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¿Qué es el equilibrio de Nash? John Nash fue un matemático nacido en 1928 que estudió e investigó en Princeton, y es conocido principalmente por su equilibrio de Nash. Su vida estuvo llena de anécdotas interesantes, como su carta de recomendación, que solo decía que era un genio. Desafortunadamente, comenzó a sufrir de esquizofrenia, aunque logró recuperarse. En 1994 fue galardonado con el Premio Nobel, pero la mayoría de ustedes lo conocerán por una película basada en su vida: Una Mente Maravillosa; donde explican el equilibrio de Nash con un ejemplo que no es un equilibrio de Nash, pero la película está bien, ¡incluso ganó un Oscar! Aunque tiene algunas inconsistencias. Desafortunadamente, Nash murió hace un par de años a la edad de 84 años en un accidente automovilístico.
¿Qué es el equilibrio de Nash? Imagina esta situación: Quieres salir de fiesta con tu mejor amigo, pero no podéis comunicaros y cada uno tiene que tomar la decisión de salir por vuestra cuenta. Si ambos decidís salir, lo pasaréis genial y obtendréis una utilidad de 5 puntos. Si ambos os quedáis en casa, nada cambiará y obtendréis 0 de utilidad. Pero si solo uno de vosotros sale, estará de fiesta solo... lo cual es bastante deprimente... Así que podríamos decir que pierde una utilidad de 2 puntos. Obtiene -2.
Mira este vídeo primero si no entiendes este gráfico.
Un equilibrio de Nash es un concepto o solución basado en dos suposiciones: En primer lugar, que todo el mundo es un ser racional; lo que significa que cada persona maximiza su utilidad y que es capaz de hacer cualquier cálculo necesario sin ningún problema adicional. La segunda suposición es que tal racionalidad es un conocimiento común: ambos jugadores saben que el otro jugador es un ser racional, y ambos saben que el otro jugador sabe que él o ella es racional, etc. Por lo tanto, ambos saben que cada jugador es un ser racional.
Con estas dos suposiciones, nos quedan solo dos resultados posibles: o ambos jugadores salen o se quedan en casa. Claro, lo que sea... Pero, ¿qué es el equilibrio de Nash? Piénsalo de esta manera: la primera suposición dice que si ambos jugadores se comportan racionalmente, responderán de la mejor manera dependiendo de la respuesta del otro jugador. ¿Pero qué hará el otro jugador? Como ambos comparten un conocimiento racional... saben que el otro jugador también se comportará racionalmente y, por lo tanto, responderá con la mejor solución. Así que un equilibrio de Nash son aquellos resultados en los que ambos jugadores toman la mejor respuesta a la mejor respuesta.
En nuestro ejemplo, si tu amigo sale, lo mejor que puedes hacer es salir tú también. Si nuestro amigo sale, nuestra mejor respuesta es salir también, para que ambos podamos obtener una utilidad de 5 (frente a 0 si nos quedamos en casa). Y, si nuestro amigo se queda en casa, lo mejor que podemos hacer es quedarnos en casa también, porque sería demasiado vergonzoso salir solo y obtener una utilidad de -2. Es mejor tener 0.
En pocas palabras, un equilibrio de Nash es cualquier situación en la que ninguno de los jugadores se arrepiente de haber tomado la decisión que ha tomado cuando revisa los resultados finales del juego. Si ambos jugadores salen, ninguno de ellos preferirá tomar la otra opción. Mismo caso si se quedan en casa. Sin embargo, en aquellos resultados en los que solo un jugador sale, el jugador que ha salido preferirá haberse quedado en casa en lugar de salir solo; y su amigo preferirá salir y divertirse con su amigo. Es por eso que estos dos resultados no pueden ser un equilibrio de Nash, ya que se arrepienten de su decisión, no es la mejor respuesta a la elección del otro jugador.
¿Pero qué pasa con los juegos secuenciales? Tenemos que tener cuidado aquí. Volvamos al juego secuencial de nuestro último vídeo: En este juego, tenemos un mercado con una empresa que está obteniendo un beneficio de 2. Una nueva empresa tiene que decidir si entra o no en el mercado. Si decide quedarse fuera del mercado, la nueva empresa ganará 0, mientras que la empresa ya establecida seguirá ganando 2. Si decide entrar en el mercado, la empresa establecida tiene dos opciones: o ayudar a acomodar a la nueva empresa y compartir sus beneficios, o seguir un enfoque competitivo con nuevos precios y promociones, en cuyo caso ambos pierden 1.
Imagina que la empresa decide ser más agresiva, pero la nueva empresa decide quedarse fuera del mercado. Este es un equilibrio de Nash porque ninguna de las empresas ganará más si cambian la decisión que han tomado. Están tomando la mejor respuesta a lo que hace el otro jugador: si la nueva empresa cambia de opinión y entra en el mercado, perderá -1. Y si la empresa ya establecida cambia su respuesta, sus beneficios no cambiarán, por lo que seguirá siendo un equilibrio de Nash: la mejor respuesta a la mejor respuesta.
Sin embargo, si la nueva empresa decide entrar en el mercado, nadie creerá que la empresa ya establecida luchará por ello. ¿Por qué perdería beneficios cuando puede seguir ganando? Esto es lo que se llama una Amenaza No Creíble, y para evitarla en juegos secuenciales se introduce este nuevo concepto: Equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos. El concepto sigue las mismas reglas que un equilibrio de Nash, pero debe cumplirse en cada uno de los subjuegos.
¿Y qué es un sub-juego? Cualquier fracción del juego: lo dividimos y comprobamos esa parte exclusivamente. Si echamos un vistazo a esta parte, si la empresa ya establecida se comportara racionalmente, una vez que la nueva empresa entre en el mercado, la ayudaría a acomodarse, ya que sería lo mejor para ambos. Por lo tanto, este equilibrio aquí, en el que la nueva empresa entra en el mercado y es ayudada por la otra, se convierte en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos, porque es un equilibrio de Nash en el juego completo pero también en el sub-juego.
Espero que este nuevo concepto no haya sido demasiado confuso. No dudes en hacerme cualquier pregunta en los comentarios de abajo. En los próximos vídeos te mostraré más juegos geniales y verás lo loco que puede ser un equilibrio de Nash. ¡Suscríbete a mi canal y sigue mis redes sociales para estar al día! ¡Adiós!
Subtitulado por: @narfius