Oligopolio: Duopolio de Cournot

En este vídeo vamos a ver un tipo de oligopolio conocido como duopolio de Cournot, en el cual las empresas compiten en la cantidad de unidades del bien X que van a producir.

Bien, al ser un oligopolio, es una situación de mercado en la cual no hay competencia pura o, por lo menos, no hay competencia perfecta. Hay cierto grado de competencia, pero no es lo ideal en una economía. Solamente hay dos empresas. Cada una de ellas posee esta función de costes: la primera empresa, 24x sub 1; la empresa 2, 24x sub 2. Vemos que tienen la misma función de costes. Esto es para hacer el ejercicio un poco más corto. Podrían ser distintos los costes perfectamente y se enfrentan a una curva de demanda que viene dada por: precio igual a 240 - 2 por x.

Nótese la diferencia entre esta x y x sub 1 y x sub 2. No lo suelen indicar, pero por si acaso, dejarlo aquí escrito: x es la suma de x sub 1 + x sub 2. Es algo que se supone que deberíamos saber. X es la cantidad total del mercado producida de unidades de de bien X, y x sub 1 y x sub 2 son las cantidades que produce cada una de las empresas.

Bien, este ejercicio es un poco largo, un poco pesado. Lo que tenemos que hacer es un poco lo que se hace siempre en microeconomía, que es maximizar el beneficio de las empresas. Así que normalmente empezaremos trabajando con la primera empresa y trataremos de maximizar el beneficio de la empresa uno.

Pero bien, ¿cuál sería el beneficio de la empresa uno? Antes de poder maximizarlo, tenemos que conocer el beneficio de la empresa uno. Así que lo primero que haremos en este este tipo de ejercicio en el duopolio de Cournot es plantear las funciones de beneficio de las empresas.

Beneficio de la empresa uno, bueno, pues muy sencillo, serán los ingresos de la empresa 1 menos los costes que tenga la empresa 1. Y lo que vamos ahora es ir poquito a poco sustituyendo. ¿Cuáles son los ingresos de una empresa? El precio de venta por la cantidad que vende esa empresa. X sub 1 es la cantidad de unidades de X que produce la empresa 1. P es el precio de venta. Eh, nótese que al precio no le pongo subíndice uno, porque el precio de mercado es único. Siempre hay un precio de mercado. Las empresas venden a un precio eh idéntico todas, porque si hubiese una que vende más barata que más barato que las demás, lo vendería todo y las demás no venderían nada. Así que es un supuesto más o menos básico de microeconomía, que el precio de venta de todas las empresas es el mismo. Y si no es el mismo, las empresas que vendan más caro no venden nada. Bien, menos los costes, que son los que nos da el enunciado: 24x sub 1.

En este paso, lo que tenemos que hacer es lo siguiente: si vemos que aparece el precio en la función de beneficio, si vemos, bueno, va a aparecer siempre, lo tenemos que sustituir por la curva de demanda del mercado. La curva de demanda del mercado, que es esta de aquí. Entonces, eso nos quedaría: 240 - 2 por x. Todo ello quedaría multiplicado por x sub 1 y - 24x sub 1.

Vamos a hacer un pasito más. Esta x, como he dicho, es la cantidad total de unidades de X. Pero las variables de este modelo son x sub 1 y x sub 2. Así que vamos a sustituirlo. Nos va a quedar 2 por x sub 1 + 2 por x sub 2, al operar x sub 1 + x sub 2, sustituyéndolo por esta x. Así que aquí debajo continuamos. Este paréntesis quedaría: 240 - 2x 1 - 2x 2. Todo ello multiplicado por x sub 1 y - 24x sub 1.

Operamos el paréntesis. Como decía, es un poco largo, es un poco tedioso el proceso de obtención de función de beneficio y todo lo que viene a continuación, pero es inevitable, hay que hacerlo así. Operando el paréntesis quedaría: 240x sub 1 - 2x sub 1 al cuadrado - 2x sub 1 por x sub 2 y luego - 24x sub 1. Y como podemos juntar algún término, este de aquí, el 240x sub 1 con 24x sub 1, lo hacemos. Total que nos queda: 216x sub 1 - 2x sub 1 al cuadrado - 2x sub 1 por x sub 2. Vale. Y esta es la función de beneficio de la empresa uno.

A continuación, una vez que tenemos la función de beneficio de la empresa uno, como habíamos comentado antes, deberíamos maximizar el beneficio de dicha empresa. Así que maximizamos el beneficio de la empresa uno y para ello lo único que tenemos que hacer es derivar dicha función tomando x sub 1 como variable, porque x sub 1 es su variable de decisión. Aunque aparece también x sub 2, su variable de decisión es x sub 1. E igualamos a cero. Así que hacemos la derivada de esa función de beneficio, igualamos a cero y a ver qué pasa. Quedaría: 216 - 4x sub 1 - 2x sub 2 = a 0.

Bien, nos queda una ecuación en la cual aparecen dos variables: la x sub, la de x sub 1 y x sub 2. Como hemos comentado antes, la variable de decisión de la empresa 1 es x sub 1, es decir, la cantidad que va a producir esta empresa. Así que aquí la costumbre es despejar siempre x sub 1. Se podría despejar x sub 2, pues la verdad es que sí, pero la costumbre es despejar x sub 1 por una cuestión que vamos a ver a continuación.

Así que voy a pasar este -4x sub 1 que tenemos aquí restando al otro lado sumando y nos quedaría: 216 - 2x sub 2 = 4x sub 1. Y ahora pasamos el 4 dividiendo a este lado. Le doy ya la vuelta a la ecuación y nos queda que x sub 1 va a ser igual a 216 - 2x sub 2 partido 4. Y como podemos simplificar, vamos a hacerlo. Vamos a dividir entre dos arriba y abajo. Nos queda que x sub 1 es igual a 108 - x sub 2 partido 2.

Bien, cuando hemos terminado de simplificar y hemos despejado x sub 1, esta ecuación que nos queda no es el resultado final del ejercicio, pero es muy, muy, muy importante. Es lo que se conoce como función de reacción de la empresa uno, función de reacción o función de respuesta de la empresa uno.

Ahora haríamos lo mismo para la empresa dos. Como digo, el ejercicio es bastante largo. Ahora tenemos que repetir el proceso para la empresa dos. Tendríamos que calcular la función de beneficio de la empresa dos, tendríamos que maximizar el beneficio de la empresa dos y obtener una función de reacción de la empresa dos. Pero como las dos empresas son iguales, nos podemos ahorrar todo este proceso. Para la empresa dos, se dice que por simetría, de hecho, podemos comprobarlo, podéis hacer todo este proceso para la empresa dos, pero no es necesario. Por simetría, la función de reacción de la empresa 2 será: x sub 2 = 108 - x sub 1 partido 2. Por eso, para este ejemplo hemos elegido que las dos empresas sean iguales y para que el proceso no sea tan largo, para que el ejercicio no sea tan pesado. Se puede hacer con costes distintos, empresas distintas, saldrían funciones de reacción distintas y no habría mayor problema, pero como veis, el ejercicio sería riquísimo.

Vale, siguiente pasito. ¿Qué tenemos que hacer ahora? Ahora ya tenemos que calcular el equilibrio y aquí abajo a la derecha representaremos gráficamente dicho equilibrio. Me quiero dejar ya el hueco preparado y ahora lo explicaremos.

¿Qué tenemos aquí? Dos funciones de reacción. ¿Para qué sirven estas funciones de reacción? Muy sencillo. Eh, representan o son un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: x sub 1 y x sub 2, que por cierto, es lo que luego en el gráfico veremos x sub 1 en el eje horizontal y x sub 2 en el eje vertical.

Bien, si os suena todo esto del duopolio, duopolio de Cournot, y la mayoría de los oligopolios se resuelven mediante teoría de juegos, bueno, pues en teoría de juegos se suele representar en este tipo de gráficos las funciones de respuesta de de los agentes económicos que aparecen. Pero bueno, eso es otro tema. En el canal tenéis otros vídeos en los cuales se explican esas cosas.

Bien, equilibrio. Sistema de dos con dos incógnitas. Una buena forma de resolver esto, una forma que a mí me gusta, es: empiezo cogiendo la función de reacción uno. Se puede resolver de muchas maneras, ¿verdad? Porque un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede resolver con mil métodos. A mí me gusta la primera función de reacción, por por una cualquiera. Paso el dos de nuevo, la fracción que queda aquí, el denominador, lo paso multiplicando al otro lado. Me queda: 2x sub 1 = 108 - x sub 2. Vale, la función de reacción de la empresa 1. Y sustituyo la función de reacción de la empresa 2 dentro de la empresa 1, donde aparece x sub 2. Y es una buena forma de de resolver dicho equilibrio.

Entonces, si sustituimos, nos quedaría: 2x sub 1 = 108 - x sub 2. Pero cuidado, porque x sub 2 aquí lo tenemos: es 108 - x sub 1 partido 2. Veis, ya nos ha quedado una ecuación con una sola incógnita, es decir, que se puede resolver directamente.

Bien, eh, no me me gusta este dos que está aquí en el denominador, así que voy a multiplicar ambos lados del igual por dos para quitarlo. Nos quedaría entonces: 4x sub 1 = 216 - ojito a este signo menos de aquí, que afecta a toda la fracción, por tanto nos va a quedar - 108 y menos por menos + x sub 1. Voy a pasar el + x sub 1 que está aquí sumando a este lado restando. Nos queda entonces que 3x sub 1 = 108. Y por tanto, que x sub 1 es igual a 108 / 3, que es 36.

Vale, la empresa 1 produciría 36 unidades del bien X. Como las dos empresas son exactamente iguales, tienen la misma función de costes, por tanto, son iguales y sus funciones de reacción son iguales. No hace falta realizar más cálculos. Automáticamente sabemos que x sub 2 también va a ser 36. Lo podríamos calcular muy fácilmente sustituyendo, por ejemplo, en la función de reacción 2, que x sub 1 es 36: 108 - 36 partido 2, que sería 72 / 2, que es 36. Efectivamente.

Así que la cantidad total de unidades de X que se van a producir en esta industria, en este mercado, sería 36 + 36, lo que produce cada empresa, total 72 unidades de X. Siempre en los ejercicios es importante decir lo que produce cada empresa y además la cantidad total que se produce entre todas las empresas.

Y una cosa más para terminar, super importante que nunca se nos debe olvidar, es el precio. O sea, el precio es clave. De hecho, es casi lo más importante. El precio de venta. Siempre os lo va a decir la curva de demanda. Pensad que son sinónimos: precio y demanda son sinónimos. Precio = 240 - 2 por x. Así que podemos sustituir que x vale 72. 72 * 2 es 144. Así que 240 - 144 nos quedaría 96. Y ese es el precio de venta en este mercado.

La representación gráfica de un duopolio de Cournot siempre es esta. Tendremos, siempre sale así en los duopolios de Cournot, así que no hace falta tampoco complicarse mucho la vida. Tenemos estas dos líneas rectas que representan las funciones de reacción de cada una de las empresas y el punto de corte entre ambas nos daría lo que produce cada una de estas dos empresas: 36 y 36 respectivamente.

Bien, en el duopolio de Cournot, que es el duopolio fijador de cantidades, cada empresa decide una cantidad a producir para competir con la otra. ¿Qué cantidad de unidades de X deciden producir? Pues estiman, mejor dicho, estiman, bueno, deducen un comportamiento de la otra empresa y en función de ello deciden su función de reacción.

Bien, esta línea recta que tenemos aquí sería la función de reacción de la empresa uno y esta otra línea recta que tenemos aquí sería la función de reacción de la empresa dos. Pero como digo, el gráfico no hay que preocuparse mucho por él, porque siempre tiene exactamente este aspecto y el punto de corte, en este caso, queda simétrico: 36, 36, pero no tiene por qué serlo, podría ser otro distinto.

Y suficiente, creo que hemos dicho todo más o menos del duopolio de Cournot. Abajo, debajo del vídeo, en los comentarios, hay una explicación teórica, un poco una ampliación de esto, pero en estos vídeos lo que nos centramos es en eso, que que no es tan fácil, ¿no?, que es el proceso matemático, las ecuaciones y y un poco todo este tema. Gracias.