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Muy buenos días, bienvenidos una vez más a su canal Aula Máter. En este video veremos duopolio, el caso especial de la solución de Stackelberg.
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Este ejercicio es el mismo que vimos anteriormente en el video de duopolio Cournot, en donde nos señalan que una industria está conformada por dos empresas cuyas respectivas funciones de costos totales vienen representadas por las siguientes expresiones. Además, nos informan sobre la función de demanda a la que estas dos empresas se enfrentan y nos solicitan obtener el equilibrio de Stackelberg.
Comenzamos considerando a la empresa uno como líder. Primero, construimos nuestra función beneficios, la cual corresponde a la diferencia entre el ingreso total menos el costo total. Además, consideramos que el precio es igual a 30 menos q. Esto corresponde a la función de demanda, y que el costo total de la empresa 1 es igual a 0.25 q1 al cuadrado + 10 q1 + 20. El ingreso total de la empresa 1 es igual al producto entre el precio y la cantidad producida por la empresa 1. Reemplazando, obtenemos la siguiente expresión para la función beneficio. Recordemos que la cantidad total a producir por este duopolio es igual a la suma de la cantidad producida por la empresa 1 más la cantidad producida por la empresa 2. Reemplazamos, resolvemos y obtenemos la expresión para el beneficio de la empresa 1. Recordemos que q2 es igual a 66/8 menos 3/8 q1. Esta es la función de reacción de la empresa 2, que la obtuvimos en el video anterior sobre duopolio de Cournot. Reemplazamos esta expresión en la función del beneficio de la empresa 1, resolvemos y finalmente obtenemos que el beneficio para la empresa 1 es igual a 47/4 q1 menos 7/8 q1 al cuadrado menos 20. Para maximizar, debemos derivar e igualar a cero. Despejamos y obtenemos la cantidad óptima a producir por la empresa 1, que es 6.7. Este valor lo reemplazamos en la función de reacción de la empresa 2, resolvemos y obtenemos que la cantidad óptima a producir por la empresa 2 es de 5.7. La cantidad total a producir por el duopolio lo obtenemos sumando la cantidad producida por la empresa 1 más la cantidad producida por la empresa 2, obteniendo que la producción total es 12.4. El precio lo obtenemos desde la función de demanda, dándonos que el precio óptimo en este duopolio es de 17.6. Gráficamente, representamos primero nuestra función de demanda, señalando que este duopolio en su conjunto produce una cantidad de 12.4 unidades a un precio de 17.6. A este punto se le denomina como solución de Stackelberg 1, señalando que estamos considerando como líder a la empresa 1.
Continuamos considerando como líder a la empresa 2. El procedimiento es análogo a lo que acabamos de hacer con la empresa 1. Consideremos nuestros datos y comenzamos. Primero, construyendo nuestra función de ingreso total, que corresponde al precio por la cantidad producida por la empresa 2. Reemplazamos nuestra función de demanda en el precio, resolvemos y finalmente obtenemos nuestra función de ingreso total 2, que es igual a 30 q2 menos 1 por q2 al cuadrado. Recordemos que la siguiente expresión corresponde a la función de reacción de la empresa 1. Si no sabes de lo que estoy hablando, favor ver el video anteriormente publicado sobre el duopolio de Cournot. Reemplazamos la función de reacción de la empresa 1 en la función de ingreso total de la empresa 2, resolvemos, obteniendo la función de ingreso total de la empresa 2 igual a 22.2 menos 3/5 q2 al cuadrado. Para obtener el ingreso marginal, debemos derivar la función total, obteniendo que el ingreso marginal es igual a 22.2 menos 1.2 q2. Para obtener el costo marginal de la empresa 2, debemos derivar la función de costo total de la empresa 2, obteniendo que el costo marginal de la empresa 2 es igual a 2/3 q2 + 8. Esta empresa maximiza sus beneficios en donde el ingreso marginal es igual al costo marginal. Reemplazamos nuestros resultados anteriormente obtenidos, despejamos y obtenemos que q2 es igual a 7.5. Este resultado lo reemplazamos en la función de reacción de la empresa 1, obteniendo que la cantidad óptima a producir por la empresa 1 es de 5. La cantidad total a producir por el duopolio corresponde a la suma de las cantidades óptimas a producir por las empresas 1 y 2, obteniendo que la cantidad total es igual a 12.5. El precio lo obtenemos desde la función de demanda, consiguiendo un precio para este duopolio de 17.5. Gráficamente, la cantidad total a producir por este duopolio es 12.5, las cuales se transarán a un precio de 17.5. Este punto se denomina solución de Stackelberg 2, el cual considera como líder a la empresa 2.
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