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以下是与卡姆兰·瓦法（Kamran Vaffa）的对话，他是一位在哈佛大学任教的理论物理学家，专攻弦理论。他是2017年突破物理学奖（Breakthrough Prize in Fundamental Physics）的获得者，该奖项是世界上最丰厚的学术奖项。
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顺便说一句，弦理论是一种量子引力理论，它统一了量子力学和广义相对论。它认为夸克、电子以及所有其他粒子都由更微小的振动能量弦组成。它们根据理论的“风味”在10个或更多维度中振动。不同的振动模式会产生不同的粒子。
从其起源开始，很长一段时间以来，弦理论被认为好得令人难以置信，但最近在物理学界已经失宠，部分原因是过去40年来它未能做出任何可以被实验验证的新颖预测。尽管如此，直到今天，它仍然是我们“万有理论”或统一物理学定律的理论的最佳候选者之一。
让我提到，人工智能领域的神经网络也发生了类似的故事，它在几十年的承诺和研究之后失宠，但在过去十年中，作为深度学习革命的一部分，它再次取得了成功。
所以，我认为保持开放的心态是值得的，因为我们不知道物理学中的哪些想法可能会在几十年后被重新发现并解决理论物理学中的最大谜团。弦理论仍然具有这种潜力。
这是Lex Fridman播客，这是我和Kamran Vaffa的对话。
数学和物理学有什么区别？
嗯，这是一个很难的问题，因为在很多方面，数学和物理学是统一的。所以区分它们并非易事。我想说，也许数学和物理学的目标是不同的。数学不关心描述现实，而物理学关心。这是主要的区别。但是，很多思考过程等等，这些用于理解自然和现实的东西，与数学家所做的事情是相同的。所以，在很多方面，它们是相似的。
数学家关心演绎推理，而物理学家，或者说物理学，我们不太关心这个。我们更关心思想的相互联系，思想如何相互支持，或者思想之间是否存在令人困惑的矛盾，这对我们来说更有趣。
部分原因是我们在物理学中了解到，思想不是按顺序进行的。如果我们认为有一个思想更重要，然后我们从那里开始，然后到下一个思想，再到下一个，并从中推导出东西，就像数学家那样。我们了解到，我们从那个原理推导出的第三个或第四个东西，后来被证明是实际的原理。而从不同的角度开始，会产生新的想法，而最初的想法并没有产生。这就是科学新革命的开始。
所以，这种事情我们在科学史上一次又一次地看到。我们学会了不喜欢演绎推理，因为它给了我们一个糟糕的起点，认为我们实际上拥有最初的思维过程应该被视为主要的思维，而所有这些都是推导，就像数学家有时所做的那样。
所以，在物理学中，我们正在学习对那种思维方式持怀疑态度。我们必须对一种可能性持开放态度，即我们认为是假设的推论，实际上它之所以成立是因为相反的原因，然后我们颠倒顺序。
所以，这种思想之间的来回切换使我们在演绎方面更加灵活。当然，它有时会给人一种错误的印象，好像物理学家不关心严谨性，他们只是随便说些东西，他们愿意说一些没有逻辑推理支持的话。这完全不对。
所以，尽管在说哪个是主要思想方面存在这种灵活性，但我们在理解我们真正理解了什么，就思想之间的关系而言，我们非常谨慎。所以，这是重要的组成部分。事实上，坚实的数学支撑着物理学，我认为这是物理定律的吸引力之一。所以我们寻找美丽的数学作为基础。
我们能深入探讨那个从一个地方开始，然后到第四步，并一路意识到你开始的地方是错误的那个过程吗？当数学所说的和物理世界所显示的有差异时，会发生这种情况吗？那时你才能回去，从一个完全不同的起点开始，进行革命性的想法吗？
也许我会举一个例子来看看它是如何进行的。事实上，历史上的一个例子是牛顿的经典力学工作。所以，牛顿制定了力学定律，你知道，力 F=ma 以及他的其他定律。它们看起来非常简单、优雅等等。后来，当我们研究了更多的力学和其他类似事物的例子时，物理学家们提出了一个想法，即势的概念很有趣。势是一个抽象的想法，你可以取它的梯度并将其与力联系起来。所以你并不真正需要它，但它解决了一些想法。
然后，欧拉和拉格朗日以一种完全不同的方式重构了牛顿力学。他们说，如果你想知道一个粒子在这一点和这个时间如何到达这一点在稍后的时间，那么方法如下：你考虑连接粒子从初始点到最终点的所有可能路径，然后计算作用量。什么是作用量？作用量是动能项减去势能项在时间上的积分。所以你取这个积分，每条路径都会给你一个数量，而粒子实际走的路径是最小化这个积分或作用量的路径。
这听起来像是从牛顿的形式上倒退了一步。牛顿的形式看起来非常简单，F=ma，你可以写成 F 是势的负梯度。那么为什么有人会用这个看起来很复杂的原理来表述这么简单的事情呢？你必须研究所有路径的空间，然后找到最小值，然后你就会得到相同的方程。那么有什么意义呢？
所以，欧拉和拉格朗日对牛顿的表述，这种用这种语言重构的方式，只是牛顿定律 F=ma 的一个结果。它告诉你这条路径是最小作用量。
现在，我们上个世纪学到的是，当我们处理量子力学时，牛顿定律只是一个平均正确的近似。粒子从一个点到另一个点并不只走一条路径，它走了所有路径。是的，幅度与作用量乘以虚数 i 的指数成正比。
所以，这个事实被证明是量子力学的重构。我们应该从那里开始，作为新定律的基础，那就是量子力学，而牛顿只是一个平均正确的近似。
当我们说幅度时，你的意思是概率吗？
是的，幅度意味着如果你将所有这些路径与 i 乘以作用量相加，如果你将这个加起来，你会得到一个复数。这个复数范数的平方给你从一个点到另一个点的概率。
数学有时会误导我们使用它作为理解物理世界的工具吗？
是的，我想说数学会误导我们，就像所有物理思想都会误导我们一样。所以，当然，如果你陷入了某些东西，你很容易欺骗自己，就像思维过程一样，我们有时必须从中解脱出来。数学有时会起到这种作用，比如“哦，这是如此美丽的数学，我一定要在某个地方使用它。”所以你只是被带走了，你可能被带得太远了。所以，这当然是真的。但我不会说它比所有物理思想更危险。对我来说，新的数学思想与所有可能长期存在的物理学原理一样，有误导我们的潜力。
所以，我只是说，我们应该对数学所扮演的角色保持开放的态度，不要与之对抗，也不要过度依赖它。我们应该对可能性持开放态度。
那么，关于物理思想和数学思想的一个共同特征——美——呢？你认为美会误导我们吗？我的意思是，你私下里给我看了一个非常好的谜题，说明了这一点。也许你可以谈谈这个，或者另一个例子，美让我们倾向于认为我们发现的定律和理论是完美描述现实的？
我认为美不会误导我们，因为我觉得美是物理定律的要求。所以，美是宇宙的基本组成部分。我认为美是基础，至少我们很多人是这样看待的。它不是涌现的，也不是沉浸的。
我想哈代是那位数学家，他说丑陋的数学没有永久的位置。所以我认为物理学也是如此，如果我们发现一个看起来丑陋的原理，我们不会止步于此，那不是最终阶段。因此，美会引导我们走向某个地方。
但这并不意味着美就足够了。这并不意味着如果你只有美，如果我只是看某样东西很美，那我就没事了。不，不是这样的。美当然是每个好的物理理论都应该通过的标准。至少这是我们的观点。
我们为什么会有这种观点？这是一个好问题。可以说，这在一定程度上是基于几个世纪以来科学的经验，在一定程度上是一种哲学观点，即现实是什么或应该是什么。原则上，它可能很难看，我们可能不得不处理它。但我们可能通过科学史上的一个又一个例子变得自信，去寻找美。而我们的审美感似乎包含了许多对我们解决一些难题至关重要的东西，比如对称性。我们发现对称性很美，对称性的打破也很美。
某种程度上，对称性是我们构想所有层面的美的一个基本部分，这很有趣。比如，在我们看艺术时，我们看彼此作为人类，我们看生物空间中的生物，我们看化学，然后进入物理世界，就像你所做的工作一样。这很有趣，让你想知道，哪个是鸡生蛋还是蛋生鸡？对称性是鸡，而我们对美的概念是蛋，还是反过来？或者，对称性是现实的一部分，它是否创造了能够感知它的大脑？或者，也许这只是因为我们觉得它太明显了，几乎是微不足道的，对称性当然会成为任何可能存在的宇宙的一部分，然后任何能够观察到那个宇宙的生物都会欣赏对称性。
这些都是好问题。我们对为什么我们会被对称性吸引，为什么自然定律似乎有潜在的对称性，以及如果不是对称的，我们是否会理解它，我们是否会说，是的，如果有一些看起来不太好的东西，我们也能理解它们。例如，我们知道对称性会被打破，我们也欣赏自然在对称性被打破的阶段。我们生活的世界有很多看起来不对称的东西，但当你更深入地看时，它们都有潜在的对称性。
所以，我们可能被到处出现的对称性所宠坏了，我们去寻找它。我认为这可能与科学家们的审美感有关，我们通常不会在科学家之间谈论它。事实上，这是一种哲学观点，为什么我们寻找简单性或美等等。我认为在某种意义上，科学家们在很多方面都像哲学家。我认为，尤其是现代科学似乎回避了哲学家和哲学观点，我认为这是他们的危险。我认为，在我看来，科学欠哲学很多。在我看来，许多科学家，事实上，可能所有好的科学家都是业余哲学家。他们可能不会说自己是哲学家，或者他们可能不喜欢被贴上哲学家的标签，但他们在很多方面所做的事情就像哲学上的思考。寻找简单性或对称性就是我观点中的一个例子。或者看到模式。
例如，对称性的另一个例子就像你在科学中产生新想法一样。你看到一个想法 A 与一个想法 B 相连，好的。所以你非常深入地研究这种联系，然后你找到了想法 A 的表亲，我称之为 A'。然后你立即寻找 B'。如果 A 就像 B，而 A' 存在，那么你就寻找 B'。为什么？因为它完成了画面。为什么？因为它在哲学上很有吸引力，在某种程度上更有平衡。然后你寻找 B'，结果你发现了这个其他现象，这是一个物理现象，你称之为 B'。
所以，这种思考方式激励着提问和寻找事物，并且它引导着科学家们，我认为，几个世纪以来，并且我认为今天仍然如此。我认为，如果你看看历史的长河，我怀疑那些将被记住的是物理学、化学、计算机科学和数学思想的哲学色彩。我认为实际的细节将被证明是不完整或错误的，但哲学直觉将持续更长时间。
有一种感觉，如果这是真的，我们还没有弄清楚目前的大部分工作原理，那么它将被证明是错误和愚蠢的。它几乎会成为历史的遗留物。但人类的精神，无论是什么，比如理解的渴望，我们感知世界的方式，我们构思它的方式，我们在世界上的位置，这些想法将会延续下去。
我完全同意。事实上，我相信我们今天所知的几乎所有物理原理或定律都不是完全正确的。它们都是对某事的近似，它们比我们以前的版本更好，但没有一个是完全正确的，也没有一个是永远存在的。所以，我同意我们正朝着这个方向前进，我们正在改进。是的，确实，思维过程和哲学观点是普遍的。
所以，当我们看看，你知道，老科学家，或者甚至回到希腊哲学家，以及他们思考的方式等等，他们关于自然的一切几乎都是不正确的。但他们思考的方式，以及他们思考的许多事情，今天仍然有效。例如，他们考虑了对称性破缺。他们试图解释以下内容。这是一个美丽的例子，我认为。他们已经弄清楚地球是圆的，他们说，好的，地球是圆的。他们看到了这个米尺的影子的长度，他们看到，如果你从赤道向北走，他们发现，取决于你离得有多远，影子的长度会改变。从那里，他们甚至测量了地球的半径，精度很高。
顺便说一下，他们能做到这一点真是太棒了。非常棒。所以，这些希腊哲学家非常聪明。所以，他们把它推向了下一步。他们问，好的，地球是圆的，为什么它不动呢？他们认为它不动。他们环顾四周，似乎没有什么在动。所以，他们说，好的，我们必须有一个好的解释。仅仅存在是不够的，他们真的想深入理解那个事实。他们提出了一个对称性论证。
对称性论证是：哦，如果地球是球形的，它肯定必须位于宇宙的中心。所以，他们说地球位于宇宙的中心，这说得通。然后他们说，你知道，如果地球要移动，它会选择哪个方向？任何方向它都会选择，它都会打破球形对称性，因为你必须选择一个方向，这不好，因为它不再对称了。所以，地球决定静止不动，因为它会打破对称性。
所以，他们有了不正确的科学，他们认为地球不动。但他们有一个美丽的观点，即对称性可能解释它。但他们甚至更聪明。亚里士多德不同意这个论证。他说，你为什么认为对称性阻止它移动？因为首选位置？不是。他举了一个例子。他说，假设你是一个人，我们把你放在一个圆的中心，我们在你周围的圆上散布食物，比如面包。我们说，好的，永远待在圆的中心。你会这样做吗？仅仅因为对称点？不，你会饿的。你会走向那些面包中的一个，尽管这打破了对称性。
所以，从这个角度，他试图争辩说，处于这个对称点可能不是首选的做法。而这种自发对称性破缺的想法是我们今天用来描述许多物理现象的。所以，自发对称性破缺是我们现在使用的特征。但这个想法几千年前就存在了，只是被错误地应用于物理世界。但现在我们正在使用它。所以，这些想法以不同的形式回归。
所以我非常同意，思维过程更重要，这些想法比人们今天可能发现的实际应用更有趣。
他们使用了对称性、对称性破缺和自发对称性的语言吗？这真的很令人兴奋。是的，因为我可以看到一种倾向于完美对称的宇宙概念，并且停在那里，或者说，不是停在那里，而是达到最优并保持在那里。那种自发地打破对称性的想法，比如这些扰动，跳出对称性又回来，这真的很难把这个想法装进你的脑子里。它从哪里来？然后，你可能不在宇宙中心的想法，这是一个非常艰难的想法，对吧？
所以，对称性有时是处于对称点的一个解释，有时是许多事情的一个简单解释。比如，如果你有一个碗，一个圆形的碗，那么底部就是最低点。所以，如果你放一个，你知道，鹅卵石之类的，它会滑到底部并停在那里，停在对称点，因为首选点是最低能量点。但是，如果同一个对称的圆形球体底部有一个凸起，那么底部可能不在中心，它可能在桌子上的一个圆圈上。在这种情况下，鹅卵石不会停在中心，它会是较低能量点，对称，但一旦它选择了一个点，它就打破了对称性。
所以，我们不能用对称性推理来解释事物最终会去哪里，或者对称性破缺，就像这个例子所暗示的那样。
我们谈到了美。我发现几何学很美。你的书中有很多几何性质的例子。几何学在古代或今天如何被用来理解现实？你如何看待几何学作为数学和物理学中一个独特的工具？
是的，几何学也是我最喜欢的数学部分。希腊人着迷于几何学，他们试图用几何学和几何学原理以及对称性来描述物理现实。
柏拉图立体，他们发现的五个立体，拥有这些美丽的立体，他们认为这一定是好的，对某些现实有解释作用。他们将一个与空气，一个与火等等联系起来。他们试图赋予对称物体物理现实。这些对称物体是旋转对称和离散对称群，我们今天称之为三维旋转群。
现在，我们知道，我们有时会嘲笑他们试图将这种对称性与物理学的定律和现实联系起来的方式。但实际上，在现代，我们以一种非常相似的方式使用对称性，在这些思考过程中。以我研究的弦理论为例，我们有这些额外的维度，这些额外的维度通常是紧致的微小空间，但它们有不同的形状和大小。我们了解到，如果这些额外的形状和大小具有与希腊人谈论的相同旋转对称性相关的对称性，如果你采用这种对称性并用这种对称性对空间进行商运算，换句话说，在这些对称性下识别点，你就会得到该空间在奇点处的性质，这些奇点会发出力。
什么样的力？就像我们在自然界中看到的力，比如电磁力、强力、弱力。所以，驱动他们将几何学和对称性与自然联系起来的这些原则，今天仍在驱动着物理学，尽管是以更现代的方式。尽管如此，对称性将几何学与物理学联系起来。事实上，我们有时会问这样的问题：假设我想获得这种特定的物理现实，我想拥有这些粒子和这些力等等，我该怎么做？结果是，你可以通过几何设计空间来获得它。你说，“哦，我把球体放在这里，我会这样做，我会缩小它们。”所以，如果你有两个球体相互接触并缩小到零尺寸，这就会产生强力。如果你只有一个，它就会产生弱力。如果你有这个，你就会得到那个。如果你想统一力，就做另一件事。
所以，物理学的这种几何翻译是我在现代物理学中在弦理论背景下发现的最喜欢的事情之一。
可悲的是，当你进入多维空间时，我们将不得不谈论它，我们开始失去我们直观地理解我们正在讨论的世界的能力，然后我们进入数学领域，我们将失去它。不幸的是，我们的大脑是有限的。
但在我们进入那个神秘而美丽的世界之前，让我们稍微回顾一下。你在书中也通过一系列谜题和思想，对物理思想的历史进行了简要回顾。我们谈到了牛顿力学，以及欧拉-拉格朗日力学。物理学历史上的关键思想有哪些？从电磁学到相对论，再到量子力学，再到今天，我们将讨论量子引力和弦理论。
当然。我提到了经典力学和欧拉-拉格朗日表述。物理学下一个重要的里程碑是电磁学定律的发现。麦克斯韦将所有发现都整合到我们称之为麦克斯韦方程组的框架中。他注意到，当他将法拉第和其他人关于电磁现象的发现用数学方程来表达时，它们并不完全奏效，存在数学上的不一致。
现在，一个人可以有两种态度。一种是说，“谁在乎数学？我在做自然。”电场力，磁场力，数学，我不在乎。但这困扰了他。他写的方程不一致，他写的两个方程不一致。这困扰了他。但他发现，如果你给这个方程增加一个“抖动”，增加一个小项，它就能工作，至少是一致的。
这个项的动机是什么？他说，我不知道。我们在实验中看到过吗？没有。你为什么要加它？因为数学上的一致性。所以，他说，好的，数学迫使他添加了这个项，我们今天称之为麦克斯韦项。一旦他添加了这个项，他的方程就很漂亮，数学上一致，优美。但他也发现了新的物理现象。他发现，因为那个项，他现在可以得到电磁波在空间中以他可以计算的速度传播。所以他计算了波的速度，结果发现它与光速相同。这让他感到困惑，因为他认为光与电磁学无关。但后来他足够勇敢地说，也许光就是这些在周围传播的电磁场。他没有活到看到这个预测的验证，而且确实是真的。
所以，这种数学上的不一致，我们可以说，这种数学上的美驱使他走向了物理学中光与电磁现象之间非常重要的联系，后来得到了证实。
然后物理学继续发展，来到了爱因斯坦。爱因斯坦看着麦克斯韦方程组。这些方程很美，它们很好，除了我们得到一个速度，光速。谁来测量这个光速？他问，你是在移动，还是没有移动？如果你移动，光速会改变。但麦克斯韦方程组没有暗示不同的光速。它没有说，“哦，只有当你没有移动时，你才能得到光速。”它只是说，你总是得到这个速度。
所以，爱因斯坦非常困惑。他足够大胆地说，嗯，也许每个人都得到相同的光速。这激发了他的狭义相对论。这是一个有趣的例子，因为这个想法是受到物理学，麦克斯韦方程组的启发，受到人们试图测量以太的性质的启发，以太被认为是光传播的介质。想法是，只有在该介质中，如果你相对于以太静止，光速就是那个速度，如果你在移动，速度就会改变。人们没有发现它。迈克尔逊-莫雷实验表明没有以太。
然后，爱因斯坦足够勇敢地说，“你知道，光速对每个人来说都是一样的，无论你是否在移动。”有趣的是，狭义相对论的数学基础非常简单，是线性代数，没有什么特别深奥的，你可以在高中水平甚至更早的时候教授它。
这是否意味着爱因斯坦的狭义相对论很无聊？一点也不。这是一个例子，简单的数学，线性代数，导致了深刻的物理学。
爱因斯坦的狭义相对论，受麦克斯韦方程组不一致性的启发，暗示光速取决于观察者。那里最大胆的想法是什么？光速对每个人来说都可能是一样的。这是基本的核心。这是爱因斯坦理论的精髓。这个说法是整个理论的基础。
光速对每个人来说都一样，这很难接受，听起来也不对，听起来完全错了。需要爱因斯坦做出这个大胆的陈述。在某种意义上，这会让人觉得好笑。怎么可能有人会做出如此荒谬的说法？结果证明是真的。
这让你感觉如何？因为它仍然听起来很荒谬。
它听起来很荒谬，直到你了解到我们的直觉在空间和时间的概念上是错误的。我们对空间和时间的看法是错误的，因为我们认为时间是绝对的。部分原因是，我们生活在一个速度不高的情况，我们的速度与光速相比很小，因此我们观察到的现象无法区分时间的相对性。
时间也取决于谁来测量。没有绝对的时间。当你说今天中午，现在取决于谁在测量，而且不是每个人都会同意这个说法。要看到这一点，你必须有快速移动的观察者，速度接近光速。
所以，这表明我们的直觉是错误的。物理学中的许多发现正是要摆脱错误的旧直觉。而且很有趣的是，我们摆脱了它，但它总以某种形式在我们身上挥之不去。比如，即使我在描述它，我也觉得有点像，这不是很奇怪吗？你感觉也一样。
是的，确实如此。但我们用一种新的直觉取代了它。而且，有一个非常美丽的例子，说明了物理学家是如何做到这一点的，如何尝试取代他们的直觉。我认为这是我最喜欢的关于物理学家如何发展直觉的例子。这要归功于伽利略的工作。
所以，再次，让我们回到希腊哲学家，或者也许是亚里士多德。再次，让我们进行批评。他认为，物体，较重的物体比较轻的物体下落得更快。这说得通，有点说得通。你知道，人们会提到羽毛和石头，但那是由于空气阻力。但你可能会想，如果你有一个重石头和一个轻鹅卵石，重的那一个会先掉下来。如果你不做任何实验，这是我的第一反应。我想每个人都会说，这是自然而然的。
伽利略不相信这一点，他做了那个实验。据说他去了比萨斜塔，然后他从同一高度同时扔下了这些重石和轻石，它们同时落下。好的。所以他说，我完成了。我已经证明了重物和轻物同时落下。我做了实验。当时的科学家们不接受。
为什么呢？因为当时科学不仅仅是实验。实验本身并不足够。他们不认为他们必须通过做实验来获得现实。他们说，为什么会这样？为什么？所以，伽利略不得不解释为什么重物和轻物同时落下。这就是他如何说服他们的方法，他使用了对称性。
他说，假设你有三块砖头，形状、大小、一切都相同。我们将这三块砖头放在同一高度并扔下。哪一块会先落地？每个人都说，当然，我们知道对称性告诉我们，它们形状、大小、高度都相同，当然它们会同时落下。是的，我们知道。
接下来，这是微不足道的。他说，好的，如果我们把这些砖头放在同一高度移动，它会改变它们落地的时间吗？他们说，如果高度相同，再次根据对称性原理，因为高度平移，水平平移，对称性，不，它们都会以相同的速率落下。好。它们靠得有多近都没关系吗？不，没关系。
好的，假设我让两块砖头接触，然后让它们落下。它们会以相同的速率落下吗？是的，它们会。但他们说，“嗯，这两块接触的砖头比另一块砖头重一倍，而你刚才同意它们以相同的速率落下。”他们说，“是的，是的，我们刚才同意了。”这很奇怪。
所以，他通过对称性设计迷惑了他们。这种重新包装直觉的方式，一种不同的直觉。当直觉发生冲突时，你就会决定。你取代了直觉。这太棒了。
在20世纪和21世纪的这些更困难的物理思想中，它变得越来越困难，需要取代直觉。你知道，对于一个接近光速的物体来说，世界看起来是怎样的？你开始思考超大质量黑洞的边缘，你开始思考那是什么样子，或者我最近又开始研究引力波了。就像当空间时间被引力扭曲时，如果我正在经历引力波，那感觉是什么？
我的意思是，我认为其中一些是更“嬉皮”，无用的直觉。但如果你是一个真正的物理学家，或者无论是什么学科，我不知道是否有可能通过冥想，通过长时间的思考和冥想，来逃离一个与我们不同的世界，以便深入理解一个现象？所以，比如，通过严格的冥想来取代直觉，以便构思它？我的意思是，如果我们谈论多维空间，我想知道是否有办法在我们的脑海中逃离三维世界，以便开始推理它？
与拓扑学家的交流越多，他们似乎就越不完全在视觉空间中运作。他们非常信任数学。这真的让我很恼火，因为拓扑学和微分几何感觉有很多美丽的图像潜力。
是的，我认为他们确实有。如果我没有几何直觉，我将无法进行我的研究。我会稍后谈到，正如你之前提到的，例如在弦理论中，你处理这些额外的维度，我很乐意描述我们是如何做的，因为没有这种直觉，我们将一事无成。而且，我认为你不能仅仅依赖形式主义。我不认为任何物理学家只是依赖形式主义。那不是物理学，那不是理解。所以，我们必须直观地理解它，这是至关重要的。而且，有做到这一点的步骤，我们学到了。它可能并不简单，但我们学会了如何做到。类似于我刚才告诉你的伽利略的例子。你必须逐步建立它们。
所以，回到你关于科学历史的问题。我刚才提到了电磁学和狭义相对论，简单的想法导致了狭义相对论。但后来他进一步思考了相对论中的加速度问题，并提出了广义相对论，他谈到了空间时间的结构是如何弯曲的，等等，物质如何影响空间时间的曲率。
所以，这逐渐成为了几何学和物理学之间的联系。也就是说，他用一种非常几何化、优美的图景取代了牛顿的引力。它比牛顿的更优雅，但数学上要复杂得多。所以，当我们说它更简单时，我们是指在某种意义上它更简单，而不是在方程求解的实际意义上。爱因斯坦理论中的方程要难解得多。事实上，它们非常非常难解，以至于爱因斯坦本人也无法解决许多情况。例如，他无法解决一个球形对称物质的方程，就像如果你有这个对称的太阳，他认为他实际上无法为它写下并解出他的方程。一年后，他表示，它被肖尔茨解决了。所以，它非常难，以至于他认为它不会那么容易。
所以，是的，形式主义很难。但狭义相对论和广义相对论之间的对比非常有趣，因为其中一个的数学几乎是微不足道的，而另一个的数学则超级复杂。两者在物理上都非常重要。
所以，我们了解到，物理学可能需要复杂的数学，也可能不需要。我们不应该回避使用复杂的数学，就像爱因斯坦做的那样。没有人，爱因斯坦不会说，“我不会碰这个数学，因为它太多的张量，或者曲率，而且我不喜欢四维时空，因为我看不见四维。”他没有这样做。他愿意抽象出来，因为物理学驱使他朝着那个方向发展。但他的动机是物理学。物理学推动了他，就像牛顿推动了微积分的发展一样，因为物理学推动了他，他没有工具，所以他不得不开发工具来回答他的物理问题。所以，他的动机仍然是物理学。
所以，对我来说，这些例子表明数学和物理学有着共生关系，它们相互加强。在这里，我给你举了两个例子，即牛顿的工作导致了数学微积分的发展，而在爱因斯坦的情况下，他并没有发展黎曼几何，只是使用了它们。所以，它双向进行。在现代物理学的背景下，我们一次又一次地看到这种情况，它双向进行。
我问一个荒谬的问题。你知道，你在酒吧里谈论你最喜欢的足球运动员。我将问同样的问题，关于爱因斯坦的想法。那就是，你认为他最大的天才飞跃是什么？是 E=mc² 吗？是布朗运动吗？是狭义相对论吗？是广义相对论吗？在他1905年写的一系列著名论文中，以及他总体的作品中，最大的天才飞跃是什么？
在我看来，狭义相对论。光速对每个人来说都一样这个想法是一切的开始。他所做的一切的开始。
这是开始吗？
这只是你一旦接受了那种怪异，所有的怪异。
我必须说，这是爱因斯坦自己说的，他最美好的时刻是当他意识到，如果你在电梯里坠落，你不知道你是坠落了，还是你处于坠落的电梯里，还是你处于地球的引力场旁边。对他来说，那是他的“啊哈”时刻。惯性质量和引力质量在几何上是相同的，等等，作为理论的一部分，而不是因为一些有趣的巧合。但对我来说，从外面看，至少感觉光速相同是真正的“啊哈”时刻。
对你来说，广义相对论不是一种时空概念吗？时空概念已经包含在狭义相对论中，当你谈论长度收缩时。广义相对论将其提升到下一个层面。但它已经开始了。它始于那个相同的简单想法：光速对所有人来说都是一样的。
量子力学在哪里出现？
这是下一步。爱因斯坦发展了广义相对论，同时也在发展量子力学的基础，比如光电效应等。所以，量子力学在很多方面超越了爱因斯坦，因为他不喜欢量子力学的概率解释和出现的公式。但物理学家们继续前进，试图将爱因斯坦的相对论与量子力学结合起来。
狄拉克采用了狭义相对论，试图看看它如何与量子力学兼容。
我们可以暂停一下，简要地说一下量子力学是什么吗？
哦，是的，当然。量子力学，我简要地讨论过，当我谈到牛顿力学与牛顿力学的欧拉-拉格朗日表述之间的联系，以及对欧拉-拉格朗日形式主义的解释，就粒子所走的路径而言。所以，当我们说一个粒子从这里到那里时，我们通常认为它在经典上遵循一个特定的轨迹。但实际上，在量子力学中，它遵循所有轨迹，概率不同。所以，有这种模糊性。最可能的路径就是你实际看到的路径，而偏离它非常非常不可能，概率上非常微小。
所以在日常实验中，我们看不到任何偏离我们预期的东西。但量子力学告诉我们，事情更加模糊，事情不像你画的线那样精确，事情有点像云。所以，如果你去微观尺度，比如原子尺度及以下，这些现象就更加明显，你可以更好地看到它。电子不是一个点，而是围绕原子核散布的云。所以，这种模糊性，现实的概率性方面，就是量子力学所描述的。
你认为量子力学只是一个非常好的近似工具，用于预测现实，还是它实际上描述了现实？你认为现实在那个层面是模糊的吗？
我认为现实在那个层面是模糊的，但我不认为量子力学一定是故事的结局。所以，量子力学肯定比经典物理学有所改进，我们通过实验等方式都知道这一点。无论我是否喜欢量子力学，无论我是否认为量子力学，例如，量子力学的测量描述，我是否喜欢它？我是否认为这是最终阶段？我不认为我们已经到了故事的结局，许多物理学家可能持这种观点，也可能不持。但我认为，这是我们目前拥有的最好的。这当然是我们目前所知的现实的最佳近似。而且，我们还不知道下一个改进它或取代它的东西是什么。
但是，正如我之前提到的，我不相信我们今天所知的任何物理定律都是完全正确的。它们都是近似。
这并不困扰我。是的，我不是那种教条主义地说，“我已经找到了自然法则，我无所不知。”不，不，这就是科学的美妙之处，我们不教条，我们愿意，事实上，我们被鼓励对我们自己的工作持怀疑态度。
所以，你刚才在说狄拉克？
我刚才在说狄拉克。狄拉克试图将薛定谔方程结合起来，该方程是在试图讨论电子的概率波如何在原子中移动的背景下描述的，这对于速度不太接近光速的情况是好的。那么，当速度接近光速时会发生什么？那么你就需要相对论。
所以，狄拉克试图将爱因斯坦的相对论与量子力学结合起来。他试图将它们结合起来，他写下了美丽的狄拉克方程。粗略地说，它取爱因斯坦方程的平方根，以将其与薛定谔的时间演化算子联系起来，该算子是一阶时间导数，以消除爱因斯坦方程会给出的朴素的二阶导数。所以，你必须取平方根。
现在，平方根通常有一个加号或减号。当他这样做时，他最初没有注意到这一点，没有注意到这个加号或减号。但后来物理学家们向狄拉克指出，“看，还有一个减号。”如果你使用这个减号，你会得到负能量。事实上，这非常令人恼火，有人告诉你你犯了一个显而易见的错误。著名的物理学家泡利告诉狄拉克，“这是胡说八道，你会得到负能量，而且没有底部，你可以一直下降到负无穷大的能量，所以这没有任何意义。”
狄拉克思考了一下，然后他想起了泡利不相容原理。就在他之前，泡利说过，“你知道，有一个原理叫做不相容原理，两个电子不能在同一个轨道上。”所以，狄拉克说，“好吧，你知道吗？所有这些负能量态都被填满了，轨道被占用了。”根据你的说法，泡利先生。
没有地方可去，所以他们只能走向积极的一面，这听起来像是一个大骗局。然后保利说，哦，你知道吗，我们可以从一个轨道改变到另一个轨道。如果我拿走一个负能量轨道，把它放在那里，那么它似乎就变成了一个新的粒子，它具有与电子相反的性质，具有正能量，但它具有正电荷。那是什么样的？迪拉克有点担心，他说也许那是质子，因为质子有正电荷。他不确定，但后来他说，哦，也许是质子。但他们又说，不，不，不，它的质量和电子一样，不可能是质子，因为质子更重。迪拉克卡住了，他说，那么也许是另一个我们还没有看到的粒子。那时，迪拉克本人也开始对他自己的方程和他自己疯狂的解释感到有些担忧。是的，直到几年后，安德森在摄影宇宙射线中，在从这些宇宙射线中获得的摄影地点，他发现了一个粒子，在磁场中，它与电子的运动方向相反，并且质量与迪拉克预测的完全一样。这就是我们现在称之为正电子的东西，事实上，从迪拉克的开创性工作开始，我们就知道每一种粒子都有一个反粒子。所以，这种存在反粒子的想法来自于简单的数学，你知道，有加号和减号，来自于迪拉克所谓的“错误”。所以，再次尝试结合想法，有时数学比使用它的人更聪明。你试图抵制它，然后你通过批评来面对它，这应该是这样的。所以物理学家来了，说不，不，那是错的，你纠正它，等等。所以这就是“存在粒子，存在反粒子”这个想法的发展。所以这是量子力学发展和与相对论联系的开始。但事情更具挑战性，因为我们还必须描述电磁场如何与量子力学协同工作。这要复杂得多，因为这不仅仅是一个点。电磁场无处不在，所以你必须谈论电场和磁场在各处的波动和模糊性。数学处理起来非常困难。这就导致了一个叫做量子场论的学科。像电磁场这样的场要成为量子化的，也必须以一种波动的方式来描述。费曼尤其与施温格等人一起，是试图提出处理电磁场与电子在一致的量子方式下相互作用的理论形式的先驱之一。他们就从中发展出了美丽的量子电动力学理论。后来，同样的量子场论形式导致了其他力和其他粒子的发现，所有这些都与量子力学的想法一致。所以，这就是物理学进步的方式。所以，基本上我们了解到，所有的粒子和所有的力在某种意义上都与粒子交换有关。所以，例如，电磁力是由我们称之为光子的粒子介导的，等等。其他力也是如此，他们发现了强力。所以，我们对量子场论有了认识。这是一个巨大的想法的飞跃，即粒子是场中的波动，就像一切都是场一样，这是爱因斯坦的老观点，光既是波又是粒子。这种想法是量子力学让物理学做出的最大想象飞跃之一。所以，我同意，这确实非常了不起。二元性是宇宙的基本属性，还是仅仅因为我们不完全理解它，最终会归结为一个不需要二元性的清晰解释，即一个现象可以同时是两件事，而且都是真实的？这似乎很奇怪。事实上，我本来打算在谈到弦理论时提到这一点，但也许我现在可以评论一下。二元性恰恰是今天的主导。我们所做的一切都是关于弦理论的二元性。这是我想谈论的最美丽的学科。让我们在其他弦的背景下谈谈。所以，我们确实想进入下一步，因为我们提到了广义相对论，我们提到了量子力学。关于量子引力有什么可说的吗？是的，这正是我们应该谈论的。也就是说，我们已经谈论了量子场，我谈到了携带这些力的粒子光子。所以，对于引力，根据爱因斯坦的说法，量子化引力场，也就是时空的曲率，你会得到另一个叫做引力子的粒子。那么引力子呢？应该没有问题。然后你开始计算。我说的计算是什么意思？嗯，你计算一个引力子与另一个引力子的散射，也许是引力子与电子的散射等等，看看会得到什么。费曼已经掌握了量子电动力学。他说没问题，让我来做吧，即使这些力非常微弱，引力非常微弱，所以要看到它们，这些引力波的量子效应是不可能的，即使在今天也是不可能的。所以费曼只是为了好玩而做的。他通常有这样的想法，我想做一些我能看到实验的事情。但这次，让我们看看它会做什么。他很惊讶，因为他用来做量子电动力学计算的同样技术，当应用于引力时就失败了。公式似乎有道理，但他必须做一些积分，他发现当他做这些积分时，他得到了无穷大，这毫无意义。在其他部分也有类似的无穷大，但他之前已经设法理解了它们。现在他无法理解，他不知道该怎么办。他觉得这不是一个紧急的问题，因为没有人能做实验。所以他有点说，好吧，有这个东西，但好吧，我们不知道该如何精确地做，但这就是它的样子。所以，从某种意义上说，费曼所做的事情的自然结论可能是引力与量子理论不一致。但情况并非如此，因为引力存在于我们的宇宙中，量子力学也存在于我们的宇宙中，它们两者都应该以某种方式协同工作。所以说它们不一起工作是不可接受的。所以，这是一个谜，它如何可能工作？这个问题一直悬而未决，然后我们进入了弦理论。所以，这是量子引力之谜。量子引力的粒子描述失败了，无穷大出现了。我们该怎么办？我们该怎么办无穷大？让我们进入有趣的部分，让我们谈谈弦理论。是的，让我们讨论一些弦理论的技术基础。什么是弦理论？什么是弦？我们谈论多少个维度？有多少种不同的状态？我们如何用这个新框架来表示基本粒子和物理定律？所以，弦理论的想法是，基本实体不是粒子，而是扩展的高维物体，比如一维弦，比如闭环。这些闭环可以是开放的，有两个端点，就像一个区间，或者一个没有端点的圆。它们在空间中振动和移动。它们有多大？嗯，当然你可以拉伸它让它变大，或者你可以让它随心所欲。它可以像一个点一样小，因为圆可以收缩成一个点，而且非常轻，或者你可以拉伸它，它就会变得非常重，或者它可以通过振荡而变得重。所以，这取决于你拥有哪种状态。事实上，这个弦可以有无数种模式，取决于它在做什么样的振动，就像吉他有不同的泛音一样，弦也有不同的泛音。但对于弦来说，每个泛音都是一个粒子。所以每个粒子都会给你，这是一个更重的泛音，这是一个更轻的泛音。所以，可以说，最轻的泛音是没有泛音，这意味着就像一根弦被绷紧到一个点上，然后它就变成了一个无质量粒子或轻粒子，比如光子和引力子等等。所以，当我们看到微小的弦被绷紧到一个点上时，最轻的弦看起来就像我们认为它们是粒子一样。换句话说，从远处看它们看起来像一个点，但当然，如果你放大，那里有一个微小的、你知道的、微小的圆，它被绷紧到几乎是一个点。我们应该想象这是为了视觉直觉吗？我们应该字面上想象弦，它们可能是连接在一起的闭环，还是不是？当我和物理学之外的人想象弦理论的基本元素，也就是弦时，我们应该字面上地想到弦吗？是的，你应该字面上地想到弦，但弦的厚度为零。所以，注意到它是一个能量闭环，如果你可以这样想的话。所以，它有张力，就像普通的弦一样，如果你拉它，你需要拉伸它，但它不像厚度那样，它不是由什么东西组成的，它只是能量，它不是由原子或类似的东西组成的。而且它非常非常小，比物理学的基本粒子还要小得多。所以，我们认为，如果你让弦自己待着，最低状态就会像一个微小的圆的模糊性或大小，就像一个点一样，可能在任何地方，我们不知道确切的大小，但在不同的模型中有不同的尺寸，但大约是 10 的负 30 厘米。所以，10 的负 30 厘米，只是为了与原子的尺寸 10 的负 8 厘米相比，小了 22 个数量级。所以，难以想象的小，非常小。所以，我们基本上认为，从远处看，弦就像一个点粒子，这就是为什么我们对点粒子物理学学到的很多东西直接适用于弦。因此，粒子物理学之所以成功，并没有太多神秘之处，因为弦在没有拉伸时就像一个粒子。但事实证明，拥有这个尺寸，能够振荡变大，解决了费曼在计算他的图时遇到的那些谜题，并且消除了那些无穷大。所以，当你试图处理那些无穷大时，那些导致费曼无穷大的区域，一旦你进入那些区域，这个弦就开始振荡，而弦的这种振荡结构将那些无穷大解决为最终的有限答案。所以，弦的大小，事实是它是一维的，最终给出了一个有限的答案，解决了这个悖论。现在，也许也应该回顾一下弦理论是如何诞生的。是的，因为不是有人说，好吧，让我来解决爱因斯坦的问题，解决费曼在统一爱因斯坦与量子力学时遇到的问题，用弦取代点，不，这不是思维过程。思维过程更加随机。物理学家维纳齐亚诺在这种情况下，试图描述他们在碰撞器和加速器中看到的相互作用。他们看到的是，当两个粒子碰撞并结合在一起时，它们以一种方式分开，又以另一种方式分开，它们在某种程度上表现相同。存在一种对称性，一种二元性，他无法理解。粒子似乎没有这种对称性。他说，我不知道是什么，为什么这些碰撞器和我们正在进行的实验似乎具有这种对称性。但让我写一个数学公式来展示这种对称性。他使用了伽马函数、贝塔函数等等。你知道，完全是数学，没有物理学，除了试图从他的方程中获得对称性。他只是写了一个公式作为过程的答案，而不是计算方法，只是说，如果这就是答案，那不是很棒吗？是的，看看这个。这很有趣，它有对称性。但这是什么？它来自哪里？哪种物理学能给你这个？我不知道。是的，几年后，人们看到，哦，你写的方程是你在中间通道中写的过程，粒子碰撞在一起，似乎具有所有的泛音。泛音听起来像一根弦。让我看看你描述的东西是否与弦有关，人们试图看看他所做的与弦有什么关系。哦，是的，确实，如果我研究两个弦的散射，我就会得到你写的确切公式。那是对他所写的公式的重新解释，将其视为弦。但仍然与引力无关。它与用量子力学解决引力问题无关。它只是试图解释人们在强子物理碰撞中看到的现象。所以，又过了几年才达到那个点。他们确实注意到，物理学注意到，每当你试图找到弦的谱时，你总是得到一个有质量的粒子，它具有引力子应该具有的确切性质。而强子物理学中没有具有这种性质的粒子。你得到一个无质量的引力子作为这个散射的一部分，而没有寻找它。它被强加给你了。人们没有试图解决量子引力问题。他们无法摆脱它。他们放弃了摆脱它的努力。物理学家说，沙克和肖茨说，你知道吗，弦理论是量子引力理论。他们完全改变了观点。我们不是在描述强子物理学，我们是在描述这个量子引力理论。那就是弦理论可能变得令人兴奋的时候，它可能成为统一理论。是的，它变得令人兴奋，但同时又不是那么快。也就是说，它应该很快，但事实并非如此，因为粒子物理学通过量子场论在当时非常成功。这是 70 年代中期，物理学的标准模型，电磁学和电磁力与其他所有力的统一开始发生。除了引力部分，一切都对粒子物理学来说都很好。所以，那是量子场论的辉煌黄金时代，所有的实验，标准模型等等，统一和自发对称性破缺都在发生，所有这些都很美好。这有点像一个旁观者，没有人太关注这个奇异的弦，它对量子引力是必需的。啊，也许有其他方法，也许我们应该做些别的。所以，是的，它没有得到太多关注，这需要更多的努力来尝试真正地将其与现实联系起来。还有几个步骤。首先，有一个谜团，你得到了额外的维度。弦在三个空间维度和一个时间维度上工作得不好。它需要额外的维度。现在有不同版本的弦，但最终与拥有电子这样的粒子相关的版本，我们称之为费米子，需要 10 个维度，我们称之为超弦。为什么是超？这个词的意思是“超”。事实证明，这个版本的弦，它有费米子，有一个额外的对称性，我们称之为超对称性。这是一种粒子与另一种具有完全相同性质的粒子之间的对称性，相同的质量，相同的电荷等等。唯一的区别是，其中一个的自旋比另一个略有不同，其中一个是一个玻色子，另一个是一个费米子，因为自旋的这种变化，否则它们是相同的。所以，存在这种对称性。弦理论具有这种对称性。事实上，超对称性是通过弦理论理论上发现的。所以，理论上，这是第一次观察到，当你描述这些费米子弦时。所以，超对称性的研究始于弦理论，然后它具有一些非凡的性质，你知道，这种对称性意味着等等，人们开始研究超对称性。这对于弦理论来说是一个切线方向，但粒子物理学家也开始思考，哦，超对称性很棒，让我们看看我们是否能在粒子物理学中拥有超对称性，等等。忘记弦，它们也在不同的轨道上发展。超对称性在不同的模型中成为一个独立的主题。理解超对称性及其意义，因为它统一了玻色子和费米子，并统一了一些想法。所以，光子是玻色子，电子是费米子。像这样的东西是否可能以某种方式相关？这是一种自然的统一问题，因为在物理学中我们喜欢统一。现在，弦理论逐渐开始显示出统一的迹象。它有引力子，但人们发现它也有像光子这样的东西。弦的不同激发表现得像光子，另一个表现得像电子。所以，一根弦将所有这些粒子统一成一个物体，这是非凡的。它在十个维度上，但它不是我们的宇宙，因为我们生活在三加一维。这怎么可能呢？所以，这是一个困境。它很优雅，很美丽，但它非常具体地说明了你得到的维度，你得到的结构。它没有说，哦，你只需要把 d 等于 4，你就会得到你想要的那个时空维度。不，它不喜欢那样。它说我想要十个维度，就这样。所以，它非常具体。所以，人们试图通过这个想法来调和，你知道，也许这些额外的维度很小。所以，如果你取三个宏观空间维度和一个时间维度，以及六个额外的微小空间维度，比如微小的球体或微小的圆圈，那么它就避免了与我们今天在实验中没有看到额外维度的明显事实相矛盾。所以，这是避免冲突的一种方式。但它没有在实验中被观察到。弦在实验中被观察到吗？不，因为它们太小了。所以，这开始听起来有点奇怪，与迪拉克对正电子加或减的感觉有些相似。你知道，这开始听起来有点像，哦，是的，我不仅要有十个维度，我还要听，你还要听。所以，保守的物理学家会说，嗯，我还没有看到这些实验，我不知道它们是否真的存在。你在开我玩笑吗？你想让我想象不存在的东西吗？所以，这是某些物理学家对弦理论的态度，尽管引力和量子力学合并的谜题得到了解决，但仍然存在这种怀疑。你在把所有这些你让我想象的东西都放在那里，这些我看不见的额外维度。嗯，你想让我相信你甚至没有在实验中看到的弦是真的。嗯，好吧，你还想让我相信什么？所以，这开始听起来有点奇怪。我将稍微向前跳跃。几十年后，当弦理论成为统一力与粒子努力的主流时，我们了解到这些额外的维度实际上解决了问题。它们不是像最初出现的那样是麻烦。首先，这些额外维度的性质反映了我们在四维中得到的粒子的数量。如果你取这六个维度有六个或五个孔，或者四个孔，它们会改变你在四维时空中看到的粒子的数量。如果你有这个，你得到一个电子和一个μ子。但如果你做了另一个 J 形，你会得到别的东西。所以，从几何上讲，你可以得到不同的物理学。所以，这有点像宏观空间中的几何学反映了物理学。所以，这些额外的维度变得有用。但我们不需要额外的维度来在三维中写下电子。我们写了。那么，还有其他谜团吗？是的，有霍金。霍金在 70 年代中期一直在研究黑洞，追随维肯斯坦的工作。维肯斯坦曾预测黑洞具有熵。所以，维肯斯坦曾试图将熵与黑洞联系起来。如果你把东西扔进黑洞，熵似乎会下降，因为你在黑洞外面有熵，你把它扔进去，熵就消失了。黑洞是独一无二的。所以，熵没有黑洞。所以，你似乎熵似乎在下降。这违反了热力学定律。所以，维肯斯坦试图说，不，不，因此黑洞必须有熵。所以，他试图理解这一点。他发现，如果你将熵分配给与黑洞面积成正比，似乎是可行的。然后霍金发现，不仅是正确的，他还找到了正确的比例因子，即面积的四分之一乘以普朗克单位是正确的熵值。他给出了一个使用量子半经典论证的论证，这意味着基本上只使用一点点量子力学，因为他没有完整的弦理论量子力学。他可以做一些近似量子论证。所以，启发式量子论证导致了这个熵公式。但然后他没有回答以下问题。他得到了黑洞的巨大熵。黑洞的视界大小是巨大的，具有巨大的熵。这些熵的微观状态是什么？当你比如说气体的熵时，你计算原子在哪里，你计算这个桶或那个桶，但那里有信息，等等。你计算黑洞。霍金思考的方式没有自由度。你把它们扔进去，只有一个解决方案。那么这些熵在哪里？这些微观状态是什么？它们隐藏在某个地方。所以，后来在弦理论中，我和我的同事，特别是斯图尔特·曼格的工作表明，弦理论中黑洞的这些成分来自于额外的维度。所以，自由度隐藏在诸如弦缠绕在这些额外圆圈上，隐藏在这些隐藏维度中的东西。然后我们开始计算弦可以绕着圆圈和额外维度缠绕多少种方式，并计算微观自由度。令人惊讶的是，我们得到了霍金预测的四维微观自由度。所以，额外的维度对于解决四维中的一个谜团变得有用。这个谜团是，黑洞的自由度隐藏在哪里？答案隐藏在额外的维度中，微小的额外维度中。所以，到这个时候，我们开始看到，额外的维度对于许多事情都有用。它们不是麻烦，不是什么值得羞愧的事情，它们实际上是受欢迎的新特性。然而，我们如何直观地理解十维世界呢？是的，它是描述某些现象的特性，比如黑洞中的熵。但是，你说的，一个理论变得真实或强大，当你能把它与某种深刻的直觉联系起来时。那么我们如何直观地理解呢？是的，十个维度。是的，我将解释一些类比是如何工作的。首先，我们做很多类比，通过类比建立直觉。所以，我将从这个例子开始。我将尝试解释，如果我们处于十维空间，如果我们有一个七维平面和一个八维平面，我们通常会问它们在哪个空间相交？在哪个维度？这听起来可能像，你如何能回答这个问题？所以，我们从低维度开始。我们从二维开始。我们说，如果你有一个一维和一个点，它们相交吗？通常情况下，答案是否定的。所以，一条线，一维，一个点，零维，在一个二维平面上，它们通常不相交。但如果你有一条一维线和另一条一维线，在一个平面上，它们通常相交于一个点。通常意味着，如果你不平行，它们通常相交于一个点。所以，一加一等于二，在二维空间中，它们相交于零维点。所以，你从交点得到一个点。好的，让我们去三维。你有一个平面，二维平面和一个点。它们相交吗？不。二和零。那么，一个平面和一个线呢？平面是二维的，线是一维的。二加一等于三。在三维空间中，平面和线在点处相交，零维。三减三等于零。所以，平面和线在三维空间中相交于一个点。那么，平面上的平面呢？在三维空间中？嗯，平面是二维的，这是二维的。二加二等于四。在三维空间中，四减三等于一。它们相交于一条一维线。我们开始看到模式了。好的，现在来回答问题。我们在十维空间中。我们有直觉。我们有一个七维平面和一个八维平面。在十维空间中，它们相交于一个平面。维度是多少？嗯，七加八等于十五，减去十等于五。我们画出与二维空间相同的图。我们写七维，八维。但我们从低维获得直觉。我们知道该期待什么。它不再吓唬我们了。所以，我们画出这个图。我们无法通过二维可视化看到所有七个维度。但它具有我们想要的所有特征。它有。所以，我们画出这个图，七个，七个，它们在五维平面上相交。它说五。所以，我们建立了这种直觉。现在，这是一个关于我们如何获得直觉的例子。让我再举几个例子。因为我认为这会让你明白，人们必须想出直觉来可视化，否则我们会有点迷失。所以，你刚才描述的有点像，在高维空间中，专注于两个平面在高维空间中的交集。确切地说，平面是如何相交的，比如它们的交集的维度是多少，等等。那么，我们如何获得直觉呢？我们从低维空间借用例子，建立直觉，并画出与谈论十维空间相同的图，因为我们无法做得更好。但我们的语言改变了，但我们的图没有改变。所以，你的感官，我们可以通过观察它的低维切片来深刻理解现实。确切地，确切地。这让我想到下一个例子，我想提一下，那就是球体。让我们想想我们如何思考球体。嗯，球体就是球体，你知道，那个圆圆的漂亮的东西。但球体具有圆对称性。现在，我可以这样描述球体。我可以这样描述它：我可以用一个区间来描述它，想象一下从球体的北极到南极，在每个点上，我都有一个圆连接着它。所以，你可以把球体想象成一条线，在每个点上连接着一个圆。圆在区间端点处收缩成一个点。所以，我可以这样说，哦，思考球体的一种方式是，一个区间，在那个区间上的每个点上，都有另一个圆。我不画出来，但如果你愿意，你可以画出来。说，好吧，我从现在开始不画了。所以，我画一个区间来谈论球体，你记住，区间的端点意味着一个绷紧的圆，就这样。他们说，是的，我明白了，这是一个球体。很好。现在，我们想谈谈两个球体的乘积。那是四维的。我怎么可视化它？很简单。你只需要取一个区间，再加上另一个区间。那将是一个正方形。是的，一个正方形是四维空间。是的，为什么呢？因为正方形上的每个点都有两个圆，一个对应于你画的每个方向。当你到达每个方向的边界时，其中一个圆会收缩。在那个正方形的每个边上。当你到达正方形的角落时，两个圆都会收缩。这是一个球体乘以一个球体。我给你一个区间，我刚刚为你描述了一个四维空间。你想要六维空间吗？没问题。拿一个房间的角落。事实上，如果你想得到一个球体乘以一个棒球体乘以一个球体，拿一个立方体。立方体是这个六维空间的体现，即两个球体乘以另一个球体乘以另一个球体。其中三个圆我没有为你画出来。对于每个方向，都有另一个圆。但每次你到达立方体的边界时，一个圆就会收缩。当边界相遇时，两个圆会收缩。当三个边界相遇时，所有三个圆都会收缩。所以，我刚刚给你一个图。现在，数学家们会想出惊人的东西，比如，你知道，我想把空间中的一个点放大。你知道这些概念，比如拓扑学和几何学，很复杂。你如何在这个画面中做到？这很简单。在这个画面中放大意味着以下几点。你考虑这个立方体，你走到角落，你把它切掉。切掉角落会取代那个点。是的，你用一个三角形来表示那个点。是的，这叫做放大一个点。然后这个三角形就是他们所说的 P2，射影平面。但这些画面非常物理，你能感受到它们。没有什么惊人的。我没有谈论六维，四加六等于十，弦理论的维度。所以，我们可以可视化它，没问题。所以，这就是建立对弦理论复杂世界的直觉。尽管如此，这些物体真的很小。就像你说的，实验验证非常困难，因为物体比我们目前拥有的工具、加速器等等能够通过实验揭示的要小得多。所以，存在一种怀疑，不仅仅是关于理论的性质，因为有十个维度，就像你解释的那样，而是因为我们无法通过实验验证它，而且它不一定，直到今天，也许你可以纠正我，预测一些根本性的新东西。所以，它作为一种解释理论非常优美，这意味着它很有可能是一个描述现实和统一定律的基本理论。但仍然存在一种怀疑。从一个外部观察者的角度来看，我注意到近年来对弦理论的怀疑情绪有所增长。你能描述一下这种怀疑吗？也就是说，我说的怀疑是指对这个理论推动理论物理学前进的希望的怀疑。是的，你能描述一下为什么会有这种怀疑，以及我们如何扭转这种趋势？是的，首先，对弦理论的批评是健康的，在某种意义上，在科学中，我们必须有不同的观点，这是好事。所以我欢迎批评。批评的原因，我认为这是一个有效的理由，那就是对弦理论的实验证据为零。没有进行任何实验来证明，你知道，这个微小的能量环在移动。所以，这是一个有效的、有效的反对意见和担忧。如果我要说，你知道，弦理论永远无法被验证或通过实验检验，那就是它的样子。他们完全有权利说，你在谈论的不是科学，因为在科学中，我们必须有实验结果和检验。弦理论与非科学事物的区别在于，弦理论有预测。问题是，我们今天对弦理论的预测，通过我们今天在碰撞器中能达到的能量，很难通过实验来获得。这并不意味着弦理论有问题，它只是意味着技术上我们还没有那么先进。现在，我们可以有两种态度。你说，好吧，如果情况是这样，你为什么还要研究这个学科呢？因为你今天做不了实验。从这个意义上说，这有点像数学。你说，我想学习，我想知道自然是如何运作的，即使我今天无法通过实验来证明它是正确的。这不应该阻止我的思想去思考它。没错。所以，这就是许多弦理论家遵循的态度。他们认为应该是这样的。所以，这就是对批评的回应。但实际上有一个更好的回应。我会说，我们没有弦理论的实验证据，但我们有弦理论的理论证据。我说的理论证据是什么意思？弦理论将物理学的不同部分联系在一起。它不必这样做。它带来了物理学不同部分之间的联系。假设你只对粒子物理学感兴趣，假设你甚至对引力完全不感兴趣。事实证明，某些粒子物理学模型具有弦理论能够解决的性质，利用引力，利用弦理论的思想，称为全息原理，即将与粒子有关的东西与与引力有关的东西联系起来。为什么它必须如此丰富？这个学科非常丰富。我们不够聪明，无法发展它。它来到我们面前，就像我告诉你的那样，弦理论的发展来自于偶然的发现。不是因为我们足够聪明，想出了“哦，是的，弦当然有引力”的想法。不，这是偶然的发现。所以，有些人说，说我们没有弦理论的证据是不公平的。引力子，引力，这是弦理论的证据吗？它是弦理论预测的。我们不是手动输入的。我们得到了它。所以，有一个定性的检验。好的，引力是弦理论的预测。它是事后预测，因为我们知道引力存在。但从逻辑上讲，它仍然是一个预测，因为我们真的不知道它有那个引力子，后来我们才了解到，哦，这和引力一样。所以，字面上就是这样发现的。它不是手动输入的。所以，有很多这样的事情。有物理学的不同方面，比如凝聚态物理学中的问题，粒子物理学中的问题，关于这个和那个的问题，通过使用弦理论的思想得到了美丽的答案。同时，也出现了许多新的数学。这是一个我不会强调为物理学家证据的方面，因为他们会说，好吧，你得到了数学，但它与现实有什么关系？但正如我解释过的，我们所知的许多物理原理都有美丽的数学作为支撑。所以，这无疑增加了我们可能没有走错路的信心，尽管那不是充分的证明。所以，有这些方面提供了对弦理论的进一步证据，它们之间的联系，与现实世界的联系。但也有其他东西出现，我可以举例说明。所以，这些是进一步的证据，这些是弦理论的某些预测。它们不像我们想要的那么详细，但仍然是预测。为什么空间维度的数量是三加一？我不知道。就处理它吧。三加一。但在物理学中，我们想知道为什么。好吧，从一到无穷大随机选择一个维度。你随机选择的维度是什么？从一到无穷大随机选择的维度不会是四。八个很可能是巨大的数字，如果不是无穷大。我的意思是，没有。如果你选择任何合理的分布，从一到无穷大，三或四就不会是你的选择。我们生活在三或四维的事实本身就很奇怪。弦理论说，抱歉，我不能超过十个，或者可能是十一个，或者其他什么。事实是，它们只是一个上限。范围不是从一到无穷大，而是从一到十或十一或什么。它已经带来了一个自然的先验。哦，是的，三或四，你知道，这只是平均而言。如果你选择一些紧致化，那么很容易就能做到。换句话说，它使得它更有可能成为我们宇宙的理论。所以，维度已经如此之小，这应该令人惊讶。我们不问这个问题。我们应该感到惊讶，因为我们可以设想拥有我们维度之前的宇宙。为什么我们有如此小的维度？这是第一点。所以，好的，宇宙的理论应该给你一个关于为什么它是四或三加一的直觉，而这并不明显。这应该被解释。我们把它当作一个假设，但这是应该被解释的事情。是的，我们还没有在弦理论中解释这一点。事实上，我写了一个弦理论模型来试图描述为什么我们最终得到三个加一维时空，它们比其他的都大。虽然证明它的技术困难仍然存在，但我会解释这个想法，因为这个想法与一些其他优雅的数学部分有关，那就是：考虑一个由盒子组成的宇宙，一个三维盒子，或者事实上，如果我们从弦理论开始，九维盒子，因为我们有九个空间维度和一个时间维度。所以，想象一个九维盒子。所以，我们应该想象一个典型弦长度的盒子，也就是小的。所以，宇宙自然会很小，从一个非常小的九维盒子开始。弦做什么？嗯，弦在盒子里绕着走，移动，振动，等等。但它们也可以绕着盒子的一个侧面到另一个侧面缠绕，因为我设想的是一个具有周期性边界条件的盒子。所以，我们称之为环面。所以，弦可以从一侧到另一侧。这就是我们所说的缠绕弦。弦可以绕着盒子缠绕。假设你现在让宇宙演化，因为有能量，宇宙开始膨胀。但它不会膨胀得太远。为什么呢？因为有这些弦，它们从一侧缠绕到另一侧。当宇宙的墙壁在增长时，它正在拉伸弦，弦变得非常非常重。所以，膨胀变得困难。它有点停滞了。为了不停止，一根朝这个方向走的弦和一根朝那个方向走的弦应该相交并断开连接，然后解开。所以，一根朝这个方向缠绕的弦和一根朝相反方向缠绕的弦应该找到彼此并重新连接。这样就消失了。所以，如果它们找到彼此并这样做，它们就消失了。但弦如何找到彼此呢？弦在移动，另一根弦也在移动。弦是一维的，一加一等于二。一加一等于二，二加二等于四。在四维时空中，它们会找到彼此。在更高维时空中，它们通常会错过彼此。有趣。所以，如果维度太大了，它们就会错过彼此，它们就无法膨胀。所以，为了膨胀，它们必须找到彼此。其中三个找不到彼此，它们可以膨胀，而另一个会被卡住。所以，这解释了为什么在弦理论中，这些特定的维度真的很大，充满了令人兴奋的东西。这可能是一个解释。这是我和我的同事布兰登伯格提出的模型。但事实证明，它与一个深刻的数学部分有关。你看，对于数学家来说，维度大于四的流形很简单。四维是数学中最难的维度。事实证明，它之所以困难，是因为：事实证明，在高维空间中，你使用所谓的“手术”这个数学术语，你使用这些二维管来操纵它们。所以，你有二加二变成四，以及更高维度，你可以让它们穿过彼此而不相交。在四维空间中，二加二不允许你让它们穿过彼此。所以，同样的道理，在更高维度中起作用的事情在四维中不起作用，因为二加二等于四。同样的推理，我刚才告诉你关于弦找到彼此，四维最终成为数学家分类四维更复杂的原因。所以，可能存在这些东西。所以，我不能说这就是弦理论给出三加一的原因，但它可能是一个模型。所以，有这些想法可能潜在地解释了为什么我们有三个大的额外维度，而其他的都很小。但绝对，我们必须有一个好理由。我们不能就这样算了。我能问一个棘手的人类问题吗？你是弦理论的开创性人物之一。你获得了突破奖。你与爱德华·威滕共事。没有诺贝尔奖是颁发给弦理论的。你知道，科学中的功劳分配很棘手。你感到非常难过，尤其是像 LIGO 这样的大型实验项目，有这么多不可思议的人参与其中，但诺贝尔奖却只颁发给三个人，这很令人讨厌。你认为谁会获得弦理论的诺贝尔奖？首先，如果它最终，即使不是完全，但部分是，是我们宇宙物理学的一个好模型。关键人物是谁？也许我们把诺贝尔奖放在一边，或者关键人物。我喜欢第二个问题，因为我认为试图给一个人颁发弦理论奖是对这个学科多样性的不公平。对我来说，有太多不可思议的人。从维纳齐亚诺开始，他没有谈论弦。是的，我的意思是他写下了弦的开端。我们当然不能忽略这一点。所以，你从那里开始，然后继续与其他各种人物等等。所以，弦理论有不同的时代。不同的人一直在推动它。所以，例如，早期时代，我们刚才告诉你的，像维纳齐亚诺、南布、萨斯坎等人一直在推动它。格林和肖茨一直在推动它，等等。所以，这是，或者沙克等等。这些是弦理论的早期先驱。然后是 80 年代，爱德华·威滕是弦理论的主要倡导者。他真的改变了弦理论的面貌，就我们做什么以及我们如何看待它而言。我认为他的努力引起了高能物理学界对这个努力作为统一力的正确理论的关注。所以，他为这个领域带来了大量的研究，当然还有他自己做的一流工作。所以，这是 80 年代及以后。还有 90 年代中期，他是弦理论二元性革命的倡导者之一。随着它的到来，带来了许多其他想法，你知道，导致了突破，例如我告诉你的关于黑洞和全息原理的例子，以及后来由马尔达塞纳完成的关于粒子物理学和量子引力之间二元性性质的工作，以及全息原理的更深层联系。它还在继续，而且有
在这个范围内，我甚至没有提到过的许多人，他们都做出了极其重要的事情。我认为这些事情如何被认可，在我看来是次要的，相比于对集体努力的欣赏。事实上，对我来说，这才是科学中更重要的部分，但不知何故却被遗忘了。
人类喜欢英雄，科学也不例外。我们喜欢英雄，但我个人试图避免这种陷阱。我感觉，在我自己的工作中，我大部分的工作都是与同事一起完成的，我有很多合作论文，而独立署名的论文很少。我喜欢这样，我认为这是科学中最令人满意的方面之一，那就是与同事交流、学习和辩论想法，因为思想的涌入丰富了它。
这就是为什么我觉得科学很有趣。如果我独自一人在一个岛上，独自一人在这里发展力量，与任何人都没有联系，那将是令人不那么满意的。在我看来，即使我能因此获得荣誉，说“是我做的”，是的，那也不会那么令人满意。独自一人，拿着一个大金属杯，喝着香槟。
不，我认为，对我来说，集体工作更令人兴奋。你提到了我取得突破的时候，当我取得突破时，我确保提到，这是因为我与当时在那里的同事们共同努力的结果，大约有180位合作者。我在网页上承认了他们，写下了所有他们的名字以及导致这一成就的合作。所以对我来说，科学在合作时是很有趣的。
是的，就像任何领域一样，有更重要和不那么重要的人物，这在科学领域也是如此。但我认为我想把这看作是一项集体努力。所以，抛开英雄不谈，诺贝尔奖是对……用什么词来形容比较好呢？是对这个想法最终被证明是正确的的庆祝。
就像你看爱因斯坦不相信黑洞，对吧？然后黑洞获得了诺贝尔奖，对吧？你认为弦理论会获得诺贝尔奖吗？诺贝尔奖？如果你要打赌，如果这是一个投资会议，我们必须押上我们所有的钱，你认为它会获得诺贝尔奖吗？
我认为有可能，没有在世的物理学家会因为弦理论获得诺贝尔奖，但会有人获得。因为，不幸的是，今天可用的技术在直接看到弦理论的证据方面并不那么令人鼓舞。
你认为这最终会归结为，诺贝尔奖会在有任何直接或间接证据时颁发吗？会有，但……但我认为，突破奖的一部分正是这种欣赏，即当我们拥有足够的理论证据（即使不是实验证据），由于技术滞后，你会欣赏你认为正确的道路。
因此，有许多人被认可，正是因为当它最终被实验验证时，他们可能已经不在人世了，即使是他们发现的。所以，科学中有很多这样的事情在发生。
所以我认为，我希望减少对人们的认可的重视。我有一个第二层看法，那就是有些人，你知道，他们会审视人们所做的工作，并将它们整合起来，然后做出下一个重大突破，他们因此而闻名，也许是理所当然地，因为许多这些，你知道，新的新的愿景，但他们是站在这些小科学家们的肩膀上的。
是的，这些小科学家们得不到任何认可。你知道吗？是的，你做了这个小工作。哦，是的，你做了这个小工作。哦，是的，是的，你们五个人。哦，是的，这显示了这个模式。然后是别人。这不公平。是的，对我来说，这些小人物，他们似乎在这里做一点计算，那里做一点事情，这并不符合那种宏大的事情，不会登上《纽约时报》的头条等等，他们应该得到很多认可，我认为他们得到的还不够。
我会说，应该有这个诺贝尔奖。你知道，他们有“无国界医生”，一个庞大的组织。他们应该做类似的事情，“无国界弦理论”之类的，每个人都在做很多工作。我认为，我希望看到这些努力得到认可。
我认为，从历史的长河来看，我们都是站在彼此肩膀上的渺小男女。我的意思是，从回顾来看，一切看起来都会很渺小。我们庆祝《纽约时报》，你知道，作为一家报纸，或者几百年后报纸的概念将早已被遗忘。是的，尤其是在弦理论的国家里。我们应该有一个非常长远的眼光。是的，正是如此。
就像一个微小的题外话，我们提到了爱德华·威滕，他在很多方面，对我这个外行来说，他被认为是历史上最聪明的人之一，就像一个人类的强大力量，人类思想可以达到的非凡高度。是的。你有机会和他一起工作，他怎么样？
是的，更重要的是，他曾是我的博士导师，所以我非常了解他，并从他的见解中受益。事实上，你对他说的很准确。他不仅聪明，而且你知道，他在不仅是物理学，还有数学方面的影响也是多方面的。你知道，他因为在数学方面的工作获得了菲尔兹奖，而且是理所当然的。你知道，他运用他的物理学知识，以一种深刻影响现代数学思想的方式，以及他对现代高能物理学和弦理论的深刻思想的适用性，这正是他对现代数学的影响。所以他是一个非常杰出的人。我们在历史上很少遇到这样的人。所以我认为，是的，他确实是这个学科历史上罕见的几个人物之一。他对许多方面产生了巨大影响，不仅是弦理论，还有许多不同的物理学领域，以及数学。所以我认为你对他说的很准确。我有幸作为学生与他互动，后来又作为同事一起写论文等等。
他对你的生活有什么影响？你从他那里学到了什么？如果你要看你的思维轨迹，你对待科学、物理学和数学的方法，他是如何“扰乱”了这条轨迹的？
是的，他确实做到了。我可以解释，因为当我还是个学生的时候，我受他影响最大的是，很明显，在我还是普林斯顿的研究生时。所以，我认为那是我对数学和物理学之间的关系有点困惑的时候。我在麻省理工学院获得了数学和物理学的双学位，因为我真的很喜欢这两者，我喜欢数学的优雅和严谨，我喜欢物理学的思想力量及其在现实中的应用，以及它教导我们的关于我们周围的真实世界。但我看到了数学中严谨的思考与物理学中缺乏严谨之间的张力，这让我非常困扰。我为此感到困扰。
所以，当我决定去物理学读研究生时，我正处于一个十字路口，因为我不喜欢我在物理学中看到的一些缺乏严谨的地方。另一方面，对我来说，数学虽然严谨，但有时我却看不到它的意义。换句话说，当我看到，你知道，数学定理本身可能很美，但我想要更多。我想说，好吧，它教会了我们什么关于别的东西，关于数学本身以外的东西？所以，我并不那么迷恋纯粹的数学，但物理学有点令人烦恼。尽管如此，我还是决定去学物理学，并决定去普林斯顿，然后我开始与爱德华·威滕合作，作为我的论文导师。
在那时，我试图用严谨的数学术语来解释物理学。我学习了量子场论，试图让它变得严谨等等。无论我多么努力，我都无法做到，我落后于我的课程，我没有学到多少物理学，我也没能让它变得严谨。对我来说，这是数学和物理学之间的二分法。我在做什么？我喜欢数学，但这并不完全是严谨的。
这时，我的导师爱德华·威滕出现了，我看到他正在思考数学和物理学。他在数学方面很出色，他对数学了如指掌，这对他来说不成问题。但他思考物理学的方式，却找不到两者之间的张力。对他来说，这更加和谐。他会画芬曼图，但他不会将其视为一种形式主义。他会看到，哦，粒子在那里移动，这就是正在发生的事情。等等。等等。你真的认为这个粒子是虚的，是电子在那里移动吗？是的。不是扰动的形式？不，不，你只是觉得电子在移动，你和这个人一起移动，然后做那个，等等。你以不变的方式思考物理学，或者他思考相对论的方式，你知道，我当时在想，你知道，这个动量说……他以不变的方式思考物理学，就像你思考相对论中不变的概念一样，这些概念不依赖于参考系。他以不变的方式思考物理学，这种方式让你获得更广阔的视角。
这逐渐帮助我欣赏了物理学思想之间的相互联系，它取代了数学的严谨性。不同的方面相互加强。你说，哦，我无法严格定义我的意思，但这件事与其他我见过的物理学，以及其他事情联系在一起，它们共同构成了一个优美的故事。这对我来说，取代了我认为在数学中找到的坚实性，就像严谨一样，而且是坚实的。我发现它被物理学中的严谨和坚实所取代。所以我发现，好吧，这就是你可以坚持的方式，它不是含糊不清的，不是有人只是无法证明它，只是编造一个故事。它比那更多，而且与数学没有张力。事实上，数学正在帮助它，就像朋友一样，而且更加和谐，并为物理学提供了见解。
所以，我认为这是我从与威滕的互动中学到的主要事情之一。我认为，现在，也许我已经把它推向了一个极端，也许他不会像我这样走得这么远。也就是说，我用物理学来定义新的数学，其方式可能比物理学家通常认为的要不那么严谨，因为我可能在很多方面字面地理解物理直觉，这可以教会我们……所以，现在我对物理直觉获得了如此多的信心，以至于我做出大胆的陈述，有时会让数学朋友们感到意外。
一个例子是镜像对称。所以，我们在研究弦几何的紧致化。这是我博士毕业之后的事了。我来到哈佛时，我们正在研究弦紧致化在这些复杂流形上的方面，六维空间称为卡拉比流形，非常复杂。我和另外几位同事注意到，物理学之间存在一种对称性，暗示着不同的卡拉比流形之间存在对称性。它表明，你实际上无法计算卡拉比的欧拉示性数，或者示性数是点数减去边数加上面数减去……所以你可以计算空间的拓扑性质的交替序列。所以卡拉比的欧拉示性数是空间的性质。
所以，我们注意到，从物理学形式主义来看，如果弦在一个卡拉比中移动，我们无法区分，我们无法计算欧拉示性数，我们只能计算它的绝对值。现在这困扰着我们，因为我们怎么可能无法计算实际的符号，除非两边都一样？所以我想，也许对于每一个欧拉示性数为正的卡拉比，都有一个欧拉示性数为负的卡拉比。我把这个告诉了我的同事姚，他的名字就是卡拉比。我说，我正在做这个猜想，有没有可能对于每一个卡拉比，都有一个欧拉示性数为负的卡拉比？他说，这听起来不合理。我说，为什么？他说，嗯，我们知道有更多的卡拉比具有负的欧拉示性数，而不是正的。我说，但物理学说我们无法区分它们，至少我不知道怎么区分。
所以我们推测，对于每一个具有一侧的卡拉比，都有另一侧，尽管有数学证据，尽管有数学证据，尽管专家告诉我们这不是一个好主意。几年后，这种镜像对称，即符号与相反符号之间的对称性，后来被数学家证实了。所以这实际上是相反的观点，即物理学如此确定，以至于你违背了数学智慧，告诉他们最好去寻找它。
所以，字面地理解物理直觉，然后让它驱动数学。正是如此。而且现在我们对许多这样的例子非常有信心，它们已经以这种方式影响了现代数学，以至于我们对我们对弦理论的理解非常有信心。这些是其他方面，为什么我们觉得弦理论是正确的。
你一直在谈论弦理论景观和沼泽地，这两个概念到底是什么？
很好的问题。所以，让我们回到我之前描述的芬曼。芬曼试图为引力子和电子等绘制图表。他发现他得到了无穷大，他无法解决。自然的结论是，场论与引力不兼容，而且你无法拥有它。换句话说，场论与引力在量子力学上是不兼容的， period。弦理论提出了例子，但没有更广泛地解决这个问题，即是否所有场论都可以以量子力学的方式与引力耦合？事实证明，芬曼基本上是对的，几乎所有的粒子物理学理论，无论你添加什么，当引入引力时，它都不起作用，只有罕见的例外才起作用。所以弦理论就是那些罕见的例外。因此，芬曼发现的普遍原则是正确的，量子场论与引力以及量子力学不兼容，除了少数例外情况。有例外情况。
我们存在的各种量子场论的总量，我们称之为可能的量子场论集合，哪些可以与引力一致耦合？我们称这个子集为景观。其余的我们称之为沼泽地。这并不意味着它们是糟糕的量子场论，它们完全没问题，但当我们将它们与引力耦合时，它们就没有意义了。不幸的是，事实证明，它们的比例，即与引力一致的理论数量与不一致的理论数量，即景观面积与沼泽地面积之比，换句话说，测量值为零。所以沼泽地是无限大的。沼泽地是无限大的。
让我举一个例子。考虑一个四维理论，具有最大超对称性的物质。你能得到它吗？事实证明，一个具有最大超对称性的四维理论只由一件事表征，即我们称之为规范群。一旦你选择了一个群，你就必须找到你的理论。所以，每个群都有意义吗？就量子场论而言，每个群都有意义。有无数的群，有无数的量子场论。但事实证明，只有有限数量的理论与引力一致。在同一个列表中，所以你可以选择任何群，但只有有限数量的群，那些我们称之为群的秩小于23的。任何大于秩23的都属于沼泽地。它们有无数个，它们是美丽的场论，但不是当你包含引力时。
所以，这变成了一件有希望的事情。换句话说，在我们的宇宙中，我们有引力，所以我们是那个稀有子集的一部分。这个稀有子集是巨大的吗？是的，事实证明，这个子集是巨大的，但我们仍然认为它是有限的。可能性是无限的，但一致的理论是有限的，但巨大的。它们是巨大的，这是我们在弦理论中面临的问题，因为我们不知道我们生活的宇宙是这些可能性中的哪一种。如果我们知道，我们可以对我们的宇宙做出更具体的预测。我们不知道，这就是弦理论的挑战之一。我们生活在景观的哪个角落？我们不知道。
那么我们该怎么办？嗯，有一些原则开始出现。我举一个例子。你看看你从这些好的理论中得到的模式，那些在景观中的理论与不在景观中的理论相比。你发现了一些模式。我举一个模式。你在所有从弦理论中得到的理论中都发现，引力总是存在的，但它总是最弱的力。然而，你可以很容易地想象出引力不是最弱的力的场论。例如，以我们的宇宙为例，如果你把电子的质量增加一个巨大的因子，电子的引力吸引将大于两个电子之间的电排斥力，引力将更强。在我们的宇宙中不是这样的，因为电子的质量与此相比非常小。
就像我们的宇宙一样，引力是最弱的力。我们在所有其他属于好的理论的理论中都发现，引力是最弱的力。这被称为弱引力猜想。我们推测，景观中的所有点都具有这个性质，我们的宇宙只是一个例子。所以，我们开始看到一些定性的特征。但我们如何论证这一点呢？仅仅通过观察模式？仅仅通过观察弦理论？这还不够。我们需要更多的理由，更多的更好的推理。事实证明，这背后的推理是研究黑洞。黑洞的思想最终对一个好的量子场论应该是什么施加了某些限制。
事实证明，利用黑洞，黑洞蒸发的事实，黑洞蒸发的事实为你提供了一种检查基本粒子质量和电荷之间关系的方法。因为你可以做什么？你可以带一个带电粒子，把它扔进一个带电黑洞，然后等待它蒸发。通过观察蒸发的性质，你会发现，如果它不能蒸发质量小于其电荷的粒子，那么它将永远不会蒸发，你会卡住。所以，黑洞蒸发的可能性迫使你拥有质量足够小的粒子，以便引力更弱。所以你将这个事实与另一个事实联系起来。所以我们开始找到不同的事实，它们相互加强。所以物理学的不同部分相互加强。一旦它们都结合在一起，你就会相信你得到了正确的原则。所以弱引力猜想是我们相信的原则之一，它具有这些条件的必要性。
所以，这些是弦理论正在做出的预测。这足够吗？嗯，它是定性的，它是半定量的，它只是说电子的质量应该小于某个数字，但那个数字是……如果我称那个数字为一，电子的质量是10的-20次方。实际上，它远小于一，不是一。但另一方面，对于我们宇宙中的一个大黑洞，也有类似的推理。如果它的蒸发应该发生，它会给你另一个限制，告诉你电子的质量大于10的……现在在这种情况下，大于某个数字。它显示大于10的-30次方（以普朗克单位）。所以你发现……嗯哼。电子的质量应该小于一，但大于10的-30次方。在我们宇宙中，电子的质量是10的-20次方。
现在，这种……你可以称之为事后解释，但我会说，它遵循我们现在从弦理论中理解的原则，第一原理。所以我们开始做出这些预测，它们与我们认为与引力无关的粒子物理学方面密切相关。我们认为，随便取任何电子质量，有什么问题？它与引力有问题。所以这个猜想也有一个好结果，它解释了为什么我们的宇宙，为什么引力是如此弱的力。而且这不仅仅是偶然，几乎是必然的，如果这些力要有效地共存的话。
正是如此。正是如此。正是这种对我们所知宇宙的强化。但我们发现这是一个普遍原则。所以我们想知道，我们的宇宙的哪些方面是被迫的，比如弱引力猜想和其他方面。我们了解多少？我们能有比中微子更轻的粒子吗？也许那是不可能的。你看，中微子质量，它与暗能量以一种神秘的方式相关。表面上看，暗能量与粒子的质量没有关系。我们从沼泽地的想法中找到了论证，为什么它必须相关。所以，这些关于量子引力一致性与我们宇宙的各个方面之间的联系开始变得清晰。但我们离精确的定量预测还有很长的路要走，比如我们必须有这样的东西。但这就是我们朝着这个方向前进的希望，提出一个统一广义相对论和量子场论的“万有理论”。
这是人类文明的伟大梦想之一。我们这些猿类的后代，对这个世界如何运作感到好奇。所以很多人都在做梦。你对“万有理论”或其他统一理论的“外在”想法有什么看法？有量子环引力，也有更像我朋友埃里克·温斯坦开始提出的“几何统一”。这些尝试，无论是通过数学物理还是其他途径，还是斯蒂芬·沃尔夫勒姆更具计算性的宇宙观，在他那里也是这些超图，它们也是非常微小的物体。同样，弦理论也在努力理解这个世界。你认为这些理论中有哪些让你觉得有说服力，有趣，可能最终被证明是真的，或者至少可能包含有用的想法？
是的，我认为后者，我认为其中一些想法可能包含有用的想法。例如，在我看来，量子引力在任何意义上都不是一个完整的引力理论，但它们包含一些真理的内核。通常，我期望发生的事情，并且我在弦理论的某些方面看到了例子，我们以前认为不属于弦理论的方面，现在却成为了它的一部分。例如，我举一个例子。弦理论被认为是10维的，然后有11维的超引力，没有人知道这是什么。为什么我们会得到11维的超引力，而弦理论说应该是10维的？11是超引力可能的最大维度，但弦理论说，抱歉，我们是10维的。所以有一段时间，我们认为那个理论是错误的，怎么会这样？因为弦理论绝对是万有理论。后来我们了解到，弦理论的一个圆圈本身很小，我们没有认识到这一点。我们通过在弦理论中进行思想实验，发现必须有一个额外的圆圈，而这个圆圈与11维的视角相关联，这就是后来被称为M理论的东西。
所以，所以有这些事情，你知道，我们不知道弦理论到底是什么。我们还在学习。所以我们还没有一个最终的弦理论表述。不同的想法可能会结合在一起，比如量子环引力，等等。但我不会把它们放在同等的位置。也就是说，量子环引力是一些关于空间在变得非常小时会发生什么的零散想法。例如，你用离散数据替换事物，然后尝试对其进行量化，等等。你知道，量化空间听起来是一个自然的想法。你知道，如果你天真地想做量子空间，你可能会想到把点放在一起，以某种离散的方式，以某种让人联想到量子引力的方式。
弦理论比这更微妙。例如，我举一个例子，这是我们没有手动输入的东西，而是从中得出的，所以它比这更微妙。那么，如果你把空间挤压得越来越小会发生什么？你认为在某个距离之后，距离的概念应该失效。你知道，当它小于普朗克尺度时，它应该失效。弦理论中会发生什么？我们不知道完整的答案。但我们知道以下几点：也就是说，如果你拿一个空间，让它变得越来越小，如果盒子比普朗克尺度小10倍，它就等同于一个大10倍的空间，通过对偶变换。所以有一个叫做T对偶的对称性，它将L变成1/L。L是以普朗克单位或更精确的弦单位测量的。这种反转是一个非常微妙的效果。我或任何物理学家都无法设计出一个具有这种性质的理论，即当你使空间变小时，就好像你在使其变大一样。这意味着没有任何实验可以区分空间的大小。这是非凡的。
例如，爱因斯坦会说，当然我可以测量空间的大小。我该怎么做？我拿一个手电筒，让光线绕着它转，测量光线绕空间一周需要多长时间，然后带回来，找到宇宙的半径或周长。有什么问题？我说，嗯，假设你这样做了，然后你缩小它，说，它们变得越来越小。我说，嗯，事实证明，在弦理论中，有两种不同类型的光子。一个光子测量1/L，另一个测量L。所以这个对偶重新表述了……哦，快点，当空间变小时，它说，哦，不，你最好使用更大的视角，因为较小的视角更难处理。所以你做这个。
所以，这些量子环引力的例子没有任何这些特征。这些我告诉你的特征，我们是从弦理论中学到的。但它们仍然包含一些想法，比如拓扑引力方面在某种形式的量子环引力中被强调。所以这些想法可能以某种内核的形式存在于弦理论的某些角落。事实上，我写了一篇关于拓扑弦理论的论文，以及它与可能与量子环引力相关的联系，这可能是其中的一部分。所以有一些细微的联系。我不会说它们是完整的，但我会说，最有可能发生的是，其中一些想法，至少是好的想法，如果它们出现的话，它们将被吸收到弦理论中。
让我问一个疯狂的、不着地的想法：物理学能帮助我们理解生命吗？我们如此自信地谈论物理定律能够解释现实，我们甚至说了“万有理论”这样的词，这意味着“万有”这个词实际上描述了一切。这四条定律，我们一直在谈论的，是否可能缺少了它们？它们准确地描述了它们所描述的内容，但它们缺少了对许多其他事物的描述，比如生命的出现，以及意识的出现？你是否曾经思考过这类问题，即我们需要理解额外的物理学来解释这些复杂、有趣、奇怪的生命现象在我们这个大部分无聊、什么都没有发生的均匀宇宙中的出现？
首先，我们并不声称弦理论是“万有理论”，因为我们对这个理论本身了解得不够多。我们对弦理论本身了解得不够多，我们还在学习它。所以，我不会说，“给我任何东西，我会告诉你它是如何运作的。”不。然而，我会说，根据定义，对我来说，物理学是检查所有现实，任何形式的现实。我称之为物理学，这是我的定义。我的意思是，我可能不知道很多，比如生命的起源等等，也许是其中的一部分，但我会称之为物理学的一部分。对我来说，现实是我们追求的东西。我不敢说我了解现实的一切。我也不敢说弦理论现在一定有工具来描述所有现实。但我们在学习它是什么。
所以，我会说，我不会划定界限说，“不，从这一点开始，就不是我的领域了，是别人的了。”但是，我们是否需要新的想法来描述其他现实的特征？当然，我相信，正如我所提到的，我不相信我们今天知道的任何定律是最终的。所以，是的，我们需要新的想法。这是一个非常棘手的问题，让我们去理解和精确地描述。但仅仅因为你理解了物理学，并不一定意味着你理解了化学、生物学、生命、智力、意识的出现。这些都是构建起来的。就像你可能理解砖块如何工作一样，是的，但要理解拥有一个幸福家庭意味着什么，你不能从砖块中直接构建出来。你……理论上可以，如果你重新运行宇宙。但仅仅理解宇宙的规则并不一定能让你感受到那些涌现出来的奇怪而美好的事物。
不。让我来描述你刚才说的话。有两个问题。一个是所使用的技术，比如量子场论等等，是否会描述社会是如何运作的？是的，好吧，那是我们在这里问的尺度问题。问题是，是否存在一种新的定律，它取代了其他定律，而无法与我们已知的其他定律或更基本的定律联系起来？你需要新的定律来描述它吗？我不认为在许多现象中，比如化学等等，情况必然如此。我们确实期望，原则上，化学可以用量子力学来描述。我们不认为会有什么神奇的东西。但化学很复杂。是的，确实有一些化学规则，你知道，化学家已经制定出来了，但还没有用量子力学来解释。我是否相信它们将被量子力学描述？是的，我相信。我不认为它们会永远在那里。但也许它太复杂了，也许……我们可能要等非常强大的量子计算机或其他什么来解决这些问题。我不知道。但我认为在这种情况下，我们没有需要添加的原则来解决这些问题。
所以，我完全可以接受在中间情况下，有一些经验法则或原则，化学家已经发现的，并且它们在起作用，它们不是基于量子力学定律，它们完成了它们的工作。同样，生物学家并没有将一切都建立在化学的基础上，但他们认为……他们不认为有什么神奇的东西是化学无法做到的。
回到你的问题，意识，例如，是否带来了新的成分？如果它确实需要新的成分，我会称之为物理定律的一部分。我们必须理解它。对我来说，所以，我不会划定界限说，“好吧，从这一点开始，它就断开了，完全断开了，与弦理论或我们必须做的任何事情无关。”这不是一条线。
我指的是，几个世纪后的物理学，如果它不理解意识，会比今天的物理学大得多吗？它肯定会增长。我会说，它会增长。我不知道它是否会因为意识成为其中一部分而增长，或者我们对意识有不同的看法。我不知道意识会如何融入。我很难猜测。我的意思是，我现在可以随便猜测，很可能都是错的。但为了讨论起见，我可以这样说：你知道，大脑可能是量子计算机，也可能是经典计算机。有一些论点认为它不是量子计算机。所以它很可能是经典的。如果它是经典的，它可能就像我们正在做的机器学习，稍微花哨一点，等等。人们可以就此争论不休，不知道意识是否如此，或者生命是否有意义，或者是否存在一个你可以说电子是否有生命或没有的相变。粒子在什么水平上变得有生命？也许生命没有明确的定义。
就像我们无法说电子，如果你……我喜欢这个例子。我们区分液体和气体相，比如水是液体，或者蒸汽是气体。我们说它们不同。你可以区分它们。实际上，事实并非如此。我们从物理学中知道，你可以改变温度和压力，从液体变成气体，而无需进行任何相变。所以没有一个点你可以说，“这是液体，这是气体。”你可以连续改变参数，从一个变成另一个。所以最终，它看起来非常不同。你知道，我知道水和蒸汽不同，但你知道，没有一个精确的点可以说，“这发生了。”
我觉得我们认为的许多事情，比如意识，很明显，那个人没有意识，而另一个人有。所以有区别，就像水和蒸汽一样。但没有一个点你可以说，“这是有意识的。”没有一个清晰的过渡点。所以，很有可能，我们称之为日常生活的，直观上的意识，或者生命，也是如此。我不知道是否是这样，我只是假设这可能。就像没有离散的相，没有这样的相变。是的，是的。
但你可能会有……你需要理解的温度和压力的概念，来描述意识和生命到底是什么？我们完全错过了。是的，我认为这不是一个无用的问题。即使是这些问题，也回到了我们最初关于哲学的讨论。我会说，意识和自由意志，例如，是目前非常属于哲学领域的话题。是的，但我认为它们不会永远如此。我同意你的观点。我同意你的观点，我认为我没问题，有些话题今天属于物理学以外的领域，因为我们没有合适的工具。就像生物学一样，你知道，在我们有了DNA和所有这些遗传学之前，它们逐渐开始占据主导地位。我的意思是，当人们开始进行生物学和化学实验时，它们逐渐结合在一起。所以，是的，我完全理解我们没有工具的情况。
所以，你认为这些定义意识的不同形式的实验，以及我们逐渐构建它、连接它，是的，我们可能会发现我们不知道的新自然原理。我不知道。但我会说，如果它们存在，它们将与……是的，我们从未在物理学中见过它们孤立存在。你不能，你不能把它们隔离开来。这是引力，这是电，这是那个。我们了解到它们都在互相交流。没有办法让它们……在一个角落里，不交流。所以，任何真实的事物都是如此。所以，意识是真实的。因此，我们必须将它与所有其他事物联系起来。所以，对我来说，一旦你将它联系起来，你就不能说它不是现实。而一旦这个现实是物理学，我就称之为物理学。它可能不是我今天所知的物理学，当然不是。但……但我会很惊讶，如果存在断开的现实，你知道，你无法想象它们是同一个汤的一部分。
所以，我想上帝没有生物学或化学课本。大部分时间，也许他或她是为了好玩而阅读生物学和化学。但当你试图完成一些工作时，你会去看物理学课本。
好的。有什么建议？让我们戴上你明智的、有远见的帽子。你有什么建议给今天的年轻人？你……你的书实际上是献给你孩子们的，献给你家人的。你会给他们什么建议？你会给今天的年轻人什么建议，关于他们的职业，关于生活，如何过上成功的生活，如何过上美好的生活？
是的，我确实有三个儿子。事实上，我试图不给他们太多建议。所以，即使我试图不给建议，也许它已经间接产生了一些影响。我的大儿子在学生物物理学，第二个儿子在学机器学习，第三个儿子在学理论计算机科学。所以，有一些兴趣点，离我的领域不远。但我并没有试图以那种方式影响他们。他们也追随了自己的兴趣。我认为这就是我会给任何年轻人的建议：追随你的兴趣，让它带你去任何地方。
我自己的情况也是如此。我刚开始在麻省理工学院时，计划学习经济学和电气工程。你知道，我发现我对数学和物理学更感兴趣。当时，我认为数学和物理学不会有好的职业前景。所以，我有点犹豫要往那个方向走。但我还是去了，因为我感觉那就是我被驱动去做的事情。所以我并不后悔。我很幸运，因为社会支持像我这样从事这些抽象事情的人，这些事情可能被实验验证，也可能不被实验验证，即使在我们的有生之年不适用于数据技术。我很幸运，我能做到这一点。而且我认为，如果人们追随自己的兴趣，他们就会找到一个他们擅长的领域。而且，他们的兴趣和能力很可能在某种程度上是一致的，能够驱动他们走向成功，而不是被诸如“这不会有好的职业前景”或“这不会那样做”之类的事情所驱动，或者“我的父母期望这样”或“那又怎么样？”。我认为最终，你必须与自己相处，你只有一次生命，而且它很短，非常短。我可以告诉你，我正在……是的，我正在接近那个阶段。所以我知道它很短。所以你真的不想做你不想做的事情。所以，我认为追随你的兴趣是我的最强建议给年轻人。
当你的兴趣不直接对应于过去或今天的职业时，这会让人感到害怕。你几乎是在预测可能被创造出来的未来职业。这很可怕。但是的，这其中有些道理，尤其是当兴趣和能力一致时。你将开辟一条道路，这条道路将找到一种赚钱的方式，尤其是在这个资本主义的美国社会。感觉就像……能力和热情铺平了道路。至少你可以卖有趣的T恤。
你提到了生命是短暂的。你是否考虑过你的……你的死亡？你害怕死亡吗？
我不考虑我的……我也不太考虑我的死亡，我也不太考虑死亡。首先，这是我无法太多考虑的事情。而且我认为，它不会驱动我日常的行动。自然地期望它是某种程度上像时间反转的情况。我们相信自然界中存在这种近似对称性，时间反转向前，我们死亡，向后，我们出生。是的。那么出生时是什么感觉？感觉不好不坏。我没有任何感觉。所以，谁知道死亡会是什么感觉？死亡的那一刻，等等。所以，我不知道。它未知。但……我们以什么形式存在于之前或之后？同样，这是部分哲学性的。
也许我喜欢你从对称性中获得的安慰。似乎存在一些不对称性，对称性的破坏，因为人类精神的创造力似乎只朝一个方向发展，对吧？似乎生命的有限性是驱动创造力的东西。所以，至少对生命有限性、死亡的思考，确实能帮助你把事情做好。
是的，我认为那是真的。但实际上，我有一个稍微不同的观点。也就是说，假设我告诉你，你是不朽的。我认为你的生活将完全无聊。因为你不会……我认为我们享受生活的部分原因就是它的有限性。是的。所以我认为死亡可能是一种祝福，而不朽可能不是。所以我认为我们之所以珍视事物，是因为我们有这有限的生命。我们欣赏事物，我们想做这个，我们想做这个。我们有动力。如果我告诉你，不，你拥有无限的生命。哦，我不需要今天做这个。我还有……有十亿年，或万亿年，或无限的生命。所以，我为什么要现在做呢？没有动力。我们做的很多事情都是由这种有限性驱动的。这些资源的有限性。所以我认为它是一种伪装的祝福。我不后悔我们拥有更有限的生命。而且我认为，我认为……这个过程……成为这个事物的一部分，你知道，现实。对我来说，吸引我到科学的部分原因就是连接到那种不朽。也就是说，定律，现实，超越我们。对我来说，我……我接受这个事实，不仅是我，每个人都会死。所以，这有点安慰。我们都不会在那里。所以，好吧。我之前的那些人也不在那里。所以，是的，好吧。这是每个人都会经历的。
所以，考虑到……我们是多么渺小，时间是多么短暂，等等。连接到我们之外的更深层次的真理，我们之外的现实，是我能获得的“不朽”的意义。也就是说，至少我可以坚持这个小小的真理，即使我知道它不完整，我知道它不完美，我知道它会改变，它会改进。但比我们周围的幼稚的，你知道，小地球和小的星系等等，拥有更深层次的见解，让我感觉……活得更快乐。所以我认为这就是我作为一名科学家看待我的角色的方式。
这种生命的稀缺性帮助我们欣赏物理学所呈现的……不朽的、普遍的真理的美丽。也许有一天，物理学将能够说明……这种美丽本身，解释为什么它如此美丽，去欣赏物理定律，以及为什么我们……我们死得如此之快，这真是太悲伤了。
是的，我们死得太快了。这肯定可以再长一点。也许物理学会有所帮助。
好吧，卡玛。这是一次不可思议的谈话。再次感谢你描绘了物理学历史的美丽图景，它呈现了对物理学未来的乐观看法。我真的很感激。你和我谈话，浪费你宝贵的时间，这是一种巨大的荣幸。我真的很感激。
谢谢你，亚历克斯。很高兴和你聊天。这是一系列精彩的讨论。我真的很享受这次讨论的时间。谢谢。
感谢收听与康拉德·瓦法的谈话，也感谢Headspace、Jordan Harberger Show、Squarespace和All Form。在描述中查看它们，以支持这个播客。现在，让我用伟大的理查德·芬曼的一些话来结束：物理学不是最重要的，爱才是。感谢收听，希望下次再见。