LE COURS : Notion de fonction - Troisième - Seconde

[Musique] Bonjour. Dans cette vidéo, je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre notion de fonction. Alors ceci ne suffira pas, bien évidemment, pour préparer un contrôle ou même un examen, mais l’objet de cette séquence est de te rappeler et de t’expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Pour t’entraîner, je te conseille de cliquer sur le lien en haut à droite ; tu tomberas sur une playlist qui contient plein d’exercices. Alors, dans cette séquence, on verra bien sûr ce que c’est qu’une fonction, plus précisément la notion d’image et d’antécédent. Puis, on verra comment représenter graphiquement une fonction et, à partir de là, lire l’image ou un antécédent par cette fonction. C’est parti, on peut commencer.

On va commencer par attaquer tout ce qui est notation et vocabulaire, parce que c’est vrai que pour les fonctions, c’est pas évident. Il y a des notations qui sont quand même très spécifiques, très abstraites, et il faut bien comprendre, c’est très important. Alors, pour bien les comprendre, ben on va partir d’une situation concrète. On te dit que le prix d’entrée à un spectacle est de 20 € par personne. À partir de là, on a construit un petit tableau qui va nous permettre de calculer, et bien, dans différentes situations, le prix à payer. On va donc mettre sur la première ligne le nombre de personnes qui vont au spectacle et, en dessous, le prix à payer. Alors, évidemment, dans le cas où on est qu’une personne, vu que le prix par personne c’est 20 €, on va payer 20 €. Si on est deux personnes, bien dans ce cas-là, on va payer 2 x 20, c’est-à-dire 40 €. Trois personnes, donc 3 x 20 : 60 ; 5 personnes : 5 x 20 : 100 ; et 10 personnes, si on est un groupe, dans ce cas-là, c’est 10 x 20 : 200. On est bien d’accord que, à chaque fois, on a le nombre de personnes et on obtient en sortie le prix à payer.

Alors, ce qu’on va faire, c’est que, on va tout doucement aller vers l’abstraction. On va dire que le nombre de personnes, on l’appelle x. Donc tous les nombres qui sont sur la première ligne de mon tableau, je vais les appeler les valeurs de x. Et en deuxième ligne, donc le prix à payer, bah on va choisir là aussi une lettre, et on va choisir la lettre p, p comme prix à payer. Donc sur la deuxième ligne, j’ai à chaque fois le prix correspondant à payer. J’ai donc bien une correspondance entre la première ligne, le nombre de personnes, et la deuxième ligne, le prix à payer. Alors, par exemple, pour une personne, je mets donc le nombre 1. Quel est le prix à payer dans ce cas ? Bien, on le voit dans le tableau, c’est 20. Dans le cas où j’ai deux personnes, quel est le prix à payer ? Bien, c’est 40, on le voit aussi dans le tableau. Donc finalement, au nombre 1, je fais correspondre 20 ; au nombre 2, je fais correspondre 40. On est tout doucement là en train de fabriquer notre fonction.

Alors, de façon générale, le prix à payer, que je vais noter P (c’est bien comme ça qu’on l’a noté tout à l’heure), si j’ai, de façon générale, x personnes, quel serait le prix à payer ? Ah bien, regardons de nouveau dans notre tableau. Dans le cas de deux personnes, qu’est-ce que j’ai fait ? J’ai fait le prix d’une personne, 20, x 2, x 2 personnes, c’est-à-dire, j’ai trouvé 40. J’ai donc fait 20 x 2. Pour 3 personnes, qu’est-ce que j’ai fait ? Bah j’ai de nouveau pris le prix pour une, 20, j’ai multiplié par 3 : 20 x 3. Puis, pour 5 personnes, bien j’ai fait 20 x 5. Pour 10 personnes, 20 x 10. Et bien, pour x personnes, et bien, pour x personnes, 20 x x. Et bien, le prix à payer pour x personnes, il est de 20 x x, que je peux écrire 20x. Et bien voilà, j’ai là, ici, fait correspondre à x le nombre 20x, comme j’ai fait correspondre à 2 le nombre 40, et cetera. C’est-à-dire que on a ici exprimé le prix à payer en fonction du nombre de personnes, en fonction de x. J’ai donc exprimé le prix à payer en fonction de x. Qu’est-ce que c’est que ça ? Et bien, c’est une fonction. On vient de définir ici une fonction qui porte un nom, qui s’appelle la fonction P, et qui à x associe le nombre 20 x x. Ceci, ça se lit précisément : à x, j’associe 20 x x par la fonction P. Et une fonction, et bien c’est quoi une fonction ? C’est en fait une machine, mais une machine mathématique qui répond à certaines règles. Elle fait quoi, cette machine mathématique ? Et bien, tu lui donnes un nombre, elle te transforme ce nombre en suivant certaines règles en un autre nombre. C’est exactement ce qu’a fait la fonction P. Elle fait quoi, cette machine P ? Et bien, tu lui donnes un nombre, elle te renvoie un autre nombre, pas n’importe comment, avec la règle suivante : elle te renvoie 20 fois le nombre de départ. À chaque fois que tu lui donnes un nombre, elle renvoie 20 fois le nombre que tu lui as donné. Ça, c’est le principe de la machine. Et on voit bien que cette fonction, cette fonction P, dépend donc du nombre de départ. Chaque valeur que j’aurai en sortie va dépendre du nombre, du nombre de départ. Ce nombre-là, on le voit dans le tableau de valeur, et bien ce nombre-là est capable de varier. Et bien, x, ça s’appelle une variable. X est appelé une variable car x peut varier. Je l’ai dit juste à l’instant, tout à l’heure. Le tableau qui est euh là-haut porte un nom également : pour une fonction, ça s’appelle un tableau de valeur. Alors, ce tableau de valeur, on pourrait dire, il est incomplet, parce que finalement, vu qu’on peut faire varier x, on pourrait encore accorder à x tout plein d’autres valeurs. Ici, j’en ai mis certaines, mais on pourrait encore donner 2,5, 15,8, 16,632. Pour toutes ces valeurs de x, combien nous renvoie P ? Et bien, 20 fois plus, mais ça, il faudrait encore effectuer les calculs. En tout cas, un tableau de valeur, bien c’est quoi ? C’est un tableau dans lequel on présente des valeurs pour x et des valeurs renvoyées par la fonction. Et ce qui est noté ici est une notation officielle en mathématiques pour les fonctions. Ceci exprime que la fonction P à x renvoie 20 x x. Mais il existe une autre façon de le noter. Comme P dépend de x, et bien on met P et, entre parenthèses, on met x, la variable, et on écrit que P, qui dépend de cette variable x, est égal, bien est égal à quoi ? Est égal à 20 fois la variable x : P(x) = 20x. Et la deuxième notation officielle pour définir une fonction. Ceci se lit : P de x = 20x. Voilà donc les deux notations officielles pour définir une fonction. De ces deux notations, il faut bien les connaître, se rappeler que x est une variable et se souvenir également que le tableau qui est noté là-haut s’appelle un tableau de valeur.

Alors, attaquons maintenant la notion d’image et d’antécédent pour une fonction. Pour cela, donc je repars de la notation que je viens d’expliquer ici : P(x) = 20x, seulement je l’ai écrite dans deux cas particuliers qui sont donc issus du tableau ici à droite, du tableau de valeur. Donc j’ai remplacé ici x par 2. Pourquoi ? Parce que si x vaut 2, et bien on voit bien que P vaut 40. On écrit P(2) = 40. Un autre exemple : pour 5, si x vaut 5, et bien dans ce cas-là on obtient en sortie 100 : P(5) = 100. Et bien, dans ce, dans ces deux cas, on peut parler d’image et d’antécédent. Je vais prendre le premier cas : P(2) = 40. 2 nous renvoie 40. L’image de 2, c’est 40. Et bien tout est dit : l’image de 2, c’est 40 ; 2 a pour image 40. Et bien voilà un premier terme mathématique : l’image de ce nombre-là, c’est ce qui est renvoyé par la fonction, c’est ce qui se trouve donc sur la deuxième ligne du tableau. L’image de 2 est 40. On peut le noter. Mais alors, si l’image de 2 est 40, on aimerait pouvoir lire euh cette phrase dans l’autre sens et dire que bien, quel est le machin chose de 40 ? Et bien, quel est le machin chose de 40 ? Ça pourrait être justement 2, c’est-à-dire, quel est le machin chose que j’avais avant 40 ? Et bien, pour cela, il y a un mot qui s’appelle antécédent. On peut dire que 40 a pour antécédent 2. Alors ce mot n’est pas facile à se rappeler, mais il y a juste un petit truc, c’est le préfixe an, qui signifie avant, justement. Quel était le nombre que j’avais avant la machine P ? Elle m’a renvoyé 40, mais au départ, je lui ai mis quoi dans cette machine ? Bien, au départ, je lui ai mis 2. C’est-à-dire que avant, je lui ai mis, de, qu’est-ce que j’avais avant ? An, antécédent. Et bien, un antécédent de 40, c’est 2. On peut le noter. Voilà donc les deux mots qui sont présentés ici. D’autres exemples, pour être sûr que tu as bien compris : si je demande quelle est l’image de 3, c’est 60. Dans l’autre sens, si je demande quel est un antécédent de 100, c’est 5. Quel est un antécédent de 200, c’est 10. Quelle est l’image de 1, c’est 20, et cetera. Donc, donc voilà comment lire image et antécédent dans le tableau de valeur. À partir de l’expression de la fonction, on peut exactement également le comprendre. À partir de la première notation qu’on a vu : 2 associe 40, et bien on retrouve ici un antécédent de 40, c’est 2. Et de l’autre côté, on retrouve l’image de 2 qui est 40. Mais je ne sais pas si tu as remarqué, j’ai dit ici l’image de 2, et là j’ai dit un antécédent de 40, et oui, car un nombre ne peut avoir qu’une seule image. Autrement dit, si je donne un nombre à ma machine, elle transforme, elle me renvoie une image, pas deux. Si je lui donne 5, elle me renvoie un nombre unique, terminé, elle me renvoie pas deux nombres, ça c’est pas possible. Par contre, dans l’autre sens, est-ce qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents ? Et bien la réponse est oui. C’est pour cela que j’ai dit ici un antécédent de 40, c’est 2, car il se peut que 40 a plusieurs antécédents. Autrement dit, je me retrouve en bas, j’ai un nombre en résultat, je voudrais savoir quel est le nombre de départ qui m’a donné ce résultat. Il peut y en avoir plusieurs des nombres. Il pourrait très bien y avoir : si j’ai le nombre 32,6 à la fin, quel est le nombre qui m’a donné 32,6 ? Ça pourrait être 7,4, mais ça pourrait être aussi 8,9.

Pour bien comprendre, un exemple. Alors, on considère maintenant une nouvelle fonction. Habituellement, une fonction, on la note f, f comme fonction naturellement. Et quand on a besoin de deux fonctions dans un exercice, la suivante, on la note habituellement g, mais bon, c’est des choix qui sont arbitraires, on peut très bien la noter p comme tout à l’heure. Alors, cette fonction, je, c’est la fonction carrée en fait : f(x) = x², c’est-à-dire que à chaque fois que je lui donne un nombre, elle va me renvoyer le nombre, le même nombre, mais au carré, c’est-à-dire multiplier par lui-même. On va compléter ce tableau de valeur pour bien comprendre. Je vais commencer par la dernière colonne, c’est la plus facile. Donc, au départ, j’ai le nombre 2. J’ai le nombre 2, et je voudrais obtenir donc la valeur en sortie, c’est-à-dire, on a dit x², autrement dit 2 au carré. 2 au carré, c’est 2 x 2, ça me donne 4. 4. Qu’arrive-t-il à 0 ? Et bien, si je calcule ici f(0), donc ça va me donner 0 au carré. 0 au carré, c’est 0 x 0, ça donne 0. Et enfin, pour -2, je donne à ma machine -2. Qu’est-ce qu’elle me donne en sortie ? Bien, elle me donne -2 au carré. Mais attention, -2 au carré, c’est-à-dire -2 x -2. -2 x -2, ça me donne moins par moins plus, 4, c’est-à-dire 4. Donc -2 au carré est égal à 4. Si je lui donne -2, elle me donne 4. À partir de là, bien on pourrait noter sous cette forme certains résultats du tableau. Je vais en noter deux, celui de la première et la dernière colonne : f(-2) = 4 ; f(2) = 4.

Alors, revenons à notre notion d’image et d’antécédent. Ceci, ça veut dire quoi ? Bien, ça veut dire que l’image de -2, c’est 4. On peut l’écrire à côté. Et ceci, ça veut dire quoi ? Bah ça veut dire que l’image de 2 est 4. J’aurais pu également écrire que l’image de 0 est 0, mais bon, on s’arrête là. Dans l’autre sens, j’aimerais savoir quel est un antécédent de 4. Alors, un antécédent de 4, bah je vais chercher dans le tableau 4, ou ici, et je vois que j’ai deux possibilités. Finalement, je pourrais dire qu’un antécédent de 4, c’est 2, mais je pourrais également dire qu’un antécédent de 4, c’est -2. On le voit également ici : un antécédent de 4, c’est 2 ou -2. Et bien voilà, on se retrouve là dans une situation où on a deux antécédents pour un même nombre. On a eu 4 en sortie, mais on l’a obtenu de deux façons différentes. Et bien voilà, on se trouve là avec deux antécédents. Les antécédents de 4 sont 2 et -2. Alors, j’ai écrit les antécédents, ça veut dire qu’il n’y en a pas d’autres. Et ben, il pourrait y en avoir d’autres. Finalement, qu’est-ce qu’on sait, si on poursuivait notre tableau, peut-être qu’on trouvera encore d’autres valeurs de 4, mais non, je te rassure, il n’y en a pas d’autres. Ceci, on le sait mathématiquement.

On attaque donc la représentation graphique d’une fonction. Alors oui, une fonction peut se représenter graphiquement, on va le voir par des courbes ou même des droites. Alors le cas des droites fait partie des fonctions affines et des fonctions linéaires, et ceci sera traité dans un autre cours. Je l’ai dit en introduction, nous, on va travailler avec la fonction suivante : f(x) = x² - 3. C’est une machine f, donc je lui donne un nombre, elle modifie ce nombre en faisant quoi ? Elle le met au carré et elle enlève 3, et elle me renvoie un nombre en sortie. Pour faire la représentation graphique d’une fonction, il nous faut un tableau de valeur. Le tableau de valeur est prêt, il faut juste le compléter. Alors celui-ci, il y a pas beaucoup de valeur, en général dans les exercices il en faut un peu plus, mais là, pour que la vidéo soit pas trop longue, j’ai essayé de limiter les calculs. Donc on va compléter ici ce tableau de valeur. Je vais détailler les calculs pour que tu les comprennes bien. Premier cas : x vaut -2. x vaut -2, c’est-à-dire je calcule f(-2), ce qui me donne quoi ? Bien, je remplace donc x par -2 dans l’expression, ça fait donc -2 au carré - 3. Bien ça ! Alors on calcule bien : -2 au carré, ça fait 4 ; 4 - 3, ça fait 1. Donc ici je mets 1. Si x vaut -2, la fonction me renvoie 1. f(0), ce qui veut dire que je remplace x par 0, soit 0 au carré - 3 = ; alors 0 au carré ça fait 0, donc 0 - 3 = -3. Donc ici je mets -3. Quand x vaut 0, la fonction me renvoie -3. Pour f(1), ça nous fait donc 1² - 3 : 1 x 1 = 1 ; 1 - 3 = -2. Donc là je mets -2. Et enfin, pour x = 3 : 3 au carré - 3 ; 3 au carré ça fait 9 ; 9 - 3 = 6. Donc je note 6 en dessous de 3. Voilà, notre tableau de valeur est complété. On va maintenant pouvoir représenter graphiquement notre fonction, et pour cela on a besoin d’un repère.

Voilà, notre repère est prêt. On va maintenant pouvoir placer dans ce repère tous les points dont on connaît les coordonnées. On va donc placer tous les points dont on est sûr qu’il se trouvent sur la courbe qui représente la fonction f. Pour cela, il faut regarder dans le tableau. Je, je sais que si x vaut -2, f(x) vaut 1. Alors ici, l’axe des abscisses correspond aux x, l’axe des ordonnées correspond à f(x). Je sais que x vaut -2 et f(x) vaut 1. Donc x vaut -2, et dans ce cas-là, f(x) vaut 1. Je mets fais donc une correspondance ici entre -2 et 1, et j’obtiens un premier point. Si x = -2, et bien f(x) est égal à 1. J’ai donc là, ici, le point de coordonnée (-2, 1). Et on va faire de même avec les trois autres points. À chaque fois, chaque couple ici va me renvoyer un point dont les coordonnées sont x et f(x). Par exemple, si x vaut 0, donc 0, f(x) vaut -3. Alors là, je me retrouve tout là-bas en bas, et j’ai ici un deuxième point qui va appartenir à la courbe qui représente la fonction f. Et on poursuit : x vaut 1, f(x) vaut -2. Alors x vaut 1, f(x) vaut -2. Autrement dit, mon troisième point se trouve ici : (1, -2). Alors moi ici je mets des petits, des petits pointillés, mais si tu, tu fais ça sur une feuille quadrillée, tu auras pas besoin de mettre les pointillés, bien évidemment, hein, c’est juste pour qu’on arrive bien à le lire. Et enfin, un dernier couple : x vaut 3, f(x) vaut 6, c’est-à-dire le point de coordonnée (3, 6). Donc (3, 6). J’ai donc un troisième point ici. Voilà, on obtient donc nos quatre points : donc celui-ci, celui-ci, celui-ci et celui-ci. Tu as bien compris qu’à chaque fois j’utilise les, ces nombres-là, donc le nombre de départ et le nombre d’arrivée, c’est-à-dire une valeur et son image, pour obtenir les coordonnées d’un point de la courbe. Alors, je le répète encore, normalement on a beaucoup plus de points, ce qui fait que l’allure de la courbe est beaucoup plus lisible. En fait, la courbe, si on avait d’autres points, on en verrait encore un là, un là, et cetera, et la courbe elle a cette allure-là. Tu apprendras plus tard que cette courbe porte un nom et qu’elle s’appelle une parabole, c’est étudié au lycée. Donc le, le truc suivant à faire, et bien c’est de relier tous ces points. Alors ici, il ne s’agit pas de les relier à la règle, il faut les relier à main levée et essayer de faire la courbe la plus jolie, la plus lisse qui passe par tous les points qu’on a représentés. On va le faire.

Voilà, on a représenté la courbe de la fonction f. On voit bien qu’elle passe par les quatre points qu’on a considérés dans notre tableau de valeur, mais ce qu’il faut savoir, c’est qu’en réalité cette courbe elle s’arrête pas aux limites qu’on a, qu’on a donné dans le, le tableau de valeur. En réalité, notre courbe, elle continue bien au-delà, mais là encore, ça fait partie d’un autre cours. Alors, à partir de là, il est possible de lire sur le graphique, et bien d’autres valeurs qui ne sont pas données dans le tableau de valeur. Par exemple, je voudrais connaître l’image de 2. On a l’image de 0, de 1, de 3, mais on a pas l’image de 2. Et bien, c’est le graphique qui va nous donner l’image de 2. Pour cela, et bien ce qu’on va faire, c’est qu’on va déjà chercher 2 sur l’axe des abscisses. Si je cherche l’image de 2, cela veut dire que je cherche ce que me renvoie la fonction f lorsque je lui donne 2. Ce que je lui donne, c’est x, donc ça veut dire que au départ ici je donne 2, et je voudrais savoir dans ce cas qu’est-ce que me renvoie la fonction f. Bien, pour le voir, il suffit de rejoindre ici la courbe et de regarder dans ce cas-là ce qu’elle nous renvoie. Traçons-le. Et bien, on le voit, si je donne 2 à x, et bien j’obtiens pour f(x) 1, ce qui veut dire que l’image de 2, et bien c’est 1. On peut le noter ici. Chemin inverse : je voudrais trouver des antécédents de -2. J’ai mis un s à antécédent car on va en trouver plusieurs, des antécédents de -2. Alors, ce qui veut dire que j’ai obtenu -2 en sortie, ça veut donc dire que f(x) est égal à -2. C’est le résultat, donc le -2, cette fois-ci, je dois le chercher sur l’axe des ordonnées. Il est ici, le -2, et je voudrais retrouver, et bien un antécédent de -2. Et bien, on en voit un ici, on en a tracé un tout à l’heure, c’est 1 effectivement, on le retrouve dans notre tableau de valeur. Comme je l’ai expliqué plutôt dans la vidéo, j’ai -2 en sortie, un antécédent de -2, c’est 1. Donc on retrouve ici 1 comme antécédent de -2. Je peux le noter, mais attention, c’est pas tout, parce qu’en fait il y en a un deuxième d’antécédent de -2. Et oui, j’ai choisi ici d’aller dans ce sens-là, j’étais un petit peu guidé par les petits points, et donc je suis allé dans ce sens-là, j’ai rejoint la courbe, j’ai trouvé 1, mais finalement, j’aurais pu aller dans l’autre sens ici, et partir cette fois-ci vers la gauche. Et si je pars vers la gauche, qu’est-ce qui arrive ? Et bien, je vais trouver un deuxième antécédent, un deuxième antécédent qui est -1. Et oui, en partant vers la gauche, on trouve -1, c’est-à-dire que si je donne -1 à ma fonction, elle me renvoie -2. Autrement dit, quel est le nombre que…

J'ai utilisé au départ pour trouver -2. C'est -1. J'ai une deuxième solution qui est -1. Il y avait bien un "s" à antécédent. Voilà, on en a fini sur le cours sur la notion de fonction.

Je le dis et je le répète: très important de faire des exercices. N'hésite pas à te rendre sur la playlist correspondante. Cette séquence est terminée.