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relación entre productividad y coste con el fin de analizar gráficamente las vinculaciones entre productividad y costes debemos de establecer un marco de análisis gráfico compuesto por seis planos de izquierda a derecha y de arriba a abajo. En ellos presentaremos la función de producción a corto plazo o producto total.
Un plano de cambio de ejes con el fin de traspasar la información sobre la producción del eje vertical al horizontal.
El plano que relaciona coste variable con el nivel de utilización del factor variable, en nuestro caso el trabajo.
El panel donde estableceremos las funciones de coste total, variable y fijo.
El plano en donde estableceremos la relación entre las productividades.
Y finalmente, el panel en donde describiremos las trayectorias que siguen el coste variable de medio y el coste marginal.
Iniciamos nuestro análisis tomando en consideración la función de producto total. A partir de la misma y tal como se establece en un gráfico anterior, puedo estimar la trayectoria que sigue el coste variable de producción considerando diversos niveles de utilización del factor variable. Uniendo los distintos puntos obtenidos, la función de coste variable de la empresa. Como el coste fijo es constante, para obtener el coste total bastará con agregar horizontalmente el valor del coste variable al coste fijo.
Veamos seguidamente la expresión matemática del coste variable medio, que se obtiene al dividir el coste variable entre el nivel de producción. Si des agregamos el coste variable en sus componentes, obtendremos un cociente en cuyo numerador aparece el precio del trabajo o salario por el número de horas hombre empleadas. Dicha expresión puede simplificarse si se considera que el nivel de empleo dividido entre el nivel de producción es la inversa de la productividad media. Por ello, lógicamente, el coste variable medio debe ser mínimo cuando la productividad media alcance el máximo.
Demostremos esta afirmación gráficamente. Para ello, consideraremos que la productividad media se estima trazando radi vectores sobre la función de producción, pues su pendiente me indica el valor de esta. La pendiente de dichos radi vectores inicialmente crece para más tarde decrecer, siendo este punto de inflexión el máximo de la productividad media. De otra parte, siguiendo el mismo planteamiento, pasaremos a analizar el valor medio del coste variable, pudiendo verificar que las pendientes de los radi vectores inicialmente decrecen para más tarde crecer. En tal sentido, la curva de coste variable medio adoptará la forma de U. De este modo, podremos demostrar cómo el coste variable medio alcanzará su mínimo cuando la productividad media sea máxima.
De otra parte, consideraremos la expresión matemática del coste marginal, el cual puede expresarse tanto como la derivada parcial del coste total respecto a la producción o bien como la derivada parcial del coste variable respecto a la producción. A partir de ella, podemos establecer cómo el coste marginal puede estimarse como el cociente entre el salario y la productividad marginal del trabajo. Hecho este que justificaría que cuando la productividad marginal sea máxima, la empresa incurrirá en el mínimo coste marginal de producción. Gráficamente, podemos verificar ello si se considera que la pendiente de la tangente en un punto es el valor marginal y que esta alcanzará el mayor valor sobre la función de producto total cuando la productividad marginal sea máxima, y el menor valor sobre la curva de coste variable y coste total cuando el coste marginal sea mínimo.