Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Работаем в пространстве V. Определение. Линейное пространство и линейный оператор этого пространства. Определение. Не нулевой вектор u (не равно нулю) называется собственным вектором линейного оператора фи, и число лямбда называется собственным значением или собственным числом оператора фи, если фи от u равняется лямбда u. Другими словами, собственный вектор под действием линейного оператора переходит в параллельный ему вектор.

И рассмотрим примеры. Рассмотрим сначала два крайних случая, две крайние ситуации. Вот пусть фи - оператор растяжения. Оператор растяжения в k раз - это оператор, который любой вектор x переводит в вектор kx. И мы понимаем, что любой ненулевой вектор является собственным. Любой ненулевой вектор является собственным для лямбда равного k. То есть пример, когда все векторы являются собственными, ну, кроме нулевого. Нулевой не нулевой мы исключаем.

Дальше оператор поворота. Пусть фи альфа - поворота, оператор поворота на угол альфа, на угол альфа. И пусть альфа не равен пик, то есть он не равен нулю, не равен пи. То есть под действием этого оператора любой вектор переходит в вектор, находящийся под углом альфа к вектору. Очевидно, что ни один из векторов (не нулевых) не перейдёт в параллельный ему вектор. То есть у этого оператора нет собственных векторов. То есть первая ситуация была для максимального количества, то есть любой вектор собственный. Вторая ситуация - нет собственных векторов линейного оператора. То есть может быть всё что угодно, может быть что-то промежуточное, то есть какие-то векторы являются собственными, какие-то нет.

Например, если у нас фи - оператор проектирования на прямую L. Фи L - проектирование, оператор проектирования на прямую L. То есть проекция на L, на прямую L в геометрическом пространстве. То есть любой вектор, вот вектор А, он проектируется, то есть мы перпендикуляры опускаем и получаем вектор А. Нетрудно понять, что собственными векторами являются векторы, параллельные L. То есть u - собственный, если u параллелен L. И тогда для него лямбда равняется одному, потому что в этом случае u, то есть в этом случае u = u. Но векторы, или векторы, перпендикулярные прямой, перейдут в нулевой вектор. Или если u перпендикулярен прямой L, то тогда фи от u равняется нулевому вектору, то есть 0 умножить на u. Для векторов, перпендикулярных прямой L, собственное число равно нулю. Тогда лямбда равно нулю. То есть у нас получается, у таких векторов, у этого линейного оператора два собственных числа: ноль и один. И у каждого есть свой собственный вектор. Ну, либо наоборот, собственные векторы и у них числа.

Все. Ээ, вот пусть, пусть лямбда - собственное число линейного оператора. Тогда все собственные векторы, собственное число оператора, тогда все собственные векторы - множество всех векторов таких, что фи от u равно лямбда u - это подпространство пространства V с операциями сложения и умножения на число. Это подпространство пространства. Ну, для того, чтобы доказать, что это подпространство, нужно доказать замкнутость этого множества относительно операций линейного пространства. То есть, если фи от u1 равняется лямбда u1, фи от u2 равняется лямбда u2, что отсюда следует? Фи от u1 + u2 будет равняться фи от u1 + фи от u2, так как фи - линейный оператор. Фи от u1 - это лямбда u1, фи от u2 - это лямбда u2. И лямбда можно вынести за скобки. То есть лямбда (u1 + u2). Следовательно, u1 + u2 - это тоже собственный вектор. Следовательно, u1 + u2 - это собственный вектор для лямбда.

И если у нас альфа - какое-то число, то давайте посмотрим, чему равняется фи от альфа u. Это будет альфа фи от u. Но если u - собственный, если u равняется лямбда u, то тогда получается альфа умножить на лямбда u. Скобки можно расставить таким образом, а лямбда u можно числа поменять местами и скобки по-другому расставить. То есть получается, что вектор альфа u тоже собственный вектор, собственный для собственного числа лямбда. Таким образом, таким образом, действительно все векторы, все собственные векторы, соответствующие собственному числу лямбда, образуют линейное подпространство.

Ну, такое утверждение. Вектор, если дана, например, матрица линейного оператора в некотором базисе. Возьмём определение собственного вектора: фи от u равняется лямбда u. И запишем. И пусть B - некоторый базис. Да, некоторый базис. И перейдём к координатам векторов в базисе. То есть тогда у нас координаты вектора фи от u в базисе B равны координатам вектора лямбда u в базисе B. Координаты вектора фи от u в базисе B - это матрица линейного оператора B умножить на координаты вектора u в базисе B. И давайте перенесём это сразу влево. Минус. И лямбда можно вынести за координаты. То есть это столбец координат, и число выносится за этот столбец. Получается нулевой столбец. Координаты вектора u в базисе B. Вот хотелось бы вот этот столбик вынести за скобку, но пока мы это сделать не можем, потому что здесь этот столбец умножается на квадратную матрицу, но в результате будет столбец. А здесь столбец умножается на число, и вынести не получится. Да, потому что иначе будет у нас матрица минус число. Но мы можем заменить вот вектор u на вектор E умножить на вектор u. То есть фи B на u на координаты u в базисе B минус лямбда E на координаты вектора u в базисе B равно нулю. Ну, дело в том, что любая матрица, если её умножить на единичную матрицу, она не изменится, если, конечно, это произведение определено. И вот теперь мы можем вектор, вот этот столбик, вынести за скобки. И в скобках у нас останется матрица линейного оператора фи в базисе B минус лямбда умножается на координатный столбец вектора u равно нулю. И мы получили вот эту систему. То есть нам нужно найти вектор. Это система, у которой однородная система, как нулевая правая часть, с квадратной матрицей. Это матрица квадратная. При этом нам, ну, такая система всегда совместна. У неё, например, есть нулевое решение. Но нам-то нужно, чтобы решение было ненулевым. Есть пони вектора, он не нулевой. И это, то есть нужно, чтобы эта система имела не нулевое решение. Такая система имеет не нулевое решение тогда и только тогда, когда у нас появится свободные переменные при решении этой системы. А свободные переменные появятся в том случае, если ранг матрицы меньше, чем количество неизвестных. А для квадратной матрицы это ранг её меньше, чем размер этой матрицы, означает, что определитель этой матрицы равен нулю. Определитель матрицы равен нулю. Вот из этого условия находим собственные числа. То есть собственные числа. Таким образом, мы получаем, что собственные числа - это решение уравнения. То есть собственные числа - это решение вот этого уравнения.

Ну, можно поговорить подробнее про вот это выражение. Вообще, для любой матрицы А, для любой квадратной матрицы, определитель матрицы А минус лямбда E называется характеристическим многочленом. Ну, когда раскроем определитель, у нас получится многочлен относительно лямбда, многочлен от переменной лямбда. Корни этого многочлена, то есть это значения лямбда, при которых оно образуется, называются корнями характеристического многочлена. Таким образом, собственные числа являются корнями характеристического многочлена для матрицы линейного оператора в некотором базисе.

Дело в том, что собственные векторы, в их определении у нас никак не фигурирует базис. То есть собственные векторы для линейного оператора определяются независимо от базиса. Отсюда можно сделать вывод, что если мы будем находить собственные числа для матриц линейного оператора в разных базисах, у нас должно получаться одно и то же. Таким образом, характеристические многочлены матриц линейного оператора в разных базисах одного и того же линейного оператора, но в разных базисах, одинаковые. То есть характеристические многочлены матриц линейного оператора, ну, в базисе B и в базисе B штрих совпадают. Так, матрицы матриц линейного оператора фи в разных базисах совпадают.

Ну, разберём на примере, как находятся собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей в некотором базисе. Так, пусть линейный оператор фи задан своей матрицей в некотором базисе B. Вот базис. Матрица вот такая. Нужно найти собственные числа и собственные векторы вектора линейного оператора. Итак, находим сначала собственные числа из условия, что определитель матрицы фи B минус лямбда E равен нулю. Как получается такая матрица? То есть в матрице E на главной диагонали стоят единицы, и когда мы умножим на лямбда, то получим на главной диагонали лямбда, остальные нули. И отнимаем от фи и получаем, что от элементов главной диагонали отнимаются лямбда. Раскрываем этот определитель. -8. Так, получим. Ну, если мы вынесем минус из первой скобки, будет лямбда - 1. Вынесем минус из второй скобки, станет лямбда плюс 1. И получаем лямбда - 1 и -8. То есть лямбда в квадрате минус 9. Вот характеристический многочлен нашего вот, ну, характеристический многочлен вот этой матрицы линейного оператора. Приравнивание его к нулю и получаем лямбда первая равно трём, лямбда вторая равно минус три. То есть плюс минус три. Собственные числа.

А дальше для каждого собственного числа находим собственный вектор. Берём лямбда первая равняется 3 и решаем. Смотрите, что такое собственный вектор? Это решение однородной системы вот с такой матрицей. То есть мы берём матрицу, то есть решаем слау однородную, слау однородную систему с матрицей вот с такой матрицей, подставив в неё вместо лямбда тройку. То есть 1 - 3, 8, 1. -1 - 3. Ну, равно. Да, сначала равно. Просто посчитаем. Получается -2, 8, 1, и -4. Лямбда мы находили так, чтобы определитель этой матрицы равнялся нулю. И действительно, у нас мы видим, что строчки пропорциональны. Поэтому ранг, то есть обязательно в процессе элементарных преобразований у нас одна строчка занулится. То есть действительно, если мы умножим вторую строчку на два и прибавим к первой, получим нулевую строку. Ну, можем записать так: вот 1, -4, и строчка нулевая. И наша работа с матрицей завершена. Ранг равен одному. И вот он базисный минор. Переменная XY. Y = C. И тогда общее решение системы. Мы будем писать сразу. Вектор U1 равен. Y - это C. А X будет 4C. То есть если мы C вынесем, 4, 1. У нас получается целое семейство, все решения однородной системы, но кроме нулевого решения. То есть при этом C не равно нулю. Вот они собственные векторы, соответствующие лямбда равно 3.

Если лямбда равно -3. Лямбда вторая равно -3. И опять решаем систему, только вместо лямбда подставляем минус три. То есть 1 + 3, 8, 1. -1 + 3. Получаем матрицу 4, 8, 1, 2. Мы видим, что строчки пропорциональны. И получаем 4, 8, 4, 8. И 1, 2. Мы видим, что строчки пропорциональны. И получаем 4, 8, 0, 0. Ну, то есть я могу поставить вторую строчку на первое место, умножить её на минус четыре, прибавить ко второй, получу нулевую строку. И вот у нас базисный минор. Переменная XY. Y передаём значение C. И получаем, что вектор U2 равен. Y - это C. А X - 2C. То есть выносим. Получается -2. Вот это векторы. Ну и тоже C не равно нулю. Таким образом, мы нашли собственные числа и собственные векторы, соответствующие этим числам.

Конечно, если, ну, если пространство большей размерности, то задача существенно усложняется. То есть даже если мы работаем в пространстве R3, то матрица линейного оператора размера 3 на 3. Получается многочлен третьей степени. Ну, надо аккуратно его преобразовать и найти там первый корень. Ну, либо группировка, возможно, сработает и удастся разложить характеристический многочлен на множители, и тогда корни легко найдутся. Либо, ну, первый корень там находим подбором, и остальные с помощью деления понижаем степень многочлена.

Вот чем хороши собственные векторы. Дело в том, что именно в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет наиболее простой вид, а именно диагональный. Докажем такую теорему. Теорема. Матрица линейного оператора фи в базисе B имеет диагональный вид, то есть по главной диагонали какие-то числа, в не главной диагонали нули, тогда и только тогда, когда B - базис из собственных векторов. Доказательство. Итак, пусть матрица фи имеет диагональный вид. Итак, пусть матрица фи в некотором базисе имеет диагональный вид. То есть у неё стоят какие-то числа, вне главной диагонали нули. Но что такое матрица линейного оператора фи в базисе B? То есть, пусть B - базис, состоящий из векторов E1 и так далее, EN. Это означает, ну, на самом деле, то есть, аэ, это значит, что фи от E1, вот по определению матрицы линейного оператора, как строится матрица линейного оператора? Мы находим образы базисных векторов и их координаты в этом же базисе записываем по столбцам. Итак, вот первый столбец этой матрицы - это координаты вектора фи от E1. То есть фи от E1 будет равен лямбда 1 E1, фи от E2, ну, плюс 0 здесь же, дальше нули стоят, то есть плюс 0 на E2 и так далее, плюс 0 на EN. Фи от E2 у нас во втором, второй столбец: 0, лямбда 2, и дальше нули. То есть 0 E1 + лямбда 2 E2 + 0 E3 и так далее. И так далее. От EN - это лямбда N EN. Ну, а это не что иное, как определение собственных векторов. То есть E1 и так далее, EN - это собственные векторы. Они не нулевые, потому что нулевой вектор в базис не входит у нас. Итак, это действительно собственный вектор.

Определение. Матрица А называется диагонализируемой, диагонализируемой, если существует базис из собственных векторов векторов матрицы А. Или другими словами, то есть существует базис, в котором матрица А, рассмотренная как матрица линейного оператора фи, она в некотором базисе диагональна. То есть в некотором базисе, в некотором базисе, матрица линейного оператора с матрицей А диагональна. Вот в нашем примере, который мы рассмотрели, вот эта матрица, она диагонализируема, потому что у нас есть базис из собственных векторов. У нас двумерное пространство, получились два собственных числа, у каждого свой собственный вектор. Эти векторы линейно независимы. Ну и вообще, можно вот, можно заметить вот что. То есть верна такая теорема. Верна такая теорема. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям (значение и число - это одно и то же, то есть собственные числа), линейно независимы. Линейно независимы. Таким образом, вот если у нас линейный оператор фи в пространстве VN имеет N различных собственных значений, то есть если существует N различных собственных значений для оператора фи, для то матрица линейного оператора будет диагонализируема. То есть матрица линейного оператора фи диагонализируема, потому что у каждого собственного числа будет свой собственный вектор, и эти векторы между собой будут линейно независимы, и тогда матрица диагонализируется.

Ну, когда возникают ситуации не диагонализируемых матриц? Во-первых, может оказаться, что корней у многочлена не хватает. Корней может оказаться вещественных меньше, чем степень многочлена. И тогда, и тогда, ну, матрица точно будет не диагонализируема. А вот если какие-то корни кратные получаются, то тут уже нужно проверять. Всё зависит от того, сколько собственных векторов для корня какой-то кратности у нас получается. Допустим, кратность корня равна двум. Решаем систему, и у нас получается две свободные переменные. И тогда у нас векторы, вот это пространство будет двумерного пространства решений, и мы тогда сможем найти два вектора в базис. Ну, а если корень кратности, допустим, два, а его собственный вектор один, то тогда у нас не наберётся базиса из собственных векторов. То есть, конечно, самая простая ситуация, когда все собственные числа вещественные и различные. Тогда у нас набирается базис собственных векторов. Ну, остальные ситуации, вот если корни есть кратные, то тогда нужно решать обязательно систему, обязательно находить собственные векторы и смотреть, набирается ли у собственных кто-то или нет.