Transcription
Qué tal, amigos. Espero que estén muy bien. Bienvenidos al curso de la ecuación cuadrática. Y ya vamos a pasar al computador y al tablero para explicarles en qué consiste el novedoso método de solución de la ecuación cuadrática planteado por el profesor Poc seno.
Si ustedes han visto otros vídeos de mi canal, se estarán preguntando por qué todavía no estamos en el tablero. Tranquilos, ya vamos a pasar al computador y también al tablero para tratar de explicarles perfectamente, que les quede bien claro en qué consiste el método del profesor Paul siendo. Primero que todo, pues les quiero decir por qué es tan importante este método. Y pues es importante por varias cositas.
Bueno, espero que ustedes ya hayan visto los vídeos anteriores de la ecuación cuadrática en la que les expliqué qué es la ecuación cuadrática y cuántas soluciones tienen. Sin embargo, en este vídeo, en el vídeo de introducción, vimos que la ecuación cuadrática hay tres diferentes tipos de ecuación: unas que tienen dos soluciones, y otras que tienen una sola solución, y otras ecuaciones cuadráticas que no tienen solución.
Para resolver la ecuación cuadrática hay diferentes métodos. Los más usados, pues son factorización. A mí me parece muy fácil la factorización, solo que el problema de la factorización es que no sirve para resolver todas las ecuaciones cuadráticas. Entonces, el otro método que existe se llama Báscara general o incluso le llaman la chicharronera. Lo importante de ese método es que ese método sí sirve para encontrar la solución de todas las ecuaciones cuadráticas que tienen solución. No, porque hay unas que no lo tienen.
¿Y por qué es tan importante el método del profesor Pulsión? No, pues porque el método anterior que se utilizaba, que era la fórmula general o Báscara o la chicharronera, era un método que se había inventado hacía cientos de años y no se había logrado encontrar otro más sencillo. A partir del 16 de diciembre, creo que no vamos a volver a utilizar la fórmula general, ¿por qué? Porque el método del profesor porque no es un método mucho más fácil para encontrar la solución también de cualquier ecuación cuadrática.
Pero bueno, sin más preámbulos, vamos a pasar primero que todo al computador y después al tablero para explicarles este novedoso método.
Para comprender bien este método, primero que todo, pues vamos a observar gráficos de ecuaciones cuadráticas. Aquí tengo 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 ecuaciones cuadráticas. Que recordando lo que vimos en vídeos anteriores, todas las ecuaciones cuadráticas tienen gráfico. O sea, si fuéramos a graficar esta ecuación cuadrática, su gráfico siempre va a ser una parábola. Que esa parábola va a abrir hacia arriba, como en este caso. Ésta es 3. O puede también abrir hacia abajo.
En este caso, tenemos 3 ecuaciones cuadráticas: una que es esta, que este es el gráfico que corresponde a esta ecuación; esta otra ecuación, que su gráfico es esta parábola; y otra ecuación, que es esta, que su gráfico es esta parábola. Como ya lo hablábamos en un vídeo anterior, que es encontrar la solución de una ecuación cuadrática, encontrar la solución de una ecuación cuadrática es encontrar en dónde corta esa parábola al eje X.
Por ejemplo, si observamos esta parábola, que es la correspondiente a esta ecuación, podemos observar que esa parábola toca dos veces al eje X. Bueno, voy a acercar un poquito acá. Aquí podemos observar que toca al eje X en el número 3 y toca también al eje X en el número 7. O sea, ¿cuáles son las dos soluciones de esta ecuación cuadrática? Pues una, que sería X igual a 3, y otra, que sería X igual a 7.
Hay otras ecuaciones que son como este tipo, esta que tenemos acá, que su ecuación es esta, y el gráfico de esta ecuación es esta parábola. Que, ¿cuántas veces toca esta parábola al eje X? En este caso, de esta parábola, solamente toca una vez al eje X. En este caso, es en el número menos 2. Si ustedes se encuentran la solución de esta ecuación cuadrática, se van a dar cuenta que la única solución es cuando la X vale menos 2.
Y hay otras ecuaciones cuadráticas que son como este tipo, de igual a X al cuadrado más 2X más 5, que no tocan al eje X. Si observamos el gráfico, esta parábola nunca toca al eje X. ¿Qué quiere decir? Que si quisiéramos encontrar las soluciones de esta ecuación cuadrática, podríamos ver que esta ecuación cuadrática no tiene solución en los números reales, porque no toca al eje X.
Ahora, el método de Posten lo que utiliza de las ecuaciones cuadráticas, lo que necesitamos. Bueno, de estas ecuaciones cuadráticas que dibujé con rojo, estas dos no vamos a hablar en este vídeo, porque estas dos no tienen solución en los números reales. Vamos a hablar de estas otras. Por ejemplo, está. En el método de Posten lo que es lo que necesitamos para encontrar la solución, necesitamos dos cositas: una, el centro entre las soluciones, que ya les voy a decir qué es; y otra, la distancia entre el centro y la solución, que bueno, también ya les voy a decir qué es.
Si nosotros observamos cualquier ecuación cuadrática de este tipo, en la que dice que igual, miren que todas estas ecuaciones dice que igual a X al cuadrado más algo, o Y igual a X al cuadrado menos algo. Todas estas ecuaciones cuadráticas tienen algo muy sencillo, que es lo siguiente. Por ejemplo, si nosotros observamos las dos soluciones de esta ecuación cuadrática son cuando la X vale menos 3 y cuando la X vale 1, porque aquí es donde toca al eje X esta parábola. Algo curioso que sucede con este tipo de parábolas es que el centro entre las dos soluciones. Si nosotros observamos la mitad entre el número menos 3 y el número 1 es el número menos 1, porque este número menos 1 está a dos unidades de distancia de al menos 3 y a dos unidades de distancia del número 1. Y lo curioso es que en estas ecuaciones, este número se puede saber fácilmente.
Entonces, vuelvo a decirles que necesitamos el centro y la distancia. Obviamente, para encontrar las soluciones, no necesitamos hacer las gráficas, pero sin conocer el gráfico, bueno, aquí lo estamos viendo apoyándonos en el gráfico para ver que lo que les estoy diciendo es verdad. Si no tuviéramos el gráfico, ¿cómo sabríamos cuál es el centro entre las dos soluciones? Lo que debemos hacer es algo muy sencillo, que es lo siguiente: siempre este número, bueno, una vez que diga igual a X al cuadrado más algo con la X más un número, lo que tenemos que hacer es observar el número que está acompañando a la X. ¿Qué tenemos que hacerle a ese número? Tenemos que cambiarle el signo y dividirlo entre 2. Siempre que le cambiemos el signo, en este caso es el número 2. Si le cambiamos el signo, daría menos 2, y si lo dividimos entre 2, nos da menos 2 dividido entre 2, que es menos 1, que nos dio el centro.
Si observamos otra parábola u otra ecuación cuadrática, por ejemplo, está. Hagamos la misma operación acá. A este número le cambiamos el signo, entonces queda menos 4, y si a menos 4 lo dividimos entre 2, ¿cuánto nos da? Nos da menos 2, que es exactamente como lo podemos observar aquí en el dibujo, el centro entre las dos respuestas, porque es el centro, porque menos 2 está a tres unidades del menos 5, que es una respuesta, y también está a tres unidades del 1, que es la otra respuesta.
Sin observar el gráfico, piénsenlo un momento. En esta ecuación cuadrática, ¿cuál sería el centro entre las dos respuestas? Pues solamente tendríamos que hacer dos cositas: no, una, que es cambiarle el signo, entonces ya no sería menos 6, sino más 6, y dividirlo entre 2. 6 dividido en 2 da 3. O sea, que si observamos el gráfico, el centro entre las dos respuestas es exactamente el número 3. Y lo mismo podríamos hacer con esta otra: menos 10, cambiarle el signo sería 10, y 10 dividido entre 2, 5. O sea, que el centro entre las dos respuestas o entre las dos soluciones es el número 5. Mírenlo acá, es el número 5, que está a dos unidades de distancia del 7, que es una solución, a dos unidades del 3, que es otra solución.
Miren que el centro depende de cuál ecuación sea, y lo mismo la distancia también depende de la ecuación. Entonces, ya sabemos cómo encontrar el centro. Vamos a pasar ahora al tablero para ver cómo encontrar la distancia, porque, por ejemplo, si yo les dijera el centro es 5 y la distancia es 2, ¿qué tenemos que hacer para encontrar las soluciones? Pues lo único que tenemos que hacer es a ese centro, que es 5 en este caso, sumar o restarle la distancia. Por ejemplo, ya lo sabemos, pero pues aquí como por practicar. El centro de 5, si yo les dijera la distancia es 2, lo único que tendríamos que hacer para encontrar las soluciones sería a este 5 restarle 2. Si le restamos 2, nos da 3, que es una solución. Y al 5 también sumarle 2 para encontrar la solución. 5 más 2 es 7.
Lo mismo, por ejemplo, acá. Ya conocemos el centro que es 3. ¿Cuál es la distancia? 1. O sea, que a este 3 lo único que tenemos que hacer es restarle 1 y sumarle 1. Esa distancia, Posen lo, la llamó "u", y entonces en este vídeo también la vamos a llamar de la misma forma. Antes de pasar al tablero, les voy a dejar un ejercicio de práctica. Lo que ustedes van a hacer es encontrar las tres cositas que hemos visto hasta el momento: una, las soluciones de estas dos parábolas o ecuaciones cuadráticas, todo esto mirando solamente el gráfico. Entonces, me van a decir cuáles son las soluciones de esta gráfica azul y las soluciones de esta gráfica verde. Segundo, me van a decir cuál es el centro entre las dos soluciones de esta gráfica azul y el centro entre las dos soluciones de esta gráfica verde. Y tercero, ¿cuál es la distancia entre el centro y las soluciones de esta gráfica azul y la distancia entre el centro y las soluciones de esta gráfica verde? Y la respuesta va a aparecer en 3, 2, 1.
Bueno, en la primera parábola, que corresponde a esta ecuación cuadrática, ¿cuáles serán las dos soluciones? Una solución cuando la X vale menos 5, o sea, X igual a menos 5, y otra solución cuando la X vale 1, o sea, X igual a 1. Esas serán las dos soluciones. ¿Cuál es el centro? El centro entre las dos soluciones es el número menos 2, que lo podemos observar aquí. Le cambiamos el signo al 4, da menos 4, y menos 4 dividido entre 2 da menos 2. Eso lo podríamos observar en el gráfico o en la ecuación. El centro es el número menos 2. Y la distancia entre el centro y las respuestas, que es a lo que le llamamos la distancia, y en este caso es 3, porque la distancia entre el menos 2 y el 1 es de 3 cuadritos o de 3 unidades, y entre el menos 2 y el menos 5 también es de 3 unidades.
Ahora pasemos a esta otra parábola, que corresponde a esta ecuación cuadrática. Las respuestas de esta ecuación cuadrática son cuando la X vale 2 y cuando la X vale 6. El centro entre las dos respuestas es el número 4, que también lo podemos observar aquí. Al menos 8 le cambiamos el signo, da 8, y ese 8 dividido entre 2, 4. Y la distancia entre el centro y las dos respuestas es de 2 unidades. ¿Por qué? Pues porque la distancia entre 4 y 2 es dos unidades, y la distancia entre 4 y 6 también es de 2 unidades.
Y ahora sí, vamos a pasar aquí al tablero para practicar encontrando las soluciones de una ecuación cuadrática utilizando el método de Postín lo. Lo que se necesita con este método son dos cositas: no, una, el centro, que ustedes ya creo que lo saben en esta ecuación; y otra, que es la distancia. Entonces, pues algo que tenemos que ver es que para utilizar el método de Postín lo, la debe estar escrita de esta forma: tiene que decir X al cuadrado solo y bueno, lo demás puede que esté sumando o restando, no importa. Lo importante es que la X al cuadrado ya esté 5 eficiente. Si llega a estar la X al cuadrado con algún coeficiente, tranquilos, eso lo vamos a ver en los siguientes vídeos, en los que vamos a seguir practicando con este método.
Puede que la primera vez a uno le parezca difícil, porque generalmente cuando hacemos un ejercicio por primera vez nos parece difícil, pero les aseguro que este método es mucho más fácil que el que les decía, no, la fórmula general o Báscara. Entonces, ya como está en este escrita como debe estar en el método de Postín lo, vamos a empezar primero que todo encontrando el centro. Voy a escribirlo por acá: el centro entre las dos respuestas. Acordémonos que es coger el número que está acompañando a la X, ese número que en este caso es más 8, le hacemos dos cositas: una, cambiarle el signo, entonces sería menos 8; y otra, dividir ese número entre 2. Menos 8 dividido entre 2, en este caso sería menos por más es menos, y 8 dividido entre 2, que es 4. O sea, que el centro de las respuestas de esta ecuación es el número menos 4.
Si llega a tener respuestas, ya como conocemos el centro, la otra cosita que utiliza el método de Poch en lo es esto. Si acordémonos que cuando vamos a resolver una ecuación cuadrática por factorización, pues lo que debemos hacer es factorizar este trinomio. Y acordémonos que para factorizar este tipo de trinomios, lo que tenemos que hacer es el, pero bueno, esto solamente lo tenemos que saber ahorita como para comprender el método. Ya más adelante vamos a ver que es muy sencillo. Si nosotros vamos a factorizar, siempre preguntamos, hacemos estos dos paréntesis, colocamos la X, el más y el más correspondiente a estos signos. Ya más adelante, como les digo, vamos a ver más vídeo en los ejemplos en los que aquí están signos diferentes o bueno, diferentes valores. Y siempre preguntamos: dos números que multiplicados den este número de acá y que sumados o restados den ocho. Si, entonces aquí, ¿cuáles son los dos números? Acordémonos que los dos números resultan de al centro sumarle la distancia o restarle la distancia. Acordémonos que la distancia, Posen lo, medio el nombre de "u", por darle cualquier nombre. Entonces, las dos respuestas de esta ecuación cuadrática, ¿cuáles serían? Una, la que al centro le restamos la "u", y otra respuesta, en la que al centro le sumamos la "u". O sea, la distancia. Hacia qué era lo que hacíamos observando el gráfico, ¿no? Al centro le restamos la distancia y nos daba una respuesta que era la de la izquierda, y al centro le sumamos esa distancia y nos daba la otra respuesta que era la de la derecha.
Entonces, estos serían los dos números que nosotros debemos encontrar. Al centro restarle la distancia y al centro sumarle la distancia. Pero estos dos números dice aquí que al multiplicarlos tiene que dar el número 12. Entonces, ¿cómo hacemos? Lo que tenemos que hacer es escribir esto con matemáticas. Entonces, al multiplicar estos dos números me debe dar 12. Como 6, pues este número lo multiplico con el otro número y el resultado de esa multiplicación tiene que ser el número 12. Ya cuando resolvamos esta ecuación, nos vamos a encontrar el valor de la "u", o sea, de la distancia, que al reemplazarlo acá, vamos a tener las respuestas. Como les decía, la primera vez puede que les parezca difícil, pero ahorita cuando hagamos el segundo ejercicio, van a ver que es más fácil. Y en los siguientes vídeos, ya van a ver ustedes qué es el método más sencillo para solucionar ecuaciones cuadráticas.
Entonces, aquí vamos a resolver esta multiplicación. No hay problema, esto es una diferencia de cuadrados, porque miren que aquí dice un número que no importa que sea negativo, un número menos algo, y ese mismo número más ese mismo algo. Acordémonos que esto es una ecuación, una diferencia de cuadrados. Entonces, ¿cuál es la respuesta de esta multiplicación? Que ustedes la pueden hacer de la forma larga o como quieran. Acordémonos que la respuesta es el primer número al cuadrado, que bueno, voy a resolverlo de una vez. Menos 4 al cuadrado, menos 4 por menos 4, eso es 16. Voy a hacerlo acá, no. Menos 4 es menos 4 por menos 4, que eso es menos por menos más, y 4 por 4, 16. Entonces, el primero al cuadrado, siempre menos el segundo al cuadrado. El segundo término en este caso, ¿cuál es? La "u" al cuadrado. Y seguimos resolviendo. Aquí dice igual a 12. Miren que nos queda una ecuación muy sencilla de resolver. Miren que aquí dice la "u" al cuadrado negativa. Entonces, para despejar la "u", voy a pasarla para el otro lado, porque para dejarla positiva, simplemente. Entonces, voy a pasar los números para la izquierda y las letras para la derecha. O sea, aquí nos queda 16. Este 12 que está positivo, lo paso para el otro lado como negativo, estaba sumando, pasará a restar. Igual, y la "u" que está negativa, pasa al otro lado como positiva, pasada a sumar. 16 menos 12, eso es 4, igual a "u" al cuadrado. Y aquí solamente tenemos que quitarle el cuadrado de la "u". Entonces, para eso sacamos raíz cuadrada. Como sacamos raíz cuadrada a la derecha, también sacamos raíz cuadrada a la izquierda, para que sacamos esa raíz, pues para eliminar aquí la raíz con el cuadrado. Y entonces nos queda que la respuesta es que la raíz cuadrada de 4, ¿cuánto es? Eso es igual. Y bueno, podemos decir que la raíz cuadrada de 4 es más o menos 2, no, igual a "u". Ya conocemos cuál es la "u", o sea, ya conocemos la distancia.
Entonces, como ya conocíamos el centro y ahora conocemos la distancia, ya podemos encontrar las dos respuestas. Primera respuesta, voy a colocarla por acá. La primera respuesta es menos 4 menos "u", y menos 4 más "u". Y bueno, ya sabemos que la "u" vale 2, más o menos. Eso no importa, incluso aquí ya está incluida la respuesta menos y más. Sí, entonces sería una respuesta sería menos 4 menos "u", o sea, 2, que esto es menos 6. Esta sería la primera respuesta. Y bueno, aquí la segunda respuesta, X2, que sería ese menos 4, pero más la "u". Menos 4 más la "u", que es 2, o sea, que X2, la segunda respuesta es menos 4 menos 2, o sea, menos 2. Y ya aquí tenemos las dos respuestas de nuestra ecuación cuadrática. ¿Cuáles serán? Una respuesta, que la X vale menos 6, y otra respuesta, que la X vale menos 2.
Pero vamos a hacer otro ejercicio como para que podamos observar que es muy sencillo. Sí, ya sin tanta explicación, ya ustedes saben el porqué se hace cada paso. Ahora sí, vamos simplemente a resolver los pasos. Primero que todo, vamos a encontrar el centro. Voy a escribirlo aquí como la letra C. El centro es este número, ya cuando está X al cuadrado sola. Y entonces ahí sí cogemos el número que está acompañando a la X, que en este caso es más 4, le cambiamos el signo, menos 4, y ese resultado lo dividimos entre 2. Menos 4 dividido entre 2, menos por más da menos, y 4 dividido en 2 es 2. O sea, que el centro es menos 2.
Entonces, ¿cuáles son las dos respuestas de esta ecuación cuadrática? Bueno, si tiene dos, no. Las dos respuestas de esta ecuación cuadrática son cuando al centro le restamos la distancia, o sea, sería al centro le restamos la distancia, y la otra, que es cuando al centro le sumamos la distancia. Esas dos son las respuestas. Acordémonos también, ya saltando los pasos, la multiplicación de este sería una respuesta, o sea, un número, y esta sería otra respuesta, o sea, sería el otro número. Acordémonos también que ya saltando los pasos, la multiplicación de esas dos respuestas me tiene que dar este número, el número que dice ahí, o sea, que al multiplicar estas dos respuestas, o sea, menos 2 menos "u", y menos 2 más "u", esa multiplicación me tiene que dar como resultado el número menos 5. Solamente tenemos que resolver esto. Esta es una diferencia de cuadrados. Siempre va a ser una diferencia de cuadrados. ¿Cómo se resuelve? El primero al cuadrado. ¿Cuál es el primer número? Menos 2. Menos 2 al cuadrado es 4 positivo. Siempre menos el segundo al cuadrado, que siempre va a ser la "u" al cuadrado, y eso es igual a menos 5. Lo mismo de siempre, despejamos la "u". Como esta negativa, la pasamos para el otro lado, y este número lo pasamos para el otro lado. Aquí nos queda que 4, el 5 que estaba restando, o sea, negativo, pasa a sumar, más 5, igual a la "u" que estaba negativa, pasada a positiva. De 4 más 5 es 9, igual a "u" al cuadrado. Y por último, sacamos raíz cuadrada para quitar para eliminar este cuadrado. Como raíz cuadrada, como sacamos a la derecha, lo hacemos a la izquierda también. Sacamos la raíz para eliminar, y nos queda que la "u", que es la distancia, es más o menos 3. La raíz cuadrada de 9 es 3, porque 3 por 3, 9. Como es una distancia, yo la voy a colocar solamente positiva, porque ya sabemos que aquí se le restamos y aquí se la sumamos.
Entonces, ahora sí, las dos respuestas, ¿cuáles son? Las voy a escribir por acá. Primera respuesta, cuando al centro, que era menos 2, aquí las tenemos, no, menos 2, le restamos la "u". Menos 2 le restamos la "u", que la "u" era 3. Esto nos da menos y menos, menos 2 menos 3, o sea, menos 5. O sea, la primera respuesta es que la X vale menos 5. Y la segunda respuesta, cuando a la vista, cuando al centro, perdón, que es menos 2, le sumamos la distancia, que es "u", o sea, que la segunda respuesta es igual menos 2 más 3, que eso es 1 positivo. Les aclaro que aquí estábamos haciendo los ejercicios más fáciles. Ustedes dirán, no, pues por factorización es mucho más fácil. Sí, pero ya lo vamos a ver que con ejercicios que no se pueden resolver por factorización, aplicando este método, podemos encontrar, como se dan cuenta, las dos respuestas muy fácilmente.
Con esto, tiene término mi explicación. Como siempre, por último, les voy a dejar un ejercicio para que ustedes practiquen. Ya saben que pueden pausar el vídeo. Ustedes van a encontrar la solución o las soluciones de esta ecuación cuadrática, en el caso de que hayan varias. Y la respuesta va a aparecer en 3, 2, 1.
Espera un momento. Si llegaste hasta esta parte del vídeo, supongo que fue porque te gustó, porque te sirvió, o porque aprendiste algo nuevo, o por todas las anteriores. Y si es así, te invito a que te suscribas al canal, ya que le des like al vídeo. Ya lo hiciste. Entonces, ahora sí, observemos la respuesta. Lo primero que siempre tenemos que hacer es encontrar el centro, que resulta de cambiarle el signo a este. Al cambiar el signo, sería 10, dividido entre 2, que es 5. Primero, aquí están los dos números: cuando al centro le restamos la "u", y cuando al centro le sumamos la "u". Eso, al multiplicarlo, nos tiene que dar este número de acá, o sea, al multiplicarlo nos tiene que dar 21. Esto es una diferencia de cuadrados, que siempre se resuelve el primero al cuadrado. 5 al cuadrado, 25, menos el segundo al cuadrado, que es "u" al cuadrado, igual a 21. Lo mismo de siempre, el negar este "u" al cuadrado lo pasamos para este lado y el 21 para el otro lado. Aquí el 21, como estaba sumando, pasa a restar. La "u" al cuadrado, como estaba restando, pasa a sumar, o sea, positiva. 25 menos 21 es 4. Y aquí sacamos raíz cuadrada para eliminar la raíz con el cuadrado, y raíz cuadrada de 4, que es 2. Podemos escribir como más o menos. Lo importante es que comprendamos por qué se describe ese más o menos, ¿no? En este caso, sería porque le sumamos la distancia o porque le restamos la distancia. Igual, la raíz cuadrada de 4 es positiva o negativa. Entonces, aquí se le restamos. Primera respuesta: al centro le restamos la distancia. 5 menos 2 es 3. Segunda respuesta: al centro le sumamos la distancia. 5 más 2, 7. Y aquí tenemos nuestras dos respuestas.
Bueno, amigos, espero que les haya gustado la clase. Si les gustó, los invito a que vean el curso completo para que profundicen un poco más sobre este tema o algunos vídeos recomendados. Y si están aquí por alguna tarea o evaluación, espero que les vaya muy bien. Los invito a que se suscriban, comenten, compartan y le den like al vídeo. Y no siendo más, bye bye.