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Vamos a calcular ahora un problema, un ejemplo de cómo obtenemos el óptimo de un consumidor.
Bueno, lo que nos plantea este problema es que supongamos un consumidor que tiene una función de utilidad como la que tenéis ahí indicada, un consumidor que consume unidades del bien x y del bien y de forma que la utilidad de xi es igual a x elevado 025 * y elevado 05. Y el problema nos plantea que este consumidor dispone de una renta m = 100 y que se enfrentan los precios px = 5 y pi = 5.
El problema nos plantea que obtengamos el óptimo del consumidor. Bueno, este es un problema típico del consumidor en el que lo que nos tenemos que plantear, lo que lo que tenemos que buscar es la cesta de consumo, las unidades de bien x y de unidades bien y la cantidad de x y de y que maximizan la función de utilidad. que maximizan la función de utilidad UXI sujeto a la restricción presupuestaria. Es decir, buscamos las unidades de X y de Y que nos den la máxima utilidad sujeto a que la renta que tengamos, el dinero que tenemos para gastar será igual a la cantidad de gasto que hagamos en bien X, el precio del bien X por las unidades del bien X más el gasto que hagamos en bien I, el precio del bien I por las unidades del bien I.
Con los datos de nuestro problema, lo que este problema de consumidor eh viene a ser maximizar respecto de x y de y, es decir, buscar la x e que haga máxima la función de utilidad, es decir, que maximice x elevado 025 * y elevado 05 sujeto a la restricción presupuestaria, que es que esos 100 € de los que dispone el consumidor tienen que ser igual a lo que se gasta px, que es 5 por las unidades de bien x que adquiera más lo que se gaste en bien, que será C por las unidades de bien que adquiera.
Esto aquí pues nada, un error. ¿Cómo resolvemos? ¿Cómo cómo encontramos esa Xi? Si el problema tiene un un máximo interior, es decir, no tenemos cosas raras, no tenemos soluciones esquina. Bueno, la solución de este eh la solución de este problema equivale a resolver el sistema de ecuaciones en el que lo que estamos buscando gráficamente resolver un sistema de ecuaciones. Gráficamente la restricción presupuestaria pues es una es una línea recta y lo que vamos a buscar es de las cestas que el consumidor puede adquirir, que son las que están en la restricción presupuestaria, la que le dé la máxima utilidad.
Estamos buscando la cesta XI, la cesta XI que le da la máxima utilidad de aquellas en las que me gasto mi dinero. Me gasto mi dinero en las que está en la restricción presupuestaria. ¿Cuál es la que nos da la máxima utilidad de aquí? Pues aquella cesta en la que tengamos en la que haya una curva de indiferencia que sea tangente a ella. ¿Dónde se cumplen estas dos condiciones? pues serán las serán eh nos gastemos toda la renta, es decir, en la serán la cesta óptima será aquella cesta en la que los 100 € de renta que tenemos los gastamos en comprar unidades de bien x y de bien y además la cesta óptima, en esa en ese punto de la cesta óptima tenemos que la relación marginal de sustitución, es decir, la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente de la restricción presupuestal.
Que la pendiente de la restricción presupuestaria es px / pi, que en este caso será 5 / 5, ¿no? Pues eh teóricamente de forma genérica este sistema de ecuaciones que hemos utilizado pues será que se cumpla la restricción presupuestaria, es decir, m sea igual a px * x + pi* i y que la relación marginal de sustitución la pendiente de la eh de la curva de indiferencia sea igual a px / p, a la pendiente de la restricción presupuestaria, ¿no?
Pues si sustituís aquí, pues tenemos este sistema de ecuaciones. Vamos a calcular la relación marginal de sustitución, que es lo que nos falta para tener todas las ecuaciones definidas. La relación marginal de sustitución de bien y por x, que esto es en cuánto valoramos cada unidad del bien x en términos del bien, igual que la restricción, que la pendiente, la restricción presupuestaria es en cuánto valora el mercado cada unidad del bien x.
Bueno, pues la relación marginal de sustitución en cuánto valora el consumidor cada unidad de bien x medido en unidades de bien y lo podemos calcular como la utilidad marginal respecto de x entre la utilidad marginal respecto de y. Es decir, como la derivada parcial de la función de utilidad que depende de x y de y respecto de x partido por la derivada parcial de la función de utilidad que depende de x y de y respecto de i.
¿Y esto a qué es igual? Bueno, pues tenemos aquí, vamos a calcular primero la derivada parcial de la función de utilidad, que es esta de aquí, respecto de x. Y entonces nos queda la x está elevada a 025, el 025 pasa aquí multiplicando por x elevado 025 - 1, que es men75 por la i elevado 05, que se queda igual. Y abajo dividimos entre la derivada de esta función de utilidad respecto de la i. la x elevado a 025 se queda igual x elevado 025 se queda igual por el exponente de la y que pasa multiplicando porque estamos derivando respecto de la i 05 * i elevado -05.
Bueno, vamos a seguir calculando la relación marginal de sustitución aquí. La relación marginal de sustitución de y * x, que hemos dicho que es la utilidad marginal respecto de x partido de la utilidad marginal respecto de y la habíamos calculado como 025 025 * x elevado - 075 x elevado - 075 y elevado 05. Y por este lado teníamos teníamos puesto x elevado 025 * 0,5 * y elevado -05. Como se están multiplicando los tres, el 05 lo voy a pasar al principio para tenerlo coherente con lo de arriba y tendríamos 05 por x elevado 025 * y elevado -05.
Ahora, para seguir simplificando esto, lo que vamos a hacer son los eh los signos, los exponentes negativos que tengamos, los vamos a cambiar de sitio. Por ejemplo, la x esta que está elevada a -075 la vamos a bajar abajo y se va a quedar multiplicando abajo. Y la y elevado -05 la vamos a subir arriba. Por tanto, esto nos queda 0,25 por el x que se va a bajar para abajo, el y elevado 05 y elevado 05 y la i elevado -05 de abajo. Esta ahí que sube para arriba. Esta ahí se va para arriba y tenemos por y elevado 05 cambiando el signo del exponente y por debajo tenemos el 05 por el x elevado 025 de aquí x elevado 025 de aquí y este x elevado - 075 que hemos dicho que lo íbamos a bajar abajo multiplicando y con el signo del exponente cambiado.
Muy bien. 05 si lo si lo calculáis pues es 05 que multiplica a i elevado 05 * y elevado 05. Eso es y elevado 1 y abajo x elevado 025 * x el 0,75 es x. Por tanto, la relación marginal de sustitución es 0,5 y entre x en una cesta de consumo, si tenemos x unidades de bien x y unidades de bien y, 0,5 * i / x será cuántas unidades de bien eh de bien y estamos dispuestos a dar por una unidad de bien x.
Montamos de nuevo este sistema de ecuaciones, que es el que nos va a dar la cesta óptima y tenemos que 100 será igual a 5x + 5y por un lado. Y por el otro teníamos que la relación marginal de sustitución que es 0,5i / x 0,5 * i / x tiene que ser igual a la relación de precios a 5 / 5. A 5 / 5.
Bueno, resolviendo este sistema de ecuaciones, que si veis son dos ecuaciones, una y dos. que dependen de x y de y. Dos incógnitas, dos ecuaciones, dos incógnitas. Podemos resolverlo y podemos encontrar la cantidad óptima de x y la cantidad óptima de y.
Bueno, vamos a simplificar esto un poco. Tenemos que 100 es igx + 5y. Lo de arriba no lo simplificamos. La ecuación de abajo, sí, esto es 0,5. 0,5 * i / x = 5 / 5, que es 1. Muy bien. Ahora vamos a pasar la x multiplicando al otro lado y tenemos que 100 = 5x + 5y y abajo tenemos que 0,5 * i es = x.
Bueno, pues ya tenemos aquí este sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas. Es muy fácil de resolverlo. Si sustituimos el valor de la x ahí, ahí arriba. también eh lo sustituimos allí arriba. Aunque para que sea un poco más fácil, lo que vamos a hacer es quitar ese 0,5 multiplicando los dos lados por dos y vamos a poner de nuevo otro sistema equivalente arriba 100 = 5x + 5y y abajo multiplicamos por 2 en los dos lados de la ecuación y nos queda y = 2x que así es más fácil sustituir la y aquí.
Por tanto, vamos a sustituir la y por 2x en la expresión de aquí. nos queda que 100 será igual a 5x + 5 por lo que vale la y que es 2x. En esta ecuación, por tanto, tenemos que 100 es igx + 5 * 2x, que es 10x. 5x + 10x 15 x. Y de ahí sacamos que la cantidad de x que vamos a consumir es 100 / 15. La cantidad de que vamos a consumir es igual a 2x. Y por tanto la cantidad óptima de y pues será 200. entre 15.
Y esta es la cesta de consumo óptima. La cesta de consumo óptima hemos dicho que es x = 100 / 15 y eh y = a 200 / 15, ¿vale? que esto es pues aproximadamente pues 6 con algo, ¿no? Si simplificamos el 100 / 15, eh dividimos entre 5 todo y nos queda 20 / 3 y aquí tenemos 40 40 / 3, ¿no? Que esto es pues aproximadamente eh esto es 6,6 y esto es pues el doble, esto es eh 13,33.
Bueno, pues entonces la cesta óptima de nuestro problema. Teníamos aquí la restricción presupuestaria, teníamos la curva de indiferencia que es tangente en el punto X 6,66 e Y 13,3.