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Hola, bienvenidos a un nuevo tutorial. Hoy vamos a realizar un ejercicio clásico de la teoría de elección del consumidor, pero esta vez va a ser de forma convencional. Leamos el problema.
La función de utilidad para este caso va a ser igual a x por y elevado al cuadrado. El ingreso, que vamos a catalogar con la letra m, va a ser igual a 210. El precio unitario de x, de su x, va a ser igual a 10 unidades monetarias. El precio de y, el bien que eso, va a ser igual a 5 unidades monetarias.
Debemos de recordar la restricción presupuestal o presupuestaria también, que va a ser igual para este ejercicio, igual a peso x por x más peso por y igual a el ingreso del consumidor.
¿Qué nos solicitan? Encuentre las cantidades de x que maximizan la utilidad del consumidor, es decir, el punto óptimo, y haga la gráfica correspondiente.
Entremos en material. Bien, el ejercicio nos plantea que consigamos cuál es esa combinación, en cuántas unidades debe de comprar de x y cuántas unidades debe de comprar de y, para maximizar su satisfacción y a la vez gastarse todo su presupuesto.
Entonces, en el punto óptimo se tiene que cumplir esta condición. Esta condición se tiene o se debe de cumplir en el punto óptimo. ¿Qué significa esto? Significa que la utilidad marginal de x, del bien x, dividido por la utilidad marginal del bien y, debe ser exactamente igual a el precio unitario de x, dividido por el precio unitario del bien y.
Ahora, para resolverlo, pues vamos a hacer uso de lo que se conoce con el nombre de las derivadas parciales. Entonces, vamos a sacar la derivada parcial de la función de utilidad. La función de utilidad es igual a x por y elevado al cuadrado.
Entonces, sacamos la derivada parcial de la utilidad marginal. De nuevo, en este caso, el primer término, y va a ser igual a y elevado al cuadrado. ¿Por qué razón? Porque al sacarle la derivada a x, lógicamente x se va a convertir en uno y la otra variable va a quedar constante. Entonces, uno por y al cuadrado va a ser igual a y al cuadrado.
Saquemos ahora la derivada parcial. En este caso, ya no de x, es la utilidad marginal. Entonces, y la derivada de y al cuadrado va a ser igual a 2 que va a multiplicar a y, porque el 2 que está como exponente pasa a multiplicar como coeficiente y al exponente se le resta uno, quedando la expresión 2y. Que ya que x permanece constante.
¿A qué va a ser igual eso? Va a ser igual a peso x / peso y.
¿Qué podemos hacer ahora? Bueno, podemos simplificar el 2 lo podemos simplificar con la y, y entonces nos quedaría la expresión. Ahora, ¿qué vamos a hacer luego de que los de y? Porque nos va a dar y dividido entre 2x. La vamos a despejar. Entonces, 2x que está dividiendo pasaría al otro lado a multiplicar y va a ser igual a. En el numerador quedaría peso x por 2x y en el denominador quedaría peso y.
Bien, esta sería una ecuación muy importante. Ahora, luego vamos a reemplazar y en la restricción presupuestal que nos da el ejercicio. Recordemos la restricción presupuestal, que es esta que está aquí. Ahora, ¿dónde está y? ¿Qué vamos a colocar? Bueno, toda esta expresión que acabamos de conseguir, peso x por 2x dividido entre peso y.
Entonces, esto va a ser igual a peso x por x más peso y. Abrimos un gran paréntesis y en vez de colocar y, ¿qué colocamos? Peso x por 2x dividido entre peso y. Y todo esa expresión va a ser igual a m.
¿Qué podemos simplificar? Bueno, podríamos simplificar peso y peso, que los dos pesos podríamos eliminarlos y que nos quedaría. Nos quedaría la expresión peso x por x más peso x por 2x igual a m.
Ahora, podríamos sacar factor común. En este caso, sacaríamos el factor común de x, ya que ya pues ya conocemos el valor del peso x. Entonces, sacamos factor común de x porque está tanto en este término como en el otro y quedaría la expresión x que multiplica a. Del primer término quedaría peso x más del segundo término quedaría 2. Quedaría 2 peso x. Saltando quedaría 2 peso y. Y eso va a ser igual a m.
Bien, ahora toda esta expresión que está multiplicando la vamos a pasar al otro lado a dividir para despejar a x. Y eso va a quedar igual a m sobre peso x más 2 peso y.
Bien, ahora pues podemos reemplazar los valores para conocer la cantidad óptima de x. Entonces, podríamos ya reemplazar. X va a ser igual a. En este caso, ¿a qué es igual m? M es igual a 210 dividido entre de su x, que resulta x es igual a 10. Más abrimos un paréntesis, 2 por 10. Eso nos estaría dando en el numerador 210 y en el denominador 22 por 10 son 20. 10 serían 30. Y 210 dividido entre 30 nos estaría dando el valor de 7 unidades del bien x.
Ahora tomamos la expresión de esta que acabamos de conseguir acá, peso x por 2x dividido entre peso y. Y ahora simple y llanamente vamos a reemplazar. ¿Dónde está peso x? ¿Qué colocamos? Bueno, colocamos 10 por 2 por 7, porque x lo acabamos de conseguir, es igual a 7, dividido entre peso y, que es igual a 5. Eso va a ser igual a. En el numerador nos estaría dando el valor de 2 por 7, 14 por 10, 140 dividido entre 5 nos estaría dando el valor de 28.
Es decir, que el punto óptimo, las cantidades óptimas que debe de comprar el consumidor para maximizar su utilidad, va a ser igual a cuando él compra 7 unidades de x y 28 unidades de y. Se cumple esta condición, la condición de que la utilidad marginal de x dividido por la utilidad marginal de y es exactamente igual a los precios unitarios, y peso x dividido entre peso y.
Qué bien. Ahora vamos a pasar a realizar la gráfica. Para realizar la gráfica, lo que tenemos que hacer es sacar los puntos máximos. Para sacar los puntos máximos, es decir, hasta cuántas unidades nos alcanza este ingreso para si lo compramos nada absolutamente nada de y, cuántas unidades nos alcanzaría este ingreso para comprar de x. Entonces, dividimos el ingreso entre de su x. Eso nos estaría dando 210 dividido entre 10 nos estaría dando 21. Es decir, si no compramos ninguna unidad de y, nos alcanzaría este ingreso para comprar 21 unidades de x.
Y ahora hacemos lo mismo que y. Máximo va a ser igual a que m dividido entre peso y, que es igual a 210 y peso y es igual a 5. Dividimos y eso nos está dando 42.
Ahora, ya teniendo esos puntos máximos y teniendo en cuenta que el punto óptimo es igual a x igual a 7 y y igual a 28, entonces hacemos la gráfica. Aquí ya tenemos ya la gráfica y la explicamos. Pues lo primero que tenemos que hacer es trazar la restricción presupuestal, que la encontramos aquí. El primer punto que observamos es cuando x es igual a 21. Entonces, si no compramos ninguna unidad de y, todo este ingreso nos alcanzaría para comprar 21 unidades de x, y por eso este punto que está aquí. Lo mismo pasaría con y máximo. Si no compramos ninguna unidad de x, nos alcanzaría todo este ingreso para comprar 42 unidades de y.
Unimos los dos puntos con una línea que vamos a llamar restricción presupuestaria. ¿Qué significa esto? Que todos los puntos que están dentro de la restricción presupuestaria son posibles combinaciones, pero tienden a ser ineficientes porque el consumidor no se gasta todo su dinero. Todos los puntos que están sobre la restricción presupuestaria son los puntos que se reconocen como eficientes, eficientes. Y todos los puntos que están fuera de la restricción presupuestaria, que se conocen como puntos inalcanzables.
Tomamos el punto óptimo, x igual a 7 y y igual a 28. Trazamos el punto en el plano cartesiano, nos estaría dando un punto en la restricción presupuestal y sobre ese punto pasamos una curva de indiferencia que toca ese punto, tangente a la restricción presupuestal, y a eso le vamos a llamar el punto óptimo. Óptimo, que para este caso serían siete unidades de x, 28 unidades de y.
Bien, espero que les haya servido de mucha utilidad. Si no se han suscrito, por favor, suscríbanse. Si les gustó este video, compártanlo también con otra persona. Bendiciones.