Transcription
[Música] Nosotros hablamos de torsión siempre que necesitamos transmitir rotación, ¿cierto? Entonces, en la figura vemos acá un motor el cual nos genera un torque. Recuerde que el torque es el producto de una fuerza por una distancia y la rotación, y eso se hace en un motor, no a partir de un sistema electromagnético; se genera una rotación. Esa rotación es transmitida generalmente a través de ejes. Entonces, aquí tenemos este ejito por el cual se transmite esa rotación. ¿Hacia dónde? Hacia otro elemento, por ejemplo, acá está simbolizada una turbina. Estoy transmitiendo esa rotación a esta turbina o a esa turbina. ¿Para qué? Generalmente, dentro de las turbinas o la turbina absorbe un fluido, ¿cierto?, y lo arroja a través de un sistema con cierta velocidad. Para poderlo arrojar, pues necesita hacer una fuerza, y la fuerza me la proporciona el torque, ¿cierto? Bueno, directamente me la proporciona el motor. Y entonces aquí nos vamos a concentrar directamente en los elementos que voy a utilizar para transmitir ese torque estrictamente o exactamente en ejes. Esos ejes son los que yo utilizo para transmitir el torque.
Bueno, ahora fíjese que el motor tiene un acople acá, y ese acople se colocará en estos agujeritos, pernos; y acá tiene el otro acople, eje, ¿cierto?, que colocará acá en estos agujeritos los mismos pernos. Esos pernos pues atraviesan los dos acoples, no van de lado a lado. La pregunta es: ¿y será que este perno, este perno que yo coloque acá, rotarán? Que bueno, o al agujero que está acá no tiene que pasar de lado a lado, ¿cierto? Ese perno hace que los dos elementos estén solidarios; sin embargo, ahí hay un torque de acción. Si ustedes lo ven, este es un torque de acción y es un torque de reacción. La suma de los dos, ¿cuánto me tiene que dar? Cero. Si no me diera cero, es porque ¿qué? Porque se rompió, porque un objeto estaba rotando ya con respecto al otro. Entonces, ya se fracturaron los tornillos, se rompió todo el sistema, y por eso la sumatoria de torque sería diferente de cero. Pero mientras esté todo solidario, la suma de los torques internos y externos tiene que darme cero, y esa es la condición de equilibrio en toda parte. Fíjese acá el torque, bueno, perdón, el torque T y aquí el torque T prima; la suma de los dos tiene que dar cero.
Bueno, ahora lo que voy a analizar es ese eje. Entonces, aquí en el siguiente gráfico está mi eje, ¿cierto?, con un torque aplicado en este sentido y un torque aplicado en el otro sentido. La suma de los dos torques me da cero. Puede ser que ese elemento, ojo, y en efecto lo vamos a ver, que ese elemento alcanza a retorcerse, pero vamos a trabajar en la zona elástica; o sea, cuando yo quite los torques, retire los torques, el eje vuelve a su posición inicial. Es decir, si yo coloco una línea, esta línea va a sufrir esta deformación, pero cuando yo retire el torque, mi línea vuelve a su posición inicial; o sea, que estoy trabajando en la zona elástica. Y en la zona elástica, recuerde que se cumple la ley de Hooke, y la ley de Hooke, o sea, todo lo que vamos a trabajar es porque estamos considerando la región de esfuerzos elásticos y la ley de Hooke que nos dice: Entonces, si se acuerdan, la ley de Hooke nos decía que el esfuerzo normal era igual a la deformación unitaria por el módulo de Young o módulo de elasticidad. Pero esto era para esfuerzos normales. Vamos a trabajar la ley de Hooke, pero para esfuerzos cortantes. Entonces, vamos ahorita a ver cómo se formula esta misma ley para esfuerzos cortantes. Bueno, entonces tenemos esa situación. Entonces, hacemos dos torques de igual magnitud, igual dirección, sentido contrario; la suma de los dos torques me va a dar cero. Entonces, T + T prima me tiene que dar cero. Y lo que hacemos es un corte en sección; mírenlo, cortamos esta sección, y aquí abajo está registrado el corte de la sección. Mire, está el torque de la parte izquierda, T prima, ¿cierto? ¿Qué pasó con el torque de la parte derecha? Pues ya no está porque corté la sección, ¿cierto? Pero sí debe haber un torque interno. Entonces, yo aquí debo tener un torque interno T que al sumarlo con T prima me tiene que dar cero. Pero ese torque interno no está mostrado porque está mostrado un sistema equivalente a ese torque. ¿Cómo es el sistema equivalente? Pues recuerden que el torque es fuerza por distancia respecto al eje. Mire que yo aquí tengo un diferencial de fuerza, un diferencial de fuerza, y respecto al eje está cierta distancia que normalmente es ro. Bueno, hagámoslo aquí a un lado más grande, y esta letra r la voy a utilizar para el radio de curvatura, pero aquí lo voy a utilizar; normalmente se utiliza para el radio de curvatura, aquí la voy a utilizar para el radio de donde esté el punto, la distancia del centro y el centro a donde esté el punto de estudio. Esa distancia desde el centro hasta el punto de estudio pues es un radio, y como puede estar en cualquier parte sobre sobre esa sobre ese círculo, entonces sencillamente llamo ro a ese radio. Bueno, y ese radio es una distancia por el diferencial de fuerza me da ¿qué? Fuerza por distancia que nos da torque, ¿cierto? Pero si yo estoy hablando que la distancia por el diferencial de fuerza, pues me dará un diferencial de torque. Ahora, ¿cuántas fuerzas vamos a colocar acá o cuántas fuerzas actúan acá? Pues todas las fuerzas se distribuyen en toda esta sección, ¿no? Y si sumo todo todas las todos los diferenciales de fuerza, ¿cómo es que se suman los diferenciales? ¿A través de qué? ¿Se acuerdan de la integral? Correcto, la integral, ¿no? Sirve para hacer esa suma; o sea, si integro acá, integro acá, ¿qué voy a obtener? Pues que mi torque resultante, que es igual a T prima, es igual a la integral de r, que es el radio, por la suma de todos los diferenciales de fuerza que me van a dar la fuerza total, listo. Bueno, y esta es nuestra primera ecuación que vamos a trabajar, y para qué vamos a trabajar, lo que vamos a hacer es sacar o vamos a hacer en este video la demostración de dónde sale la ecuación de los esfuerzos cortantes que se generan en un eje debido a la torsión. Bueno, para ello, entonces miremos otras cositas, dejemos esa ecuación ahí planteada.
¿Cómo son los esfuerzos en el eje? Pues ya lo estamos diciendo todo el tiempo que son esfuerzos cortantes. Pero ¿por qué se dan los esfuerzos cortantes? Entonces, fíjese: cuando yo tomo un elemento y le aplico torque en este sentido, torque en el sentido opuesto, y supero el límite elástico y sigo retorciendo y retorciendo, ¿qué le irá a pasar a mi elemento? Se rompe, se fractura, se parte. ¿Y cómo se parte? Hay dos maneras como se parte, dependiendo si es un material dúctil; mírenlo, aquí está, se da en esta forma. Si ven la sección transversal donde se donde se se dio el rompimiento, se da perpendicular al eje. Pero si se trata de un material frágil, fíjese, el rompimiento se da formando un ángulo de 45 grados. Ahorita miramos por qué en un material frágil sucede a 45 grados y en un material dúctil sucede a 90 grados. Eso se da debido al aplicar torque y superar el rango elástico, pasar al rango plástico y seguir deformando. Quiere decir que en esta cara, en esta cara, en la cara transversal se me van a generar unos esfuerzos de tipo cortante. Pero adicionalmente, si yo construyo este elemento, vamos a demostrar que hay más esfuerzos cortantes en otra dirección. Ya sabemos que hay esfuerzos cortantes en este plano, listo; hay esfuerzos cortantes en ese plano. Pero adicionalmente, entonces si usted construye esto que es una especie de jaula, ¿cierto?, construida con dos tapas, y supongamos que estas son tablitas que usted las coloca a puntillas aquí a dos tablas laterales circulares, ¿qué pasa cuando usted aplica torsión a este extremo y torsión al otro extremo en sentido opuesto? Pues sencillamente esto se retuerce, ¿cierto? Y si usted toma estas marquitas acá que están registradas, si las ve una vez que aplique el torque, pues se va a ver que esas marquitas sufren este corrimiento. ¿Cómo se corren? Se va a registrar eso. Bueno, es en ese elemento que están separadas las placas. Resulta que en un eje no están separadas la placa; usted sencillamente en un eje aplique el torque y un torque opuesto y el material se retorce, pero usted ni siquiera se da cuenta en un eje macizo. ¿Por qué no se da cuenta? Para que usted se dé cuenta, entonces usted tiene que trazar sobre ese elemento unas marcas circulares, pero adicionalmente haber colocado unas marcas rectas, y después de que aplique el torque, pues esas marcas rectas van a tomar un ángulo, y son estos ángulos que están mostrados acá; es decir, se ve que el elemento se deforma, listo, que las moléculas se des… Y aquí lo que estoy viendo, lo que estamos tratando de analizar es qué otro esfuerzo se produce cuando yo aplico torque. Y entonces sencillamente aquí se ve que esta esta carita con esta carita sufren un corrimiento como si fueran placas que se desplazan. Y entonces al desplazarse yo digo que lo que se genera son cortantes en esta dirección, cargas cortantes en esa dirección, y entonces eso está mostrado acá. Mire, en un eje se generan, cuando se aplica torque, se genera cortante en el plano ¿qué? Transversal al eje, o sea, en esta carita, y cortante también a lo largo del eje, en esta dirección que es el que ustedes ven acá, miren, y aquí está simbolizado arriba el esfuerzo cortante. Entonces, conclusión: cuando a un eje yo le aplico torque, se me genera un estado de esfuerzos que es esfuerzos cortantes. Recuerden que en un eje, cuando yo aplico cargas hacia los lados, se me generan esfuerzos normales de tensión o compresión según la dirección de la carga, y ahora aprendemos que en un eje, cuando le aplico torque en sus extremos, se me generan esfuerzos cortantes en dirección transversal y en dirección longitudinal, listo. Y ahora ¿cómo calculamos esos esfuerzos cortantes?
Bueno, para hacer la deducción de los esfuerzos cortantes, entonces vamos a tomar esta figura. Esa figura es un eje, listo, y este eje está soldado acá en este extremo; yo apliqué soldadura. Sin embargo, aquí voy a aplicar un torque. Nosotros sabemos ya la acción, la reacción que se genera, pero al estar esto soldado acá, esto no se va a poder mover; las moléculas de ahí no se van a poder m… mod, ¿cierto? Bueno, pero si yo marco un punto acá, A, una vez que aplique el torque, ese punto A se me va a desplazar hasta acá, hasta esta posición A prima. Obviamente no va a ser todo eso; se necesitaría que fuera o bien grande el torque o que el elemento fuera muy elástico para que permitiera todo eso. Estamos aquí exagerando el cuento. Es que este punto A se nos desplaza este arco, y entonces lo que voy a ver es que el extremo del eje, si ven que si yo marco el radio del eje, ese radio rota cierta cantidad de ángulo. Este ángulo que está mostrado aquí en la figura, y ese ángulo de rotación del extremo del extremo libre se llama φ, φ, ángulo de rotación del extremo libre. Obviamente el radio lo voy a llamar r, el radio del eje, y este eje debe tener cierta longitud, ¿cierto? Y una vez que aplique el torque, esa línea longitudinal que tracé, pues se me desplaza cierta cantidad, ángulo acá que lo voy a llamar γ, listo. Bueno, y ahora vamos a ver la relación entre esas cosas. Entonces recordemos algo básico de geometría: si usted tiene un arco, un ángulo, ¿cierto?, ángulo θ, y con él traza un arco acá que encierra el ángulo, la longitud de este arco, recuerde que la longitud de este arco es que usted coloca el metro o alguna cosa acá para medir este arco. Entonces, lo puedo hacer con el metro, pero también lo puede calcular. Resulta que el valor de ese arco s es igual al radio por el ángulo. Solo que el ángulo debe estar en radianes, no puede estar en grados, y entonces ahí obtengo la medida de s. ¿Cómo aplico que el arco es igual al radio por el ángulo acá a lo que yo tengo construido? Entonces, fíjese que yo tengo dos caritas o vamos a tomar dos dos posiciones; vamos a tomar la transversal, y en la transversal yo tengo un ángulo, ¿cierto?, que es este, que es φ, y hay que puedo decir que el arco es quién? A A prima, ¿cierto? Y la longitud de ese arco o la medida de ese arco AA prima sería igual a quién? Al radio por el ángulo que sería φ. Pero eso sí lo veo desde esa carita, pero si lo veo desde la cara lateral, fíjese, aquí también yo tengo un ángulo, mírenlo. Ahora tengo un arco, propiamente no es el mismo arco, ¿cierto? No sería el mismo arco; sin embargo, si A tiende a A prima, o sea, se acerca mucho a A prima, si la distancia entre A y A prima tienden a cero, o sea, si esos dos puntitos están muy pequeñitos, pues casi que esa esa distancia A prima va a ser la misma la misma longitud que acabé de medir arriba. Entonces, la medida desde A prima viéndola por el costado lateral también la podré calcular como el radio que en este caso es l, ¿cierto? El radio y el ángulo que es γ, y como estoy diciendo que cuando eso tiende a cero son iguales estas dos medidas, entonces yo puedo hacer esta igualación; yo puedo hacer la igualación de que l por γ, de que la longitud por γ es igual es igual a r por φ. Para un ángulo muy pequeño puedo decir que eso es cierto, y acá yo puedo calcular γ. Y entonces γ es igual a qué? A rφ sobre l. Bueno, ¿y qué es γ? Entonces, fíjese que γ es una deformación, y la voy a llamar la deformación unitaria por cortante, deformación unitaria por cortante, listo, deformación unitaria por cortante [Música] γ. Bueno, pero este γ, fijémonos en la en la figura de abajo, es el mismo eje de la figura de arriba. Sí, claro, es el mismo eje, pero ya no tomamos toda la sección sino que nos fuimos hacia más adentro; o sea, variamos ¿qué? El radio. ¿Será que este γ cambia o no cambia? Pues aquí en la ecuación le dice que sí; mire que γ depende de quién? De el radio, del ángulo y de la longitud. Resulta que en el exterior, aquí en la parte exterior, ¿qué pasa con este radio? Pues sería el más grande de todos los radios, y al más grande de todos los radios ya no lo voy a llamar ro, lo voy a llamar c, y c es el radio exterior, y entonces voy a decir, ojo, vamos a decir lo siguiente: que γ máximo o la deformación máxima es igual a c * φ sobre l, listo. ¿Por qué? Porque estoy tomando el radio más grande, y el radio más grande es el radio exterior; entonces voy a tener la deformación máxima. Bueno, pero ahora voy a hacer lo siguiente: voy a despejar aquí φ sobre l. Entonces, si voy a despejar φ sobre l, ¿qué hago con ese r? R pasaría ¿qué? Al otro lado de la igualdad, pasaría a dividir, ¿cierto?, y me quedaría γ sobre r = a φ sobre l, y voy a hacer lo mismo acá; voy a despejar φ sobre l; o sea, que esa c pasa a ¿qué? Dividir acá, y ahora fíjese que en este lado tengo φ sobre l y aquí también tengo φ sobre l. Y entonces lo que voy a hacer es una igualación; entonces, ¿qué decimos? Que φ sobre l = φ sobre l. Pero ¿cuánto vale el φ sobre l de arriba? γ sobre r, y ¿cuánto vale el φ sobre l de abajo? γ máximo o la deformación máxima sobre c, y miren lo siguiente: yo puedo decir que la deformación es igual a r sobre c por la deformación máxima, y esta ecuación como que… ¿eso como? ¿Para qué nos sirve? Si yo conozco este valor de formación máxima para un cilindro en el exterior, yo puedo calcular el de cualquier cilindro en el interior, a cualquier distancia del centro. Recuerde que la distancia desde el centro hasta el punto que esté trabajando es r. Además, si usted lo ve matemáticamente, ¿quién es más grande, ro o c? C. Por lo tanto, cuando usted obtenga esa división, ¿qué obtiene? Un número entre 0 y 1; por ejemplo, 0.5. Y si yo multiplico la máxima por 0.5, ¿qué es lo que estoy haciendo? Reduciendo, ¿cierto? Claro, es que las demás van a tener un valor menor que la máxima, ¿y cuánto? Pues una proporción dependiendo de… listo. Entonces, eso fue lo que dice en esa ecuación. Bueno, recordemos que aquí teníamos esta ecuación, ¿qué era esta ecuación? La de encima, esta, la bien arriba, esta, la de Hooke, la ley de Hooke para ¿qué? Esfuerzo normal, que también la ley de Hooke para esfuerzo cortante, y la ley de Hooke para esfuerzo cortante me dice que el cortante, que el esfuerzo cortante es igual a la deformación unitaria por G, donde G es el módulo de rigidez al cortante que usted lo consigue en tablas para cada material. Las tablas le dan un módulo de rigidez al cortante. Y entonces es la ley de Hooke para esfuerzo cortante, listo: deformación unitaria por módulo de rigidez al cortante. Y entonces, miren lo que voy a hacer aquí en esta ecuación, en esta ecuación que acabé de encontrar, voy a multiplicar a ambos lados de la igualdad, porque es una igualdad, ¿cierto?, a ambos lados la voy a multiplicar por el módulo de rigidez G, módulo de rigidez G, ¿y qué obtengo? Obtengo esta ecuación más grandota, pero fíjese, ¿qué pasa cuando yo multiplico el módulo de rigidez por la deformación unitaria? ¿Qué obtengo? El el esfuerzo cortante. Sí, arriba lo teníamos en la ecuación, mire: esfuerzo cortante, esfuerzo cortante es igual a la deformación por el módulo de rigidez; entonces, aplico módulo de rigidez por deformación, pues es el esfuerzo cortante igual a qué? Al radio sobre c por ¿qué? Me da el módulo de rigidez por la deformación cortante máxima, el esfuerzo cortante máximo, y entonces yo hablo de que sobre este elemento voy a encontrar unos esfuerzos, ¿cierto?, cortantes que los puedo calcular como el máximo por una constante acá que me resulte esa división. Bueno, pero ¿para qué sacamos eso? Entonces recuerden que para… vamos a deducir la ecuación de el esfuerzo cortante en un eje. Y entonces ahora lo que hacemos es sencillamente devolvernos acá a esta integral que habíamos dejado planteada. Entonces, decíamos que el torque es integral, es igual a la integral de r por dF, donde F es un diferencial de fuerza. Pero recuerde que la fuerza está relacionada con el esfuerzo, ¿cómo? Pues el esfuerzo, ¿se acuerdan? El esfuerzo es ¿qué? La fuerza sobre el área; luego, la fuerza es igual a ¿qué? Al área por el esfuerzo. Y entonces, como la fuerza es el esfuerzo por el área, entonces lo que yo voy a hacer acá es, donde está la fuerza, voy a colocar que es igual a… Entonces, el ro lo dejo quietico, al esfuerzo por el área, pero el área es un diferencial de área, y es el diferencial de área que está marcado, a ver, ¿dónde tenemos ese diferencial de área? Acá, miren, en la figura acá, si ven que acá, donde está aplicadas las fuerzas, hay una porita de área pequeñita que se alcanza a visualizar; esos son los dA. Cuando sumo todos esos dA a través de la integral, pues me da el área total, ¿cierto? Bueno, y voy a trabajar ahora con esta ecuación: torque es igual a la integral de ro por el esfuerzo cortante por el diferencial de área. Bueno, hemos escrito aquí torque igual a la integral de r por esfuerzo cortante por el dA, pero yo voy a reemplazar el esfuerzo cortante por el valor que acabé de encontrar. Entonces, yo digo que torque es igual a la integral de r por ¿quién es el esfuerzo cortante? Arriba está en negro, ¿cierto? Es igual a qué? A r sobre c por el cortante máximo, ¿cierto? Y eso es este cortante equivale a eso, ¿cierto?, y por el dA, correcto. Y ahora fíjese lo que es constante, como es una integral, bueno, y en este caso indefinida, lo que es constante lo saco de la integral. ¿Qué sería constante ahí? Ro no es constante; lo constante es el cortante máximo, porque es el valor máximo que ya encontré, ya está definido, es el más alto y punto; el c, porque es el radio exterior, es el valor más grande de los radios; y en cambio lo que no es constante es el r, porque es cualquier radio que vaya desde el centro hasta un punto donde yo esté trabajando; por ejemplo, vean, ¿cuánto ro puedo trabajar? Si este es el centro, de ahí para adelante, ¿cuántos r puedo construir? Uno, dos, para cada punto en la línea puedo construir un r. Entonces, ese r es variable, y por el diferencial de área. Resulta que esta integral se conoce como la integral del momento polar de la sección transversal, que en este caso, ¿cuál es la sección transversal? De un círculo respecto a su eje, respecto a su centro, listo. Esa es la integral del momento polar, y ese momento polar se simboliza con la J, y matemáticamente, por ejemplo, ya está calculada el momento polar del círculo; el momento polar de un círculo es igual a π medios por radio a la 4, si se trata de un eje sólido; si se trata de un eje hueco, entonces será π medios radio exterior a la 4 menos radio interior a la 4. Que esa ecuación la vamos a estar utilizando; estas dos las vamos a utilizar todo el tiempo; o sea, no vamos a tener que calcular esa integral, sino como es un eje y como ya es circular la sección, entonces el el círculo ahí está el momento polar de los círculos. Bueno, y fíjese, entonces ¿cómo voy a escribir el torque? Voy a escribir que torque es igual a cortante máximo por J, que ya sabemos que es J sobre c. Bueno, e íbamos casi para esta ecuación, o íbamos para esta ecuación, pero esta ecuación no la voy a trabajar así; básicamente la voy a encontrar todo el tiempo de la siguiente manera: voy a encontrar, ojo, de aquí despejo el cortante, que el esfuerzo cortante máximo que se me da en un eje lo voy a calcular como qué? Fíjese: si aquí despejo esfuerzo cortante máximo, me queda igual a qué? Al torque por el radio exterior sobre el momento polar, listo. Y esta es la ecuación que buscamos. ¿Dónde ocurre ahora? Ojo, ¿dónde ocurre el máximo cortante? En el exterior del eje, en el exterior del eje, aquí en su superficie exterior; cualquier punto en el exterior está sometido al cortante máximo debido a qué? Debido al torque que yo aplique. Debido al torque que yo aplique, genero esfuerzo, esfuerzo cortante, y el más alto de los esfuerzos cortantes está en la parte exterior de mi eje. Bueno, y eso está reflejado en estas dos gráficas, fíjese. Pero además hay algo especial en estas gráficas; miren que aquí dice cortante máximo, pero además fíjese que ese cortante varía hacia dentro, ¿y cómo varía? Crece o decrece, decrece, y decrece linealmente, fíjese, linealmente. Ahora, viendo esa gráfica, si quisiera calcular todo el cortante, pues sumaba toda esa o tomaba todo el área de esa región, pero fíjese, ¿por qué para transmitir torsión se utilizan ejes huecos? Fíjese, esta porción, fíjese esta distancia, la voy a colocar acá, mire, esta distancia que tomo acá, esta distancia de acá acá, ¿qué pasa si la tomo más afuera? Que hay más ¿qué? Más área acá para la misma distancia. ¿Qué pasa con el área? La cantidad de área crece muchísimo más, y no el doble, triple, cuatro veces. Luego, si yo elimino de acá esta porción de área, pues esto que está sujeto a cortante, pues no me está contribuyendo en gran manera. En cambio, si yo adiciono, en cambio de esta cantidad de área, adiciono un área aquí por fuera, hago crecer la parte exterior, pero quito la parte interior, entonces voy a ser capaz de tener ¿qué? Mayor transmisión de torque y que supla la misma cantidad de cortante, y por eso usted, por ejemplo, en un camión, el eje… el cargan del camión, el eje que va del del… bueno, el motor hacia hacia la transmisión, y usted lo destapa, y ese eje, ese eje es simplemente un tubo, un tubo muy grueso de pared muy delgada, y transmite, imagínense, toda la fuerza del motor, todas las toneladas, las transmite, y es un tubo, pues porque sencillamente son los mejores transmisores de torque, o estoy optimizando ahí la transmisión de torque. Bueno, y esto es lo que tiene que ver con los conceptos de torsión. Bueno, y en los problemas, las dos ecuaciones que vamos a manejar de aquí en adelante son esta para calcular los momentos polares que ya… ya si se trata de un eje sólido utilizo la de arriba; si se trata de un eje hueco, utilizo la de abajo. Recuerden que este radio exterior y este radio interior, la i, interior a la 4, ¿no? Y esta, que es la de calcular el valor del esfuerzo cortante a partir del torque, del radio exterior y del momento polar, y con eso vamos a trabajar todos los ejercicios.