01. Sistemas de ecuaciones lineales, 2 variables | Álgebra Lineal

Hola y bienvenidos a otro vídeo de Mate Fácil. En este vídeo vamos a empezar el curso de Álgebra Lineal, y el primer tema que vamos a estudiar a fondo es el de sistemas de ecuaciones lineales. Vamos a ver aquí sistemas 2 por 2. Seguramente, hasta este momento ya han resuelto ustedes sistemas 2 por 2 e incluso sistemas 3 por 3 en cursos de álgebra elemental; pero en este vídeo vamos a hacer un análisis completo, un estudio profundo de este, de estos sistemas. Vamos a ver cuándo tienen una solución, cuándo tienen infinitas soluciones. Vamos a ver, por ejemplo, si es posible que un sistema 2 por 2 tenga exactamente dos soluciones y ninguna más, cosas así. Todo eso lo vamos a estudiar en este vídeo.

Específicamente, los temas que vamos a ver son los siguientes: primero, qué es una ecuación lineal en dos variables; luego, qué significa una solución de una ecuación en dos variables y cómo podemos calcular la solución completa. Después, vamos a ver qué significa una solución para un sistema 2 x 2. Luego, vamos a ver cuáles son los casos que podemos tener para diversos sistemas, cuántas soluciones tienen un sistema. Después, vamos a ver los diversos métodos de solución; los voy a enlistar, y ya nos iremos estudiando a lo largo del curso. Y en este vamos a ver el método de eliminación, y vamos a resolver un sistema que tiene una solución, un sistema que no tiene solución y un sistema infinitas soluciones. Vamos a ver un ejemplo de cada caso y cómo darnos cuenta de esto. Y finalmente, una lista de ejercicios.

Entonces, vamos a empezar con el primer tema, que es una ecuación lineal de dos variables. Bueno, por ejemplo, una ecuación lineal de dos variables es una ecuación como esta de aquí: 2x + 3y = 6. Se les llama ecuaciones lineales porque, como aprendemos en geometría analítica, esta ecuación representa en el plano cartesiano una línea recta. Si tienen dudas sobre ese tema, también tengo un curso en mi canal de geometría analítica, y ahí pueden ver un poco más acerca de las ecuaciones de la recta. Una ecuación lineal en general tendrá esta estructura: un número por x más otro número por y igual a otro número. Este tipo de ecuaciones son las que nos dan diferentes rectas en el plano, dependiendo de cuánto vale a, b y c; así va a ser la recta, la inclinación, la intersección con el eje y, etcétera, todo ese tipo de cosas que estudiamos en geometría analítica.

Pero entonces, ¿cómo es una ecuación que no es lineal? ¿Cómo la podemos identificar? Bueno, podrían pensar ustedes que la mejor esta ecuación de aquí no es lineal porque no tiene esta estructura. Vemos que aquí está la x, pero la y está del otro lado; pero en realidad eso no es lo importante en este tipo de ecuaciones. Recuerden que nosotros podemos pasar términos de un lado al otro de la ecuación cambiando los signos: pasa sumando, pasa restando, etcétera; todo ese tipo de cosas que aprendemos en los cursos de álgebra elemental. En este caso, por ejemplo, este -2y lo podemos pasar al otro lado sumando, y entonces tenemos que -x + 2y = 1. Esta ecuación y estas son exactamente la misma. Entonces, esta ecuación de aquí podemos ver que tiene esta estructura: a vale -1, b vale 2, c vale 1. Entonces, sí se trata de una ecuación lineal, aunque a primeras no hubiera estado exactamente en esta forma, pero se puede llevar a esa forma. Pero, por ejemplo, esta otra ecuación de acá, esta no es una ecuación lineal, porque para empezar la y tiene un exponente cuadrado. No hay manera de ajustar aquí los términos pasando los de un lado a otro para que nuestra ecuación quede de esta forma exactamente, ya que aquí hay exponentes y de hecho también raíces cuadradas. A este tipo de ecuaciones lo vamos a llamar ecuación no lineal, sí, porque no es una ecuación lineal.

Otro ejemplo: esta ecuación de aquí podría parecer que es lineal, porque bueno, está la x, hasta la y, y vemos que todos tienen exponente 1; pero aquí hay que tener cuidado, porque la x se está multiplicando por la y. Vean que acá en la estructura solamente debemos tener 1x más un número por y igual a otro número; no se pueden multiplicar la x con la y en la ecuación. Entonces, está bien, se trata de una ecuación no lineal. Otro ejemplo es este de aquí, que tampoco es lineal, porque aquí se cumplen las dos cosas que vimos: tienen exponente dos y hay un término aquí cruzado. Es una ecuación no lineal, pero es una ecuación importante que ya estudiaremos más adelante. De hecho, es un tipo de forma cuadrática y que representa una cónica en el espacio: puede ser una parábola, una elipse, una hipérbola, etcétera. Entonces, esto lo vamos a estudiar más adelante, y de hecho para eso vamos a emplear técnicas, pues, el álgebra lineal, matrices y todo eso. Entonces, para eso necesitamos primero estudiar las ecuaciones lineales y luego lo podremos aplicar a ecuaciones como esta de acá, a pesar de que no se trate de una ecuación lineal. Es muy interesante esa parte. Bueno, ya lo veremos más adelante.

Entonces, ¿qué significa resolver una ecuación como esta de aquí? Pero, pues, para entender qué es resolver una ecuación, necesitamos saber qué es una solución de una ecuación. Bueno, pues una solución de una ecuación va a ser una pareja de valores, o sea, x = a, y = b, que satisfaga la ecuación. Si a esta pareja también vamos a denotar muchas veces de esta otra manera, como las coordenadas de un punto o las componentes de un vector; ya más adelante más detalles sobre eso, pero esto de aquí es lo mismo que estoy acá. Bueno, pues esta pareja debe cumplir que si nosotros sustituimos la a en lugar de la x y la b en lugar de la y, entonces la igualdad se debe cumplir, así. Para que quede todo esto más claro, vamos a ver un ejemplo con esta misma ecuación. Podemos ver que una solución es la siguiente: x = 3, y = 0, o que también la podemos denotar como (3,0). Esta es una solución, porque si sustituimos x = 3 aquí y y = 0 acá, nos queda 2 por 3 + 3 por 0; haciendo las operaciones queda 6 + 0, que es 6. O sea, sabemos que sí se cumple la igualdad. Y este punto, de hecho, el (3,0) lo podemos representar en el plano cartesiano: x = 3, y = 0, y vemos que el punto se va a encontrar sobre la recta que representa esta ecuación. Sí, entonces hay una relación entre las soluciones y los puntos que están sobre la recta. Pero esta no es la única solución. Otra solución, por ejemplo, es esta de aquí: x = 0, y = 2. Si sustituimos en la ecuación, tenemos 2 por 0 + 3 por 2 = 6. Podemos ver que aquí nos da 0, aquí nos da 6; 0 + 6 nos da 6. A este punto también, un punto de la recta; de hecho, lo podemos ver: x = 0, y = 2, es este punto de acá. Entonces, podemos ver que hay varias soluciones para esta sola ecuación que tiene dos variables. La pregunta que surge naturalmente es: ¿cómo podemos calcular todas estas soluciones? Porque aquí yo las puse; sí, podríamos incluso haberlas adivinado ahí intentando diversas soluciones, pero necesitamos un método que nos lleve a calcular estas dos soluciones y todas las posibles soluciones de la recta. De hecho, ustedes pueden ver, por ejemplo, que si sustituyen x = 1, y = 1, eso no les va a dar una solución; o sea, hay puntos en el plano cartesiano que no son soluciones del sistema y hay otros que sí lo son. Entonces, y estamos saber cuáles son todos los puntos que satisfacen la ecuación. Bueno, pues vamos a ver cómo hacerlo.

Para obtener la solución completa de la ecuación, en primer lugar, tomen en cuenta que cuando tenemos una ecuación con dos variables, una ecuación lineal de dos incógnitas, hay infinitas soluciones. Y eso lo podemos entender desde la gráfica que tenemos aquí del lado derecho. Como ya dijimos, cada punto de la recta es una solución del sistema. ¿Y cuántos puntos tiene esta recta? Pero pues hay infinitos puntos. De hecho, la recta, recuerden que se extiende infinitamente en ambos lados. Entonces, este punto también es una solución, ese de acá, este de acá, y así hay infinitos puntos que satisfacen la ecuación. Entonces, queda claro a partir de la geometría que hay infinitos puntos. Pero, ¿cómo podemos calcular todos esos puntos? Primero, de esta ecuación vamos a despejar una de las variables. Podemos despejar la x o despejar la y; yo voy a despejar la y. Entonces, el 2x que está aquí positivo pasa al otro lado negativo; luego, el 3 que está multiplicando lo pasamos dividiendo. Podemos dividir aquí 6 entre 3, y eso nos da 2. Y entonces ahí tenemos, bueno, pues una ecuación equivalente a esta acá; simplemente estamos despejando y. Pero observen que aquí nosotros no conocemos cuál es el valor de x. Sin embargo, podemos darle a x cualquier valor que nosotros queramos, y vamos a obtener una solución de la ecuación. Por ejemplo, si x vale 0, y va a valer 2 - 0, o sea, y vale 2. Y si x vale 0 e y vale 2, y sustituimos por acá, ya vimos que se cumple la igualdad. Y si en lugar de darle a x el valor de 0 le hubiéramos dado, por ejemplo, el valor de 3, bueno, pues obtendríamos aquí 2 - 2, que nos daría 0; o sea, y = 0, x = 3, que también ya vimos que satisface la ecuación. Pero a la x le podemos dar cualquier otro valor. Entonces, eso lo vamos a expresar de esta manera: x puede ser igual a t, donde t es cualquier número real. Esto de aquí significa números reales, y lo vamos a estar viendo bastante a lo largo de este curso. Entonces, x puede ser, por ejemplo, 1, puede ser 0, puede ser 1.5, puede ser un medio, puede ser raíz cuadrada de 2, cualquier número real. Entonces, si x es igual a t, sustituyendo por acá tenemos que y es igual a 2 - (2/3)t. Y entonces ahí tenemos todas las posibles soluciones. Solamente los valores de x y de y que satisfagan estas expresiones serán solución de la ecuación. Entonces, si le damos el valor de 5, bueno, pues acá también sólo tendríamos que dar el valor de 5; haciendo las operaciones obtendríamos el valor de y, y esa será una solución de esta ecuación de acá. Bueno, eso también lo podemos expresar de esta manera: las soluciones de esta ecuación son de esta forma: (t, 2 - (2/3)t). O sea, en lugar de la primera coordenada ponemos el t, y en lugar de la segunda coordenada ponemos 2 - (2/3) de t. Y ahí tenemos entonces una expresión en general para todas las soluciones. Ya de aquí podemos nosotros sustituir cualquier valor de t y así ir obteniendo diversas las soluciones, que serán diversos puntos sobre esta recta.

Bueno, ahora ¿qué es un sistema de ecuaciones? Porque lo que vimos hasta ahora es solamente una ecuación; pero un sistema de ecuaciones 2 x 2 será un conjunto de dos ecuaciones con dos variables. Eso es lo que significa 2 x 2. Entonces, aquí tenemos una ecuación que tiene dos variables, y añadimos otra ecuación que también tiene dos variables. Entonces, lo que buscamos es todos los valores de x, de y que cumplan ambas ecuaciones al mismo tiempo. Muchas veces, para indicar que estas dos ecuaciones pertenecen al mismo sistema usamos este, esta llave de aquí. Esta llave nos dice que estas dos ecuaciones son parte de un mismo sistema; o sea, que buscamos los valores de x, y que satisfagan estas dos ecuaciones al mismo tiempo. Aunque esta anotación de llaves la vamos a usar solamente cuando pueda haber riesgo de confusión, generalmente no las vamos a estar escribiendo todo el tiempo. Pero bueno, entonces una solución para el sistema, como estamos diciendo, es una pareja x = a, y = b, que también podemos anotar como (a, b), que debe satisfacer ambas ecuaciones al mismo tiempo. Es decir, no se vale con que obtengamos un valor de x, y que uno dice que cumpla la primera ecuación, pero la segunda sí; tiene que cumplir las dos al mismo tiempo. Entonces, por ejemplo, para este sistema una solución será x = 1, y = -1, porque si sustituimos en la primera ecuación tendríamos 3(1) - 2(-1) = 5, y podemos ver que sí se cumple la igualdad; aquí tenemos 3 + 2, que es 5. Pero también hay que verificar en la segunda ecuación; pues al sustituir en la segunda ecuación tenemos 4(1) + 4(-1) = 0. Podemos ver que esto es 4 - 4, lo cual es 0. Entonces, vemos que estos valores satisfacen ambas ecuaciones al mismo tiempo, y por lo tanto son una solución. Claro que aquí yo les estoy dando la solución, pero ¿cómo podemos obtener esta solución para este sistema? Bueno, pues es lo que veremos a continuación. Y de hecho una otra pregunta que surge es: ¿esta es la única posible solución o hay más soluciones? Y si hay más soluciones, ¿cuántas soluciones más hay? Bueno, pues vamos a responder a esas preguntas.

Entonces, en general, un sistema 2 por 2 tiene esta estructura: es un número por x más un número por y igual a otro número, y luego otra ecuación que tiene la misma forma. Entonces, geométricamente podemos entender cómo son las soluciones de un sistema. Queremos saber cuántas soluciones puede tener un sistema 2 x 2; es decir, un sistema 2 x 2 podría tener, por ejemplo, tres soluciones distintas y nada más tres, o puede tener infinitas, o todos sistemas nada más tienen una solución. Bueno, pues vamos a responder a esas preguntas. Primero vamos a entenderlo geométricamente. Como ya vimos, la primera ecuación, si nosotros la representamos en el plano cartesiano, eso es alguna recta, por ejemplo, esta recta de aquí. Bueno, pues si ahora representamos también la segunda ecuación, esto será otra recta. Esa otra recta puede ser que corte a la primera en un punto. Entonces, observen que ese punto de corte será un punto que cumple la ecuación de la recta amarilla, o sea, la primera ecuación, y será un punto que cumple a la vez la ecuación de la recta roja. Y es el único punto, porque cualquier otro punto que tomemos sobre la recta amarilla no estará sobre la roja, así que no puede cumplir la segunda ecuación. Entonces, en este caso, cuando las dos rectas se cortan, se cortan en exactamente un punto, y tenemos exactamente una solución. Pero este no es el único posible caso. Nosotros, si dibujamos la primera recta y luego dibujamos la segunda, puede ser que la segunda no corte a la primera; es decir, la segunda recta puede ser paralela. En este caso, vemos que no hay puntos en común, así que en este caso no tendríamos solución. Bueno, pues ahí tenemos dos casos, pero hay un tercer caso posible. Esta recta es la de la primera ecuación, y al dibujar la recta de la segunda ecuación puede ocurrir que coincida perfectamente con la primera; o sea, que en realidad se trate de la misma recta, simplemente representada con otra ecuación. Entonces, vemos que las dos rectas coinciden, así que cualquier punto que esté sobre la recta amarilla estará sobre la recta roja y viceversa. Entonces, en este caso vemos que hay infinitas soluciones: todos los puntos que están sobre una línea recta. Y bueno, vemos que no hay más posibles casos; estos son los únicos tres casos. Y queda muy claro aquí a partir de la geometría que solamente puede haber una solución, no existen solución o haber infinitas soluciones. Más adelante vamos a justificar esto sin usar geometría; lo vamos a hacer algebraicamente. Pero por ahora queda claro aquí desde la geometría que estos son los únicos tres casos posibles para un sistema; es decir, no puede ocurrir que un sistema 2 por 2 tenga exactamente dos soluciones o exactamente tres soluciones; o tiene una, o tiene cero, o tiene infinitas, y son los únicos casos. Bueno, pues entonces, ¿y esos tres casos posibles? Y a las, a los sistemas que no tengan solución también se les va a llamar sistemas incompatibles. A los sistemas que sí tienen solución le vamos a llamar sistemas compatibles, y dentro de los sistemas compatibles puede ser que tengan exactamente una solución, y en este caso se va a decir que es un sistema compatible determinado; o puede ocurrir que haya infinitas soluciones, y en este caso se va a decir que el sistema es compatible indeterminado. Sí, entonces estos son otras terminologías que vamos a estar utilizando bastante a lo largo de este curso.

Bueno, entonces, ¿cómo resolvemos un sistema 2 x 2? ¿Cómo podemos darnos cuenta si tienen una solución, si no tiene, o si tiene infinitas? Pues vamos a verlo con esta, con este sistema de aquí como ejemplo. Bueno, para empezar, para resolver un sistema 2 x 2 existen muchísimos métodos, y algunos de esos métodos ya los habrán estudiado ustedes en su curso de álgebra elemental: método de eliminación, sustitución, igualación, determinantes y método gráfico. Estos son los cinco métodos que se suelen ver en un curso de álgebra elemental, y de hecho yo los tengo en mi curso de álgebra elemental; les voy a dejar el enlace en la descripción por si quieren ir y ver esos vídeos. Ahí pueden ver ejemplos para acá uno de estos métodos, pero no son los únicos métodos que hay para resolver sistemas de ecuaciones; existen varios más: por ejemplo, el método de Gauss-Jordan, la eliminación Gauss-Jordan, factorización LU, el método de Jacobi y el método de Gauss-Seidel. Entonces, ¿cuándo conviene usar más un método que otro? Bueno, pues estos métodos de acá ya los vamos a ir viendo a lo largo del curso. En el caso de sistemas 2 por 2 hay dos métodos que son muy buenos para resolver este tipo de sistemas muy rápidamente: son el método de eliminación y el método de determinantes. Más adelante hablaremos acerca de determinantes; veremos qué es un determinante, sus propiedades, etcétera, y cómo aplicarlo para ciertos sistemas. Pero en este vídeo vamos a ver más a fondo el método de eliminación, porque de hecho el método de Gauss-Jordan y eliminación Gauss-Jordan, que son los que van más, vamos a utilizar para el sobre sistemas, en realidad son una forma del método de eliminación, simplemente que utilizando matrices; que eso ya lo iremos viendo más adelante. Entonces, vamos a ver cómo se aplica, o qué es el método de eliminación para un sistema 2 x 2.

Bueno, el método de eliminación consiste en utilizar unas propiedades muy básicas de las ecuaciones. Para empezar, si nosotros tenemos un sistema 2 por 2, una cosa que resulta como muy evidente, muy intuitiva, es que si nosotros intercambiamos las ecuaciones del sistema, obtenemos un sistema que tiene las mismas soluciones exactamente; o sea, es de hecho el mismo sistema, nada más estamos escribiendo las ecuaciones en otro orden. Es decir, para este sistema de aquí es lo mismo escribirlo así que escribirlo así. Este sistema de aquí tiene exactamente las mismas soluciones que el sistema original; es decir, que si este sistema original tenía exactamente una solución, bueno, pues éste también; si éste tenía infinitas, éste también, y son las mismas. Y bueno, entonces ahí tenemos una, una primera propiedad muy básica. Otra propiedad que también es elemental, que es una que utilizamos todo el tiempo cuando resolvemos ecuaciones, es que podemos multiplicar ambos lados de una ecuación por una misma cantidad. Es decir, en este caso la primera ecuación la podríamos multiplicar en ambos lados por 5, y obtenemos otra ecuación que es válida. Si hacemos esta multiplicación nos queda 5x - 10y = 5. Y esta ecuación, que era la primera, junto con la segunda, forman otro sistema, pero en realidad es el un sistema que tiene las mismas soluciones que el original. En esos casos vamos a decir que los sistemas son equivalentes; o sea, este sistema original que es equivalente a este de acá, porque tienen las mismas soluciones. Vale, entonces esta es otra, otra de las propiedades que vamos a usar para el método de eliminación, y que también es muy intuitiva. Y finalmente, una tercera propiedad que nos dice que nosotros podemos sumar una a otra ecuación. Bueno, esto aquí también es, es una de las propiedades que usamos mucho al resolver ecuaciones, solamente que nosotros la usamos de otra manera. Nosotros decimos: bueno, podemos tomar una ecuación y sumar en ambos lados una misma cantidad. Pero piensen en lo siguiente: si estamos diciendo que x - 2 = 1, entonces estas dos cantidades son iguales, así que se las podemos sumar a esta ecuación; o sea, de este lado sumamos x - 2, y de este lado sumamos un 1. En realidad estamos sumando las mismas cantidades en ambos lados de la ecuación. Entonces, estamos usando esa propiedad bastante conocida de las ecuaciones. Entonces, en este caso, si sumamos las dos ecuaciones obtenemos esta nueva ecuación: 3x + y = 10. Si, y esta ecuación junto con la primera, o junto con la segunda, forman un sistema que tendrá las mismas soluciones. Por ejemplo, si en este caso las juntamos con la primera ecuación, bueno, pues ahí está otro sistema 2 x 2, pero en realidad es un sistema equivalente al inicial, porque nada más estamos tomando la primera ecuación exactamente igual, y en la segunda lo que hicimos fue sumar en ambos lados una misma cantidad. Bueno, pues este sistema tiene las soluciones que el original. Pero bueno, en realidad, en lugar de usar directamente el 3 de esta manera, nos va a convenir utilizar otro, otro, otra propiedad, que es una combinación de la propiedad, o sí, la propiedad 3, que nos dice que podemos sumarle un múltiplo de una ecuación.

A otra ecuación conviene más usar esto de aquí, porque nos va a ahorrar muchos pasos al momento de estar resolviendo ecuaciones. Sí, es decir, por ejemplo, en este caso nosotros podríamos sumar menos dos veces la primera ecuación a la segunda. O sea, primero estaríamos multiplicando la primera ecuación por menos 2 en ambos lados; ahí estamos aplicando la propiedad 2. A las cerezas de esas operaciones obtenemos esta ecuación. Y bueno, en esta ecuación se la sumamos a la segunda; entonces así estaremos usando la propiedad 3. Por eso les digo que es una especie de combinación entre la 2 y la 3, pero conviene más usar ésta en lugar de estar acá. Bueno, entonces al hacer esto de aquí, al sumar estas dos ecuaciones, vean que este 2x con este se cancelan. 3 yemas, 4 llenos de 7, y 9 menos 2 a 7. Entonces esta nueva ecuación, junto con la primera, nos da un sistema y las mismas soluciones que el sistema original. Bueno, entonces el sistema original es equivalente a este sistema de acá, pero observen que este sistema ya es mucho más simple. Entonces este sistema lo podemos ya ir resolviendo, porque se nos eliminaron las x. Precisamente en eso consiste el método de eliminación: en buscar sumarle un múltiplo de una ecuación a otra de tal manera que se nos elimine una de las dos variables, para que nos quede una ecuación sencilla, como en este caso, esta de aquí. Y a partir de esa ecuación podemos obtener rápidamente la solución. Observen que en este caso la segunda ecuación podemos usar la propiedad 2, o sea, multiplicar a ambos lados por un séptimo. Entonces es lo mismo que dividir 7 entre 7, que nos da 1, que da 1, y 7 entre 7 acá nos da también una. Entonces tenemos la solución para y. A partir de aquí podemos ahora sustituir este valor de y en la primera ecuación y luego despejar para obtener x, o podemos volver a aplicar la propiedad número 3; es decir, le sumamos ahora a un múltiplo de la segunda ecuación a la primera para eliminar la variable y. En este caso observen que si le sumamos dos veces la segunda ecuación a la primera, aquí nos… así que se va a eliminar con este -2y. Es aquí al multiplicar por 2 nos queda 2y igualados, y entonces al hacer la suma nos va a quedar que estos se cancelan, queda simplemente x, y aquí se suman estos también, queda entonces que x es igual a 3. Entonces obtenemos esta ecuación de aquí, junto con esta de acá, el cual es un sistema equivalente al original, pero ya de hecho se trata de la solución x = 3, y = 1. Entonces, en este caso lo que vimos fue un ejemplo de un sistema que nos lleva a exactamente una solución, que es esta de aquí, y es un sistema compatible determinado. Bueno, pues vamos a ver otro ejemplo. Vamos a ver ahora este otro sistema de aquí, que es ligeramente distinto, y vamos a resolverlo con el método de eliminación. Entonces vamos a tratar de eliminar primero la x. Observen que si multiplicamos la primera ecuación por -2 y se la sumamos a la segunda, se va a eliminar, porque vamos a tener -2x + 2x, y se eliminan las x. Bueno, pues entonces sumamos -2 veces la primera ecuación a la segunda, obteniendo esto de acá. Primero aquí multiplicamos por el -2, sumando las ecuaciones, y entre nos queda aquí un cero, aquí un cero, y aquí nos quedó 1; o sea, nos llegamos a esta ecuación que junto con la primera actuación nos da un sistema que es equivalente al original; o sea, las soluciones de este sistema coinciden con las soluciones del sistema original. Pero vean que en este sistema la segunda ecuación está extraña, ¿no? O sea, independientemente de cuánto valga x y cuánto valga y, nunca puede ocurrir que 0 es igual a 1. Esto es una contradicción; o sea, x puede tener cualquier valor, puede valer 1000, puede valer un millón, no importa, siempre tenemos esta igualdad 0 = 1, y esto es imposible. Entonces, en este caso, como estamos llegando a una ecuación que no se puede cumplir, decimos que el sistema no tiene solución; o sea, que se trata de un sistema incompatible. Entonces esa es una manera de identificar los sistemas incompatibles: que es cuando nosotros vamos eliminando variables, siempre vamos a llegar a alguna ecuación que es contradictoria, y vamos a llegar a que 0 = 1, ya sea 0 = 5 o cosas así. Bueno, entonces ya tenemos un ejemplo de un sistema que no tiene soluciones. Vamos a ver ahora el tercer ejemplo, un ejemplo de sistemas con infinitas soluciones. Bueno, aquí tenemos otro sistema ligeramente distinto del anterior. Entonces, de nuevo podemos la primera actuación fue -2, y sumarse la a la segunda para multiplicar aquí por -2. Obtenemos esto de aquí. Hacemos la suma de las ecuaciones. Entonces observen que aquí nos queda 0x, 0y, y aquí también 0; o sea, nos queda 0 = 0. Que junto con la primera ecuación original forman un sistema que tiene las mismas soluciones que el sistema original. Pero en este caso, vean que en la segunda ecuación en realidad no nos da ninguna información sobre x y sobre y. Es una ecuación que se va a cumplir siempre, sea cual sea el valor de x y el valor de y. O sea, que de aquí realmente la única ecuación importante es la primera: x - 2y = 1. Es la única que nos va a decir las soluciones de este sistema. Entonces este sistema de aquí, en realidad es como si tuviéramos una sola ecuación de dos variables, y ya vimos cómo se resuelve una ecuación de este tipo. Y para resolver esta ecuación vamos a despejar ya sea la x o la y. En este caso queda más fácil despejar la x. El 2y pasa sumando, y entonces la y es la variable que ahora puede adquirir cualquier número real. Así que hacemos que sea igual a t, donde t es cualquier número real, y entonces x = 1 + 2t. Entonces las soluciones son infinitas, una para cada valor de t, y como los números reales son infinitos, bueno pues tenemos un conjunto infinito de soluciones, y todas las soluciones las podemos escribir de esta forma: primero colocamos la coordenada x, que es 1 + 2t, luego la coordenada y, que es t, y aquí t puede ser cualquier número real. Y este es el conjunto de todas las soluciones. Así que en este caso se trata de un sistema compatible indeterminado. Bueno, pues entonces ya vimos cómo son los sistemas 2 x 2 y todos los posibles casos para las soluciones. En el siguiente vídeo vamos a ver cómo son los sistemas 3 x 3, pero antes de terminar vamos a ver una lista de ejercicios. Los invito a que ustedes los resuelvan. El ejercicio 1 es calcular cuatro soluciones para esta ecuación. Luego el ejercicio 2 nos da un sistema lineal en el cual aparece este parámetro t. Entonces consiste en determinar un valor para t para que el sistema tenga solución; luego determinar un valor para t para que el sistema no tenga solución; y finalmente una pregunta: ¿cuántos valores posibles se pueden escoger en el inciso b para que el sistema no tenga solución? Luego el tercer ejercicio nos da otro sistema lineal; es parecido al segundo ejercicio, sólo que en este caso aparece este parámetro a. Entonces nos pregunta cuáles son los valores de a para que el sistema tenga exactamente una solución; cuáles son los valores de a para que el sistema no tenga solución; y cuáles son los valores de a para que tenga infinitas soluciones. Tenemos que ir calculando diversos valores de a para que se cumpla cada una de estas situaciones. Luego el siguiente ejercicio, el 4, nos da un conjunto de sistemas 3 x 2; o sea, son tres ecuaciones que tienen dos variables cada una de esas ecuaciones, y nos pide resolverlo. Entonces lo podemos resolver con el método de eliminación que vimos. Luego el ejercicio 5 es una demostración; pide demostrar que el sistema de ecuaciones 2 x 2 en general va a tener solución única sí y solamente si se cumple esta igualdad de aquí, que más adelante veremos que es una igualdad importante porque nos va a llevar a la definición de un determinante. Eso ya lo iremos viendo más adelante. Y finalmente el sexto ejercicio es similar a este de acá, solamente que en este caso tenemos un sistema en el cual los términos independientes valen cero. A un sistema de este tipo se le llama sistema homogéneo. Este es un sistema homogéneo 2 x 2. Entonces dice que hay que demostrar que el sistema homogéneo 2 x 2 siempre tiene solución independientemente de cuáles sean los coeficientes que aparecen aquí, y luego nos pregunta qué condición deben cumplir los coeficientes para que existan infinitas soluciones. Entonces esos son los seis ejercicios. Pueden ver que algunos de los ejercicios tienen por aquí un diamante. Entonces los ejercicios de numeración impar son ejercicios que voy a resolver en vídeo y que podrán ver en los próximos vídeos; les voy a dejar los enlaces en la descripción una vez que los haya subido. Y los ejercicios de numeración par también los voy a subir, pero serán vídeos exclusivos para miembros. Si aún no eres miembro del canal, te invito a darle click al voto, y ahí puedes ver más información sobre las membresías, y así puedes apoyar a mi canal para que siga haciendo cursos como este de aquí. Muchísimas gracias a todas las personas que me apoyan con su membresía en YouTube y en Patreon. De verdad, infinitas gracias por todo su apoyo.