibrios de Nash en estrategias puras. En este ejemplo, como se puede apreciar, existen dos equilibrios de Nash en estrategia puras, pero ambos jugadores no son indiferentes acerca de en cuál de ellos desearían encontrarse. Obviamente, A X es un equilibrio superior en el sentido de pareto al B Y, y ambos individuos desearían situarse en el primero, pero nada nos asegura que esto vaya a suceder así en ausencia de comunicación. Si se encontraran inicialmente en el equilibrio compuesto por las estrategias B e Y, ninguno de ellos obtendría incentivos individualmente a cambiar de estrategia. En efecto, si los individuos pudieran comunicarse entre sí y llegar a acuerdos, se podrían pasar a la combinación de estrategias A X, pero esto no está tan claro si los jugadores no pueden comunicarse o los acuerdos a los que pueden llegar no son vinculantes.
En el apartado anterior, vimos un método de búsqueda de equilibrio de los juegos que era la eliminación interactiva de las estrategias estrictamente dominadas. Un equilibrio de Nash necesariamente habrá de sobrevivir a la eliminación iterativo de estrategias estrictamente dominadas. Como hemos visto, puede darse el caso de que exista más de un equilibrio de Nash en estrategias puras, pero también puede ocurrir que no haya ninguno como en la matriz de pagos representada aquí. En esta matriz de pagos no existe ningún conjunto de estrategias que sean óptimas para ambos jugadores, dado lo que va a hacer el otro, es decir no hay ninguna casilla en la que los pagos de ambos jugadores estén subrayados, sin embargo, si consideráramos que los jugadores pueden distribuir sus respectivas elecciones de estrategias conforme una determinada probabilidad, podríamos encontrar equilibrio de Nash en estrategias mixtas. También puede ocurrir que, aunque existan equilibrio de Nash en estrategias puras, encontremos además otros equilibrios de Nash en estrategias mixtas adicionales.
En el ejemplo propuesto, si llamamos p a la probabilidad de que el jugador número 1 utilice la estrategia A, la probabilidad de que emplee la estrategia B, lógicamente sería 1-p. Análogamente, si llamamos q a la probabilidad de que el jugador número 2 use la estrategia X, la probabilidad de que ese mismo jugador emplee la estrategia Y será obviamente 1-q. El pago que obtendrá en este caso cada jugador dependerá tanto de la probabilidad con la que él utilice cada estrategia así como de la probabilidad con la que lo haga el otro jugador; todo ello, lógicamente también en función de los pagos reflejados en la matriz. Así, el jugador número 1 tendrá una función de pagos como la siguiente: PJ1=3pq+1p(1-q)+0(1-p)q+2(1-p)(1-q), es decir 4pq-p+2-2q. Como la variable de decisión del jugador 1 es p, es lo que él elige, despejaremos esta en la función que acabamos de calcular, para ver cuál sería la estrategia óptima del J1 dado lo que haga el J2, es decir en función de q, despejándolo, obtenemos que el pago del J1 sería PJ1 = p(4q-1) + [2 -2q]. Lo representado entre corchetes, este 2-2q, va a obtenerlo el J1 independientemente de cuál sea su elección, puesto que no depende de p. El otro sumando es el que por tanto nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro. Fácilmente, se puede apreciar que si q es 1/4, será el J1 indiferente ante cualquier valor de p, puesto que el valor del paréntesis es cero y entonces eso no influirá en el pago que va a recibir; en otras palabras, si el J2 opta por la estrategia X 1/4 de las veces y por la estrategia Y las otras 3/4 partes, J1 obtendrá el mismo pago utilizando la estrategia A o la estrategia B, o cualquier combinación lineal de ambas. Por otro lado, si q tiene un valor superior a 1/4, el valor del paréntesis será positivo, por lo que si el J1 pretende maximizar su pago, habrá de dar a p el valor más alto posible; es decir, tratándose como ocurre en este caso de una probabilidad, p debe valer 1. Finalmente, si q tiene un valor inferior a un cuarto, el valor del paréntesis será negativo, por lo que si el J1 pretende maximizar su pago, habrá de dar a p un valor muy bajo, negativo a ser posible, pero como estamos tratando de probabilidades eso no puede ocurrir, por tanto p debe valer 0. Podríamos representar, por tanto, en esta figura, esa función de reacción del J1 que nos indica cuál es el valor de p óptimo, en función del valor de q.
Análogamente, la función de pago del J2 será PJ2 igual a 2pq más 4p que multiplica a 1 menos q más 3 que multiplica a 1 menos p por q más 1 menos p por 1 menos q, esto es menos 4 pq más 2 q más 3 p más 1. Como la variable de decisión del J2 es q, despejaremos esta en la función que acabamos de calcular, para ver cuál será la estrategia óptima del jugador número 2 dado lo que haga el jugador número 1, es decir en función de p. Los pagos del jugador número dos serán q que multiplica a 2 menos 4p más un corchete con 3p más 1. Del mismo modo que ocurría con el jugador número 1, lo representado entre corchete va a obtenerlo el jugador número 2, independientemente de cuál sea su elección, pues no depende de q. El otro sumando es el que por tanto nos va a interesar para conocer cuál será su decisión óptima en función de lo que haga el otro jugador. Fácilmente, se puede apreciar que si p es igual a un medio, el valor del paréntesis es 0, por lo que el jugador número 2 será indiferente ante cualquier valor de q, pues esto no influirá en el pago que va a recibir. En otras palabras, si el jugador número uno opta por la estrategia a, la mitad de las veces, y por la estrategia b, la otra mitad, el jugador número 2 obtendrá el mismo pago utilizando la estrategia X o la estrategia Y, o cualquier combinación lineal de ambas. Por otro lado, si p tiene un valor superior a un medio, el valor del paréntesis será negativo, por lo que si el jugador número 2 lo que pretende es maximizar su pago, habrá de dar a q el valor más bajo que pueda, como en el caso anterior, negativo si eso fuera posible, pero como se trata de una probabilidad, q debe valer 0. Finalmente, si p tiene un valor inferior a un medio, el valor del paréntesis será positivo, por lo que si el jugador número 2 pretende maximizar su pago, habrá de dar a q el valor más alto posible, es decir, tratándose como en este caso de una probabilidad, q debe valer 1. Podríamos representar por tanto esta función de reacción del jugador número 2 que nos indica cuál es el q óptimo en función del valor de p.
Aquí lo tenemos. Si representamos en un mismo gráfico las funciones de reacción de cada individuo, que nos indican cuál es la respuesta óptima de cada uno de ellos ante lo que haga el otro, obtendremos, allí donde coincidan, los equilibrio de Nash. En este caso, el único equilibrio de Nash en estrategias mixtas es aquel en el que el jugador número uno utiliza la estrategia A con probabilidad un medio y, por su parte, el jugador número dos emplea la estrategia X con probabilidad un cuarto, y por consiguiente la estrategia Y con probabilidad tres cuartos.