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자, x - 2세제곱을 전개하면 자, x3승의 아, + 3 * x제 * -2 그리고 + 3 * x * -2의 제곱 그리고 -2의세제곱 자, 요렇게 되죠. 자, 이때 x의 계수음 12고요. 그다음 x제곱의 계수 -6이에요. 합을 구해라라고 하면 6이 되겠죠? 정답은 4번입니다.
자, x축과 만나도록 하는이에요. 어, 판별식이 0보다 크거나 같다죠. 그죠? 자, 여기서 판별식은 1 - 4 AC ac AC가 2k죠. 그래서 얘가 0 뭐다? 어, 크거나 같다. 그래서 k는 마이너스 아닌가요? 보다 작거나 같다. 그래서 k의 최댓값은 1번이 되겠죠.
자, 이걸로 나누어 떨어진다라는 얘기는이식이 x제 - 3x + 1을 인수로 갖는다. 그죠? 여기 나머지 1차식 인수가 있겠죠? 그죠? 자, 어, x 계수는 1이어야 돼. x 3승 계수가 1이니까 그죠? 그리고 x제곱의 계수가 어 2예요. 자, -3x제곱이 있으니까 여기 + 5x제곱이 나와야 되겠지? 이해됐죠? 그럼 상수항 - a인데 지금 상수항이 5니까 어, a 값은 -5다. 그죠?
자, 얘는 루트 2i * 루트 2i 그리고 루트 2i * 루트 32. 그리고 + 루트 2i분의 루트 8 자 정리하면 예 -2 되고 + 8i가 되고 자 ii 곱하면 -2 i가 되겠죠. 그래서 얘는 -2 + 6 i다.음 그래서 정답은 1번이죠.
자, 얘는 x에다 2를 대입하면 16 - 3 8에 24 + 8 + 4 - 4 어, 0이 되죠. 그죠? 그래서 얘는 x - 2를 인수로 갖는다. 그지? 자, 조립제법 1 - 3 2 - 4 2로 하면 1 2 -1 - 2 0 0 2 4 0이 되겠죠? 그럼 얘는 x³제곱 자, x세제 - x제 + 2예요. 됐죠? 그죠?
자, 보니까 -1 대입하면 또 0 되죠. 그래서 얘가 x + 1을 인수로 갖는다. 그지? 그래서 여기서 조립제법 한 더해 주시면 자 -1 1 - 1 - 2 2 - 2 0이 돼요. 그죠? 그래서 여기가 x제 - 2x + 2다. 자, 여기서 허근은 여기서 그죠? 어, 얘가 0이다 해서 나온 두 허근이죠. 그래서 알파 + 베타는 금각 계수의 관계에서 2고 자 알파 베타는 2니깐 알파 3승 + 베타 3승은 어 알파 + 베타의 3승 -3 알파 베타의 알파 + 2 베타죠. 그죠? 음. 그래서 얘가 8 - 3 * 2 * 2 자 8 - 10이니깐 -4가 되겠죠? 자, 정답은 2번입니다.
자, 6번은 자, f(x)가 요거 요거 요거를 인수로 갖는다라고 했으니까 f(x)에다가 0 대입한 것도 0이고 1 대입한 것도 0이고 2 대입한 것도 0이다. 자, 연립해서 a, b, c를 구하셔도 되고요. 자, qx가 자, x * x - 1 * x - 2에다가 qx가 1차식이다라는 거 알 수가 있고 지금 최고차한 계수 1. 그럼 여기서도 x의 계수는 1이 되겠죠? 그리고 자, 지금 x 3승이 안 보이지 그지? 그래서 x 3승의 계수가 0이 돼야 돼. 그죠? 네.요 식을 전개하면 얘가 x³제 - 3x² + 2x니까 자, 요렇게 곱했을 때 x3승의 계수가 0이 되려면 자, 요렇게 곱한게 -3x 3승이니까 여기서 + 3x 3승이 나와야 되겠죠? 그래서 + 3 해 주면 되겠지? 얘가 qx다라는 거야. 그죠? 그리고요 전체가 fx다. 자, f -1. 자, 여기다 -1 대입하면 -1하고 -2하고 -3하고 2죠. 그래서 f - 1은 -12가 되겠고 q에다가 어 2를 대입하면 자, 여기다 2 대입한 거니까 얘는 5가 되겠죠? 요렇게 합을 구해라라고 했으니까 정답은 3번입니다.
자, 지금 알파의 거듭제곱들이 보이죠? 그래서 방정식의 알파를 대입을 하면 알파제곱 - 2알파 + 3이 지금 0이다 이거야. 그죠? 그래서 알파의 제곱은 어 2알파 - 3이고 제곱하면 알파네제곱은 어 어어 어 4알파제곱 - 12알파의 + 9예요. 그럼 4알파제곱은음 8알파 - 12죠. 거기다가 -12알파 + 9해 주면 얘는 -4알파의 -3이다. 그럼 알파 5승은 여기다 알파 한번 더 곱한 거야. 그죠? 그래서 -4알파제곱에 -3알파 그리고 -3알파 자 -3 알파세제곱이 있는데 알파세제곱은 여기다가 또 알파를 곱한 거야. 그죠? 그래서 2알파제곱에 - 3알파 그리고 + 알파 베타는 자 알파 베타는 두분의 곱이니까 3이 되겠죠? 3이 되고 -14 어 베타도 있어요. 됐죠? 자, 그러면 요렇게 해서 예, -1 알파제곱에 그리고 요거 9알파 요거니까 + 6알파로 정리가 되는데 알파제곱이 어 2알파 - 어, 3이었어요. 그죠? 그 요렇게 해서 - 20알파의 6알파니까 - 14알파가 되겠지.데 네. 뒤에 -14베타도 있었으니까 -14로 묶으면 요렇게 되고요. 상수항이 30에 + 3이니까 + 33이 되겠지. 이때 알파 + 베타는 금각 계수 관계에서 2죠. 그죠? 그래서 33 - 28 어 33 - 28 해서 정답은 예 5다라고 하면 되겠죠.
자, f(x)를 자, 얘로 나누었다. 근데이 식은 얘랑 얘랑 곱한 식이죠. 그죠? 그래서 x - 1 * x제 + x + 2로 나누었을 때 몫 qx라고 하고 자 나머지는요 자 rx라고 했는데 자 fx를 얘로 나눴을 때 나머지가 이거다라고 했어요. 근데 여기는 얘를 인수로 갖는 부분이니까 여기선 나머지가 0이죠. 그죠? 즉 rx를 얘로 나눈 나머지가 이거다라는 거야. 근데 rx는 2차니까 그죠? 자, 2차를 2차로 나누면 몫은 상수로 둬야 되겠죠? 그래서 rx는 x제 + x + 2로 나누면 몫시 상수고 나머지가 -2x + 3이다. 요렇게 두시면 되고. 자, fx를 요걸로 나누면 나머지가 요거다라고 했으니까 f1이 5라는 거죠. 그죠? 그래서 여기다 1 대입해 주면 4a에다가 1 대입하면 + 1인데 얘가 5니깐 a는 1이다. 이거야. 그러면 다 나왔죠? 그죠? 그래서 r2를 구해라라고 하면 자 2 대입하면 4 + 2 + 2에다가 -4 어 + 3니까 -1이죠. 그래서 얘는 어, 7이다라고 하면 되겠네.
자, f(x)는 자, 위로 볼록인 2차 함수인데 서로 다른 두 실수에 대해서 f알파 f베타가 0이다. x축이랑 두점이 알파랑 베타인데 알파 + 베타가 1이다. 그 말은 요거에 딱 지금 중점이 x는 1이다라는 얘기가 되겠죠. 자, 이때 직선 y는 2x - k하고 요거랑 한 점에서 만난다라고 나왔어요. 한 점에서 만난다. 어, 그 말은 얘랑 얘랑 연립했을 때 어, 자, 지금 한 점에서 만나니까 실근이 하나 나온다라는 얘기죠. 그래서 연립을 해 주면 x제곱에 어, 2 - ax 그리고 - k - 12가 어, 0이다라는 거야. 근데 여기서 지금 f(x)는 축의 방정식의 x는 1이에요. 그래서 축의 방정식이 -aab인데 거기 1 되려면 a는 어, 지금 1이다라는 거야. 그죠? 자, a가 1이면 어 얘가 1이다. 그죠? 그럼 얘가 이제 중근을 갖는 거니까 판별식이 0 돼야 되겠지. 아시겠죠? 그죠? 판별식은 1 - 4h시하면 + 4k + 48인데 이게 0이다. 그래서 k값은 -4의 49가 되겠죠. 그래서 a + k를 구해라. 자, a는 1이었고 어 k는 요거니깐 a + k 해 주면 -4분의 40에 5가 되겠죠. 자, 정답은 2번입니다.
자, 세마고 학생 정도면 가조건에서 그죠? 1 대입하면 -k고 2 대입하면 -2k고 3 대입하면 -3k다. 자, f(x)는 최고차항 계수가 1이야. 그럼 여기에다가 x - 1, x - 2, x - 3에다가 - kx 해 주면 일단 조건 가를 모두 만족하면서 최고차항 계수가 어, 1이 되겠죠. 그죠? 그죠? 자, 그러면 요렇게 놓고 나서 f1하고 f -1하고 같다. 자, f1은 자, 여기다 1 대입하면 뭐야? - k죠? 그럼 f -1은 자, 여기다 -1 대입하면 -2 되고 -3 되고 -4 되고 얘는 + k가 되겠지? 이해됐죠? 그죠? 그럼 여기서 2k는에 24가 된다. 그죠? 그래서 k값은 12가 되겠네. 그래서 정답은 5번입니다.
자, 일단 조건 나에서 fx가 x는 1에서 최소값을 갖는다. 근데 그 1이요 범위 안에 있죠. 양끝값이 아니라 그 사이에 있는 값에서 최소값을 갖는다는 얘기는 fx가 아래로 블록이고요 축의 방정식의 x는 어 1이다라는 내용이 되겠죠. 근데 x가 -2에서 4까지 아 4면 어 어 딱 대칭이 돼요. 그죠? x는 -2부터 4까지 해서 자, 그리고 조건 가에서 f2 - f3이 - 3이다라고 했어요. 근데 일단요 부분에서 자, 지금 x가 -2일 때랑 4일 때 함숫값이 같은데 그 값을 k라고 하자. 자, 요런 그림 나오면 fx는 최고차한 계수는 몰라. 자, a라고 하고 a는 양수가 되겠죠? 그리고 여기서 얘랑 만나는 거니까 x + 2 * x - 4에다가 + k라고 어 식을 세워 줄 수 있어야 되고. 자, f2 여기서 f2는 a * 4 -8a 어 + k예요. f3은 어 3 대입한 거니까 -5a 어 + k가 되겠죠. 자 이거에서 이거를 빼면은 -3a데 얘가 -3이니까 여기서 a는 1이다라는 거야. 그죠? 그래서 a는 1 나왔습니다. 자, 그리고 조건 다해서 y는 f(x)가 y는 2x랑 한 점에서 만난다. 그니까 이거랑 y는 x하고 아, y는 2x하고 연립했을 때 중근을 갖는다는 얘기죠. 그래서 요거 정리하면 x제 - 2x + k - 8에다가 2x 넘어오면 여기가 -4x인데 얘가 중근을 가지니까 판별식이 어 0이다라는 거야.요 반땅제곱 4에다가 - k + 8 판별식이 0이라는 거고 그 말은 k값이 12라는 거죠. 그래서 f4를 구해라. 자, k는 12가 나왔어요. f4는 자, 4 대입하면 요거 어차피 0 되니까 정답은 아, 12가 되겠죠. 3번입니다.
자, 1부터 7까지에서 정의된 fx가 있는데 자, y는 k랑 서로 다른 두 점에서 만날 때 x 좌표를 알파 베타라고 하자. 자, 아래로 블록이고 y는 k랑 서로 다른 두 점. x는 알파 베타에서 만난다. 자, 알파 + 베타가 8이면 딱 나누기 2하면 얘는 어 축의 방정식의 x는 4라는 얘기고 k가 7일 때 베타 - 알파의 값이 최대가 된다라고 했어요. k가 7일 때. 자, 근데이 문제는 지금 함수가 1부터 7까지에서 정의됐다라고 했어. 근데 1부터 7이라고 하면 그 1과 7의 딱 중점이 x는 4잖아. 그죠? 그래서 1부터 7까지 정의가 되었습니다. 1부터 7까지니까 실제 f(x) 그래프는 딱 여기서부터 여기까지만 있는 거고 여기는 없는 거죠. 이렇게 없어요. 아시겠죠? 그죠? 그럼 y는 k가 딱요 두 점을 지날 때 두 점 사이 거리가 최대가 되겠죠. 그죠? 이해되지? 이제지. 그럼 여기서 fx는 최고차한 계수는 1이라고 주어졌고 y는 k랑 근데 그때 k가 7일 때 딱요 두 점을 어 지나고 있는 상황이니까 식은 x - 1 * x - 7의 + 7로 바로 구할 수가 있다. 그죠? 얘가 지금 x제 + ax + 어 b라는 얘기야. 그래서 a + b를 구해라. 그냥 1식만 대입하면 되죠. 여기 같은 식이니까 1 대입하면 7은 1 + a + b니깐 이때 a + b는 6이다. 예. 정답은 1번이죠.
자, 13번 보겠습니다. 자, 일단 hx가 -1과이 사이에서는 fx다라고 했어. 지금 f(x)가 x제곱의 계수가 1/이고 요렇게 아래로 볼록하네요. 그죠? 네. 꼭지점이 지금 0마 3이 되고 자 -1부터라고 했는데 x가 -1일 때 여기 자 -1마 -1 대입하면 어인가요? 7 이렇게 하나 나왔고 그리고 x가 2일 때는 자 조금 나와서 2 x가 2일 때 대입하면 5가 나오네요. 아 여기가 딱 2 5네요. 그죠? 자, 그리고 -1을 여기다 대입했을 때 어, 얘도 어, 요것도 나오네요. g(x)도요 점을 지납니다. 그리고 2 대입하면은 -2 + 2 5 되니까 g(x)도 2 5를 지나죠. 그리고 얘는 축대 방정식이 어, x는 네, 1이에요. 그래서 꼭짓점이 어, 여기 있고 요런 식으로 되네. 요렇게 생기네요. 요렇게. 어, 얘가 g(x)야. 그죠? 그럼 hx는 자 -1보다 작거나 같을 때 요거 사이에서는 fx 그리고 2보다 크거나 같을 때는 다시 gx 요게 y는 hx의 그래프다라는 거야. 자, 그리고요 직선이 2 5를 지나는데 자, 기울기는 a인데 2, 5를 지나야 돼. 그럼요 직선의 방정식은 다시 쓰면 a * x - 2의 + 5라는 거고 요거 전개하면 지금 b가 5 - 2a라는 거야. 알겠죠? 그리고 a가 양수래요. 자, a가 양수면 얘는 5보다는 작은 값을 갖겠지. 근데 b가 또 무슨 수다? 자연수다라는 조건이 있어. 그러면 5보다 작으면서 짜수니까 자, b는 그때 1이나 2나 3이나 4까지만 생각을 하시면 되고 b가 1 2 3 4가 되려면 그때 a 값은 자, 요게 1 되려면 a는 2인가요? a는 2. 2가 되려면 어 2가 되려면 몇이죠? 3인가요? 어 3. 3이 되려면 어 1. 4가 되려면 어 a는 1 자 우리는 딱요네 개만 확인해 보면 돼. 그죠?요 네 개 중에서 자 hx하고요 직선하고 근데요 직선이 지금요 2 5를 지나는 직선이에요. 그죠?요 요 점을 지나는 직선인데 hx랑 교점이 두 개가 되도록 하는 자연수 b의 값을 구해 보세요. 자, 일단 두 개가 되는 경우가 첫 번째요 경우가 있겠죠? 그죠? 그죠? 요거의 기울기를 한번 구해 보면 자, 2 - 요거 어 3분의 3분의 5 - 요거 하면 3니까 1 기울기 a가 어 1일 때다. 그럼 그때 b는 어 4가 되겠죠. 그죠? 자, 이때 교점이 4고요. 그리고 하나 교점이 두 개고. 자, 또 있죠. 자,이 곡선 있죠?이 곡선의요 점에서 접선이 있을 거야. 그죠? 그 접선이 요거다라고 했을 때 자, 접선이랑 이렇게 쭉 가면 한번 만나겠죠? 근데 꼭 접선일 필요는 없고 접선보다 기울기가 뭐 하면 돼? 더 크면 돼. 그죠? 이해되지? 그지? 접선보다 얘가 접선입니다. 분홍색으로 그린게 접선보다 기울기가 크거나 같으면 교점이 여기 하나요 아래 하나에서 또 두 개가 되겠죠. 이해되지? 그래서 접선이 되도록 하는 a 값을 한번 구해 보면 자, 요거하고 연립해 보면 되죠. ax 또는 뭐 미적분 배웠으면 요거 미분하고 나서 2를 대입해 봐도 돼요. 그죠? 자, 미분하면 x 더하 x잖아. x 거기다 2 대입하면요 접선의 기울기는 2네요. 예. 미분 안 배웠으면 자 ax - 2a + 5하고 어 지금 얘가 fx죠. 1 x제 + 어 3하고 연립을 해 보면 되겠지. 그지? 이해됐죠? 자 요거 연립을 한 다음에 판별식이 0이어야 돼. 그러면 네. 한번 해 보면 그래 보자. 자, 요거 다 이항시키고 나서 양변에다 2를 곱하면 x제 - 2ax + 4a 그리고 -4는 0이다. 판별식은 a² - 4a + 4인데 요게 0일 때. 그러니까 a가 어, 2일 때가 되겠죠? 아, 근데 그 a 값이 딱 여기 있네요. 그죠? a가 2일 때 어 그때 b는 1대요. 한마디로 a가 2일 때 접선이 되는 거죠. 또는 그보다 커야 되는데 어차피 2보다 큰 a 값은 자연수 b라는 조건 때문에 가질 수가 없죠. 그래서 b값이 될 수 있는 것은 1과 어 4다. 그래서 합을 구해라라고 하면 정답은 3번입니다.
자, 2차항 계수가 1인 2차 다항시 fx와 1차항 계수가 1인 1차 다항시 g(x)가 있습니다. 조건에서 얘로 나누어 떨어진다. 자, - k 대입하면 0이다. 그래서 - k 대입하면 f(0) - g0이 0이다. 그 말은 x 좌표가 0인 점에서 둘이 만나고 있다라는 거죠. 그죠? 그리고 얘랑음 중근을 갖는다라고 했어. 그런데 분명히 자요 식은요.요 조건 가에서 f0하고 g0이 같으니까 x에다가 -1 대입하면요 방정식은 성립하는데 중근을 갖는다라고 했으니까 아 -1이 u일한 해다. 그죠? 이해되죠? 그래서요 방정식에 x + 1을 x로 바꿔도 fx - gx는 0이다. 얘가 중근을 갖는다. 이거 완전히 똑같은 말이야. 알겠죠? 해만 바뀔 뿐이죠. 방정식을 요렇게 뒀을 때 해가 -1이라면 요렇게 됐을 때는 그 중근이 어 0이다라는 거야. 자, 그 말은 아래로 볼록인 y는 fx하고 그리고 g(x)는 기울기가 1인데 접한다라는 얘기고 그 접점이 x가 어 0인 점이다. 지금 이런 상황이에요. 자, 그때 f(x)를 x - 3으로 나눈 나머지가 8이다. f3이 어 8이다라는 얘기죠. 그때 f4의 값을 한번 어 구해 보세요라고 나왔어. 자, 그러면 여기서 fx - gx가 자, 중근인데 그 말은 완전 제곱식인데 그 중근이 0이니까 얘가 그리고 최고창 계수는 당연히 fx 따라서 1이겠죠. 그래서 얘가 결국은 x제곱이다라는 거야. 그럼 여기서 fx는 x제곱 - 아 + gx인데 여기서 gx가 1차식이고 1차항 계수가 1이다라고 했으니까 x + 상수 얘가 지금 gx예요. 요렇게 둘 수가 있죠. 근데 f3이 8이다라고 했으니까 여기다 3 대입하면 9 + 3 + b가 8이다. 그래서 b는 몇이다? -4다라는 거죠. 그래서 f4를 구해라라고 했으니까 여기다 4 대입하면 몇이다? 어, 16이 정답이다. 그래서 5 4번이 되겠죠?
요거는 복소 평면을 좀 활용을 해서 계산을 해 주시는게 좋겠죠. 그죠? 자,이 복소수를 알파라고 하자.이 복소수는 어, 베타라고 하자. 일단 알파부터 보시면 자, 복소 평면에서 알파랑 대응하는 점은 자 3사분면에 딱 가운데 여기가 알파의 1승이랑 대응하는 점이 되겠고 베타는 딱 여기죠. 시초선이랑 120° 어 이루고 있는요 점이랑 대응하는 복소수예요. 음. 그러면 루트 2 * 알파의 m승 - 그리고 베타의 n승인데 그 제곱이 -1이다. 자, 제곱해서 -1이다는 얘기는 결국 루트 2알파의 m승 - 베타의 n승요 부분이 i 또는 -i다.이 말이 되겠죠. 그죠? 자, 알파의 m승은요. 자, 여기가 1승이야. 45도씩 하나, 둘, 세 칸 1승이야. 이해되겠지? 그지? 자, 그리고 요거 무리수요 루트 2하고요 루트 3요 수만 잘 보시면 돼요. 자, 알파의 1승. 자, 하나. 그리고 둘 셋. 여기가 알파의 2승. 자, 알파를 바깥쪽에다 쓸까요? 알파의 그냥 2승이라고 쓸게.요 요 안쪽에다가 이제 베타의 1승. 자, 2승이고 다시 한 칸, 두 칸, 세 칸의 3승. 한 칸, 두 칸, 세 칸하면 4승. 한 칸, 두 칸, 세 칸. 요런 식으로 어, 쭉 돌면 돼. 자, 그런데 자, 잘 생각해 보시면 자, 여기다가 루트 2을 곱했어요. 근데 베타에 지금 루트 3이라고 하는 수가 보여요. 근데 그걸 더하거나 빼서 어, 뺐죠, 지금. 깔끔하게. i나 -i i만 남아야 돼. 무슨 말인지 알겠지? 그지? 어, i나 -i가 남아야 되는데 지금 베타는 지금 1승이 여기였단 말이야. 그럼 2승은 또 120도만큼 하면 여기가 어 베타의 2승이고 베타의 3승은 다시 1 되겠죠? 베타의 3승. 그 이제 반복된단 말이야. 4승, 5승, 6승, 7승, 8승, 9승. 야, 요런 식으로 반복이 되고 있는데 그러면 베타의 거듭제곱, 베타의 n제곱요 부분 같은 경우는 자, 2분의 -1 + 루트 3i 요게 n이 1일 때고 그죠? n이 2일 때는 어, 2의 -1 - 루트 3가 될 거고 n이 3일 때는 뭐가 되겠어? 어, 1이 되겠죠.요 세 개가 계속 반복이 된단 말이야. 알겠지? 그지? 그런데요 부분에서요 루트 3i가 나와 버리면 얘가 어찌 해 줄 수가 없어요. 그죠? 그래서 요런 값은 나오면 안 되겠구나. 그래서 아 베타의 n제곱은 일단은 1이어야 된다라는 거야. 이해되지? 그지? 어 베타 n제곱이 1이다. 그러면 루트 2 * 알파의 m제곱은 1 넘기면 아 마이너스니까 넘기면 1 + i거나 1 - i여야 된다는 거고 요걸 루트 2로 나눠주면 알파의 m제곱은 루트 1 + i거나 루트의 1 - i여야 된다는 얘기예요. 아시겠죠? 그죠? 자 얘랑 대응하는 점은 어디요? 여기죠. 여기고 얘랑 대응한 점은 딱 여기죠. 그럼 알파의 거듭제곱 한번 써 보면 아까 5승까지 썼죠. 5승. 자, 1 2 3 여기가 알파의 6승. 1 2 3 여기가 알파의 6승. 1 2 3 이상하다. 어, 7승이 되면 안 되는데. 자, 다시 1승. 1 2 3 2승 1 2 3승 1 2 3 4승 1 2 3 5승 1 2 3 6승 1 2 3 아 여기가 7승인데 왜 6이라? 여기 7승 그리고 1 2 3 어 여기가 8승 그리고 반복되겠죠? 그죠? 그러면 알파의 m제곱이이거나 이게 되려면 여기 있거나 여기 있어야 되니깐 이때 m이라고 하는 값은 자 주기가 여덟 개입니다. 8로 나눈 나머지가 5거나 어 3이어야 된다는 거야. 8로 나눈 나머지가 5거나 3. 자 얘들은 독립이에요. 그냥 각각 어 최댓값 구해서 더해 주면 돼. 그죠? 그럼 얘는 8로 나눈 나머지가 5인데 어 55 이하이면서 자 m은 8로 나눈 나머지가 5나 어 3이에요. 그러면 55에 가까운 4 어 8의 배수가 6 8에 48 있나요?음 48에다가 5를 더하면 53이죠. 그래서 m의 최댓값이네 53이 되겠고 n은 어 베타 n제곱이 1 돼야 되니까 n은 3의 배수야. 그죠? 어, 55 이하의 3의 배수 가장 큰게 54가 되겠죠? 그래서 요렇게 더해 주면 어, 정답은 2번이다라고 하시면 되겠습니다.
자, 16번 보겠습니다. 자, 일단 f(x)가 최고차계수가 a고 원점을 지난 2차 함수 그리고 y는 kx, k는 양수 1사분면 위의 점을 a라고 하자. a를 지난 직선 y는 b가 fx 만난 점 b 그리고 꼭짓점 c 어 그리고 d라고 하자. 네. 자, 그때 CD CD 직선의 교점을 어 2라고 하고 A 아,요 삼각형요 삼각형 어 하고 AO ABO 삼각형의 넓이비가 1대 4다. 그 말은 여기가 A2랑 어 2 5는 1대 어 3이다이 말이죠. 자, 그리고 두 근의 차가 두 근의 차가 지금 결국은요 점이랑요 점의 x 좌표가 되겠죠? 차가 3분의 어 16이다. 그래서요 점의 x 좌표가 a x 좌표가 지금 3분의 어 16이다라는 거야. 그러면 얘는 자 0하고 어 16을 3대 1로 내분하는 거니깐 여기다가 3 4분의만 곱하면 되겠죠. 그죠? 3의 3 곱하면 몇이죠? 어, 3 16에다가 4 3 * 아, 얘가 4네요. 여기 점뒤는 x는 4라는 얘기네. 자, 그때 어, 네. 요렇게 나왔고 그러면 여기는 뭐 x 절편 요거 하나는 8 되겠죠? f(x)는 최고차 계수가 a라고 했었는데 x 절편이 0하고 8 나왔으니까 a * x * x - 8이다라는 거고 y는 kx하고 요거하고 지금 교점이 0이랑 x는 0이랑 어 16이다라는 얘기죠. 자, 그때 2OD의 넓이가 2OD 2OD 넓이가 어 60이래요. 근데 밑변 길이가 4니까요 높이가 어 이게 30이다라는 얘기가 되겠죠? 이해됐지? 그럼 여기서 k는 지금 얘가 0 얘가 4마 어 4마 30이야. 그래서요 점을 그냥 대입해도 되죠. 어 4하고 어 30 대입하면 될 거니까 k는 2분의 15다. 이렇게 나왔어. 이해됐지? 그럼 얘랑 쟤랑 연립하면 a의 x의 x - 8이랑 2의 15x랑 연립했을 때 0이 아닌 실근이 지금 13 16이니까 양변 x로 그냥 이렇게 한번 나눠주고 16 대입하면 a * 3 16 - 8이면 24 뺀 거니깐 어 2 자 16에서 24 빼면은 어 8인가요? 맞냐? 어, 3의 16 - 3의 24 해 주면 -3 되겠네. 맞죠? 얘가 어, 2분의 어, 15다라는 거죠. 2분의 어, 15. 자, 그러면 여기서 a는 마이너스음 어 3 * 2 15니까 -1분의 어 45가 되겠네. 그죠? 네. 그리고 나서 자, B는 뭐가 B였죠? 아, 요게음 요거 같은 경우는 뭐 네, 그냥 뭐 대입하면 되죠. 그죠? 대입해 주시면 자, 지금요 직선이 요거 점 a의 x 좌표가 16이니까요 점이 지금 어 3 16 콤마 그리고 b라는 거죠. 그래서 얘를 여기다 대입하면은 b는 k * x는 3분의 16 요렇게 해서 5 되고 요렇게 해서 8 되니까 b는에 40이다. 그래서 16 곱하기 k분의 아까 k가 15였죠? 15. 그리고 a는 -16 45. -16의 45. 그리고 + b는 어 40이었어요. 그래서 요거 약분되고 요것도 약분되고 그럼 -6이다. 그죠? 어 -6 + 40이니까 어 34인가요? 음. 정답은 요렇게 되겠네.
자, 17번 보겠습니다. 자, 일단 f(x) 모르는 식에 지금 인수 하나 곱해져 있어요. 얘가 x - x - 2겠죠? 양변에 1과 2를 대입해 볼 생각을 하셔야 되고. 자, 1 대입하면 g1 + k의제곱 + g1의 제곱은 0이고. 자, 2 대입하면 g2 + k의 제곱 g2의 어제곱은 0이에요. 자, 이때 어 뭐 실수겠죠? 그죠? 네. 자, 실수 제곱 + 실수 제곱이 0이면 얘네들 밑이 다 0 돼야 돼. 그죠? 그러면 g 1 + k랑 g1이랑 g 2 + k랑 g2가 모두 0 돼야 돼. 근데 지금 g(x)가 3차 다항식이었어요. 그죠? 그래서 g(x)가 0이 되는 실근은 많아요. 세 개들. 자, 여기서 k가 양수라는 조건이 있네요. 그럼이 값 중에서 제일 작은게 지금 1이고 제일 큰게 어 2 + k겠죠? 얘네 얘네는 어 다른 거랑 중복이 안 돼. 그죠? 자, 1 + k는 어,요 사이에 있어. 그죠? 사이에 있고 그리고 2도 어,요 사이에 있어. 아, 그럼 얘네 졸 같아야 되겠네. 그럼 k는 1이다. 음. 자, k는 1입니다. 1만 되고요. 그리고 나서 보시면 그럼 결국 g1이 0이고 g2가 0이고 g3이 0이다라는 얘기죠. 그럼 여기에서 g(x)는 최고차항 계수가 1이다라고 했으니까 g(x)는 어 x - 1 * x - 2 * x - 3이다라는 거야. 자, 얘를 여기다 식에다가 대입을 해 보면 어, 지금 g(x + 1의 제곱이 어, x제, x - 1제곱 그리고 x - 2의 제곱이 되고 g(x) 제곱은 x - 1제, x - 2 x - 3의 제곱인데 얘가 x - 1 * x - 2 * fx다라고 했어요. 그래서 여기서 x - 1, x - 1 하나씩 x - 1, x 거 요거 아니죠. 요거랑 요거 하나씩 그리고 여기도 하나씩 어 지우고 나면 fx는 x - 1하고 x - 2로 묶으면 x제 + 요거 제곱이니까 여기는 2x² - 6x + 9가 들어가야 되겠죠? 자, 이때 fx를 gx로 나눈 나머지를 자, fx를 gx로 나누었을 때 자, 목숨 px라고 할까? 자, 나머지가 rx다라고 나왔어. 자, 근데 잘 봐야 될게. 지금 fx가 얘를 인수로 가지고 있고 g(x)도 얘를 인수로 가지고 있어요. 그럼 요거 이항시키면 이제 얘로 묶인다라는 얘기지. 그러니까요 나머지도 결국은 얘를 인수로 가지고 있어야 돼. 네. 3차로 나눴을 때 나머지니까 이때 rx는 a * x - 1, x - 2 요렇게 두자. 얘가 rx다라는 거야. 그리고 fx를 rx로 나누었을 때 몫을 qx라고 하자. 근데 지금 fx가 얘를 인수로 가지고 있잖아. 그죠? 그럼 그때 qx는 그냥 fx를 얘를 어 얘로 나누면 되니까 다 약분되고 1의 어 2x제 - 6x + 9 이렇게 해서 나누어 떨어지겠죠. 그죠? 요게 qx입니다. 그때 r3 + r - 3. 음. r3 r3 어 여기다 3 대입한 거랑 q - 3 여기다 - 3 대입한 거랑 더해라라고 했어. 그럼 이제 a 값은 구해야 되겠는데. 자, a는 a는 자, 아까요 gx가 gx가 요거였어요. 그죠? 그래서 요거 아직 한 번도 안 써 먹었죠? 그래서 요거 양변에다가 3을 대입하면 자, f(3)이 요거 0 되거든. 그지? 0 되고 여기다 3 대입했으니까 2 1a에서 얘가 2a가 되겠죠? 자, 여기서 f(3)은 여기다 3 대입한 거고 3 대입하면 2 * 1 2에다가 3 대입하면 어 9 2 18 - 18 + 9니까 18이네요. 아 9네요. 3 대입하면 9죠. 얘가 2a다. 그래서 여기서 a는 예, 9가 되겠네. 그럼 r3은 여기다 3 대입한 거니까 9 * 2 * 1 되겠고 + q - 3은 어, 여기다가 -3 대입한 거니까 1/에 -3 대입하면 18 18 36 그리고 요거니까 45가 되겠죠. 그래서 요렇게 약분하면 예, 5 얘는 어, 18. 그래서 요렇게 더하면 어 정답은 23이다라고 하면 되겠죠?
자, 일단요 식은 x 3승 + 1은 0이니깐 인수 분해 보시면 x + 1 x제 - x + 1은 0이야. 자, 허근은 여기서 나온 거죠. 근데 오메가가 근이면 그 켤레도 근이니까 1번에 오메가 + 오메가 켤레는 두근의 합이니까 1이고 오메가 오메가 켤레는 두근의 곱이니까 얘도 1이죠. 자, 그리고 오메가는 근이니까 대입하면 오메가제곱 -오메가 + 1이 0이에요. 그리고 여기다 오메가 대입하면 오메가세제곱은 -1이에요. 그래서 1 - 오메가 + 오메가제곱이니까 딱 이거지. 0 되고. 자, 요렇게 세 개는 -오메가 3승으로 묶으면 -오메가 3승으로 묶으면 여기가 1 - 오메가 + 오메가제곱이니까 이것도 0이야. 그죠? 그럼 결국 얘만 남죠. 얘는 요거의 제곱이죠. 어, 그래서 2번의 정답은 1 되겠고. 자, 3번은 1 - 오메가분 1. 1 - 오메가는 요거 넘겨서 -오메가제 1이고 그리고 1 + 오메가제곱. 1 + 오메가제곱은 요거 넘기면 오메가니깐 1이고. 자, 얘가 -1이니까 세 번째 건 그냥 1 되겠죠? 그럼 요렇게 두 개 통분하면 어 -오메가세제곱으로 통분을 하면 오메가 되고 -오메가제곱이 되겠죠. 여기다가 이제 + 1만 해 주시면 되고 -오메가 3승은 + 1이고 오메가 - 오메가제곱은 요거 이항시킨 거예요. 그죠? 그래서 얘도 1이다. 그래서 1 + 1/이니까 정답은 3이다라고 하면 되겠죠? 그래서 1번. 네. 2번. 그리고 3번의 정답.
자, 문제가 굉장히 길었는데. 자, 지금 요기 넓이하고요 넓이하고요 넓이요 부분의 넓이가 지금 S1이고요. 그럼 S1을 한번 구해 보면 지금요 안에 있는요 세 원의 반지름이 a, b, c라고 했으니까요 원의 반지름은 a + b + c예요. 그래서 요거의 넓이. 자, S1은 전체 넓이가 파이의 a + b + c의 제곱에서 파이제곱 파b²파c제곱을 빼 주면 되겠죠? 그럼 얘는 2파이의 ab + bc + ca만 남겠네. 그죠? 요게 s1이 될 거고. 자, S2는 PR을 그러니까 얘를 지름으로 하는 원이다라고 했는데 자, 요렇게 곱하 자, 요렇게 연결을 해 주시면 여기는 반드시 수직이고 여기도 수직이에요. 그죠? 그래서 요거 반지름을 r1이라고 하면요 수선의 길이가 2r1이 되는 거고 그때 그 2r1의 제곱은 얘 곱하기 얘랑 같아요. 그죠? 직각삼각형에서 수선 내렸을 때 얘은 얘 곱하기 얘지. 그래서 4 r1의 제곱이 2a * 2b + 2c가 된단 말이야. 그래서 양변을 4로 나누면 r1의 제곱은 a * b + c예요. 그래서 s2는 파이 r1의 제곱인데 걔가 a * b + 어 c였다라는 거고. 그리고 아, 네. 네. 요렇게 나왔고요. 그리고 어, S 3은 자, 얘는 QS를 지름으로 하는 얘를 지름으로 하는 거니까 내용은 똑같죠. 요렇게가 어, 수직이에요. 여기가 수직. 그리고 수선을 또 내린 거야. 그래서 요거 반지름을 어, R2라고 하면요 지름이 R 2R2죠. 2R2의 제곱이 얘 곱하기 어 얘랑 같다라는 거야. 그죠? 2R2의 제곱이면 이제 4r2제곱이음 왼쪽은 2a + 2b 2a + 2b하고 오른쪽은 2c가 되겠죠. 양변을 4로 나누면 r2제곱도 나왔고 그래서 s3은 파r2의 제곱이니까 어 4로 나누면 뭐예요? c * 어 a + b예요. 그래서 1번에서 s1 + s2 + s3를 a bc에 관한 보세요. 이거랑 어 이거랑 이것을 더해라이 말이죠. 그죠? 그래서 파이로 묶으면 어 여기서 2ab하고 a하고 그럼 3ab가 되겠고 자 3ab에다가 플러스 어 2bc랑 어 bc 그럼 3bc 3bc가 되겠고 그리고 2 ca랑 어 여기도 ca 여기도 ca니까 요거는 4인가요?음 음. 4 ca. 예. 요렇게 되겠네. 자, 2번에서 AB가 16이고 AB가 16이면 결국은 a + b + c가 8이고 s1, s2, s3 합에서 그게 요거였죠. 그죠?요 합에서 자, ar 어 ar은 2a죠? 얘가 2a. 그리고 SB는 2C죠. 그럼 여기 4랑 요거랑 요거랑 약분이 된다. 그죠? 자, 약분되고 요거에서 결국 뭐야? AC파이를 뺐으니까 요거 하나 줄어들겠네, 그지? 그러면 3으로 묶었을 때 AB + BC + CA가 이거다라는 거야. 이거 아시겠죠? 그죠? 음. 그러면 225가 15제곱이죠. 그럼 3으로 싹 3파이로 양변 딱 나눠 주면 결국 얘는 파이 약분되고 3으로 약분되면 요렇게 하면은 5가 되고 그래서 4분의 어 75음 4분의 75가 나오네. 그때 AR²곱 AR ar 어 AR이 2a의 제곱이죠. 그래서 얘는 4a 제곱 + rs. RS가 2b 제곱이니까 4 b의 제곱. SB는 2c였으니까 4 c제곱의 값을 어 구해라 이거네요. 자, 그러면 여기서 a제곱 b² c제곱은 a + b + c 제곱에서 즉 요거의 제곱 예, 64에서 2ab + bc + ca를 뺀 거니까 요거에 두 배를 뺀 거니까 -2분의 75가 되겠지. 이해되죠? 그죠? 얘가음 요거다라는 거야. 그럼 여기다 이제 곱하기 4를 해라라는 거죠. 그래서 여기다 곱하기 4하면 256 되고 마이너스 곱하기 4하면 150이 되겠죠? 그죠? 그래서 렇게 빼주면 10 6이 정답이다.