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[Musica] Ciao ragazzi, in questo video vediamo alcuni esercizi svolti sul calcolo delle derivate, che è una di quelle cose che si vedono di solito nel triennio delle scuole superiori e che poi risaltano fuori nei corsi di analisi 1 o matematica generale di molte università.
Prima di cominciare, ricordo quindi a chi non avesse già visto i video precedenti di questa playlist, dove abbiamo parlato nel dettaglio delle varie regole di derivazione e abbiamo visto caso per caso numerosi esempi svolti, che volendo li trovate tutti raccolti nella playlist linkata in descrizione qui sotto.
In questa schermata vi ho riassunto invece le derivate delle principali funzioni elementari, che, come vi dicevo, vale la pena di memorizzare per poter poi svolgere agevolmente gli esercizi. Senza perdere altro tempo, cominciamo subito dal primo esercizio, che ci propone la funzione f(x) = 1/2 x² - 3x + 7.
La consegna, che sarà comune a tutti gli esercizi successivi e che ho omesso di scrivere ogni volta, è sempre di determinare la derivata prima. Notiamo che in questo caso siamo davanti ad una funzione polinomiale, che possiamo pensare come la somma algebrica di tre termini: 1/2 x², -3x e 7. Se ricordate, la prima regola di derivazione che abbiamo visto nei video precedenti ci diceva che la derivata di una somma è la somma delle derivate. Dunque, per determinare la derivata di questa funzione, dovremo sostanzialmente sommare le derivate di ciascuno di questi tre pezzi.
La derivata di 1/2 x² è 1/2 per la derivata di x², cioè 2x. Infatti, essendo x² una potenza, per fare la sua derivata ci basta far scendere l'esponente davanti moltiplicato e poi diminuire l'esponente di 1, che quindi da 2 diventa in questo caso 1 e quindi possiamo non scriverlo. Similmente, la derivata di -3x sarà -3 per la derivata di x, che come sappiamo è uguale a 1. Mentre il +7 che abbiamo sommato in coda ha come derivata 0.
A questo punto, svolgendo le moltiplicazioni, si conclude subito che la derivata è x - 3. Prima di proseguire, vi invito a osservare come l'1/2 e il 7, che sono entrambi numeri, hanno avuto due destini molto diversi nel momento in cui abbiamo fatto la derivata. E quindi è molto importante avere chiaro, lo dico in particolare a chi ha le prime armi con il calcolo delle derivate, che quando abbiamo un numero moltiplicato per una funzione, nel momento in cui deriviamo, il numero, diciamo così, "sopravvive" e ce lo ritroviamo moltiplicato per la derivata della funzione che c'era dopo. Mentre, se il numero era sommato e quindi si comporta come una costante additiva, nel momento in cui facciamo la derivata, la derivata della costante è uguale a 0 e quindi il numero sostanzialmente "defunge".
Diamo uno sguardo al secondo esercizio, che ci chiede di determinare la derivata della funzione x²⁰¹⁹ - 4 * (1/x) + 2√x. Come nell'esempio precedente, anche stavolta ci troviamo davanti alla somma algebrica di tre termini e quindi la derivata di questa funzione sarà la somma algebrica delle derivate di questi tre termini.
x²⁰¹⁹ è una potenza e quindi per fare la sua derivata ci basta, come dicevamo prima, far scendere il suo esponente davanti moltiplicato e poi diminuire l'esponente di 1. Per quanto riguarda la derivata del pezzettino successivo, avremo un -4 che rimane davanti moltiplicato, esattamente come l'1/2 prima, che dobbiamo moltiplicare per la derivata di 1/x. E la derivata di 1/x, visto che 1/x è uguale a x⁻¹, possiamo trovarla ragionando in maniera esattamente analoga a quello che abbiamo fatto, per esempio, per x²⁰¹⁹. Si tratta in pratica di prendere l'esponente e portarlo davanti moltiplicato e poi diminuirlo di 1, quindi da -1 diventa -2.
Per quanto riguarda invece la derivata di 2 * √x, avremo che il 2 rimane davanti moltiplicato e poi dobbiamo mettere la derivata di √x. E visto che √x è uguale a x¹/², per calcolare la sua derivata possiamo far scendere l'esponente davanti moltiplicato e poi diminuirlo di 1, quindi da 1/2 diventa 1/2 - 1, cioè -1/2.
A questo punto, osservando che x⁻² possiamo riscrivercelo come 1/x² e che invece x⁻¹/² che è 1/x¹/² possiamo riscrivercelo come 1/√x, si conclude facilmente che la derivata della nostra funzione è 2019 * x²⁰¹⁸ + 4/x² + 1/√x.
Andiamo adesso un'occhiata al terzo esercizio, che ci chiede di determinare la derivata della funzione che state osservando. Come vedete, stavolta, a differenza dei casi precedenti, ci troviamo davanti ad un prodotto. Infatti, abbiamo la funzione sen(x) moltiplicata per (1 - 2 cos(x)). Se ricordate, la regola di derivazione del prodotto ci diceva che quando abbiamo il prodotto di due funzioni, per fare la derivata dobbiamo derivare la prima e poi moltiplicarla per la seconda, e poi sommare a questo la prima funzione moltiplicata per la derivata della seconda funzione.
Nel nostro caso, avremo quindi la derivata del seno, cioè il coseno, moltiplicato per la seconda funzione lasciata così com'è, più questa volta lasciamo invariata la prima funzione, cioè sen(x), e moltiplichiamo per la derivata dell'altra funzione. La derivata di (1 - 2 cos(x)) sarà la derivata di 1, cioè 0, meno 2 volte la derivata della funzione coseno di x, cioè -sen(x). E a questo punto, svolgendo le varie moltiplicazioni, si conclude che la derivata della nostra funzione è cos(x) - 2 cos²(x) + 2 sen²(x).
E ora un'occhiata al quarto esercizio, che ci chiede di calcolare la derivata della funzione (4x - 1)³ - 6. Osserviamo innanzitutto che stavolta abbiamo a che fare con una funzione composta. Infatti, (4x - 1)³ lo possiamo pensare come la composizione della funzione x³ con la funzione 4x - 1. Se ricordate, la regola di derivazione delle funzioni composte, che è nota anche come regola della catena, ci dice che in situazioni come queste dobbiamo prendere la derivata della funzione più esterna e calcolarla nella funzione interna, e poi moltiplicare il tutto per la derivata della funzione interna.
Nel nostro caso, la derivata della funzione esterna, cioè x³, sarebbe 3x². Quindi, se la calcoliamo in (4x - 1), otteniamo 3 volte (4x - 1)². E a questo punto dobbiamo moltiplicare questo per la derivata della funzione interna, cioè la derivata di (4x - 1), ovvero 4. Per quanto riguarda invece il -6 in coda, la sua derivata è 0. Svolgendo la moltiplicazione tra 3 e 4, si conclude quindi che la derivata è 12 che moltiplica (4x - 1)². Volendo, possiamo svolgere il quadrato e riscriverci la derivata in questo modo, in maniera alternativa.
Saremmo potuti giungere allo stesso risultato anche svolgendo il cubo del binomio prima di fare la derivata. Infatti, svolgendo il cubo di (4x - 1), uno può volendo riscriversi la funzione f(x) in questo modo e a questo punto, se uno deriva questo polinomio in maniera simile a quello che abbiamo visto nell'esercizio 1, si conclude che la derivata è 192 x² - 96x + 12, ovvero la stessa che abbiamo trovato prima. Naturalmente, entrambi i metodi sono corretti, ma, come intuite, il primo richiede un po' meno tempo, soprattutto se non svolgiamo il quadrato finale, e quindi è quello tra i due che, secondo me, è preferibile. Tra l'altro, se qui al posto del 3 avessimo avuto, che ne so, un 4 o un 5 o in generale un numero naturale più grande, capite che svolgere la potenza sarebbe diventato a quel punto molto, molto lungo, e quindi col crescere dell'esponente, l'alternativa 2 diventa sempre meno attraente rispetto all'alternativa 1.
Passiamo un'occhiata al quinto esercizio, che ci chiede di calcolare la derivata della funzione f(x) uguale al logaritmo naturale di (1 - x) / (1 + x). Come vedete, anche stavolta ci ritroviamo con una funzione dentro l'altra e abbiamo quindi a che fare con una funzione composta. La funzione più esterna è naturalmente il logaritmo(x), mentre la funzione più interna è (1 - x) / (1 + x). Dalla regola di derivazione delle funzioni composte segue subito che la derivata di questa funzione è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna. Quindi, nel nostro caso, dovremmo fare la derivata della funzione esterna, cioè la derivata del logaritmo di x, cioè 1/x, mettendogli però al posto della x la funzione interna, quindi otteniamo questo pezzettino qui. Ecco, il tutto moltiplicato per la derivata della funzione interna. E naturalmente, per calcolare la derivata di questo rapporto, dobbiamo usare la regola di derivazione del rapporto.
Se ricordate, la regola di derivazione del rapporto ci diceva che quando dobbiamo derivare il rapporto tra due funzioni, dobbiamo fare la derivata della funzione al numeratore, quindi per noi la derivata di (1 - x) che fa -1, moltiplicata per la funzione che c'è al denominatore, meno questa volta si lascia uguale la funzione che c'è al numeratore, quindi per noi (1 - x), e poi si moltiplica per la derivata della funzione che c'è al denominatore, quindi per noi per la derivata di (1 + x) che fa 1, e si divide il tutto per la funzione che c'è al denominatore elevata al quadrato.
A questo punto, se ci riscriviamo 1 fratto questa frazione come la frazione con numeratore e denominatore scambiati, e se svolgiamo i conti al numeratore, ci ritroviamo, vedete, con un -1 - 1 che fa -2, il tutto diviso per (1 - x) * (1 + x) che fa 1 - x².
Vediamo adesso un'occhiata al sesto esercizio, che ci chiede di calcolare la derivata di questa funzione. Come vedete, questa volta abbiamo la somma di cinque termini, e questo può sembrare magari un po' spaventoso all'inizio, però se diamo un'occhiata bene, questi cinque termini in realtà sono tutti cinque termini che si derivano in maniera elementare. Facendo la derivata, avremo quindi la derivata di x³, che è 3x². Poi dobbiamo aggiungere la derivata di 3ˣ, che è un esponenziale, e se vi ricordate nella tabellina che vi mostravo all'inizio, la derivata di un esponenziale di questo tipo è l'esponenziale stesso moltiplicato per il logaritmo naturale della base, quindi in questo caso per il logaritmo naturale di 3. Poi abbiamo 3³, che è un numero, è 27, e quindi la sua derivata fa 0, dunque non lo scriviamo neanche di sotto. Poi dobbiamo aggiungere la derivata del logaritmo in base 3 di x, che in base alla tabellina che vi mostravo all'inizio è 1/x moltiplicato per il logaritmo naturale di 3. E poi in fondo dovremmo aggiungere la derivata di ³√3, che però, esattamente come 3³, è un numero, e come abbiamo visto all'inizio del video, quando abbiamo i numeri sommati, la derivata di quel pezzettino lì è zero. È interessante osservare come questi tre termini, che a prima vista potrebbero sembrare simili, si comportano in tre modi completamente diversi quando facciamo la derivata.
Per concludere, diamo un'occhiata ad un ultimo esempio un po' più complicato rispetto ai precedenti, e proviamo a calcolare la derivata di questa funzione. Osserviamo innanzitutto che la funzione è data dalla somma di tre contributi. Per quanto riguarda il primo, la radice del logaritmo del seno, vedete che ci troviamo davanti ad una funzione composta, questa volta a tre livelli. Diciamo così: c'è la funzione più esterna di tutte che è la radice, poi abbiamo il logaritmo, e la funzione più interna di tutte è il seno. Il secondo pezzettino è invece una funzione che ha sia la base che l'esponente variabili, come vedete, entrambi dipendono da x, e per derivare funzioni come queste, come abbiamo imparato nel video precedente della playlist, ci conviene riscrivercele in questo modo, così da poter poi utilizzare la regola di derivazione delle funzioni composte. Radice di π, invece, è un numero, quindi la sua derivata è immediata.
Questa cosa lunghissima che compare qui a schermo è la nostra derivata. Come vedete, questo prodotto di tre termini è la derivata della radice del logaritmo di sen(x). Infatti, come dicevamo prima, questa è una funzione composta a tre livelli. E quindi, come dobbiamo fare? Beh, dobbiamo innanzitutto calcolare la derivata della funzione più esterna, quindi la derivata della radice, cioè 1 fratto 2 volte la radice, lasciandoci come argomento quello che c'era dentro, quindi il logaritmo di sen(x). Poi dobbiamo moltiplicare il tutto per la derivata della funzione intermedia, diciamo così, quindi il logaritmo, e come argomento alla derivata del logaritmo non dobbiamo mettere x, ma dobbiamo mettere quello che c'era dentro, quindi sen(x). E infine dobbiamo moltiplicare il tutto per la derivata della funzione più interna, cioè la derivata del seno, ovvero il coseno.
Per derivare invece x^(cos(x)), che come dicevamo possiamo riscrivere come e^(cos(x) * ln(x)), applicando nuovamente la regola di derivazione delle funzioni composte, perché anche stavolta abbiamo una funzione esterna, l'esponenziale, che ha al suo interno questo prodotto, otteniamo la derivata della funzione esterna, cioè la derivata dell'esponenziale, che è l'esponenziale avente come argomento la funzione che c'era dentro, quindi cos(x) * ln(x), il tutto però moltiplicato per la derivata della funzione che c'era dentro, quindi per la derivata di questo prodotto. E applicando la regola di derivazione del prodotto, si conclude facilmente che la derivata di questo prodotto è quella che vedete qui.
Per quanto riguarda infine la radice di π, come si diceva, si tratta di un numero e quindi la sua derivata è 0. A questo punto, volendo fare qualche abbellimento estetico, possiamo volendo riscrivere cos(x) / sen(x) come cotangente di x e riscrivere al posto di e elevato alla cos(x) * ln(x), x elevato alla cos(x). E dunque concludere che la derivata della nostra funzione è questa cosa mostruosa che vedete qui.
Detto questo, ragazzi, io per il momento ho terminato. Spero che questo video vi sia stato utile per ricapitolare un po' quello che abbiamo visto in maniera più approfondita e formale nei video precedenti di questa playlist. Fatemi sapere nei commenti qui sotto se vi fosse rimasta qualche altra domanda. Come sempre, se trovate utili questi video, ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarmi su Facebook ed Instagram, e se non l'avete già fatto, iscrivetevi al canale, dove arriveranno moltissimi altri video. [Musica]