Transcription
Vamos a continuar con otros ejercicios de teoría del consumidor. Vamos ahora, de hecho, a hacer el más clásico de los ejercicios de teoría al consumidor que tienen enunciado de este estilo.
Dice: un consumidor tiene una función de utilidad. Fíjense que ahora ya no, ya tenemos la función de utilidad. Tiene una función de utilidad de la siguiente manera, que la utilidad es igual a X por Y al cuadrado. Y se enfrenta a los precios. El precio de X es de 20, el precio de Y es también de 20, siendo su renta o ingreso igual a 180, que es la plata que tiene para gastar en estos dos bienes. Encuentre la elección óptima del consumidor, o sea, encuentre la canasta óptima.
Como siempre digo, lo mejor es empezar planteando el gráfico. Si, una vez que se planteó el gráfico, porque es más fácil razonar el ejercicio. Graficamos la recta presupuestaria. La recta presupuestaria tiene como ordenada al origen 9. ¿Por qué 9? El orden al origen, porque si agarran los 180 pesos que tiene para gastar y los consume enteritos en bienes Y, va a poder comprar como máximo 9, porque sale 20 pesos cada uno. O sea, sería 180 dividido 20, 9 es la cantidad máxima de bienes Y que puede comprar. Por otro lado, la cantidad máxima de bienes X que puede comprar también es 9, porque es 180 dividido 20 también. Entonces, ya tengo dónde corta el eje de coordenadas, dónde corta al eje abscisas. Uno esos dos puntos, obtengo la recta presupuestaria. Bueno, que yo ya la tenía graficada. Listo, ya tengo gráfica la recta presupuestaria.
¿Qué estamos buscando? Estamos buscando un óptimo, una canasta óptima. Si estamos buscando una canasta óptima, lo que estamos buscando es un punto de tangencia entre esa recta presupuestaria y una curva de indiferencia. Si, yo ya la ubique más o menos dónde va a estar el óptimo, pero bueno, lo que estamos buscando es un punto de tangencia. Lo que tengo que averiguar es cuáles son precisamente las cantidades óptimas que tienen de X y de bienes Y.
Entonces, para resolver este ejercicio, lo que tenemos que hacer es cumplir con las condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es que en el óptimo siempre va a haber un punto de tangencia. O sea, pero que haya un punto de tangencia, ¿qué quiere decir? Que la pendiente de la curva de indiferencia se está siendo igual a la pendiente de la recta presupuestaria. La pendiente de la curva de indiferencia es la relación marginal de sustitución entre bienes Y y X, y la pendiente de la recta presupuestaria es la relación de precios entre los bienes. Entonces, en el óptimo se tiene que cumplir sí o sí esto, que la relación marginal de sustitución de bienes Y por X, que es igual a la utilidad marginal de X sobre la utilidad marginal de Y, tiene que ser igual al precio de X sobre el precio de Y.
Este que estamos, ok. Ahora, el precio de X y el precio de Y lo tengo, porque son datos del ejercicio. Lo que me falta es armar esta segunda, esta parte, esta parte, porque esta ya la tengo. Los precios los tengo, pero me falta armar esto. Entonces, voy a tener que calcular la utilidad marginal de X y la utilidad marginal de Y. Como ya vemos, las utilidades marginales se calculan derivando de la función de utilidad. La utilidad marginal de X va a ser la derivada de esta función que tenemos acá, que es la función que nos dieron, con respecto a X. La derivada de Y al cuadrado es 2Y. La derivada de X es 1. Entonces, la utilidad marginal de X es Y al cuadrado. La utilidad marginal de Y es la derivada de la función de utilidad, pero con respecto a Y, y eso me da 2XY. Y me da la derivada. Entonces, ya tengo la utilidad marginal de X y tengo la utilidad marginal de Y.
Ahora puedo armar precisamente la condición de equilibrio del óptimo. La condición de equilibrio es que la utilidad marginal de X, que es esta que está acá, dividido la utilidad marginal de Y, que es esta que está acá, tiene que ser igual a el precio de X sobre el precio de Y. Que el precio de X es 20 y el precio de Y es 20. Por ende, va a tener que ser igual a 1. O sea, que esto que tenemos acá tiene que ser igual a 1. Si, o sea, que esto que tenemos acá tiene que ser igual a 1.
Si tenemos que despejar, en realidad, si me queda simplificando, o sea, sacando los 20 objetos de por medio, me queda que Y al cuadrado sobre 2XY tiene que ser igual a 1. Que lo que hice, lo que hice fue dejar este 1, porque es lo que da el precio de X sobre precio de Y. Acá, fíjense que simplifiqué, porque ya tengo una Y dividiendo y 2X arriba en el numerador. Por lo tanto, puedo simplificar esta Y con esta Y que está acá abajo, y me va a quedar en definitiva que la relación marginal de sustitución entre bienes, esta parte diríamos, va a ser igual a Y sobre 2X.
Y una vez que armé esto, que hice las simplificaciones que que se puedan hacer, simplemente tengo que despejar Y o despejar X de esta ecuación. Lo que voy a hacer, de hecho, es despejar Y. Sin despejar Y, me va a quedar que Y es igual a 2X. Si hacen el despeje, este 2X que está dividiendo pasa a multiplicar al otro lado, multiplica justo por 1, entonces va a quedar que Y es igual a 2X.
¿Esto qué quiere decir? Que en el óptimo, en el óptimo, el consumo de Y va a ser dos veces el consumo del bien X, el doble del consumo del bien X. Acá voy a hacer una pausa. Si yo a mis alumnos siempre les enseño a razonar la respuesta antes de averiguar la. Si esto a algunos alumnos míos los confunde y otros la cachan de entrada, yo se lo voy a explicar porque es mi obligación. No puedo con mi genio, es mi obligación de docente intentar explicarles el cómo pueden predecir la respuesta antes de obtenerla. Si no les sirve esto que les voy a decir ahora, olvídense. Lo sé, pero la idea es la siguiente. Yo ya sabía de que en el óptimo, si el consumo de Y iba a ser el doble que el consumo de X. Eso ya lo sabía sin necesidad de hacer todo esto. ¿Por qué ya lo sabía? A ver, si sacamos todo esto, sacamos y nos quedamos solo, nos quedamos con el enunciado. Me dice: "A ver, ¿cuánto va a consumir? ¿Cuál va a ser la canasta óptima si esta es la función de utilidad y estos son los precios?". No estoy yo veo los precios y veo que el bien X y el bien Y salen lo mismo. Ahora veo la función de utilidad de la persona y veo que la Y está elevada a la 2 y la X está elevada a 1. Por lo tanto, yo puedo concluir de hecho que esta persona prefiere el doble las Y que las X. Ahora, viendo la utilidad, la función de utilidad, veo que prefiere el doble las Y que las X. Pero en el mercado salen lo mismo. Por lo tanto, era lógico que iba a terminar consumiendo el doble de Y que de X, porque las prefiere por dos. Tiene una preferencia del doble de Y, porque está elevada la 2 y la X está elevada a 1. Ya las prefiere el doble de Y, pero salen lo mismo en el mercado. Por lo tanto, era lógico que en el óptimo iba a terminar consumiendo el doble de Y que de X.
A ver, que me va a ser difícil hacer números en el aire. Disculpen si los confundo, pero si, por ejemplo, el precio de Y hubiese sido el doble, hubiese sido de 40. El precio de Y. Ahí, ¿cuál hubiese sido la respuesta en el pronóstico de desde el óptimo? Si me hubiese valido 40 pesos, yo decía: "Ah, las prefiere al doble, pero también salen el doble". Si hagan la prueba después, hagan el mismo ejercicio pero con un precio de Y de 40 y van a ver que la respuesta va a terminar siendo que consume la misma cantidad de bienes Y que de X. ¿Por qué? Porque las prefiere al doble, las Y, pero también saldrían el doble en el mercado, o sea, que se compensa y termina consumiendo la misma cantidad de bienes X que de Y. Yo sé que necesito un pizarrón y un montón de ejemplos para explicarle esto, este análisis que yo hago previo a resolver el ejercicio, como para que el que lo está resolviendo se dé cuenta para por lo menos para dónde va a ir la respuesta. No, cosa de que si llega algo a una respuesta que no es lógica, se dé cuenta de antemano de que está mal el ejercicio, de que algo mal hizo. Me gusta que mis alumnos siempre que les doy un enunciado, lo razonen y se den una idea de para dónde va a ir la respuesta, más allá de después resolverlo. Pero no me gusta que lo resuelvan de memoria los ejercicios.
Entonces, fíjense si esto que les dije a lo último les sirve. Cada vez que vean un ejercicio, cada vez que vean en un enunciado, les sirve para ver, se dan cuenta de para dónde va a ir la respuesta. A ver, los prefiere por igual, pero el bien X sale, y consumiendo el doble de X que de Y. O sea, ese tipo de análisis lo podrían hacer antes. Pero bueno, importante volviendo a donde habíamos quedado. Habíamos quedado que en el óptimo, en el óptimo, después de armar la condición de equilibrio, queda que Y va a ser igual a 2X. Ok, listo. Armamos la primera condición de equilibrio.
Ahora hay que cumplir con la segunda condición de equilibrio. ¿Cuál era la segunda condición de equilibrio? Que se cumpla la restricción presupuestaria. O sea, que el ingreso tiene que ser igual a precio de X por X más precio de Y por Y. Nuestro ingreso es de 180. El precio de X es 20 por bienes X, más el precio de Y es 20 por bienes Y. Pero claro, yo dejo esto así, me van a quedar dos incógnitas, me va a quedar como incógnita la X y como incógnita la Y. No voy a poder despejar nada, resolver nada. Pero yo ya sé que lo saqué de la condición de equilibrio anterior, que las Y son, el Y es igual a 2X. Entonces, lo que voy a hacer es reemplazar este valor de Y por los 2X, que es lo que me dio antes con la anterior condición. Y listo, ya me va a quedar como incógnita solo la X y ahí voy a poder despejar el valor de X.
Si, 20 por X más 20 por Y. Pero Y es 2X. Entonces, 20 por X más 20 por 2X. O sea, 20X más 40X. Me va a dar 60X. Entonces, 180 es igual a 60X. Despejo X y me dice que en el óptimo X va a ser 3. O sea, que este valor de X va a ser de 3. La canasta óptima. Y como 3 es el valor de X, y yo sé que Y es igual a 2X, o sea, 2 por 3, me va a quedar que el consumo óptimo de Y es de 6. Y acá acabo de encontrar la canasta de equilibrio. En el óptimo, esta persona va a terminar consumiendo tres unidades de X, seis unidades de Y.
Y acá sí, comprueben de que efectivamente gasta los 180 pesos. Gasta todo y ese es el máximo nivel de satisfacción que puede llegar a obtener. Ahí sí. Me pregunto, ¿qué nivel de satisfacción obtiene? ¿Qué nivel de utilidad obtiene? Simplemente debería reemplazar este 3 y este 6 en la función de utilidad que me dieron. Si lo reemplazo en la función de utilidad, me dice que el nivel de utilidad que está obteniendo, está alcanzando una curva de indiferencia que corresponde a 108 útiles. Y esa es la canasta óptima. Fíjense que efectivamente terminó consumiendo el doble de Y que de X. Repito, ¿por qué? Porque yo veía la función de utilidad y veo que la Y está elevada a 2, la X está elevada a 1. Entonces, las prefiere al doble a las Y que las X. Pero salen lo mismo. Era lógico que iba a terminar consumiendo el doble de Y que de X.
Hagamos otro tipo de ejercicio que también es clásico. Por último, nos vamos a hacer el último ejercicio.
Enunciado: un consumidor tiene como función de utilidad la misma que en el ejercicio anterior, la misma función de utilidad. Y actualmente se encuentra consumiendo 10 unidades del bien X y 10 unidades del bien Y. Si los precios de mercado son 10 pesos las X y 10 pesos las Y. ¿Está el consumidor maximizando su utilidad? Nuevamente, disculpen si los confundo con el análisis previo, porque sé que se puede resolver de memoria esto con una metodología, pero no me gusta que lo resuelvan de memoria. Yo creo que los piensen un cacho antes. Y voy a usar el mismo razonamiento que usé antes. Fíjense cómo es. Cuánto es el precio de X y cuánto es el precio de Y. Los dos salen iguales, los dos salen 10 pesos. Ahora veo la función de utilidad y veo que la Y está elevada a la 2, la Y, la X está elevada a la 1. Es evidente que esta persona lo hace más feliz, de hecho, lo hace el doble de feliz consumir bienes Y que consumir bienes X. Y si salen lo mismo, no es lógico que esté consumiendo 10 unidades de X y 10, la misma cantidad de bienes Y que de bienes X. Ya claramente esto no está, el tipo que esta persona no está maximizando su utilidad. O sea, esto lo puedo razonar si, previo a resolverlo formalmente. Diríamos, ¿cómo sería la resolución formal? Si la resolución formal es que en la condición de equilibrio se tiene que cumplir la utilidad marginal de X sobre la utilidad marginal de Y tiene que ser igual a precio de X sobre precio de Y. Los precios ya los tengo. Si los precios ya los tengo, entonces debería resolver, averiguar cuáles son las utilidades marginales. Nuevamente, hacemos las dos derivadas con respecto de X, con respecto de Y, para obtener las utilidades marginales, que son estas de acá. Armo la condición de equilibrio, o sea, que utilidad marginal de X sobre utilidad marginal de Y, que acá ya puedo simplificar este 2 de acá, lo puedo simplificar con la X que está dividiendo. Entonces me queda que Y sobre 2X. Si, si tendría que ser igual a los precios. Pero lo cierto es que habíamos dicho que estaba consumiendo esta persona, estaba consumiendo 10 unidades de X y 10 unidades. O sea, que una vez que ya tengo esto, reemplazo por los valores que está consumiendo de cada bien y me da 0,5. O sea, que la relación marginal de sustitución, esta parte de la condición de equilibrio, me dio 0,5. Mientras que, mientras que los precios me da 1, porque 10 dividido 10 es 1. O sea, que claramente no está en un óptimo, porque no se cumple la condición de equilibrio. No se está cumpliendo que la relación marginal de sustitución sea igual a la relación de precios entre los bienes. Por lo tanto, no está en un óptimo.
Ahora, para que esté en un óptimo, se tiene que cumplir que la relación marginal de sustitución sea igual a 1, porque igual a 1 son los precios en el mercado. No lo puedo cambiar. Lo que sí puedo cambiar son la utilidad marginal de cada bien, que la cambio haciendo un consumo distinto de estos bienes. Claro que lo que tiene que pasar, ya que no puedo cambiar el precio, esto va a ser un ocio. Si yo tengo que cambiar este 0,5, debería aumentar. Ya para que se llegue a la igualdad, este 0,5 debería aumentar. O sea, que la relación marginal de sustitución entre bienes debería ser más alta. Y como hago para que sea más alta, en la relación marginal de sustitución entre bienes tiene que ser más alta la utilidad marginal de X y más baja la utilidad marginal de Y. Para que este número sea más alto y se iguale a 1.
Si ahora recuerden, y esto es también algo que los confunde normalmente, es que la respuesta sería: esta persona debería consumir mayor cantidad de bienes Y, menor cantidad de bienes X. A ver, ¿por qué? Recuerden que cuanto más consumen de algo, menos satisfacción adicional le genera ese algo. O sea, que si yo tengo que auto aumentar la utilidad marginal de X, voy a tener que consumir menos del bien X. Y si tengo que bajar la utilidad marginal de Y, tengo que consumir más bienes Y. Porque cuanto más consumo de un bien, menos satisfacción o utilidad marginal me va a generar ese bien. Entonces, la respuesta sería, si una respuesta rápida sería: "Mira, tiene que consumir más". No está en un óptimo, claramente no está en un óptimo, porque no se está cumpliendo la condición de equilibrio. Y como no puedo modificar los precios, pero los precios sí o sí es precio de X sobre precio de Y, y me da uno, y yo este uno lo puedo modificar, lo que tengo que modificar es el otro lado del igual. Y para modificar el otro lado del igual, lo tengo que hacer subir. Y para hacer subir ese número, tengo que consumir más bienes Y, para que baje la utilidad marginal de Y, y menos bienes X, para que suba la utilidad marginal de X. Esa sería una primera respuesta. Que con eso se podría ya responder a la pregunta.
Si ahora, si queremos ser un poco más específicos y queremos ser un poco más detallado, por ahí el profesor que les va a evaluar esto dice: "A ver, pero me podrías haber dado una respuesta más precisa todavía". Ok, una respuesta más precisa. ¿Cómo podría ser? Recordemos que la restricción presupuestaria es que el ingreso es igual a precio de X por X más precio de Y por Y. Ahora, ¿cuánto estaba consumiendo esta persona? Estaba consumiendo 10 unidades de X, 10 unidades de Y. Que estaba mal, pero estaba consumiendo eso. O sea, que si estaba consumiendo 10 de X, 10 de Y, a 10 pesos cada una, quiere decir que estaba en total, estaba gastando 200 pesos. Ok. Entonces, gastaría eficientemente los 200 pesos. Porque consumiendo 10 y 10 no es un óptimo. Entonces, ¿cómo haría para, cómo debería gastar bien los 200 pesos? Bueno, armo, les muestro cómo sería, cómo sería el gráfico de la situación inicial, porque está mal, porque no está en un óptimo de 200 pesos. Se está gastando, no 200 pesos, está gastando. Si se gasta todo en Y, va a poder comprar como máximo 20 unidades. Si se gasta todo en bienes X, va a poder comprar como máximo también 20 unidades, porque sale 10 pesos cada una. Si, entonces la recta presupuestaria es esta. Y habíamos dicho que estaba, estaba consumiendo 10 unidades de X, 10 unidades de Y. Pero claramente ese no era el óptimo. Sino era un óptimo que decir que la curva de utilidad, la curva de indiferencia que estaba alcanzando no era una curva de utilidad en donde había un punto de tangencia, sino que la estaba cortando. Y eso no es un óptimo. Siempre los óptimos están en los puntos de tangencia. De hecho, fíjense si reemplazan 10 unidades de X y 10 unidades de Y, que estaba consumiendo esta persona, las reemplazan en la función de utilidad. Le da que esto, o sea, reemplazan acá por 10 y 10, le da que estaba teniendo 1000 útiles, o sea, 1.000 de satisfacción estaba teniendo esta persona. Y esa no es la máxima satisfacción que puede lograr. Puede lograr una mayor satisfacción consumiendo de manera correcta. Y para consumir de manera correcta, se tiene que cumplir la condición de equilibrio, se tiene que cumplir esto que no se estaba cumpliendo.
Entonces, armemos la condición de equilibrio. Si, fíjense que la condición de equilibrio es que la utilidad, el cociente de utilidades marginales, se tiene que igualar al cociente de precios. El cociente de precios es 1. Precio de X sobre precio de Y da 1. Y el cociente de utilidades marginales era Y dividido 2X. O sea, la utilidad marginal de X sobre la utilidad marginal de Y era esto que tenemos acá. Acá lo tengo. Si despejamos, despejamos la Y, me va a quedar que Y es igual a 2X. O sea, me está diciendo: "Mira, que en el óptimo, mira que en el óptimo, tendría que consumir el doble de Y que de X". Y el tipo estaba consumiendo 10 y 10. Lo claramente no estaba en un óptimo.
Entonces, después armo nuevamente la restricción presupuestaria. Entonces, 200 pesos que tiene para gastar, que estaba gastando, tiene que ser igual a el precio de X por X más el precio de Y por Y. Pero en vez de poner Y, ponemos los 2X, que vale Y. Y ahí ya me queda como una incógnita la X. Despejo X y me termina dando de que el consumo óptimo de X sería 6,66 unidades de X. Si lo hice a propósito con estos números para que queden números con fracción, que recuerden que nuestra materia todo es divisible, todo es divisible. O sea, que expresarían, o sea, el consumo de X es 6,66, de hecho, 6,6 periódico. Ahora, si el consumo de X es 6,6 periódico, y en el óptimo tiene que consumir, reemplazo acá, tiene que consumir el doble de Y. Si me va a dar que el consumo de Y es de 13,3 periódico.
¿Qué quiere decir eso? Que la canasta óptima, la canasta óptima, como ya lo habíamos pronosticado, tenía que ser el doble de Y que de X. Ya lo habíamos visto, porque salen lo mismo, pero prefiere, prefiere las Y el doble que las X. Esto me lo mostraba la función utilidad. O sea, que en el óptimo, este sería el óptimo correcto, diríamos, que a la hora de graficarlo, si sería este el gráfico. Si, o sea, fíjense que si consume 6,66 unidades de X y 13,33 unidades de Y, también está gastando 200 pesos, como estaba gastando antes. Pero si la reemplazan a esos valores en la función de utilidad, te da que la satisfacción que obtiene es más de 1000, más que antes. Claro, porque ahora sí está en el óptimo. El óptimo no era consumir 10 y 10. Con 10 y 10 obtenía 1000 de satisfacción. Ahora obtiene 1185 de satisfacción. Si lo representan gráficamente, la representación gráfica quedaría de esta manera, en donde consumen 6,6 de unidades de X, 13,3 unidades de Y, y ese punto sí es un punto de tangencia, es un óptimo, si es un punto de tangencia entre la recta presupuestaria y la curva de indiferencia, donde el nivel de utilidad alcanzado es más grande que lo que era antes, porque ahora está consumiendo de manera correcta.