2. Działania na liczbach naturalnych - Powtórzenie przed egzaminem ósmoklasisty

z o.o. Cześć!

[Muzyka]

Cześć, witam w serwisie powtórkami przed egzaminem ósmoklasisty. Każdy z odcinków dotyczy działu przedstawionego w wymaganiach do egzaminów. Dziś zajmiemy się działaniami na liczbach naturalnych. Każde zagadnienie krótko wytłumaczę, a po zakończeniu działu podam wam numery zadań z poprzednich egzaminów, które wykorzystują już zdobytą wiedzę. Zaczynajmy!

Przejdźmy sobie od razu do naszej mapy myśli. Dzisiaj działania na liczbach naturalnych. Moment, zaczynamy od tego, że każdy musi dodawać, odejmować liczby naturalne i jedno- i wielocyfrowe w pamięci i pisemnie. Tak naprawdę nikt nie sprawdzi, czy robicie to w pamięci i pisemnie. Bardziej ważne jest to, żeby na pewno zawsze potrafić obliczyć pisemnie dane działanie. Ale wiadomo, do obliczania pisemnego jest też potrzebne dodawanie w pamięci, przynajmniej tych liczb jednocyfrowych. To nie będę robić jakieś większej powtórki, powiedzmy, tylko dodawania i odejmowania.

Następne: mnoży i dzieli pisemnie liczbę naturalną przez liczbę naturalną jedno- lub dwucyfrową. Czyli nie będzie żadnego mnożenia, przykład, trzycyfrowej i trzycyfrowej liczby. Tylko zawsze może być jakaś większa liczba, ale mnożymy tylko przez jedną- lub dwucyfrową liczbę. Tak.

Wykonuje dzielenie z resztą liczb naturalnych. Co to było to dzielenie z resztą? Przypomnijmy sobie. Co sobie podzielić, powiedzmy, liczbę 543, chcę podzielić na cztery. To wykonam to od razu pisemnie. Czyli co? 5 podzielić na cztery, mieści się jedna czwórka. Podejmujemy, zostali jeden. Czwórka idzie z góry, mamy 14. Ile czwórek mieści się w 14? No, 3 razy 4 to 12. Więcej nam się nie zmieści, czyli to będzie 3. Czyli mamy tak jak mówiłam wcześniej, 12. Odejmemy. 14 odjąć 12 to jest 2. Trójka z góry, 23. Ile się zmieścić w cztery? 23. 5 razy 4 to jest 20. To kolejna czwórka, to żeby było 24, czyli za dużo. A czyli 5 razy. Nie mamy 20. Odejmemy. E3. Może ktoś pamięta, jak dzielimy i chcemy mieć liczby z przecinkiem, czyli interesuje nas dokładne dzielenie? No, tutaj już potem idzie zero i lecimy z tym dalej, aż nam się albo zacznie powtarzać, albo skończy nam się dzielenie. Ale my chcemy teraz jeździć z resztą, więc nie dajemy żadnego zera w dół, tylko to, co nam tutaj zostanie, to jest to nasza reszta.

A czy 543 podzielić na cztery, to tak naprawdę jest to, co nam wyszło, to czyli 135. No i reszty 3. Co to znaczy? To znaczy, że jeżeli 135 pomnożę razy 4 i do tego dodam 3, to wtedy dostanę właśnie to 543. Czyli ta trójka to jest to nasza reszta. Jak to zrobić nie pisemnie? Można by to zrobić na przykład na takiej zasadzie. Twój to, że rozdzielamy sobie to i to. Chcę podzielić na cztery. No i można by to rozdzielić. Jeżeli nie wiemy, jaka jest reszta, to po prostu rozdzielamy to na kawałki. Nie jest to aż tak łatwe. Jest zdecydowanie łatwiejsze w mniejszych firmach, więc może nie będę pokazywać tego na tym, tylko na przykład liczba 25 podzielić na cztery. A no to wiem z tabliczki mnożenia, że 6 razy 4 to jest 24. Czyli to 25 mogę sobie rozdzielić na 24 plus 1. To jest ta liczba, która wiem, że mi się dzieli przez 4. No i to będzie ta nasza reszta. To, co jest plusie, to dzielę na 4. No i mogę napisać 24 podzielić na cztery to jest 6. No i zostaje ta reszta jeden. Co jest ważne? Reszta zawsze musi być mniejsza niż dzielnik. Czyli, jeżeli dzielę przez 4, to nie mogę dostać reszty 5. No bo w piątce mieści się jeszcze jedna czwórka, czyli ten wynik dzielenia powinien być większy. Tak naprawdę. Okej, czyli zawsze te reszta tutaj, to co nam wyszło, i to zawsze musi być mniejsze niż dzielnik. Okej. Wrócimy. Czyli jeszcze raz, albo możemy to rozdzielać, jeżeli jesteśmy w stanie to zrobić bez problemu. No bo najłatwiejszy sposób to jest dzielenie pisemne i wtedy to, co nam zostanie na dole, to jest ona areszt.

A z następne zagadnienie: stosuję wygodne dla siebie sposoby ułatwiające obliczenia. Znowu, to nie jest coś, co ktoś może nam sprawdzić, czy stosujemy te wygodne sposoby ułatwiające obliczenia, czy nie. Bardziej pomaga to po prostu przy szybszym robieniu zadań. Czyli nie siedzimy nad danym działaniem i długo myślimy, ile to będzie, tylko po prostu stosujemy jakieś te ułatwiające sposoby. Na jakie to są sposoby? Przemienności i łączności dodawania i mnożenia. Przemienność, czyli nie ma znaczenia kolejność liczb. I łączność, czyli jeżeli mamy kilka razy to samo działanie, na przykład dodawanie albo mnożenie, to też nie ma znaczenia, czy najpierw dodam pierwszą liczbę z drugą, potem do tego dodam trzecią, czy na przykład najpierw dodam drugą i trzecią, a potem do tego dodamy pierwszą. Czyli po kolei. Co my tu mamy? 3 plus 5 plus 7 plus 15. Zamienię sobie to miejscami. No bo wiem, że 3 i 7 da nam 10. No to 3 plus 7 i zostanie 15 plus 15. Teraz skorzystamy z łączności. Łączność tutaj zapisałam nawiasami. Naprawdę, to one nie są w ogóle potrzebne. Tutaj jest to rozpisane po prostu, żeby na pewno to było widać. Czyli najpierw sobie zrobię 3 plus 7 i 5 plus 15. No to 3 plus 7 to 10. 5 plus 15 to jest 20. No i teraz już sobie dodam to, czyli 10 plus 20 to jest 30. Patrząc na to pierwsze działanie 3 plus 5 plus 7 plus 15. No nie powiedziałabym, że wyjdzie z 30. A zmieniając sobie kolejność, używając łączności, faktycznie dużo szybciej to się policzyło, niż 3 plus 5 to jest 8. 8 plus 7 przekroczenie dziesiątki. No faktycznie 15. 15 plus 15 to jest 30. Byłoby to trudniejsze przy przekroczeniu dziesiątki, tak jak 8 plus 7. Bardzo często pojawiają się błędy. Po prostu mogłabym się pomylić, że nie 15, tylko na przykład czy 12. No, a tak, powiedzmy, jak do szukamy tych pełnych dziesiątek, najłatwiej jest po prostu szukając dziesiątek. No to jest mniejsza szansa, że się pomylimy. Tak samo to działa w mnożeniu. Na przykład 2 razy 12 razy 3 razy 2. Ja sobie to zamieniłam, że najpierw dwójkę może z dwójką, potem 12 z trójką. No i 2 razy 2 to znowu używam łączności, czyli napisałam sobie to w nawiasach. Znowu nawias nie są potrzebne, tak naprawdę. No i potem będę robić 12 razy 3. 2 razy 2 to 4. 12 razy 3 to jest 36. No i faktycznie, to już jest trudniejsze mnożenie. Można to zrobić pisemnie, jeżeli się tego nie umie w pamięci. Jak najbardziej wychodzi 144. Ale spójrzcie, jeżeli zostawiłabym kolejność 2 razy 12 to już jest 24. 3 razy 24 to już jest duże mnożenie, a potem to, co mi wyjdzie jeszcze raz dwa, czyli kolejne duże mnożenie. Trwałoby to znacznie dłużej, niż jeżeli sobie wymarzyłam najpierw te mniejsze liczby ze sobą, a potem tylko jedno takie duże mnożenie. Tak naprawdę.

Inny sposób: rozdzielności mnożenia względem dodawania. Tak naprawdę to bardzo ułatwia, jeżeli mamy dużą, dużą liczbę pomnożyć przez jakąś mniejszą liczbę. Mamy 123 razy 5. Ja bardzo lubię ten sposób i używam go w pamięci. Wtedy łatwiej jest mi pomnożyć takie liczby bez używania mnożenia pisemnego. Czyli 123 po prostu rozlewam to kolejna na setki, dziesiątki, jedności. Tak jak mamy liczbę 123, 123 i wciąż razy 5. I teraz to możecie znać z późniejszego działu, gdy mamy wyciąganie czynnika przed nawias albo włączanie tego czynnika pod nawias. No to mnożymy razy 5 każdą z tych rzeczy z kolei w nawiasie. Czyli 100 razy 5, 20 razy 5, 3 razy 5. Między tym jest plus. No i najpierw robimy mnożenia. 100 razy 5 to 500. 20 razy 5 to 100. 3 razy 5 to 15. E dopiero potem to wszystko dodajemy. Ale spójrzcie, że to już będzie łatwo. Miarę 500 plus 100 to jest 600. Jeszcze 15. 615. Tutaj trzeba zwrócić uwagę na kolejność wykonywania działań. O tym będę za chwilkę. Czyli to jest ważne, że najpierw robimy to mnożenie, a potem dopiero dodajemy do siebie wszystkie takie mnożenie liczby.

Następna część: porównuje liczby naturalne, wykorzystując ich różnicę oraz iloraz. Poprzednio było już o porównywaniu liczb naturalnych, wykorzystaliśmy do tego oś. No, ale możemy również właśnie wykorzystać różnicę lub iloraz. Czyli na przykład, jeżeli 4 minus 3 jest większe niż zero, bo 4 minus 3 to jest jeden, no to znaczy, że czwórka jest większa niż trójka. Drugą stronę, 7 minus 9 jest mniejsze niż zero, czyli to dziewiątka będzie większa niż siódemka, czyli siódemka jest mniejsza niż 9. 8 minus 8 to jest zero, czyli 8 równa się 8. Przy równości to jest zdecydowanie najłatwiejsze. Jak wykorzystać za to iloraz? Iloraz, czyli wynik dzielenia. 3/4 jest mniejsza niż 1, czyli licznik musi być mniejszy niż mianownik, czyli 3 mniejsze niż 4. 9/7 za to jest większy niż jeden, bo to będzie 1 i 2 siódme, jakbyśmy sobie zamienili na liczbę mieszaną. Na razie tego nie będziemy robić, ułamki jeszcze przyjdą. No to w takim razie dziewiątka musi być większa niż siódemka. Tak? Czyli licznik jest większy niż mianownik. No i znowu 8/8 jest równe 1, czyli 8 jest równe 8.

Mamy jeszcze taką dział: Oblicz kwadraty i sześciany liczb naturalnych, czyli potęgi, ale tylko drugą i trzecią. Druga potęga, przy do drugiej, na przykład, to jest tak naprawdę 3 razy 3. Tak? Czyli ta mała dwójeczka mówi, ile razy mnożymy ze sobą trójkę. No dwa razy, czyli 3 razy 3. No i to jest po prostu 9. Za to sześcian liczby to jest trójeczka tutaj, czyli 8 do trzeciej. Znaczy, że mnożymy ze sobą trzy razy 8. Nie trzy razy 8, pod trzy razy mnożymy ze sobą ósemkę. Z 8 razy 8 to 64. 64 razy 8. Znów można policzyć pisemnie. Ja używam, podaje wynik, że jest to 512.

I ostatnia na tej mapie myśli, bo spokojnie, dzisiaj mamy bardzo dużo rzeczy: stosuję reguły kolejności wykonywania działań. Jaka jest kolejność? Najpierw są nawiasy, liczby w nawiasach. No chyba, że wykorzystujemy rzeczy takie jak tutaj, to ja sobie sama rozbiłam ten nawias, żeby wykorzystać inny sposób ułatwiające po prostu obliczenie. Ale jeżeli mamy coś w nawiasie, no to najpierw wykonujemy właśnie to dodawanie w nawiasie. Potem są potęgi i pierwiastki, czyli tak jak tutaj mieliśmy kwadraty. O pierwiastkach jeszcze będziemy mówić. Potem mnożenie i dzielenie, to wszystko z jednej linijki. Tak samo potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, ponieważ po prostu patrzymy, czy jest mnożenie, czy jest dzielenie, wykonujemy. Nie ma tak, że najpierw mnożenie, a potem nie, bo to po prostu powoduje błędy. Czyli po prostu patrzę, jest mnożenie albo dzielenie, wykonuję. No i na końcu dodawanie i odejmowanie.

A no to popatrzmy. 3 plus 5, całość w nawiasie, do kwadratu, razy 894 podzielić na dwa. Długie. No to najpierw nawias. 3 plus 5 to jest 8. Czyli mamy 8 do drugiej razy 84 podzielić na dwa. Okej. Wykonujemy następne potęgi. 8 do kwadratu to jest 64. No i to dalej przepisujemy. 64 razy 8 to jest następne nasze działanie. No to już wiemy, tutaj mam ściągę, to jest 512. Resztę przepisujemy. Następne działanie to jest minus. Jak spojrzymy, pominąć jest jeszcze dzielenie, czyli dzielenie musi być przed odejmowaniem. No to najpierw 512 przepisujemy, minus 4 podzielić na dwa to jest 2. 512 minus 2. No to jest 510. Czyli wynik tego długiego równania to tak naprawdę 510.

Teraz przechodzimy do następnej mapy myśli. Ona będzie się składać tylko z informacji o cechach podzielności. No i w waszych wymaganiach mamy podane: cecha podzielności przez 2. Kiedy dana liczba dzieli się przez 2, jeżeli jest to liczba parzysta, czyli ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8. Na przykład 68 jest podzielne przez 2, bo ostatnia cyfra to jest 8. 8 jest tutaj w tych naszych wypisanych cyfrach. Jest to cyfra parzysta. Ale 33 nie jest podzielne przez 2, bo ostatnia cyfra tej liczby 33 nie jest liczbą parzystą, więc też 33 nie jest liczbą parzystą. I to jest dzielenie przez dwa. Chyba najłatwiejsze.

Dzielenie przez 3. Cecha podzielności przez 3: suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3. Suma cyfr, wszystkich cyfr. To jest ważne, że sumujemy wszystkie. Czyli na przykład 15 jest podzielne przez trzy, bo 1 plus 5, tak? Czyli kolejne cyfry, suma wszystkich 15 równa się 6. A 6 dzieli się przez trzy. A teraz 73 nie jest podzielne przez trzy, bo 7 plus 3 równa się 10. A 10 nie dzieli się przez trzy. Jeżeli bym nie pamiętała, 10 dzieli czy niedzieli, mogę zastosować tą zasadę jeszcze raz. Czyli 150 S1. No 1/3 nam się nie dzieli. Czy jakbym miała jakąś większą liczbę, ale powiedzmy 84572. To okej. No to robimy 8 plus 4 plus 5 plus 7 plus 2. Wykorzystam sobie tutaj przemienność dodawania i powiedzmy, że zrobię 8 plus 2 plus 4 plus 5 plus 7. Okej. 8 plus 2 to jest 10. Wykorzystuje łączność, od razu pisze. Plus 4 plus 5 to 9. No jeszcze posiadam, zrobię sobie najpierw 9 plus 7, czyli 10 plus 9 plus 7. 16. No i 10 plus 16 to 26. Nie pamiętam, czy 26 dzieli się przez 3, czy nie. Czyli teraz kolejną liczbę, jaką sprawdzam, to 26. No to 2 plus 6. No to już łatwo, to jest 8. A 8 nie dzieli się przez trzy. Czyli cała ta liczba 84572 też się nie dzieli na 3.

Następna cecha podzielności to podzielność przez 4. To jest bardzo podobne do cechy podzielności przez 2. A czy tym razem nie patrzymy na ostatnią cyfrę, tylko na dwie ostatnie cyfry. A dokładniej na liczbę tworzoną przez dwie ostatnie cyfry. Czyli na przykład mamy 128. E 128, dwie ostatnie cyfry to jest 28. 28, jak mam nadzieję pamiętamy z tabliczki mnożenia, to jest 7 razy 4, czyli dzieli się przez 4. A no to w takim razie cała liczba 128 również. 374. No to dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę 74. To nowe 74 nie dzieli się przez 4, więc takim razie, co? Liczba 374 również nie dzieli się przez 4. Tutaj już jest trochę trudniej, bo nie mamy jednej cyfry, tylko całą dwucyfrową liczbę. Czyli musimy znać tą tabliczkę mnożenia, albo po prostu sprawdza się na boku pisemnie. Już nie musimy całego 128 dzielić przez 4, czy się podzieli, czy nie, tylko samo 28 wystarczy. Tak samo w drugim przypadku, samo 74 wystarczy.

Kolejne, znowu łatwiejsze, to dzielenie przez 5. Ostatnia cyfra to zero lub pięć. No, jak sobie powiedzieliśmy, kolejne wielokrotności piątki to jest 5, 10, 15, 20, 25. Faktycznie, to ostatnia cyfra zawsze na końcu to jest zero lub pięć. Więc jest to znowu jedna z łatwiejszych cech podzielności. 75 jest podzielne przez pięć, bo ostatnia cyfra tej liczby to 5. A na przykład 38 nie jest podzielne przez pięć, bo ostatnia cyfra tej liczby to 8. Okej.

Następne: 229. Taka sama jak trójka, czyli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9. Czyli na przykład 375 nie jest podzielne przez 9, bo 3 plus 7 plus 5 równa się 15. Jakby nie pamiętała, że 15 dzieli się na 9, no to mogę jeszcze raz z tego korzyść skorzystać, czyli 1 plus 5 równa się 6. Na 6/9 się nie podzieli. Ogólnie z dziewiątką jest tak łatwo, że jeżeli będziemy cały czas powtarzać tą procedurę dodawania wszystkich cyfr, to jeżeli będzie się liczba dzielić przez 9, to zawsze na końcu dostaniemy 9. No na przykład 81. No to jest 9. 8 plus 1 to jest 9. I znowu, jakbym nie pamiętała, jeszcze raz 1 plus 8 równa się 9. No 9/9, 9. Czyli stosowany przed chwilą powiedziałam, czyli zawsze dostaniemy na końcu 9.

A następna cecha podzielności przez podzielność przez 10. No to jest bardzo łatwe. Ostatnia cyfra to po prostu jest zero. Czyli 35 nie będzie podzielne, bo była piątka na końcu, a nie zero. Na 150 będzie podzielne, mamy właśnie zero na końcu. I drugie równie łatwe: przez 100. Tylko tym razem mamy 2 zera na końcu. Czyli 350 nie będzie podzielne przez 100. Za to 300 już jak najbardziej przez to jest podzielne, bo mamy dwa zera na końcu.

Teraz z tymi cechami podzielności, jeżeli chciałabym liczbę podzielną przez 6. A no to 6 to jest 2 razy 3. Czyli liczba podzielna przez sześć to liczba podzielna przez 2 i przez 3. Czyli i suma cyfr musi być podzielna przez trzy i równocześnie na końcu musi być 0, 2, 4, 6 lub 8. Czyli możemy sobie korzystać z tych wszystkich cech i wtedy mamy dużo więcej cech podzielności, nie wypisanych tutaj bezpośrednio. Czyli po prostu patrzymy na iloczyn czynników pierwszych. A co to są czynniki pierwsze? Już za chwilę.

Przejdźmy teraz do ostatniej mapy myśli w tym filmie. Na początek: rozpoznaje liczbę złożoną. Jaka to była liczba złożona? Ano taka, która dzieli się nie tylko przez siebie samą i przez jeden, ale też przez jakieś inne liczby. A no i tutaj mamy konkretnie, że rozpoznaje liczbę złożoną jednocyfrową, dwucyfrową lub gdy na istnienie dzielnika wskazuje cecha podzielności. Czyli to, o czym przed chwilą była cała jedna wielka mapa, mapa myśli. Jednocyfrowe wszystkie wypisałam, bo są to cztery, bo to jest 2 razy 2. 6 to jest 2 razy 3. 8 to jest 4 razy 2, albo nawet 2 razy 2 razy 2, to już będzie rozkład na czynniki pierwsze. I 9 to jest 3 razy 3. Dwucyfrowych jest znacznie więcej, więc już ich nie wysyłałam. Przykładem mógłbyś 28. 39. No i właśnie na istnienie dzielnika wskazuje cecha podzielności. To są takie liczby, które wcześniej były w przykładach, czyli czasami są większe właśnie niż dwucyfrowe, a jesteśmy w stanie powiedzieć, czy dana liczba dzieli się przez 3, na przykład, przez 2 i tak dalej, bez dzielenia.

A następna część: rozkłada liczby dwucyfrowe na czynniki pierwsze. No i teraz rozkład na czynniki pierwsze już jest. Się pojawiło wcześniej. Przejdźmy na chwilę do naszego notatnika. I co to był ten rozkład na czynniki pierwsze? No to weźmy sobie na przykład liczbę 60. I jeżeli pamiętacie, zawsze wtedy się rysowało taką kreskę w dół. Coś w obok tej kreski pisało. Napiszemy te czynniki pierwsze, czyli przez co możemy podzielić na 60. I staramy się znaleźć jak najmniejsze liczby, żeby były to liczby pierwsze, czyli takie, które przez nic już się więcej nie podzielą niż przez samą siebie albo przez jeden. Na przykład taką liczbą będzie 2. 60 możemy podzielić na dwa, bo jest to liczba parzysta. 60 podzielić na dwa, no to będzie 30. 30 możemy podzielić na dwa, znowu wszystko okej. 30 podzielić na dwa, 15. A przez co możemy podzielić 15? Najłatwiej domy zauważyć, że jest piątka na końcu, no to w takim razie na pewno możemy podzielić ją przez 5. 15 podzielić na 5, 3. Młodszych już dzieli tylko na trzy i zostało nam jeden. Koniec rozkładu na czynniki pierwsze. Czyli te czynniki pierwsze naszej liczby 60 to 2, 2, 5 i 3. Albo możemy w kolejności rosnącej: 2, 2, 3, 5. Czyli możemy napisać, że 60 to się równa 2 razy 2 razy 3 razy 5. Niemalże napiszę. No i faktycznie, gdybyśmy to pomnożyli, wyjdzie nam 60. Ten rozkład na czynniki pierwsze bardzo często się przydaje, na przykład przy wyciąganiu pierwiastków, o których będzie później. Również do jeszcze przyda nam się do czegoś dzisiaj, to zaraz zobaczycie. Wróćmy teraz już z powrotem do naszej mapy myśli. Na przykład możemy sobie po kolei, aż dojdziemy do jedynki. No i te liczby, które są po prawej stronie naszej kreski, co to są właśnie nasze czynniki pierwsze.

Następna rzecz: znajduje największy wspólny dzielnik NWD i najmniejszą wspólną wielokrotność NWW. To są takie standardowe oznaczenia, ale bardzo często w poleceniach jednak wciąż jest używane ta dusza, czyli największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Więc znajduję to NWD i NWW dwóch liczb naturalnych. Jak to robimy? Wytłumaczę to w ten sam sposób, co zaokrąglanie liczb, czyli najpierw powiemy schemat, a potem przedstawimy to na jakimś przykładzie. A czyli tak: rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze, czyli te dwie liczby, których chcemy znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność, rozkładamy na czynniki pierwsze, tak jak tutaj rozpoczęliśmy 60. A następnie iloczyn czynników powtarzających się w obu rozkładach, to ich największy wspólny dzielnik. A iloczyn pozostałych czynników i tego największego wspólnego dzielnika, to najmniejsza wspólna wielokrotność.

No to sprawdźmy, jak to działa. Nie mam już policzone 60. Rozłóżmy sobie jeszcze na przykład 48. [Muzyka] A no to na dwa, to będzie 24. Znowu na dwa, czy to będzie 12. I znowu na dwa, nie mamy 6. Jeszcze raz na dwa, no i mamy trzy. Na trzy i mamy jeden. Czyli nasze 48 to jeszcze zapiszę ten sam sposób: 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 3. Okej. Jak to było z tym naszym największym wspólnym dzielnikiem? Obwód tego zaczynaliśmy: iloczyn czynników powtarzających się w obu rozkładach. A no to zobaczymy. No to mamy dwa i tu mamy dwa. Znów tu mamy dwa i tu mamy. Tu mamy trzy i tu mamy trzy. A czy w takim razie NWD oblicz i zapisujemy tutaj po przecinku 60, 48, to jest 2 razy 3, czyli to, że równo 2 razy 2 to 4 razy 3, czyli 12. Mamy największy wspólny dzielnik.

Następnym krokiem była najmniejsza wspólna wielokrotność, czyli iloczyn pozostałych czynników i NWD. Spójrzmy, jakie zostały nam czynniki. Została nam ta piątka, to dwójka i dwójka. No to NWW najmniejsza wspólna wielokrotność 60, 48 to jest 5 razy 2 razy 2 i jeszcze razy dzielnik, czyli razy 12. Nie, zobaczmy. 5 razy 2 to jest 10. 2 razy 12 to jest 24. No i 24 razy 10 to jest 240. No i faktycznie, to się zgadza. To jest najmniejsza wspólna wielokrotność.

Na znalezienie największego wspólnego dzielnika chyba łatwiejszego sposobu nie ma. Rozkład na czynniki pierwsze jest najłatwiejszym sposobem. Można by próbować po prostu dzielić przez kolejne liczby i w taki sposób znaleźć, ale jeżeli chodzi o najmniejszą wspólną wielokrotność, jest jeszcze taki sposób, tylko on też nie jest wcale takie łatwe, jak mamy większe liczby. Jego pokażę na przykładzie z piątką i szóstką. Czyli chcę najmniejszą wspólną wielokrotność piątki i szóstki. Nie, no to jest taki sposób. Piszę sobie 5. Piszę sobie 6. 6 jest większa. No to zwiększymy to, co mamy piątkę, czyli po prostu dodajemy piątkę do piątki. 5 plus 5 to jest 10. Bo to jest kolejna wielokrotność piątki. Okej. Teraz jest 10. Większe. No to piszemy 6. 6 plus 6 to jest 12. 12. Zwiększa. No to zwiększymy piątkę. Znowu 10 plus 5 to 15. No i cały czas tak samo. To jest 18. Teraz to jest większa. Czyli tu mamy już 20. To jak 6 plus 18 to 24. 25. 34. To faktycznie też dochodzimy do 30. I faktycznie najmniejsza wspólna wielokrotność piątki i szóstki to jest po prostu 30. Ten sposób tutaj był całkiem szybki, bo jak popatrzymy sobie, no to w tej linii mamy wypisane wielokrotności piątki, w tej linijce wielokrotności szóstki. A na przykład 48, 60. Jako pierwszej. No to 60 jeszcze dodawać do siebie jest całkiem łatwo, ale 48. No to już nie jest wcale tak przyjemne. A co dopiero, jakbyśmy mieli jeszcze jakieś inne liczby, które umożliwiałyby były większe albo większa różnica między nimi. Dużo więcej musielibyśmy tego pisać. To by mogło być naprawdę bardzo długie, więc zdecydowanie ten sposób, który jest tutaj wyżej, jest po prostu łatwiejszy, szybszy. Może nie łatwiejszy, ale szybszy.

Zapewne. Co jeszcze do najmniejszej wspólnej wielokrotności? Może się tak zdarzyć, że dane liczby nie mają w ogóle żadnego wspólnego dzielnika, czyli ich największy wspólny dzielnik to jest po prostu jeden. Tak jak w tym przypadku 5 i 6. 60, 5, 30. Tylko na 5. Inne 16. Dolina 123 i 6. No to ten największy wspólny dzielnik. No to jest faktycznie jeden, bo nic więcej nam się nie powtarza. A w takim przypadku, jak zauważyliśmy tutaj, najmniejsza wspólna wielokrotność, co tak naprawdę iloczyn, czyli 5 razy 6 to jest 30. To jest tylko w przypadku, jeżeli ten największy wspólny dzielnik jest równy 1. Gdy to wykorzystujemy do rozszerzenia ułamków. O ułamkach jeszcze będzie, ale jeżeli chcemy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, to niedobrze nie jest dobrym pomysłem po prostu mnożyć ze sobą mianowniki ułamków, tylko najlepiej znaleźć tego właśnie najmniejszą wspólną wielokrotność, bo to nam znacznie ułatwi nasze obliczenia.

Wrócimy tutaj na to, co mamy dalej. To był przykład z 60 i 36. Akurat. A no, ale zobaczmy. 60 mam rozłożony tak jak wcześniej. 36 na 2 to 18. Znowu na 2, to jest 12. I znowu na 2, nie mamy 6. Jeszcze raz na 2, no i mamy trzy. Na trzy i mamy jeden. Czyli co nam się powtarza? Powtarza się dwójka, to i to. No i trójki. Czyli w takim razie największym wspólnym dzielnikiem 60, 36 to jest 2 razy 3, czyli 6. No i najmniejszą wspólną wielokrotnością są pozostałe liczby. Czyli dwa razy 5 razy 2 razy 3 i jeszcze razy ten nasz największy wspólny dzielnik, czyli jeszcze razy 6. No i faktycznie, jak sobie to pomnożymy, z tego mamy 10, z tego mamy 6. Jeszcze razy 6. 10 razy 660 i 60 razy 6 to już jest 360. Jak byśmy próbowali akurat ten przykład rozpisywać, to byłoby tego dużo dodawania do siebie. 36 też nie jest wcale taką osobą liczbą, żeby ją do siebie dodawać.

To tyle z działań na liczbach naturalnych. Teraz podam wam zadania z poprzednich egzaminów, które możecie zrobić, bo one zawierają tą wiedzę, którą zdobyliście w poprzednich filmach. I z marca 2020 roku zadanie drugie. Z marca 2021 roku również zadanie 2. Z kwietnia 2019 roku zadanie piąte. Z maja 2021 roku zadanie piąte. Z maja 2021 roku zadanie 13. I z grudnia 2018 roku zadanie czwarte. Wszystkie te zadania możecie znaleźć arkuszach na stronie cke.gov.pl. Znajdują się również pod linkiem, który zostawiam w opisie. Pod tym linkiem będzie również nasz, będą wszystkie mapy myśli, które dzisiaj razem przeanalizowaliśmy. A na dzisiaj to tyle. Zapraszam na kolejne powtórki. To już niedługo na kanale.

z o.o.

z o.o.

[Muzyka]