Das Paradox der Ableitung | Essenz der Analysis, Kapitel 2

[Musik] heute will ich einfach erklären was eine ableitung ist. das ist dabei ein bisschen heikel, weil ableitung auch irgendwie paradox sind, wenn man nicht aufpasst. also ist mein zweites ziel, dass du eine art von respekt vor diesen paradoxer bekommst und auch ein gefühl dafür, wie man sie vermeidet.

wie du weißt, heißt es meistens, dass die ableitung die momentane änderungsraten ist. aber wenn du darüber nachdenkst, ist diese aussage eigentlich in sich widersprüchlich. veränderung ist etwas, das zwischen zwei zeitpunkten passiert, und wenn du dich auf einen einzigen augenblick beschränkt, gibt es keinen platz mehr für veränderung. du wirst gleich sehen, was ich meine.

wenn du dir klar machst, dass ein ausdruck wie "momentane änderungsraten" eigentlich unsinn ist, wirst du einen eindruck dafür bekommen, wie gewitzt diese idee formuliert wurde, damit daraus ein sehr sinnvolles stück mathematik entsteht.

die ableitung. stell dir als zentrales beispiel ein auto vor, das an einem punkt a losfährt, beschleunigt und dann an einem punkt b, der 100 meter entfernt ist, wieder stehen bleibt. alles im laufe von zehn sekunden. dies ist die szene, die du im hinterkopf behalten solltest, während ich genau erkläre, was eine ableitung ist.

wir können diese bewegung grafisch darstellen, indem die y-achse die zurückgelegte entfernung angibt und die x-achse die zeit. zu jedem zeitpunkt t auf der x-achse können wir anhand der höhe des grafen ablesen, wie weit das auto gefahren ist. es ist üblich, eine solche abstands funktion mit s(t) zu benennen. im deutschen passt das für s wie strecke. anfangs ist diese kurve ziemlich flach, da das auto am anfang langsam ist. in der ersten sekunde ändert sich die zurückgelegte strecke des autos kaum. für die nächsten sekunden, wenn das auto beschleunigt wird, die zurückgelegte strecke pro sekunde immer größer. dementsprechend wird der graf der funktion steiler. wenn das auto abbremst, flach die kurve wieder ab.

wenn wir die geschwindigkeit des autos in meter pro sekunde als funktion der zeit darstellen, sieht sie aus wie dieser hügel. zum zeitpunkt gleich null ist die geschwindigkeit 0. bis zur mitte der fahrt beschleunigt das auto auf eine maximale geschwindigkeit und legt zu diesem punkt eine ziemlich große entfernung pro sekunde zurück. dann bremst es wieder auf eine geschwindigkeit von 0 metern pro sekunde ab. diese beiden kurven stehen in enger beziehung zueinander. wenn du die strecke pro zeit funktion s(t) änderst, änderst du auch die geschwindigkeits pro zeit funktion.

wir wollen die details dieser beziehung verstehen. wie genau hängt die geschwindigkeit von dieser strecke pro zeit funktion ab? es lohnt sich, einen moment darüber nachzudenken, was hier die geschwindigkeit eigentlich bedeutet. intuitiv wissen wir alle, was eine geschwindigkeit zu einem bestimmten zeitpunkt heißt. sie ist das, was der tacho des autos im moment anzeigt. und intuitiv ist es sinnvoll, dass die geschwindigkeit größer ist, wenn die entfernung funktion steiler ist, wenn das auto also mehr strecke pro zeiteinheit überwindet.

aber das lustige ist, dass eine geschwindigkeit zu einem einzigen zeitpunkt sinnlos ist. wenn ich dir ein foto von einem auto zeigen, einen schnappschuss in einem augenblick, und ich frage, wie schnell es ist, hast du keine möglichkeit, es mir zu sagen. was du brauchst, sind zwei zeitpunkte zum vergleich. nur so kannst du die abstands änderung durch das zeitintervall teilen, stimmt's? die geschwindigkeit ist also die in einem bestimmten zeitraum zurückgelegte strecke.

wie kann es also sein, dass wir eine funktion für die geschwindigkeit betrachten, die auf nur einem wert für t beruht? eine einzelne momentaufnahme der zeit? das ist etwas komisch, oder? wir wollen jeden einzelnen zeitpunkt mit einer geschwindigkeit versehen, aber zur berechnung brauchen wir zwei zeitpunkte. wenn sich das komisch und paradox anfühlt, ist das genau richtig. du kämpfst mit dem gleichen inneren konflikt, den die gründerinnen und gründer der analysis hatten. und wenn du eine änderung rate wirklich verstehen willst, nicht nur beim fahrenden auto, sondern für alle möglichen szenarien in der wissenschaft, benötigst du eine lösung für dieses scheinbare paradox.

lasst uns zuerst die reale welt betrachten und dann gehen wir auf das rein mathematische ein. denkt darüber nach, was der tacho eines autos wirklich misst. irgendwann sagen wir, nach drei sekunden, könnte der tacho messen, wie weit das auto in sehr kurzer zeit fährt. zum beispiel, welche strecke ist zwischen drei sekunden und 3,01 sekunden zurückgelegt. dann wird es die geschwindigkeit in metern pro sekunde berechnen, also wenige meter geteilt durch diese kleine zeit 0,01 sekunden. das heißt, ein physisches auto kann das paradox umgehen, indem es nicht wirklich die geschwindigkeit an einem einzigen zeitpunkt berechnet, sondern die geschwindigkeit während einer sehr kurzen zeitspanne.

nennen wir diesen zeitunterschied dt, was du dir als 0,01 sekunden vorstellen kannst, und den unterschied in der entfernung ds. die geschwindigkeit zu diesem zeitpunkt ist also ds geteilt durch dt. der winzige abstands unterschied geteilt durch die winzige änderung der zeit. stelle es dir grafisch vor, wie du an dem zeitpunkt gleich drei run zoomst. das dt ist ein kleiner schritt nach rechts auf der x-achse, und das ds ist die resultierende änderung der höhe in der grafik, da die y-achse die zurückgelegte strecke darstellt. also ist ds durch dt die steigung zwischen zwei sehr nahen punkten des grafen. natürlich ist am werte gleich drei nichts besonderes. wir können dies auf jeden anderen zeitpunkt anwenden. also betrachten wir diesen ausdruck ds durch dt als eine funktion von t. ich gebe dir irgendeine zeit t, und du kannst mir daraus den wert dieses verhältnisses berechnen, die geschwindigkeit als eine funktion der zeit.

zum beispiel, als ich den computer diesen hügel zeichnen ließ, der die geschwindigkeit funktion gibt, habe ich ihn folgendes machen lassen. zuerst habe ich ein klein wert für dt gewählt, zum beispiel 0,01. dann habe ich den computer für viele zeit punkte zwischen null und zehn den wert von s(t) - dem wert von s(t - dt) berechnen lassen, also den unterschied in der zurückgelegten entfernung zwischen der gegebenen zeit t und 0,01 sekunden danach. dann hat der pc durch das zeitintervall dt dividiert. das ergibt die geschwindigkeit im meter pro sekunde an jedem zeitpunkt. mit dieser formel kannst du den computer jede kurve eingeben, die dir die entfernung s(t) darstellt, und dieser kann dir jede kurve ausgeben, die die geschwindigkeit v(t) darstellt.

so, und jetzt ist ein guter zeitpunkt für eine pause zum grübeln. erscheint dir die idee, die geschwindigkeit auf eine winzige änderung in der entfernung zu beziehen, sinnvoll? dann können wir das paradox der ableitung jetzt direkt angehen. diese idee, dass ds durch dt, eine winzige veränderung des wertes der funktion s geteilt durch eine winzige änderung der zeit t, beschreibt ziemlich genau die ableitung.

auch wenn der tacho des autos eine tatsächliche änderung der zeit um z.b. 0,01 sekunden betrachtet, um die geschwindigkeit zu berechnen, und obwohl mein programm zum finden einer geschwindigkeits funktion einen konkreten wert von dt verwendet, ist in der reinen mathematik die ableitung nicht dieses verhältnis ds durch dt für eine bestimmte wahl von dt. die ableitung ist der wert, dem sich dieses verhältnis nähert, wenn dt gegen null geht.

visuell gesehen hat das eine wirklich schöne bedeutung. für jede spezifische wahl von dt ist dieses verhältnis ds durch dt die steigung einer linie, die durch zwei punkte auf dem grafen geht, richtig? naja, während dt sich 0 nähert und diese zwei punkte sich aneinander annähern, nähert sich auch die steigung dieser linie der steigung einer tangente an dem grafen an dem punkt an, an dem wir gerade betrachten. also die wahre, ehrliche ableitung ist nicht die steigung zwischen zwei nahegelegenen punkten des grafen, sie ist die steigung einer tangente an den grafen bei einem bestimmten punkt.

achte genau auf den wortlaut. ich sage nicht, dass die ableitung das ist, was passiert, wenn dt unendlich klein wird, und auch nicht, dass du 0 für dt setzen solltest. dieses dt ist immer ein endlich kleiner wert, ungleich 0. er nähert sich nun lediglich an. obwohl die veränderung in einem augenblick keinen sinn ergibt, ist die idee der sich 0 nähern zu lassen eine wirklich clevere hintertür, um vernünftig über die änderungsraten zu einem einzigen zeitpunkt zu reden. ist das nicht schlau? es ist, als flirte man mit dem paradox der veränderung in einem augenblick, ohne es jemals zu berühren. und man kann das paradox so wunderbar sichtbar machen, nämlich als die steigung einer tangente an einem einzigen punkt des grafen.

da die veränderung in einem augenblick aber trotzdem noch keinen sinn ergibt, denke ich, es wäre für dich am besten, die die steigung nicht als momentane änderungsraten, sondern als beste konstante annäherung für die änderungsraten an einem punkt vorzustellen.

es lohnt sich noch ein paar worte zu den bezeichnungen zu sagen. in diesem video habe ich dt benutzt, um mich auf eine winzige änderung von t zu beziehen, mit einer tatsächlichen größe, und ds, um mich auf die resultierende winzige änderung von s zu beziehen, die auch einen spezifischen wert hat. und zwar, weil ich möchte, dass du die variablen auf diese weise betrachtest. aber die konvention in der analysis ist, dass man immer, wenn man den buchstaben d benutzt, die absicht hat, dt schließlich 0 annähern zu lassen. zum beispiel wird die ableitung der funktion s von t als ds durch dt geschrieben, obwohl die ableitung eigentlich kein bruch ist, aber dieser bruch sich für kleinere und kleinere stücke, die etwas an wert einbringen.

ein konkretes beispiel soll hier helfen. man könnte meinen, dass die frage danach, woran sich dieses verhältnis für immer kleinere werte von dt annähert, die berechnung kompliziert macht, aber seltsamerweise wird sie dadurch einfacher. sagen wir, eine gegebene strecke pro zeit funktion sei genau t hoch drei. also nach einer sekunde hat das auto 1 hoch drei gleich 1 meter zurückgelegt, nach zwei sekunden 2 hoch drei gleich 8 meter und so weiter. was ich vorhabe, sieht vielleicht kompliziert aus, aber sobald sich der staub legt, ist es wirklich einfacher. und diese art von aufgaben wirst du später in der analysis lösen.

nehmen wir an, wir möchten die geschwindigkeit ds durch dt zu einer bestimmten zeit berechnen, z.b. bei t gleich zwei. zuerst mal so, als hätte dt einen tatsächlichen wert. wir werden diesen dann gleich gegen null gehen lassen. dieser kleine unterschied der zurückgelegten strecke zwischen zwei sekunden und zwei plus dt sekunden ist ausgeschrieben s(2 + dt) - s(2). das alles wird durch dt geteilt. weil die funktion t hoch drei ist, ergibt das (2 + dt) hoch drei - 2 hoch drei. das können wir jetzt algebraisch auflösen. folge meinen gedankengang, denn es gibt einen grund, warum ich dir diese details zeige.

wenn man den zähler erweitert, erhält man 2 hoch 3 + 3 x 2 quadrat mal dt + 3 x 2 mal dt quadrat + dt hoch 3 - 2 hoch 3. du siehst hier viele einzelne ausdrücke. das sieht zwar ziemlich durcheinander aus, aber das vereinfacht die sache wirklich. die beiden 2 hoch 3 therme kürzen sich weg. alles, was stehen bleibt, hat ein dt. wenn wir also durch dt teilen, ergibt der ds durch dt 3 x 2 hoch zwei + zwei ausdrücke, in denen jeweils ein dt steht. wenn sich dt gegen 0 annähert, repräsentiert es immer kleinere veränderungen. und mit der zeit können wir diese einfach ignorieren. indem wir dafür gesorgt haben, dass kein konkretes dt nötig ist, sind wir fast alle komplizierten ausdrücke in dieser form losgeworden. was übrig bleibt, ist ein schönes, sauberes 3 x 2 quadrat.

dies bedeutet, die steigung einer tangente im punkt t gleich zwei auf dem grafen von t hoch drei ist genau dreimal zwei quadrat, oder 12. natürlich ist t gleich zwei nichts besonderes. allgemein würde man sagen, die ableitung von t hoch drei als eine funktion von t ist 3t quadrat. das ist wirklich schön. diese ableitung ist eine verrückte und komplizierte idee. wir haben eine winzige änderung in der entfernung durch eine winzige veränderung der zeit geteilt, aber anstatt auf konkrete kleine änderungen zu schauen, reden wir jetzt darüber, welche wert sich dieser quotient nähert. das ist doch eine menge stoff zum nachdenken, aber trotzdem bekommen wir am ende so einen einfachen ausdruck, 3t quadrat.

in der praxis wird man nicht jedes mal all diese schritte gehen. dass die ableitung von t hoch 3 3t quadrat ist, ist eins von diesen dingen, die schülerinnen und schüler auswendig lernen, ohne jedes mal das ganze neu herzuleiten. im nächsten video zeige ich dir dann, wie man darüber und über viele andere ableitungs formen nachdenken kann, mit anschaulichen geometrischen darstellungen.

ich möchte mit derselben tiefe folgendes zeigen: wenn man die veränderung der entfernung in einem bestimmten zeitintervall dt betrachtet, hat man ein ganzes wirrwarr an eine breite schleppe. aber wenn man sich überlegt, an welchen wert sich dieses verhältnis annähert, wenn dt 0 näher und näher kommt, kann man viel von diesem durcheinander ignorieren und vereinfacht tatsächlich das problem. aus diesem grund ist die analysis so nützlich, und ich wollte dir diese konkrete ableitung auch aus dem folgenden grund zeigen: sie ist ein gutes beispiel für die art von paradox, die man erhält, wenn man an die illusion einer momentanen änderungsraten glaubt.

denkt an dieses auto, das entsprechend der funktion t hoch 3 fährt, und betrachtet seine bewegung zum zeitpunkt gleich null. jetzt frage ich dich, ob sich das auto zu diesem zeitpunkt bewegt oder nicht. auf der einen seite können wir seine geschwindigkeit an diesem punkt mit der ableitung der funktion 3t quadrat berechnen, die zum zeitpunkt gleich 0 0 ist. grafisch bedeutet dies, die tangente an der kurve in diesem punkt ist vollkommen flach, also ist die momentane geschwindigkeit des autos 0, was darauf hindeutet, dass es sich nicht bewegt. aber wenn es bei null nicht anfängt, sich zu bewegen, wann fängt es dann an? überlege also mal für einen moment: bewegt sich das auto bei t gleich null? erkennst du das paradox?

das problem ist, dass die frage keinen sinn ergibt. sie bezieht sich auf die idee der veränderungen in einem moment, und die gibt es ja nicht. das ist einfach nicht das, was die ableitung misst. wenn die ableitung der funktion an einem punkt null ist, bedeutet das folgendes: die beste konstante annäherung für die geschwindigkeit des autos um diesen punkt herum ist 0 meter pro sekunde. das auto bewegt sich zum beispiel zwischen t gleich null und t gleich 0,1 sekunden, und zwar 0,001 meter. die strecke ist sehr kurz, und es ist wichtig, dass sie verglichen mit der zeit änderung sehr klein ist. es ist eine durchschnittliche geschwindigkeit von nur 0,01 metern pro sekunde.

wenn die ableitung dieser bewegung 0 ist, bedeutet das, für immer kleinere zeitintervalle nähert sich dieses verhältnis der veränderung der entfernung geteilt durch die änderung der zeit null an. aber das heißt nicht, dass das auto sich nicht bewegt. eine geschwindigkeit 0 anzunähern ist immer noch nur eine annäherung. also, wenn du jemals jemanden hörst, der von einer ableitung als eine "momentane änderungsraten" spricht, ist das eine phrase, die in sich widersprüchlich ist. betrachte dies einfach als eine konzeptuelle vereinfachung für die beste konstante annäherung für die änderungsraten in den folgenden videos werde ich mehr über die ableitung sprechen, wie sie in verschiedenen kontexten aussieht, wie man sie eigentlich berechnet und wofür sie nützlich ist, und wie immer mit dem fokus auf einer intuitiven darstellung. vielen dank und bis zum nächsten mal.

[Musik]