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A lo largo de la historia, la humanidad se ha esforzado por entender la esencia del funcionamiento del mundo material. Hemos intentado descubrir las normas y las pautas que determinan las cualidades de los objetos que nos rodean y de las complejas relaciones que tienen con nosotros y entre ellos mismos. A lo largo de miles de años, las sociedades de todo el mundo han descubierto que hay una disciplina, por encima de todas las demás, que proporciona un cierto conocimiento acerca de las realidades que subyacen en el mundo físico: esa disciplina son las matemáticas.
Me llamo Marcus du Sautoy y soy matemático. Me considero un buscador de pautas que persigue las estructuras ocultas que se esconden tras el caos aparente y la complejidad del mundo que nos rodea. En mi búsqueda de pautas y orden, recorro el trabajo de los grandes matemáticos que me han precedido, gente perteneciente a culturas de todo el mundo y cuyas innovaciones crearon el lenguaje en el que está escrito el universo. Quiero que me acompañen en un viaje a través del tiempo y el espacio en busca del origen de las Matemáticas, desde su germen hasta el sofisticado concepto que tenemos hoy en día. Utilizando imágenes generadas por ordenador, exploraremos el rastro de los descubrimientos que permitieron a las primeras civilizaciones comprender el mundo matemáticamente. Esta es la historia de las Matemáticas, la historia de las Matemáticas, el lenguaje del universo.
Nuestro mundo está hecho de pautas y secuencias. Están a nuestro alrededor: el día se vuelve noche, los animales recorren el mundo en cada cambio de estación, los paisajes están constantemente cambiando. Una de las razones por las que surgieron las matemáticas fue debido a la necesidad de encontrar el sentido a esos patrones naturales. Los conceptos más básicos de las Matemáticas, espacio y cantidad, están predeterminados en nuestro cerebro. Incluso los animales pueden evaluar la distancia y el número; pueden evaluar cuando su manada es superior en número y decidir así si pelear o es mejor huir; pueden calcular si su presa está a una distancia alcanzable o no. Comprender las matemáticas es la diferencia entre vivir o morir. Pero fue el hombre el que tomó esos conceptos básicos y empezó a construir algo nuevo con esos fundamentos. En algún momento, los humanos empezaron a identificar esas pautas y hacer conexiones, empezar a contar el mundo que les rodeaba, y con ello un nuevo universo matemático empezó a emerger.
Este es el río Nilo. Durante milenios ha sido una fuente de vida para Egipto. He venido hasta aquí porque es donde se han encontrado los primeros signos de unas matemáticas como las que conocemos hoy. La gente abandonó la vida nómada y empezó a sentarse por aquí en el 6000 antes de Cristo. Se daban las condiciones perfectas para cultivar. El acontecimiento más importante para la agricultura egipcia era el desbordamiento anual del Nilo; eso se utilizaba como indicador para comenzar el año nuevo. Los egipcios registraron que eso sucedía cada cierto tiempo, así que para establecer un calendario como este era necesario contar, por ejemplo, cuántos días pasaban entre las fases lunares o cuántos días pasaban entre dos desbordamientos del Nilo. Registrar los patrones de las estaciones fue esencial no solo para el manejo de la tierra, sino también para su religión. Los antiguos egipcios que se asentaron a las orillas del Nilo creían que era el dios del río, Hapi, el que desbordaba el río cada año, y en agradecimiento a esa agua tan vital, los ciudadanos le ofrecían una parte de su cosecha.
A medida que iban creciendo los asentamientos, era necesario encontrar una forma de administrarlos: era necesario medir las áreas de terreno, era necesario predecir las cosechas, cargar los impuestos y recopilarlas. Usaban su cuerpo para medir el mundo, y así fue como evolucionaron sus sistemas de medida: un palmo era el ancho de la mano, un cúbito el largo de un brazo desde el codo a la punta de los dedos. Los aparejadores del faraón utilizaban el cúbito de terreno, que era un segmento de terreno que medía un cúbito multiplicado por 100, para medir las áreas. Hay un vínculo muy fuerte entre la burocracia y el desarrollo de las matemáticas en el Antiguo Egipto, y podemos apreciar ese vínculo desde el principio, desde la invención del sistema numérico. A lo largo de toda la historia egipcia, la única prueba de que existió un sistema metrológico en el Antiguo Reino es en la longitud de las áreas; eran puntales para una burocracia que necesitaba desarrollar cosas como esas. Era vital conocer el área de la que disponía cada agricultor para poder cobrarle unos impuestos acordes, o si el Nilo inundaba parte de sus tierras, poder solicitar un descuento. Eso significaba que los aparejadores del faraón tenían que calcular con frecuencia el área de parcelas irregulares de tierra, y para resolver esos problemas prácticos surgieron las primeras fórmulas matemáticas.
Los egipcios necesitaban registrar de alguna manera el resultado de sus cálculos. De entre todos los jeroglíficos que se venden como souvenirs y que inundan la ciudad del Cairo, me dediqué a la búsqueda de aquellos que mostraran algunos de los primeros números de la historia. Fueron muy difíciles de encontrar, pero al fin los encontré. Los egipcios utilizaron un sistema decimal utilizando los 10 dedos de las manos: el símbolo para el uno era un trazo, el 10 una herradura invertida, el 100 una cuerda enrollada y 1000 una planta de loto. "¿Cuánto cuesta esta camiseta? 25. 25. Eso sería dos herraduras invertidas y cinco trazos." "¿Vas a cobrar nada de por aquí arriba? Sí, aquí. Un millón. ¡Un millón! Dios mío, no, no, no, esto es un millón, un millón. Sí, es mucho." Los jeroglíficos son preciosos, pero el sistema numérico egipcio era fundamentalmente defectuoso: no tenían ningún valor de lugar; una marca solo podía ser una sola unidad, nunca 10 o 100 como hacemos nosotros. Aunque se puede escribir un millón solo utilizando un símbolo, no siete como hacemos nosotros, si querías escribir un millón menos uno, entonces el pobre egipcio tenía que escribir nueve trazos, nueve herraduras invertidas, nueve cuerdas enrolladas; en total, 54 caracteres. Pero a pesar de los inconvenientes de este sistema numérico, los egipcios eran brillantes resolviendo problemas. Hemos conocido esto gracias a los escasos registros que han permanecido. Los escribas egipcios utilizaban hojas de papiro para escribir sus descubrimientos matemáticos. Este delicado material, hecho de juncos, se pudre con el tiempo, y muchos secretos han perecido con ellos. Pero hay un documento muy revelador que ha permanecido: el Papiro Rhind.
El Papiro Rhind es el documento más importante que tenemos hoy en día y que desvela las matemáticas egipcias. Nos ofrece una buena visión sobre a qué tipo de problemas matemáticos debían enfrentarse los egipcios, explícitamente cómo se resolvía la multiplicación y la división. El papiro nos muestra cómo multiplicar dos números grandes, pero para ilustrar el método vamos a recurrir a dos números pequeños: vamos a multiplicar 6 por 3. El escriba cogía un número 3 y lo ponía en una columna; en la segunda columna se colocaba el número uno. Después se doblaban los números en cada columna, por lo que tres se convertiría en seis y seis se convertiría en 12; y después en la segunda columna, el uno se convertiría en dos y el dos en cuatro. Y ahora viene la parte más interesante: el escriba quiere multiplicar 3 por 6, así que pone los múltiplos de dos en la segunda columna: su seis y eso es 2 + 4. Vuelve a la segunda columna y solo coge las filas que corresponden al 2 y al 4, y ese es el 6 y el 12; lo suma y eso da 18. Pero lo más asombroso de este método es que el escriba ha escrito correctamente ese número en binario: el seis está compuesto de cuatro, de dos y ninguna unidad, lo cual es 1 1 0. Los egipcios entendieron la importancia de los números binarios unos 3000 años antes de que los matemáticos alemanes y el filósofo Leibniz desvelaran su potencial. Hoy en día, todo el mundo tecnológico se basa en principios similares a los que se utilizaban en el Antiguo Egipto.
El Papiro Rhind fue realizado por un escriba llamado Ahmes alrededor del 1650 antes de Cristo, y los problemas estaban relacionados con encontrar soluciones a situaciones de la vida cotidiana. Varios de los problemas mencionaban el pan y la cerveza, lo cual no es sorprendente ya que a los trabajadores egipcios se les pagaba con comida y bebida. Uno en concreto trataba de cómo dividir equitativamente nueve hogazas de pan entre 10 personas sin que se provocara una pelea. "Aquí tengo nueve hogazas de pan. Voy a coger cinco de ellas y las voy a partir por la mitad". Por supuesto, nueve de las personas podrían cortar un pedacito de su hogaza y dar los mendrugos a la décima persona, pero los egipcios desarrollaron una solución más elegante: "Se cogen los otros cuatro y se dividen en tercios. Pero voy a partir dos de los tercios en quintos. Así que cada parte será una quinceava parte." De esa forma, cada persona obtendrá una mitad, un tercio y una quinceava parte de hogaza. A través de estos problemas aparentemente simples, empezamos a ver el desarrollo de unas matemáticas más abstractas; de pronto aparecen en escena nuevos números: las fracciones. Y no pasó mucho tiempo hasta que los egipcios empezaran a explorar las matemáticas de estos números. Evidentemente, las fracciones tienen una gran importancia práctica para cualquiera que tenga que dividir cantidades, para comerciar en un mercado, para anotar estas transacciones. Los egipcios desarrollaron unos nuevos signos para simbolizar esos nuevos números.
Una de las primeras representaciones de esas fracciones nos ha llegado por un jeroglífico que tenía una significancia mítica: se llama el Ojo de Horus. Horus fue un antiguo dios del reino, representado como mitad hombre, mitad halcón. Según la leyenda, el padre de Horus fue asesinado por su otro hijo, Set, y Horus estaba intentando vengar su muerte. Durante una de las feroces batallas con su hermano Set, le arrancó el ojo, Aus, lo rompió en pedazos y lo esparció por todo Egipto. Le sonreían a Horus y recogieron los trozos y volvieron a unir el ojo. Cada parte del ojo representa una fracción diferente, y cada fracción la mitad de la anterior. El ojo simboliza la unidad, pero en realidad es 1 partido por 64. Aunque los egipcios se detuvieron en 1 partido por 64, en esta imagen está implícita la posibilidad de añadir más fracciones partiéndolo, pero nunca llega del todo. Esta es la primera pista de algo que se llamaba series geométricas, y aparece en varios puntos del Papiro Rhind, pero el concepto de una serie infinita todavía permanecía oculto hasta que un matemático de Asia lo descubrió siglos más tarde.
Ya que habían ingeniado un sistema numérico que incluía las fracciones, había llegado el momento de que los egipcios aplicaran su conocimiento para comprender las formas que utilizaban en su vida cotidiana. Estas formas eran raramente cuadrados regulares o rectángulos, y en el Papiro Rhind descubrimos al escriba Ahmes calculando el área de una forma más orgánica: el círculo. Lo que es asombroso en el cálculo del área de un círculo es, en realidad, su exactitud. ¿Cómo encontraron el método? Solo son especulaciones porque los textos que tenemos no nos muestran sus métodos. Estos cálculos son particularmente llamativos porque dependía de cómo vieran al círculo y aproximaran su forma a una forma que los egipcios ya entendieran. El Papiro Rhind establecía que un campo circular con un diámetro de nueve unidades tenía un área igual a un cuadrado con laterales que miden ocho. Pero ¿cómo pudo descubrirse esta relación? Mi teoría favorita es que la respuesta está en el antiguo juego de la mancala. Los tableros de mancala se encontraron tallados sobre los techos de los templos. Cada jugador empieza con el mismo número de piedras, y el objetivo del juego es moverse alrededor del tablero capturando las piezas del oponente. Mientras los jugadores estaban sentados esperando a realizar su siguiente movimiento, es posible que alguno de ellos se diera cuenta de que a veces las bolas llenaban los agujeros de la mancala mejor que otras; puede que hiciera un experimento con círculos más grandes; puede que se diera cuenta de que 64 piedras (8 al cuadrado) se podían utilizar para hacer un círculo con un diámetro de nueve piedras. Al reordenar las piedras, el círculo se puede convertir en un cuadrado. Porque el área de un círculo se consigue multiplicando el número pi por el radio del círculo al cuadrado, los cálculos egipcios nos dan el primer valor exacto del número pi: el área de un círculo es 64 dividido por el radio del círculo al cuadrado (en este caso 4,5 al cuadrado) y se consigue el valor de pi. Así que 64 / 4,5² = 3,16, justo dos centésimas más de su valor verdadero. Pero lo verdaderamente brillante es que los egipcios estaban utilizando pequeñas formas para representar una forma más grande.
Pero hay un símbolo majestuoso que se impone en las matemáticas egipcias que todavía no hemos intentado desvelar: la pirámide. He visto tantas películas que no pensé que me iban a impresionar, pero al encontrarlas cara a cara se entiende que las llamen una de las siete maravillas del mundo antiguo; simplemente son impresionantes, y en su día debieron de ser mucho más impresionantes cuando sus paredes exteriores eran tan lisas como un espejo y reflejaban el sol del desierto. A mí me parece que puede haber pirámides espejo ocultas bajo el desierto que completarían la forma de un octaedro perfectamente simétrico. A veces, bajo el reflejo provocado por el calor del desierto, se puede tener la ilusión de ver esas formas. Pero para un matemático, lo que realmente hace que estas pirámides sean impresionantes es la insinuación de que oculten una simetría perfecta. Las pirámides son un poco cortas para constituir esa forma perfecta, pero algunas de las grandes pirámides han dado muestras de ocultar, en el interior de sus proporciones, otro concepto matemático importante: el número áureo. En el número áureo hay dos longitudes: la longitud total es al segmento más largo lo que el segmento más largo es al más corto. Esta proporción se ha asociado con la perfección y se puede encontrar en la naturaleza, y también ha sido utilizada durante milenios en la obra de artistas, arquitectos y diseñadores. Puede que los arquitectos de las pirámides fueran conscientes de la importancia de este concepto matemático, o puede que se sintieran atraídos a él instintivamente debido a sus satisfactorias propiedades estéticas; nunca lo sabremos. Para mí, lo más importante de las pirámides es la brillantez matemática que fue necesaria para construirla, lo que incluye uno de los primeros teoremas de la antigüedad: el teorema de Pitágoras. Para poder conseguir esquinas perfectamente anguladas en las casas y las pirámides, los constructores egipcios utilizaban una cuerda con nudos. En algún momento, los egipcios se dieron cuenta de que si cogían un triángulo y marcaban sus lados con tres, cuatro o cinco nudos, les garantizaba un ángulo perfecto de 90 grados. Eso es porque 3² + 4² = 5², lo que nos da un triángulo pitagórico perfecto; cualquier triángulo que cumpla este requisito será un triángulo de 90 grados. Pero estoy bastante seguro de que los egipcios no tenían ninguna prueba para su triángulo de tres, cuatro y cinco nudos. No podemos esperar encontrar una prueba concreta porque ese no era el estilo de las matemáticas egipcias; cada problema se resolvía utilizando unos números concretos, y después, cuando se verificaba, era al final, utilizando el resultado y esos números concretos. En los textos matemáticos egipcios no existe una prueba que lo demuestre. Pasarían unos 2000 años antes de que los griegos y Pitágoras demostraran que todos los triángulos con ángulos rectos compartían ciertas propiedades.
Esta no fue la única idea matemática que anticiparon los egipcios. En un documento de 4000 años de antigüedad llamado el Papiro de Moscú, encontramos una fórmula para el volumen de una pirámide con el pico seccionado. Estos fueron los primeros cálculos aplicados a una obra concreta en una cultura como la egipcia; una cultura que ha sido famosa por sus pirámides, se puede esperar que surgieran problemas como este de manera regular y que aparecieran en sus textos matemáticos. Los cálculos de volumen de una pirámide rota es uno de los cálculos más avanzados, según nuestro concepto de matemáticas que tenemos del Antiguo Egipto. Los arquitectos y los ingenieros hubiesen querido tener esta fórmula para poder calcular la cantidad de materiales necesarios para reconstruirla. Pero una muestra de la sofisticación de las matemáticas egipcias fue que fueran capaces de producir un método tan hermoso. Para comprender cómo derivaron la fórmula, empezaremos con una pirámide cuyo punto más alto esté sobre una de sus esquinas. Tres pirámides iguales se pueden unir y formar un cubo. Por lo tanto, el volumen de esta inmensa pirámide será un tercio del volumen del cubo, y eso es la altura por el largo de la base y por el ancho de la base, dividido por tres. Ahora viene el argumento que demuestra, por primera vez, los cálculos que utilizaron para trabajar miles de años antes de que Newton y Leibniz publicaran la teoría: suponga que puede cortar la pirámide en secciones; después se podrían deslizar las secciones para hacer la pirámide más simétrica, como las de Keops. Sin embargo, el volumen de la pirámide no ha variado a pesar del reordenamiento de las secciones. Así que la misma fórmula funciona. Los egipcios eran unos innovadores increíbles, y su habilidad para generar unas matemáticas nuevas era asombrosa. Para mí, descubrieron el poder de la geometría y los números e hicieron los primeros movimientos hacia unos futuros y excitantes descubrimientos matemáticos.
Pero había otra civilización que rivalizaba con los egipcios en las matemáticas, y sabemos mucho más de sus logros. Esto es Damasco, una ciudad con más de 5000 años de antigüedad, y hoy en día sigue siendo una ciudad vibrante y bulliciosa. Fue uno de los puntos más importantes en las rutas de comercio ya que unía Mesopotamia con Egipto. Desde el 1800 antes de Cristo, los babilonios controlaron gran parte de lo que hoy en día es Irak, Irán y Siria. Para poder expandirse y dirigir su imperio, se convirtieron en maestros en controlar y manipular los números. Disponemos de códigos de leyes que nos muestran la forma en que estaba ordenada la sociedad; de los que más sabemos es de los escribas que llevaban las cuentas de las familias ricas, los templos y los palacios. Las escuelas de escribas existían desde el año 2500 antes de Cristo; los aspirantes a escribas eran enviados allí desde niños y aprendían a leer, a escribir y a trabajar con números. Los registros de los escribas se escribían en tablillas de arcilla que permitían a los babilonios dirigir y hacer avanzar a su imperio. Sin embargo, muchas de las tablillas que tenemos hoy en día no son documentos oficiales, sino ejercicios de los niños. Son estas extrañas reliquias las que nos proporcionan una visión de cómo los babilonios se entendían con las matemáticas.
Este es un libro de texto sobre geometría del siglo XVII antes de Cristo, y espero que puedan apreciar que hay muchas imágenes en él y que debajo de cada dibujo hay un texto que plantea un problema sobre ese dibujo. Por ejemplo, en este dice: "Dibuja un cuadrado de 60 unidades de largo, y dentro dibuja cuatro círculos. ¿Cuáles son sus áreas?" Y esta pequeña tabla de aquí está escrita al menos 1000 años más tarde que esa otra, pero tiene una relación muy interesante ya que también tiene cuatro círculos en un cuadrado, pero no es un libro de texto, sino un ejercicio de la escuela. Así que el escriba adulto que estaba enseñando a sus estudiantes había utilizado ese ejercicio como ejemplo, como deberes o algo parecido. Como los egipcios, los babilonios parecían interesados en resolver problemas prácticos que tenían que ver con las medidas y el peso. Las soluciones de los babilonios a estos problemas están escritas como si fueran recetas matemáticas: un escriba simplemente seguía y registraba una serie de instrucciones para conseguir un resultado. Aquí hay un ejemplo de ese tipo de problema: "Tengo un ramillete de ramitas de canela, pero no voy a pesarlas. En lugar de eso, voy a coger cuatro veces su peso y añadirlo a la escala. Ahora voy a añadirle 20 gin (el gin era la antigua medida babilonia para el peso). Voy a coger la mitad de todo y sumarlo otra vez, así que tengo dos ramilletes y 10 gin. Bien, ahora todo lo que hay en este lado es lo mismo a un mana (un mana eran 60 gin). Y aquí tenemos una de las primeras ecuaciones matemáticas de la historia: todo lo que hay en este lado es igual a un mana, pero ¿cuánto pesa el manojo de ramas de canela?" Teniendo lenguaje algebraico, eran capaces de manipular las cantidades para poder probar que el ramillete de canela pesaba cinco gin. Para mi gusto, la fama de las Matemáticas puede ser debido a este tipo de problemas; podemos culpar a los antiguos babilonios por esos enrevesados planteamientos que te planteaban en el colegio. Pero los antiguos escribas babilonios se lucían con este tipo de problemas. Misteriosamente, no utilizaban potencias de 10 como hacían los egipcios, sino que utilizaban potencias de 60.
Los babilonios inventaron su sistema numérico, como hicieron los egipcios, utilizando sus dedos. Pero en lugar de contar con los 10 dedos de la mano, los babilonios encontraron una forma más interesante de contar partes de su cuerpo: utilizaban los 12 nudillos de una mano y los cinco dedos de la otra mano para poder contar 12 veces 5, es decir, 60 números diferentes. Por ejemplo, este número hubiera sido dos tantas de 12 (24) y después cinco más hasta completar 29. Pero el número 60 tenía otra poderosa propiedad, y era que podía ser perfectamente dividido en multitud de formas. Aquí hay 60 habichuelas; las puedo agrupar en dos filas de 30, tres filas de 20, cuatro filas de 15, cinco filas de 12 o seis filas de 10. La divisibilidad del número 60 hace que sea una base perfecta para la aritmética. El sistema basado en el número 60 tuvo tanto éxito que todavía hoy en día utilizamos varios de sus elementos cada vez que queremos decir la hora: reconocemos las unidades del 60: 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora. Pero la característica más importante del sistema numérico babilonio es que reconocía el valor del lugar. Como nuestro sistema decimal cuenta cuántas decenas, centenas o millares estás registrando, la posición de cada número babilonio registra 60 posiciones. En lugar de inventar nuevos símbolos para números más y más grandes, ellos escribían 1 1 1 de manera que ese número sería 3661. El catalizador para este descubrimiento fue el deseo que tenían los babilonios de trazar el mapa de las estrellas. El calendario babilonio se basaba en los ciclos de la luna y necesitaban encontrar una forma de registrar números astronómicamente grandes, mes a mes, año a año. Estos ciclos se han registrado desde el año 800 antes de Cristo, donde había un listado completo de eclipses lunares. El sistema babilonio de era, para su época, muy sofisticado. Tenían un sistema para medir el ángulo: los 360 grados de un círculo completo; cada grado se dividió en 60 minutos, y después se dividieron estos en 60 segundos. Tenían un sistema de medida muy regular que estaba en perfecta armonía con los números del sistema numérico, así que iba muy bien no solo para la observación, sino también para el cálculo. Pero para poder calcular y manipular esos números tan altos, los babilonios necesitaban inventar un nuevo símbolo, y al hacerlo, prepararon el terreno para uno de los grandes avances en la historia de las Matemáticas: el número cero. Al principio, los babilonios, para poder indicar un lugar vacío en medio de un número, simplemente dejaban un espacio en blanco, así que necesitaban encontrar la forma de representar nada en medio de un número. Así que utilizaron un símbolo como si fuera un espacio o un signo de puntuación, y que significaba cero y que se colocaba en medio de un número. Esa fue la primera vez que apareció el cero en el universo matemático, pero faltaban más de 1000 años para que ese pequeño marcador de posición se convirtiera en un número en toda regla.
El haber establecido un sistema de números tan sofisticado les ayudó a domesticar la árida e inhóspita tierra que abarcaba Mesopotamia. Los ingenieros babilonios y los aparejadores encontraron ingeniosas formas de acceder al agua y de canalizarla hacia los campos de cultivo. Una vez más, utilizaron las matemáticas para encontrar las soluciones. El valle de Orontes, en Siria, sigue siendo un centro neurálgico de la agricultura, y los antiguos métodos de irrigación se siguen explotando hoy en día como hace miles de años. Muchos de los problemas de las matemáticas de los babilonios se centran en medir la tierra, y es aquí donde encontramos las primeras ecuaciones al cuadrado; uno de los grandes legados de las matemáticas de Babilonia. Las ecuaciones al cuadrado implican que la cantidad desconocida que intentas descifrar se multiplica por sí misma; lo llamamos al cuadrado porque da el área de un cuadrado, y es en el contexto de calcular el área de un cuadrado donde emergen esas ecuaciones al cuadrado. Este es un problema típico: "Si un campo tiene un área de 55 unidades y uno de sus lados es seis unidades más largo que el otro, ¿cuánto mide el lado más corto?" La solución de los babilonios era reconfigurar el campo como si fuera un cuadrado: cortaban tres unidades de uno de los lados, movemos esto aquí, y ahora tenemos una pieza de 3 por 3 que falta, así que le añadimos esto. El área del campo se ha aumentado en nueve unidades, lo que hace que el nuevo área sea de 64, por lo que los lados de este cuadrado miden ocho unidades. El que soluciona el problema sabe que han añadido tres unidades a este lado, así que el largo original debe ser de cinco. Puede que no lo parezca, pero esta es una de las primeras ecuaciones al cuadrado de la historia. En matemáticas modernas, yo utilizaría el lenguaje de símbolos del álgebra para solucionar este problema, pero la gran hazaña de los babilonios es que utilizaban esos juegos geométricos para encontrar el valor sin recurrir a ningún símbolo o fórmula. Los babilonios disfrutaban...
Resolviendo los problemas por su propio bien, se estaban enamorando de las matemáticas. La fascinación de los babilonios por las matemáticas pronto encontró un lugar en su ocio; eran unos jugadores voraces. Ya que los babilonios y sus descendientes han estado jugando a una versión del Backgammon desde hace más de 5000 años, a los babilonios les gustaban los juegos de mesa. Desde pomposos tableros encontrados en las tumbas reales, a pequeños tableros de juegos hallados en las escuelas, a juegos rayados en la pared en la entrada de algún palacio, lo que indicaba que los guardias de turno, cuando estaban aburridos, utilizaban los dados para mover las fichas. Las personas que jugaban a esos juegos usaban los números en sus ratos de ocio para intentar derrotar a su oponente con una aritmética mental muy rápida. Así que, en sus ratos de ocio, estaban calculando sin pensar que estaban realizando un trabajo matemático muy intenso.
“Es mi turno, no he jugado al Go desde hace siglos. ¿Los conocimientos de las Matemáticas serán suficientes para plantar cara? Sí, y necesito mover algo… pues no ha sido tan fácil como pensaba. Eso es… uno, dos… estás en un… no puedo mover nada, ¿verdad? No puedo mover estas tampoco… no puedes mover esas… tengo que… Dios… ahí lo tiene… ¡qué eres Yi!” Resultó ser un maestro en las matemáticas. Los babilonios son reconocidos por ser una de las primeras culturas en utilizar formas simétricas para hacer dados. Pero existe un debate muy apasionado sobre si también fueron los primeros en descubrir el secreto de otra forma muy importante: el triángulo rectángulo. Hemos visto cómo los egipcios utilizaban tres-cuatro-cinco triángulos rectángulos, pero lo que los babilonios sabían de esta forma y de otras parecidas es mucho más sofisticado.
Esta es la tablilla más famosa y controvertida que tenemos; se llama Plimpton 322. Muchos matemáticos están convencidos de que demuestra que los babilonios podían conocer el principio de los triángulos rectángulos: que su diagonal al cuadrado es la suma de sus lados al cuadrado, y que lo conocían siglos antes de que los griegos lo proclamaran. Esta es una copia de la que es, sin duda, la tablilla babilónica más famosa, que es la Plimpton 322. Y estos números de aquí reflejan la base y la altura de un triángulo. Esta es la diagonal, y el otro lado estaría por aquí, y su cuadrado en esta columna más el cuadrado del otro en esta columna, que es igual a la diagonal al cuadrado. Están ordenados en ángulos decrecientes de un modo muy uniforme, mostrando que alguien tenía mucho conocimiento de cómo encajaban los números. Aquí hay 15 ternas pitagóricas perfectas, cuyos lados miden todos un número entero. Es muy tentador pensar que los babilonios fueron los primeros guardianes del teorema de Pitágoras, y es una conclusión a la que han llegado muchas generaciones de historiadores; pero podría haber una explicación mucho más simple para esos juegos de tres números que componen el teorema de Pitágoras. No es una explicación sistemática de las ternas pitagóricas; es simplemente un maestro de matemáticas haciendo unos cálculos complicados, pero para producir unos números muy simples con la intención de plantear a sus alumnos problemas sobre el triángulo rectángulo, y en ese sentido sí es sobre el teorema de Pitágoras, pero solo accidentalmente.
Las pistas más valiosas que nos demuestran lo que en realidad sabían pueden estar en cualquier parte. Esta pequeña tablilla de ejercicios de escuela tiene cerca de 4000 años y desvela lo que los babilonios sabían del triángulo rectángulo. Utilizan el teorema de Pitágoras para saber el valor de un asombroso nuevo número dibujado al lado de la diagonal. Hay una buena aproximación a la raíz cuadrada de dos, y eso nos demuestra que la conocían y era utilizada en los entornos escolares. Bien. Esto es importante porque la raíz cuadrada de dos es lo que ahora llamamos un número irracional; que si lo escribimos en decimales o incluso con hexadecimales, no acabaría nunca. Los números siguen y siguen eternamente tras el punto decimal. Lo que implican estos cálculos es muy ambicioso: en primer lugar, significa que los babilonios sabían algo acerca del teorema de Pitágoras 1000 años antes que Pitágoras; en segundo lugar, el hecho de que pudieran calcular ese número con una precisión de cuatro décimas demuestra que tenían una increíble facilidad para la aritmética y que sentían una gran pasión por los detalles matemáticos.
La destreza para las matemáticas que tenían los babilonios era increíble, y durante casi 2000 años lideraron el progreso intelectual del mundo antiguo. Pero cuando empezó el crepúsculo de su imperio, empezó también a decaer su supremacía intelectual. En el año 330 antes de Cristo, los griegos extendieron su imperio hasta la antigua Mesopotamia. Esto es Palmira, en Siria central, la que fue una gran ciudad construida por los griegos. Los expertos en matemáticas necesitaban construir estructuras que tuvieran una gran perfección geométrica, lo cual es impresionante, al igual que los babilonios lo fueron antes. Los griegos fueron unos grandes apasionados de las matemáticas. Los griegos fueron unos colonizadores muy inteligentes; adoptaban lo mejor de las civilizaciones que invadían para mejorar su poder y su influencia, pero enseguida hacían sus propias aportaciones. En mi opinión, su mayor logro fue hacer un cambio de mentalidad; lo que iniciaron influiría en la humanidad durante siglos. Nos dieron el poder de la prueba. De alguna forma decidieron que tenían que tener un sistema de deducción para sus matemáticas, y el sistema típico de deducción era empezar con ciertos axiomas que se asumían que eran ciertos, como si se asume que cierto teorema es verdad pero sin haberlo puesto a prueba, y después utilizaban métodos lógicos y seguían los pasos cuidadosamente desde esos axiomas para probar los teoremas; y después de esos teoremas se probaban más teoremas, y así seguía creciendo. La prueba da a las matemáticas fuerza; el poder de la prueba significa que los grandes descubrimientos de los griegos son ciertos hoy en día, como lo eran hace 2000 años.
Necesito dirigirme hacia occidente, hacia el corazón del antiguo imperio griego para saber más. Para mí, las matemáticas griegas siempre han sido algo heroico y romántico. Me dirijo hacia Samos, a menos de 1 km y medio de la costa de Turquía. Este lugar se ha convertido en sinónimo del nacimiento de las matemáticas griegas, y todo se debe a la leyenda de un hombre. Su nombre es Pitágoras. La leyenda que rodea su vida y su obra ha contribuido a su estatus de celebridad que le ha sido otorgado en los últimos 2000 años. Para bien o para mal, se le ha atribuido ser el que inició la transformación de las matemáticas hasta convertirse en la herramienta analítica que utilizamos hoy en día. Pitágoras es un personaje controvertido; como no dejó ningún texto matemático escrito, hay muchos que dudan de si fue él quien resolvió muchos de los teoremas que se le atribuyen. Fundó una escuela en Samos en el siglo VI antes de Cristo, pero sus enseñanzas fueron consideradas sospechosas y los pitagóricos fueron considerados una secta extraña. Hay pruebas fehacientes de que había escuelas pitagóricas, y puede que se parecieran más a una secta que a lo que nosotros consideraríamos una escuela filosófica, ya que no solo compartían el conocimiento, compartían además una forma de vida. Puede que vivieran en comuna, y parece que estaban involucrados con la escena política de la ciudad, una característica inusual para el mundo antiguo; es que se aceptaban mujeres.
El pitagorismo es sinónimo de comprensión de las propiedades del triángulo rectángulo, lo que se conoce como el teorema de Pitágoras. Establece que si hacemos cualquier triángulo rectángulo, construimos cuadrados encima de todos sus lados, el área del cuadrado más grande será igual a la suma de los cuadrados de los laterales más pequeños. Para mí, en ese momento nacieron las matemáticas, y se abre un abismo entre esta y las demás ciencias, y la prueba es tan evidente como devastadora en sus repercusiones. Voy a colocar cuatro copias del triángulo rectángulo sobre esta superficie. El cuadrado que ven ahora tiene unos lados que son iguales a la hipotenusa del triángulo. Si giramos estos triángulos, podemos ver cómo separar el área del cuadrado más grande hasta la suma de los dos cuadrados más pequeños, cuyos lados nos vienen dados por los dos laterales más cortos del triángulo. En otras palabras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados del otro lado: el teorema de Pitágoras.
Ilustra uno de los temas más característicos de las matemáticas griegas: la atracción por bellos argumentos geométricos en lugar de la dependencia por los números. Puede que Pitágoras haya perdido popularidad, y muchos de los descubrimientos que se le acreditaban han sido rebatidos recientemente. Pero hay una teoría matemática que detesto tener que arrebatarle, y es una que tiene que ver con la música y el descubrimiento de la serie armónica. La historia cuenta que un día, mientras Pitágoras paseaba frente a un herrero, oyó los golpes que le daba el yunque y se dio cuenta de que las notas que producía sonaban en perfecta armonía. Él creía que debía haber alguna explicación racional al por qué las notas sonaban tan atractivas. La respuesta estaba en las matemáticas. Experimentando con un instrumento de cuerda, Pitágoras descubrió que los intervalos entre notas musicales armónicas estaban representados siempre a razón de números enteros, y así es como pudo haber construido su teoría. Primero tocó una nota con la cuerda al aire; después, pulsada hasta la mitad del mástil, la nota casi sonaba igual que la primera nota; de hecho, era una octava más alta, pero la relación entre ellas es tan cercana que damos a esas notas el mismo nombre. Ahora, a un tercio de la longitud, nos da otra nota que suena armónicamente con las dos primeras; pero si cogemos un largo de cuerda que no esté en un número entero, lo que obtendremos es una disonancia. Según la leyenda, Pitágoras estaba tan emocionado ante este descubrimiento que concluyó que todo el universo estaba construido con números. Pero él y sus seguidores estaban a punto de enfrentarse a un inquietante reto que ponía en jaque su visión del mundo, y que fue resultado del teorema que lleva el nombre de Pitágoras.
Cuenta la leyenda que uno de sus seguidores, un matemático llamado Hipaso, se dispuso a encontrar el largo de la diagonal de un triángulo rectángulo cuyos dos lados medían una unidad. Según el teorema de Pitágoras, el largo de la diagonal era un número cuyo cuadrado era dos. Los pitagóricos asumieron que la respuesta sería una fracción, pero cuando Hipaso intentó expresarlo, hiciera lo que hiciera, no consiguió demostrarlo. Acabo por darse cuenta de que su error fue el asumir que el valor sería una fracción, lo cual era erróneo. El valor de la raíz cuadrada de dos era el número que los babilonios escribieron en la tablilla YBC 7289, aunque no reconocieran el carácter especial de ese número; pero Hipaso sí lo hizo: era un número.