Transcription
Наш следующий гость готов появиться в эфире, и он задастся вопросом: что такое математика, кому и зачем она нужна? В качестве наглядных пособий для ответа на эти вопросы мы используем несколько достижений и изобретений человечества и разложим их на составляющие: механизмы робота, криптография, машины обучения. Эти и другие сферы предстанут перед нами в виде синтеза идей, пронизанных математикой. Уважаемые зрители, я рад представить вам нашего следующего спикера – Дмитрий Бебчук. [музыка]
Приветствую, Дмитрий! И, конечно же, огромное спасибо, что у нас есть возможность с вами присоединиться к эфиру. Спасибо за приглашение! Всем добрый день, всем слушателям! Сегодня действительно пойдёт разговор о том, с одной стороны, что такое математика, с другой стороны – зачем она нам нужна. Да, это была первоначальная тема моего доклада: «Что такое математика и зачем она нужна». Я, пожалуй, оставил только первую фразу, потому что в ней более-менее всё сказано. Но с идеями, которые я представлю сейчас, как раз вы и познакомитесь.
Ну, во-первых, давайте воспользуемся определениями, которые нам предлагают в незабвенных Википедии и Британнике. Что такое математика? Britannica говорит, что это наука о структурах, порядках, отношениях – я буду читать, с вашего позволения – которые возникла из элементарных практик подсчета, измерения, описания форм объектов. Она строится на логических рассуждениях, количественных расчетах. Замечательно, вроде как всё примерно понятно, и те, кто в школе не очень любил математику, всё равно примерно понимают, чем идёт речь. Вот они – расчеты, количество, масса, понятно, логические рассуждения. Но вот Николай Бурбаки – кстати, это не один человек, а целая группа французских математиков, – организовалась с 1935 года, и вот этот псевдоним Николай Бурбаки предлагает такое определение: математика – это наука об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме их свойств, и этими свойствами эти объекты описываются. То есть мы задаём какие-то свойства, описывающие какую-то структуру, и потом смотрим, а что же получается. Такой вот некое конструктивное определение математики. Ну, и здесь, конечно, может возникнуть двоякое впечатление: с одной стороны, вот у нас есть конструктивное определение математики, а с другой стороны, вот математика – она же есть: взяли, посчитали. Ну, и этот своеобразный конфликт он выразился, в том числе, в установлении теории множеств. Есть, для тех кто знает, скажу, есть аксиоматика Цермело-Френкеля, которая является, ну, будет конструктивным, таким конструктивный подход к теории множеств. Но есть альтернативы. Да, это всё возникло из-за парадоксов Рассела. Опять же, те, кто знает… Ну давайте продолжим. Всё-таки, что такое математика? Я попытаюсь вам доказать, что математика – это всё-таки фундаментальная наука, прежде всего. Ну, а что значит фундаментальная наука? Ну, во-первых, она должна обладать следующими свойствами: да, её результаты должны быть универсальны, то есть независимо от того, где мы находимся, когда, её результаты не должны изменяться. Ну, хорошо. Что ещё? И в задании задачи не должна изначально входить практическая реализация полученных результатов, то есть оно должно существовать само по себе. Ладно, договорились. Ну, и наконец, третье: она должна позволять нам получать новые знания о природе, то есть иметь предсказательную силу. Это очень важно. И давайте пройдёмся по этим трём пунктам в определении, и я постараюсь вам доказать, что математика – всё это фундаментальная наука, а потом сам же от своих слов и откажусь. Давайте посмотрим, получится ли это у меня.
Ну, во-первых, про универсальность результатов тут, наверное, как раз сомнений нет. Это самый лёгкий пункт, поэтому его поставил первым. Действительно, даже вот на уровне дважды два: если дважды два – четыре, то [музыка] в любое время, на любом континенте это будет, конечно же, 4. Вот. А со вторым пунктом нам придётся немного повозиться. Для этого я приведу вам в пример 4 области математики, которые развились из совершенно абстрактных идей, которые в своё время не имели никаких приложений. Давайте начнём. Вот анализ бесконечно малых, то, что сейчас называют математическим анализом, пресловутый матан, который так любят некоторые студенты, естественно, в кавычках – не всем удаётся одинаково легко. Но началось всё с чего? Началось всё с того, что предположительно в древней Греции, а может быть и раньше… ну вот нам совершенно точно известно, что Антифон в пятом веке до нашей эры предложил метод исчерпывания, он сейчас так называется, а предложил его для того, чтобы находить площадь фигур, границы которых – не отрезки, например, площадь круга. Давайте попробуем понять, как же найти площадь круга. Вот у нас есть круг, видите на картинках, наверное, он заключён в пятиугольник и внутренний пятиугольник. Ну что мы понимаем? Мы интуитивно понимаем, что пятиугольник, в который заключён круг, по площади больше. Ну хорошо. А тот, который внутри круга, по площади меньше. Значит, площадь круга – это что-то среднее между ними. Ну ладно, такое грубое приближение. Площадь пятиугольника мы можем найти, разбить её на какие-то маленькие фигурки. Но с шестиугольником будет получше приближение, наверное, даже интуитивно понятно. Семиугольник – ещё лучше приближение, восьмиугольник – который вот зелёный на картинке – ещё лучше будет приближение. Ну и в конце концов мы обнаруживаем, что чем больше количество сторон у нашего вот многоугольника, который вписан в круг и который описан около круга, тем лучше оказывается наше приближение. Ну и сразу же выясняется, что площадь круга пропорциональна квадрату радиуса. Прекрасно! А коэффициент пропорциональности – это какое-то число. Ну вот были предложены оценки этого числа. Например, Архимед предложил такую оценку: это примерно 22/7. Тогда ещё не обозначали это число как π, но это оценка позволяет нам получить точность до двух знаков после десятичной запятой. Уже не так плохо. Вот пресловутый Лудольф, о котором я сейчас тоже ещё раз скажу, предложил оценку немного лучше: 355/113, а там уже шесть знаков после запятой совпадают. Вот. Ну а в конце концов было доказано, что это число вообще иррациональное, даже трансцендентное, то есть не является алгебраическим числом. Ещё пример: тот же самый принцип Кавальери. Принцип Кавальери очень прост: если у нас есть два объёмных тела одинаковой высоты и на каждом уровне площади сечения одинаковы, то объёмы этих тел одинаковы. С такой принцип нахождения объёмов тел, у которых грани вообще говоря не обязательно плоские. Да, я говорю условно грани. Например, конус, тот же… Ну и что же получилось? Вот из таких совершенно теоретических подходов, которые едва ли находят какое-то серьёзное практическое приложение, находили в то время… К семнадцатому веку уже развивается дифференциальное и интегральное исчисление, у истоков которого вот справедливо будет поставить двух учёных небезызвестных – Ньютон и Лейбниц, которые примерно одновременно развивали эту область. Есть мнение, что Ньютон сделал это чуть-чуть пораньше, на пару лет буквально, но так или иначе они делают это независимо. Ну а о применимости дифференциального интегрального исчисления, наверное, тут никаких сомнений нет. Вот на этих картинках вы видите и поиск длины кривой, и касательные вот к сфере, и всяческие дивергенции, ротор, и тогда дивергенции, роторы, и даже вот двумерное нормальное распределение, благодаря которому мы можем искать вероятности каких-то вот сложных, сложно конструируемых событий.
Давайте возьмём ещё один пример. XVI век. Небезызвестный Джероламо Кардано, кто учил формулы для корней кубического уравнения, тот знает – это забыть невозможно совершенно, спасибо ему за это. Тот, может быть, не знаете, а может быть, знаете, что он также и ввёл понятие комплексного числа. Но в его трудах комплексные числа описаны как совершенно утончённые, бесполезные структуры. Утончённая – это позитивная характеристика, бесполезные… но мы понимаем, да? Он не видел её применения, совершенно никакого, но тем не менее пытался развивать эту теорию. Ну и уже потом стало ясно, что это исключительно полезный инструмент для многих областей. Вот и Альберт Эйнштейн с нами согласился бы. Замечательный теоретический физик, который безусловно разбирался в математике и в комплексном анализе, точно. В качестве примеров: расчёт электрических цепей переменного тока, который делается гораздо проще с применением комплекснозначных функций; всяческие теоремы о распределении простых чисел; небезызвестная эта функция Римана и теоремы, связанные с ней, до гипотезы, на самом деле, потому что она ещё не доказана, это одна из семей проблем тысячелетия; и некоторые другие. Ну, пожалуй, упомянул гиперкомплексных чисел, а так называемых кватернионов, которые нашли своё применение в позиционировании. Вот тут меня поймут уже, наверное, робототехники: когда мы определяем положение или задаём положение трёхмерного объекта в пространстве, то тут кватернионы исключительно полезны. Вот обойтись без выхода в это гиперкомплексное пространство нам… нам уже тяжелее. Да, это значительно усложняет наше вычисление, даже понимание этих вычислений. Вот тут третий пример: эллиптические кривые, знакомые из криптографии. Вам привет! Действительно, некоторые алгоритмы шифрования основаны на свойствах эллиптических кривых, а точнее, на некоторых их алгебраических, как ни странно, свойствах. Ну а всё началось с того, что Диофант Александрийский давным-давно, в III веке, ну правда, нашей эры, пытался найти решение вот того самого уравнения, которое вы сейчас видите на своих экранах, я надеюсь. Вот: y^2 = x^3 - x. Он пытался, пытался вслед за ним Ферма, он пытался уже почти через полтора тысячелетия, то есть это уже конец XVII – начало XVIII века, снова Ньютон. А всё вылилось в целую теорию, которая позволяет нам достаточно быстро зашифровать данные, с тем чтобы их расшифрование требовало существенно больше времени, то есть вы получаете криптографический такой механизм, алгоритм.
Ну и давайте ещё примерчик приведу: топология, мосты Эйлера. Кто знаком с теорией графов, тоже знает Кёнигсберг, XVIII век. Вот здесь представлен фрагмент карты этого города, там семь мостов, остров… Существует ли путь такой, чтобы обойти каждый мост только по одному разу? Вроде как простая проблема. Можно эту задачу легко решить… эту задачу сейчас может решить, по крайней мере, любой олимпиадник. Но это правда, этот вопрос тогда ещё практически неприменимый, у него не было применения, породил целую теорию, целое даже область математики – это и есть именно топология. Ну и дискретная математика тоже, скажем, скажем ей спасибо за математическую логику и ту же самую теорию графов. Вот. Ну и здесь я предлагаю в качестве героя Леонарда Эйлера, одного из самых плодовитых математиков за всю историю, который написал совершенно сотни и сотни работ. И теоремы Эйлера тоже есть, причём их даже несколько. Кто студенты знают… Собственно, и число Эйлера даже существует, где-то сейчас применяется. Возьмём того же самого робота. Вот у вас есть манипулятор, который на слайде слева, и у манипулятора есть конфигурационное пространство – туда, куда может попасть вот эта самая зелёная… ну и куда она может попасть. Давайте посмотрим. Вот вот это двухзвенный манипулятор, да, с двумя шарнирами. У него конфигурационное пространство – это тор. Но тор – определённый топологический объект, да? Если мы возьмём две точки на торе, то мы можем уже что-то сказать про какую-то траекторию передвижения между этими двумя точками, про какую-то минимальность и так далее. У нас уже появляется целая область для анализа. А теперь представьте, что будет, если манипулятор из трёх звеньев, что если у него шарниры каким-то образом ограничены ещё? Естественно, эта поверхность значительно сложнее, и задача по нахождению какого-то оптимального пути, а ещё даже просто нахождению пути, становится на порядки сложнее. Тут без топологии уже не обойтись. Теория узлов, которая позволяет, в том числе, и кодировать белки, ну, точнее, точнее будет сказать, упаковывать их. Да, белки – это такие сложные структуры, которые надо определённым образом упаковать, чтобы они обладали определёнными заранее заданными свойствами. Вот, в частности, теория узлов позволяет нам это сделать. А три столетия назад применения практических не было, но тем не менее она развивалась. Вот, пожалуйста, ещё один пример.
Таким образом, я полагаю, что доказано, что в задаче математики совсем не всегда и уж точно не по умолчанию не входит практическая реализация того, что было достигнуто. И эти четыре области, которые я продемонстрировал – матан, которую анализ бесконечно малых, это топология, это эллиптические кривые – это доказывает то, что вот эти развития этих областей, сам факт развития тех областей, то, что огромное множество людей было в них вовлечено… А после XVIII века математика уже становится профессиональной наукой, то есть человек со стороны практически не имеет шансов добиться в ней значимых, на мировом уровне, успехов. То есть получается, доказано: эти люди занимались математикой всю жизнь, и надеясь на то, что на их веку их конкретные результаты будут практически применимы, у них была совершенно другая цель. Позволяет ли математика получать новые знания о природе? Да, у нас третий пункт в нашем условном доказательстве. Ну, я утверждаю, что позволяет. Действительно, и приведу только два примера: пресловутый бозон Хиггса, который, конечно, прежде чем был обнаружен, зафиксирован, сначала была рассчитана, то есть была теория, целый, основанная на расчетах теория, согласно которой такая частица должна существовать и должна обладать определёнными свойствами. Тут мы возвращаемся к самому началу: что математика – это наука о неких структурах, у которых мы знаем только свойства, а потом уже смотрим, а что же из этого получается. И вот здесь про бозон Хиггса, по которому тогда ещё не знали, предполагали у него только свойства, он должен ими обладать, а значит, и так далее, так далее, так далее, и это позволило его обнаружить. Ну и пресловутая девятая планета. Небезызвестный наш российский учёный Батыгин, который сейчас преподает… астрофизик, преподаёт в США, тоже сначала рассчитал… он сначала вычислил орбиту девятой планеты, прежде чем её обнаружили. То есть, согласно каким-то расчётам, эта планета должна была существовать, а потом она уже была обнаружена в расчётной точки. Вот таким образом получается, что математика – фундаментальная наука! Видите, появился! Ну и я обещал такое сказать… небольшой разворот, шаг назад. Оправдали это? Да, ведь многие скажут, что математика – это просто дисциплина на службе естественных наук, и отчасти они будут правы. И с ними согласился бы даже Колмогоров, который в предисловии к книге Куранта и Роббинса так и сказал, что математика неотделима от её практических применений. Ну есть, правда, надо брать в расчёт то, что в советских условиях он, может быть, и не мог совсем по-другому сказать. Но тем не менее… До Колмогорова эта величина… мы с вами понимаем, наверняка все знают… Ну и давайте закончим словами Вейля про то, что такое математика. Тут несколько такой длинный текст, и это скорее даже философское размышление. Он говорит о том, что вопрос об основаниях математики и о том, что в конечном счёте она собой представляет, остаётся открытым и неизвестным. Да, и неизвестно, какого направления теория позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос. Можно ли ожидать, что окончательный ответ когда-нибудь будет получен и признан всеми математиками? И он указывает, что сам процесс изучения математики, так называемого «делания» математики, это творческий процесс, это толще, чем я говорил, когда люди, не надеясь на практическое применение их результатов, результатов их работы, просто занимаются этим процессом, то есть он ещё увлекает сам по себе. Ну а то, что он описывает мир, в чём мы, в том числе и сегодня, сейчас убедились… Надеюсь, я вас убедил. Тут сомнений… сомнений уже не должно. Математика действительно описывает мир, и действительно нет естественных наук, которые так или иначе не пользовались бы математическим аппаратом в современном мире. И общественные науки, науки об обществе, в том числе, – они пользуются математическими методами как методами для исследования. Вот так что спасибо вам!
В качестве вопроса я предложу вам вспомнить: а фамилия какого учёного сегодня прозвучала дважды? Вопрос на внимательность. Может быть, кто-то из вас заметил? Сегодня прозвучали несколько фамилий, по меньшей мере, учёных, но один из них прозвучал дважды. Это был… Этот вопрос мы пока что оставим в подвешенном состоянии. Но если у вас есть ответ – не ждите прямо сейчас, пишите в чат нашей трансляции или в специальное поле, в который мы принимаем вопросы для наших спикеров. А редкий случай, где у мужчины ответственный… для нашего спикера, и судя по всему, это пока что останется интригой, пока мы не наберём ответы. И… но опять же, мы существуем не только в этой трансляции, у нас есть Instagram-аккаунт и собственный сайт. Мы предлагаем его и быстрой, стремительной, решительно сообщаем информацию, которая появляется в последний момент. Огромное спасибо, Дмитрий! Это было интересно услышать, что математика… топилин, очень привык к философии и социологии. Изучение любой другой науки так или иначе приведёт рано или поздно к математике. Ещё раз огромная благодарность!