Transcription
إنه المحاضرة الأولى في التحليل الرياضي. لقد قمت بإيقاف تشغيل الصوت، لكن هذا لا يعني أنه لا يمكنك تشغيله. ومع ذلك، يرجى استخدامه بحذر. إذا كانت لديك أسئلة، أولاً وقبل كل شيء، سأقدم نفسي. اسمي زاميتش فاسيلي فلاديميروفيتش. سأقوم بإلقاء محاضرات حول أحد المواد الأساسية في السنة الأولى، وهو التحليل الرياضي. حتى الآن، تتم الدروس عن بعد، على الأقل المحاضرات. لذلك، سنتواصل هنا عبر Zoom. كيف سيتم التواصل؟ مرتين في الأسبوع، ستتصلون بالمحاضرات. سنبدأ. إذا كانت لديك أسئلة أثناء المحاضرة، فيرجى استخدام الدردشة. سأقوم بفحصها بشكل دوري وسأحاول الإجابة على الأسئلة التي تنشأ أثناء المحاضرة. بشكل عام، إذا كانت هناك حاجة ماسة لطرح سؤال، يمكنك تشغيل الميكروفون والسؤال. وفي نهاية المحاضرة، وبعد 10-15 دقيقة من المحاضرة، ستتاح لك الفرصة لطرح الأسئلة ومناقشة موضوع المحاضرة أو أي مسائل أخرى تهمك. أما بالنسبة للمادة التي سنتعامل معها، فالتحليل الرياضي هو أحد المواد الأساسية والأساسية، على الأقل في السنة الأولى، جنبًا إلى جنب مع الجبر الخطي والبرمجة. بالطبع، سيقول كل مدرس أن مادته هي الأهم ويجب التركيز عليها، وهذا صحيح وطبيعي. ومع ذلك، فإن التحليل الرياضي هو حقًا أحد حجر الزاوية في تدريب متخصصي الرياضيات وتقنيات المعلومات، لأنه في المقام الأول لغة الرياضيات. سنتعامل، خاصة في البداية، مع أشياء تبدو بسيطة، إن لم تكن واضحة تمامًا، فهي مفهومة إلى حد ما. لكن هذه الأشياء البسيطة هي ما سنتعامل معه في إطار دورة التحليل الرياضي. سنقوم بتحليل التعريفات والمفاهيم والنظريات الأساسية التي ستطبق لاحقًا على كائنات أكثر تعقيدًا. ستنتقل المواد إلى التحليل المركب والتحليل الوظيفي، حيث لن تكون هذه الأشياء بسيطة أو تافهة. لذلك، فإن الفهم الذي يجب أن ينشأ لديك عند اجتياز دورة التحليل الرياضي في الفصلين الأول والثاني هو الفهم الذي سيسمح لك بالتقدم في دورات الرياضيات المختلفة. بالإضافة إلى ذلك، أود أن ألفت انتباهكم إلى أن الكثيرين منكم جاءوا إلى الكلية، لنقل ببساطة، لتعلم البرمجة. حسنًا، سنكتب الصيغ الرياضية، حسنًا. وبعد ذلك، سنقوم بتشغيل الكمبيوتر ونوضح ما يمكن فعله. نحن في كلية الرياضيات الحاسوبية وتقنيات المعلومات نعد متخصصين ذوي معرفة أساسية. هؤلاء ليسوا فقط، وليس بالدرجة الأولى، أولئك الذين سيطورون منتجات برمجية نهائية، بل هم أولئك الذين سيطورون منتجات جديدة وأدوات جديدة للمستخدمين النهائيين التاليين. وللقيام بذلك، هناك حاجة إلى فهم عميق للخوارزميات التي تكمن داخل المنتجات البرمجية الحديثة، مثل تقنيات الذكاء الاصطناعي. تتطلب هذه التقنيات فهمًا عميقًا لنظرية الاحتمالات والتحليل الوظيفي، بدءًا من فهم ما هي القرب بين الكائنات. أنت تعمل في الرسومات الحاسوبية، وتريد مقارنة صورتين، هل هما متشابهتان أم لا؟ وتواجه حقيقة أنك بحاجة إلى تعلم كيفية مقارنة الكائنات، وتصل إلى مفهوم القياس. ولهذا، تحتاج إلى فهم ما هو القياس، وكيفية مقارنة الكائنات، وما هي الخصائص التي يجب أن يمتلكها، وما إلى ذلك. هذا هو استعراض موجز لمادتنا. الآن ننتقل مباشرة إلى التحليل الرياضي. كلمتان. الآن سأقوم بتشغيل... قد لا نبدأ بعناصر الجبر العام، سيبدأون بها في دورة الجبر، ولكن بعض الجوانب الجبرية ستمر أيضًا. أقوم بتشغيل عرض الشاشة. آمل أن يراها الجميع، وسنواصل المحاضرة الكلاسيكية الفعلية. الشيء الوحيد هو أنني لن أكتب على السبورة بقلم رقمي على الجهاز اللوحي. إذن، المادة التي سنتعامل معها هي التحليل الرياضي. أولاً، بعض المسائل التنظيمية البسيطة، وهي الكتب المدرسية التي يوصى باستخدامها عند إعداد دورة التحليل الرياضي في كلية الرياضيات الحاسوبية وتقنيات المعلومات. أولاً وقبل كل شيء، نستخدم الكتب المدرسية لإليين وألكسندر فلاديميروفيتش. أحد الكتب هو إليين، أو بالأحرى فلاديمير ألكسندروفيتش، وبوزنياك إدوارد جينريخوفيتش، "أسس التحليل الرياضي". هذا كتاب مدرسي كلاسيكي تم إنشاؤه بواسطة المؤلفين قبل تأسيس كلية الرياضيات الحاسوبية وتقنيات المعلومات، عندما كان أساتذتنا يعملون في قسم الرياضيات بكلية الفيزياء. لذلك، فهو يميل قليلاً إلى الجانب الفيزيائي، وتوضح النظريات بأمثلة فيزيائية. لذلك، تم لاحقًا كتابة كتاب مدرسي ثانٍ، مشابه للأول، ولكنه لا يزال مختلفًا عنه وأكثر رياضية، مع دراسة متعمقة للجوانب الرياضية. المؤلفون مرة أخرى هم إليين فلاديمير ألكسندروفيتش، سادوفنيتشي فيكتور أنتونوفيتش، رئيسنا، وسينجل بليغوفست كريستوفيتش، رئيس جامعة صوفيا في وقت ما. يسمى ببساطة "ماتاناليز" (التحليل الرياضي). أحد هذين الكتابين المدرسيين، على الأرجح، سيتم إعطاؤه لك. نهتم بالجزء الأول من كليهما. الجزء الأول هو أساس الدورة التي سنستمع إليها في الفصلين الأول والثاني. هناك أيضًا العديد من الكتب المدرسية الرائعة الأخرى في التحليل الرياضي. هذه المادة مستقرة بشكل عام خلال الخمسين عامًا الماضية، أو بشكل أكثر واقعية، 150 عامًا. لذلك، هناك كتب مدرسية لبيخت، جوليتس، كودريافتسيف، نيكولسكي، بدرجات متفاوتة من التفصيل، بدرجات متفاوتة من الفيزياء أو الرياضيات. سأقول هذا: بالنسبة لأولئك الذين يرغبون في تجاوز الكتب المدرسية الكلاسيكية، لدينا نيكيتين أنتونوفيتش. قبل بضع سنوات، صدر كتاب "ماتاناليز" لنيكيتين وفوميتشيف، وهو دورة متعمقة. لا يُنصح بهذا الكتاب المدرسي لدراسة التحليل الرياضي في إطار دورتنا، لأنه يعكس جوانب تتجاوز نطاق الدورة التي سندرسها. هذا لمن يرغب في النظر في بعض المسائل التي لا تُدرس في دورتنا ولا تُدرس في المحاضرات، ولكنها مثيرة للاهتمام وتتجاوز الدورة التي سندرسها. حسنًا، لمن يرغب، ولمن سيذهب إلى الندوات الاختيارية لأليكسي نيكيتين، حسنًا، يمكنهم استخدام هذه الدورة. للعمل في الندوات، يجب أن تحصلوا على مجموعة مسائل ديميدوفيتش في التحليل الرياضي. هذا هو الكتاب المقدس للتحليل الرياضي، مجموعة مسائل يدرس عليها جيل من الطلاب وسيستمر في دراستها جيل آخر من الطلاب. مجموعة ضخمة من المسائل في جميع أقسام التحليل الرياضي تقريبًا التي سنتعامل معها هذا العام والتي ستستمرون في دراستها في السنة الثانية، حيث سيستمر تدريس التحليل الرياضي. أين تجد الكتب المدرسية؟ كان يجب أن يخبروكم بذلك، وكان يجب أن تُعطى لكم في المكتبة، على الرغم من أنه يمكنك تنزيلها بصيغة إلكترونية. يمكن استخدام جميع هذه الكتب المدرسية وتقنيات المعلومات الحديثة. أما بالنسبة لمحاضراتنا، فسأقوم الآن بتشغيل تسجيل المحاضرة، وفي المستقبل سأقوم بتحميل جميع المحاضرات في وقت متأخر من المساء في المستودع. هناك مستودع خاص بكلية الرياضيات الحاسوبية وتقنيات المعلومات، حيث يقوم أساتذة الكلية بتحميل جميع المواد للدورات التي تُدرس عن بعد. بالطبع، هناك بالفعل محاضرات تم إلقاؤها العام الماضي. من الواضح أنها لن تختلف كثيرًا عما سندرس هذا العام. خلال العام الماضي، لم يتغير التحليل الرياضي عمليًا. ومع ذلك، سنتقابل مرتين في الأسبوع في محاضرات حضورية، وإن كانت عن بعد، حتى تتمكنوا من الاستماع إلى المواد في الوقت الفعلي، وحتى تتمكنوا من طرح الأسئلة التي تهمكم أثناء سير المحاضرة، إذا لم يكن ذلك صوتيًا، فعلى الأقل في الدردشة، حتى تتمكنوا من توضيح الأسئلة التي كانت غير واضحة لكم فورًا بعد المحاضرة. لذلك، سيكون هناك مجلد منفصل في المستودع، وقد تم إنشاؤه بالفعل لدورة هذا العام، حيث سيتم تحميل تسجيلات المحاضرات التي استمعتم إليها. الآن سأوقف عرض الشاشة مؤقتًا، وسأبدأ التسجيل، وسننتقل مباشرة إلى المادة التي سنتعامل معها. جميع الأسئلة حول التحليل الرياضي بوجه إنساني. هناك العديد من الأساليب البديلة، كما أقول، لدراسة التحليل الرياضي، بدءًا من القصص المصورة والكتب اليابانية، حيث تُدرس أيضًا مواضيع مختلفة من التحليل الرياضي، وما إلى ذلك. هناك أيضًا موارد وسائط متعددة وغيرها. يمكن استخدام كل هذا، ولكن هنا دائمًا... مرة أخرى، أعرض القائمة. حسنًا، ستكون في التسجيل. كنت أعتقد أنني سأتوقف الآن وأشغل التسجيل. دائمًا ما يكون هناك معضلة: الدقة أم الوضوح. ما الذي يميز جميع الكتب المدرسية الكلاسيكية؟ إنها مكتوبة بدقة وصحة مطلقة، لذلك غالبًا ما تكون غير واضحة. إذا تحدثنا بلغة الإشارة، بلغة القصص المصورة، وما إلى ذلك، فسيكون الأمر واضحًا. ولكن هناك مشكلة أخرى: فقدان الدقة في العرض. يبدو أن كل شيء واضح على الأصابع، ولكنه ليس دائمًا صحيحًا في الرياضيات. لذلك، يجب أن تكون هناك دقة في الاستدلال. لذلك، سنحاول الجمع بين الدقة والوضوح. لهذا الغرض، هناك حاجة إلى المحاضرات لدمج دقة الكتاب المدرسي مع وضوح العرض. حسنًا، سنحاول القيام بذلك. سنقوم بتشغيل التسجيل. هيا بنا. إذن، تحدثنا عن الكتب والموارد التي يمكن العثور فيها على الأدبيات أو المحاضرات المناسبة. والآن ننتقل إلى كيفية سير العرض. كلمتان عن التسجيلات وعن الرموز التي سنستخدمها أثناء المحاضرات. بالطبع، تُقدم المحاضرة باللغة الروسية، لذلك سنستخدم كلمات من اللغة الروسية، على الرغم من أننا سنحاول استخدامها بشكل أقل. سنحاول استخدام التسجيل الرياضي والرموز المختلفة. الممارسة تظهر أن هذا النوع من التسجيل يمنح دقة للاستدلال. غالبًا ما يقول الممتحنون أنه إذا حاول الطالب شرح كل شيء بالكلمات الروسية دون استخدام الرموز، وعبارات جميلة، وما إلى ذلك، فهذا يعني أن هناك شيئًا خاطئًا في دقة العرض، في منطق الاستدلال. ما هي الرموز التي سنستخدمها؟ رمز "لكل" (∀) هو من اللغة الإنجليزية، حرف "A" مقلوب. رمز "يوجد" (∃) هو أيضًا من اللغة الإنجليزية، حرف "E" مقلوب. الأسهم المتجهة في اتجاه واحد. هذه الأسهم المزدوجة التي تظهر اتجاه الاستدلال، أو بالأحرى، من عبارة واحدة تتبع عبارة أخرى، أو العكس. السهم المزدوج سيكون لدينا يعني أن العبارتين متكافئتان، أي أن A تتبع B و B تتبع A. في بعض الأحيان، على الرغم من أن هذا قد لا يكون صحيحًا تمامًا، للاختصار، سنستخدم هذا السهم المزدوج لتقصير التسجيل. إذن، "إذا وفقط إذا" (⇔)، في الواقع، يعني السهم المزدوج أن عبارتين متكافئتان تمامًا. بالإضافة إلى ذلك، قد يُستخدم أحيانًا علامة التعجب (!). تُستخدم في أماكن مختلفة وفي عبارات مختلفة. إذا كانت لديك بالفعل ندوات في التحليل الرياضي، فأنت تعلم أن علامة التعجب بعد الرقم، على الأقل بشكل متوازٍ، تعني مضروب هذا الرقم. إذا كانت تأتي، على سبيل المثال، بعد رمز "يوجد"، فإنها تعني التفرد. هذا الارتباط يعني "يوجد ويتفرد" شيء ما. حسنًا، إذا كانت علامة التعجب في نهاية عبارة طويلة، فهي ببساطة تعني الإعجاب بهذه العبارة. والآن ننتقل إلى القسم الأول الذي سنتعامل معه، وهو الفصل الأول: الأعداد الحقيقية. حسنًا، قبل أن نتحدث عن الأعداد الحقيقية، لماذا نفعل ذلك؟ سنعمل لاحقًا مع المتتاليات والدوال، وما إلى ذلك. ولكي ندرس خصائص هذه الكائنات الأكثر تعقيدًا، نحتاج إلى فهم عمق وخصائص المجموعة التي نعمل عليها، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية أو الفعلية. نحتاج إلى فهم كيف تختلف الأعداد الحقيقية عن الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية الأخرى، وما هو الاختلاف الجوهري بين مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعات الأعداد الأخرى. لهذا الغرض، سنقوم باستعراض موجز لنظرية الأعداد، وهو استعراض تاريخي، مرة أخرى، على الأصابع، وغير دقيق. في البداية، لأبسط الاحتياجات العملية، ظهرت بالطبع الأعداد الطبيعية. سنرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف N، مع هذه الفرشاة، لتمييزها عن الحرف البسيط M الذي سنستخدمه لعدد طبيعي منفصل أو شيء آخر. هذا التسجيل يعني مجموعة الأعداد الطبيعية. الأعداد الطبيعية هي الأعداد المستخدمة لعد الأشياء الطبيعية، أي 1، 2، 3، 4، 5، وهكذا. عندما تم تقديم الأعداد الطبيعية لعد الأشياء، ظهرت على الفور ثلاث عمليات: المقارنة. يمكن ربط أي عددين طبيعيين بأحد الرموز: أكبر من، أصغر من، أو يساوي. مهما كان عددين طبيعيين نأخذهما، يمكننا دائمًا القول أن أحدهما أكبر من الآخر، أو أحدهما أصغر من الآخر، أو أنهما متساويان. العملية الثانية هي الجمع. لأي عددين طبيعيين، يتم تعيين عدد طبيعي ثالث يسمى المجموع. ونحن نعرف كيفية جمع الأعداد الطبيعية. والعملية الثالثة هي الضرب. لأي عددين طبيعيين، يتم تعيين عدد ثالث يسمى حاصل الضرب. كل شيء يبدو جيدًا. هناك مجموعة وعمليات. ثم بدأنا في دراسة خصائص هذه العمليات، وخاصة العمليات العكسية للجمع والضرب: الطرح والقسمة. واتضح أن هناك مشكلة. إذا أخذنا عملية الجمع، يمكننا تعريف الطرح كعملية عكسية للجمع، ولكن اتضح أن الفرق غير محدد لأي زوج من الأعداد الطبيعية. الفرق بين اثنين وثلاثة غير محدد. نتيجة هذه العملية غير محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية. ليس دائمًا نطرح عددًا طبيعيًا من عدد طبيعي ونحصل على عدد طبيعي كنتيجة. لذلك، فإن مجموعة الأعداد الطبيعية ليست كاملة فيما يتعلق بعملية الطرح. يجب توسيعها لتصبح كاملة. بتوسيع مجموعة الأعداد الطبيعية فيما يتعلق بعملية الطرح، نحصل على مجموعة الأعداد الصحيحة، سنرمز لها بالحرف Z. هذه هي الأعداد 0، 1، 2، 3، وبالطبع، -1، -2، وهكذا. العملية العكسية للضرب هي القسمة. وكلا هاتين المجموعتين، مجموعة الأعداد الطبيعية والصحيحة، ليست كاملة فيما يتعلق بعملية القسمة. لا يمكننا دائمًا قسمة عدد طبيعي على عدد طبيعي أو عدد صحيح على عدد صحيح والحصول على عدد طبيعي أو صحيح مرة أخرى. إذا قسمنا اثنين على ثلاثة، فلن نحصل على نتيجة صحيحة أو طبيعية. يجب توسيع مجموعة الأعداد الطبيعية والصحيحة، على التوالي، حتى تصبح المجموعة كاملة فيما يتعلق بعملية القسمة. نصل إلى مجموعة الأعداد النسبية، سنرمز لها بالحرف Q. ما هو العدد النسبي؟ العدد النسبي هو P، أو عنصر في مجموعة الأعداد النسبية، إذا كان P يمكن تمثيله على شكل M مقسومًا على N، على شكل كسر نسبي، حيث M هو عدد صحيح و N هو عدد طبيعي. إذن، تحت الأعداد النسبية، سنفهم الكسور من الشكل M مقسومًا على N، حيث M هو البسط (عدد صحيح) و N هو المقام (عدد طبيعي). وأحيانًا يُنظر إلى M و N كعددين صحيحين، ولكن لسهولة الحساب، نعتبر أن المقام هو عدد صحيح. حتى لا نعاني من النظر إلى ما إذا كان البسط والمقام كلاهما سالبين، وما إلى ذلك. لذلك، لتبسيط الأمر، من الأسهل اعتبار أن المقام هو عدد طبيعي. ومجموعة الأعداد النسبية هي بالفعل مجموعة جيدة جدًا، ولديها العديد من الخصائص الجيدة، وهي مريحة جدًا لحل العديد من المشاكل العملية. في الواقع، توقف الإغريق القدماء عندها، ولم يحلوا العديد من المشاكل الرائعة باستخدام هذه المجموعة. صحيح أنهم لم يصلوا، في جوهرهم، إلى مفهوم العدد الحقيقي، لذلك لم تجد العديد من مشاكلهم، مثل تربيع الدائرة، وما إلى ذلك، حلولًا. لكن مجموعة الأعداد النسبية جيدة، وهي تمنحنا فكرة مثالية عن مجموعة الأعداد التي يجب أن تمتلكها مجموعة الأعداد. سنعدد هذه الخصائص. مجموعة الأعداد النسبية. إذن، في مجموعة الأعداد النسبية، هناك ثلاث عمليات محددة: المقارنة. لدينا عددان P1 = M1 / N1 و P2 = M2 / N2. العدد النسبي P1 أكبر من P2، أو P1 أصغر من P2، أو P1 يساوي P2، إذا كانت الأعداد الصحيحة M1 * N2 و N1 * M2 مرتبطة بنفس الرمز. السؤال: كيف نقارن الأعداد الصحيحة؟ ننتقل إلى حقيقة أننا بحاجة إلى معرفة كيفية مقارنة الأعداد الطبيعية، والنظر إلى قيمها المطلقة وإشاراتها. كيف نقارن الأعداد الطبيعية؟ نفترض أننا نعرف هذه الخاصية بشكل حدسي. نحن نعرف كيفية مقارنة الأعداد الطبيعية. ماذا بعد؟ سنبدأ في التعمق في أسئلة فلسفية أكثر تعقيدًا: ما هو العدد الطبيعي، وما إلى ذلك. سنفترض أننا نعرف كل شيء عن الأعداد الطبيعية، وكل شيء عن الأعداد النسبية، ونحن فقط ننشط هذه المعرفة. إذن، الرمز الذي يربط عددين نسبيين هو الرمز الذي يربط عددين صحيحين. الجمع. مجموع عددين نسبيين هو عدد نسبي: (M1*N2 + M2*N1) / (N1*N2). المقام هو عدد طبيعي، والبسط عدد صحيح، إذن هذا عدد نسبي. وحاصل الضرب P1 * P2 = (M1*M2) / (N1*N2). مرة أخرى، وصلنا إلى تعريف فريد لحاصل ضرب عددين نسبيين. وهذه العمليات الثلاث رائعة من حيث أنها تلبي 13 خاصية أساسية. مرة أخرى، هذه الخصائص الـ 13 هي المثالية الموجودة في مجموعة الأعداد النسبية. ما هي هذه الخصائص؟ المجموعة الأولى من الخصائص تتعلق بعملية المقارنة. الخاصية الأولى تتعلق بترابط المقارنة. إذا كان A > B و B > C، فإن A > C. إذا كان A = B و B = C، فإن A = C. هذا صحيح لأي A، B، C نسبية. هذا مرة أخرى هو ترابط عملية المقارنة. المجموعة التالية من الخصائص تتعلق بعملية الجمع. A + B = B + A (التبادلية). الخاصية الثالثة: التجميعية للجمع. (A + B) + C = A + (B + C). الخاصية الرابعة: العنصر المحايد لعملية الجمع. يوجد عنصر في مجموعة الأعداد النسبية، نسميه الصفر، بحيث لأي A، A + 0 = A. العنصر المحايد للجمع. إضافة هذا العنصر إلى أي عنصر آخر لا يغير فعليًا مصير العملية. والخاصية الخامسة: العنصر المعاكس. لأي عدد نسبي A، يوجد A' نسبي أيضًا بحيث A + A' = 0، حيث 0 هو العنصر المحايد لعملية الجمع. A' هو العنصر المعاكس. في الواقع، نحن نعلم أن هذا هو ببساطة -A. المجموعة التالية من الخصائص، بالمثل، تتعلق بعملية الضرب. التبادلية للضرب: A * B = B * A. التجميعية للضرب: (A * B) * C = A * (B * C). العنصر المحايد لعملية الضرب. يوجد عنصر يسمى الواحد، بحيث لأي عدد نسبي A، A * 1 = A. العنصر الذي لا يغير العدد عند ضربه فيه. هذه الخصائص مماثلة تمامًا للخصائص 2-4 للجمع. أما الخاصية التاسعة، فهي تشبه الخاصية الخامسة للعنصر المعاكس، ولكن هناك فارق بسيط. بمعنى ما، عملية الضرب ثانوية بالنسبة لعملية الجمع. كيف؟ لأي عدد نسبي A، باستثناء العنصر المحايد لعملية الجمع (أي الصفر)، يوجد عدد نسبي A' بحيث A * A' = 0 (العنصر المحايد لعملية الضرب). نعني العنصر المعاكس من مجموعة الأعداد النسبية. لذلك، عملية الضرب تختلف قليلاً عن عملية الجمع، فهي تلعب دورًا ثانويًا صغيرًا. يبدو أن هذه أشياء واضحة وبديهية. كيف يمكن أن يكون الأمر بخلاف ذلك؟ ولكن عند النظر إلى كائنات أكثر تعقيدًا، على سبيل المثال، في دورة الجبر، تبدأ على الفور في دراسة المصفوفات، وهناك أيضًا، في مجموعة المصفوفات، تُعرف العمليات، على الأقل الجمع. لا توجد مقارنة كاملة، ولكن هناك الجمع والضرب. وتنشأ أسئلة: هل هناك تبادلية؟ ويتضح أنه فيما يتعلق بالجمع، نعم، فيما يتعلق بالضرب، لا. وما هو العنصر المحايد؟ هناك سيكون ليس رقمًا، بل مصفوفة صفرية أو مصفوفة وحدة، وما إلى ذلك. وبعد ذلك، تحاول هذه الخصائص التعميم على مجموعات عشوائية، ليست بالضرورة مجموعات أعداد. على سبيل المثال، مجموعة الدوال المستمرة على المقطع [a, b]. ويمكن أيضًا تعريف عمليات الجمع والضرب هناك، وهناك المزيد من الأسئلة. هناك الخاصية التاسعة، على سبيل المثال، قد لا تتحقق، وما إلى ذلك. لذلك، مرة أخرى، نحن الآن ننظر إلى مجموعة جيدة جدًا بمجموعة مثالية من الخصائص التي تتحقق فيها جميعها. المجموعة التالية من الخصائص تربط بين عمليات الجمع والضرب. الخاصية العاشرة تربط بين عمليات الجمع والضرب: A + B * C = A * C + B * C (قانون التوزيع). الخاصية التالية تربط بين عمليات المقارنة والجمع. إذا كان A > B، و A خذ أي عدد C من مجموعة الأعداد النسبية، فإن A + C > B + C. الخاصية التالية تربط بين عمليات المقارنة والضرب. إذا كان A > B، وخذ أي C > 0، فإن A * C > B * C. أو أخيرًا، الخاصية الـ 13: مسلمة أرخميدس. تبدو تقريبًا كالتالي: لأي عدد نسبي A، يمكن أخذ العنصر المحايد لعملية الضرب، أي الواحد، كحد مكرر عدة مرات بحيث يتجاوز المجموع العدد A. مع الأخذ في الاعتبار أننا نفهم ما هي المجموعة، إذا أخذنا الواحد كحد عدة مرات، فسنحصل على أعداد طبيعية. لذلك، في الواقع، تولد مسلمة أرخميدس في حالتنا ما يلي: لأي عدد A، يوجد عدد طبيعي N بحيث N > A. إذن، حصلنا على عالم مثالي، حيث يتحقق كل شيء. ولكن في هذا العالم المثالي، لا يتم حل العديد من المشاكل. أبسط مثال: يمكننا تحديد ما هو مربع عدد نسبي (حاصل ضرب عدد في نفسه). ونحل المشكلة العكسية: نحاول تحديد الجذر التربيعي لعدد نسبي. ويتضح أن الجذر التربيعي ليس محددًا لكل عدد نسبي. في المدرسة، كان من السهل إثبات أن الجذر التربيعي لـ 2 ليس عددًا نسبيًا. في السابق، عندما كانت هناك امتحانات قبول شفهية في الرياضيات في الجامعات، وخاصة في كلية الرياضيات الحاسوبية وتقنيات المعلومات، كان هذا أحد الأسئلة الكلاسيكية: أثبت أن الجذر التربيعي لـ 2 ليس عددًا نسبيًا. لذلك، يتعين علينا توسيع مجموعة الأعداد النسبية أكثر لحل فئة جديدة من المشاكل، وخاصة استخراج الجذور، أو ربما القيام بشيء آخر. كيف يتم ذلك؟ هناك العديد من الطرق لتحديد مجموعة أوسع من مجموعة الأعداد النسبية. على سبيل المثال، هناك طريقة لتحديد هذا التوسع من خلال ما يسمى بفواصل ديديكند. الأمر يتعلق بما يلي: لدينا، سأصور مجموعة الأعداد النسبية بشكل تقريبي، هكذا، كبيرة. نقسمها إلى جزأين: Q1 و Q2، بحيث لأي q1 ينتمي إلى Q1، ولأي q2 ينتمي إلى Q2، فإن q1 < q2. وفي الوقت نفسه، اتحاد هذين المجموعتين يعطي مجموعة الأعداد النسبية بأكملها. يمكننا تقسيم مجموعة الأعداد النسبية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، إلى أعداد سالبة وغير سالبة، أو إلى أعداد أكبر من أو تساوي الواحد وأقل من الواحد. أو يمكننا تقسيمها بحيث Q2 هي الأعداد q التي q^2 > 2، و Q1 هي الأعداد التي إما سالبة أو q^2 < 2. إذن، مع كل هذا التقسيم، نربط المكان الذي تم فيه تقسيم هذه المجموعات. وكل تقسيم يحدد لنا كائنًا جديدًا. على وجه الخصوص، يمكن ربط هذا التقسيم بكائن ما مربعه يساوي اثنين، وهذا الكائن غير موجود في مجموعة الأعداد النسبية. فواصل ديديكند هي إحدى طرق تحديد مجموعة الأعداد الحقيقية. هناك طرق أخرى. ولكن بعد فترة قصيرة، سنتعرف على مفهوم المتتاليات المتقاربة، ومفهوم المتتاليات الأساسية، ويمكن ربط جميع المتتاليات الأساسية المكونة من أعداد نسبية بالأعداد الحقيقية. طريقة أخرى. نحن في كلية الرياضيات الحاسوبية وتقنيات المعلومات، أشخاص قريبون من الكمبيوتر. لذلك، نستخدم طريقة أخرى لتحديد الأعداد الحقيقية. إذن، العدد الحقيقي هو الكائن التالي: علامة زائد أو ناقص، عدد صحيح غير سالب X0، A1، A2، A3، ...، AN، وهكذا إلى ما لا نهاية. مجموعة من الأرقام Ai، حيث i تأخذ جميع الأعداد الطبيعية الممكنة. A هي في الواقع رقم، عنصر من مجموعة 0، 1، 2، ...، 9. في الواقع، نحن نتحدث عن كسر عشري لا نهائي. ولكن، أحذركم على الفور، يبدو أن لدينا وقتًا لاستراحة قصيرة. عندما تُجرى المحاضرات الحضورية، يتم أخذ استراحة في هذا الوقت. إذن، هل يجب أن نأخذ استراحة لمدة 3 دقائق، أم ننهي قبل 5 دقائق؟ ثم سننظر في الأسئلة. سننهي قبل 5 دقائق. هيا بنا، سننهي قبل 5 دقائق. حسنًا، دعونا ننهي قبل 5 دقائق. سأرى الأسئلة في الدردشة، وسنجيب عليها. سننهي قبل 5 دقائق ونتحدث. إذن، العدد الحقيقي هو كسر عشري لا نهائي. ولكن هناك فارق بسيط. كسر عشري لا نهائي. 0.00000... لا نعتبره عددًا موجبًا أو سالبًا. نحدد إيجابية أو سلبية العدد بناءً على العلامة التي تسبق العدد. حسنًا، علامة الزائد عادة لا نضعها، ولكن علامة الناقص نضعها بالتأكيد. لذلك، نحدد إيجابية أو سلبية العدد الحقيقي بعلامته، وليس من خلال عملية المقارنة مع الصفر، والتي لا تزال غير موجودة لدينا. لقد عرفنا فقط شكل العدد. النقطة التالية: نحن نريد توسيع مجموعة الأعداد النسبية إلى مجموعة جديدة. هذا يعني أن الأعداد النسبية يجب أن تُغمر داخل المجموعة الجديدة. السؤال: إذا كان لدينا كسر نسبي M / N، فكيف نحوله إلى عدد حقيقي ± X0. A1، A2، ...، AN، ...؟ الطريقة بسيطة: نقسم M على N عموديًا. ولكن مع...
علامة معروفة، مفهومة. إذا كانت m ذات علامة سالبة، فهي علامة ناقص. إذا كانت m ذات علامة موجبة، فهي علامة زائد. إذا كانت m تساوي صفرًا، فستكون 0. وجميع الأصفار نأخذها ونقسمها على n قسمة مطولة، ولدينا خيارات ممكنة: إما أن نحصل على كسر عشري دوري لا نهائي، أو نحصل على كسر عشري منتهٍ. السؤال هو كيف نحول الكسر العشري المنتهي إلى كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال، العدد 1/2 هو 0.5. إلى ماذا نحوله؟ ولكن أبسط نهج، حسنًا، ما الذي نفكر فيه؟ وضعنا سلسلة لا نهائية من الأصفار وحصلنا على كسر عشري لا نهائي، والذي نربطه بعدد نسبي. الآن سأكتب وأمسح التسجيلات، على الرغم من أن هذا سيبقى. بعض الاعتبارات ليست رياضية، ولكنها تدفع إلى التفكير. لدينا هنا ثلث، وهو 0.333 وهكذا. نريد ضرب هذا. حسنًا، ظهر تسجيل في الدردشة، نعم، هذا هو ما نذهب إليه. إلى ماذا نضرب هذا؟ نضرب في 3. من ناحية، نأخذ هذا التركيب ونضربه في 3، ونرغب بشدة في كتابة 0.99999 وهكذا. من ناحية أخرى، إذا ضربنا 1/3 في 3، فيجب أن نحصل على واحد، أي 1.0000 وهكذا. السؤال هو: هل نحصل على كائنات مختلفة عند الضرب؟ نتفق على أن هذا هو شكلان بديلان لتسجيل نفس العدد. نحن لا نثبت أن هذين العددين متساويان، بل نعتبر ذلك تعريفًا. إذا كان لدينا كسر عشري منتهٍ a0، a1، وهكذا، an، مع التأكيد على أنه كسر منتهٍ، فلديه شكلان للتسجيل. إذا كانت an لا تساوي صفرًا، أي أننا توقفنا عند العلامة الأخيرة، وهي بطبيعة الحال ليست صفرًا، فيمكننا كتابة هذا العدد كـ a0، a1، وهكذا، an، ثم نضع صفرًا. ويمكننا أيضًا كتابة هذا العدد بنفس الطريقة، عن طريق تقليل العلامة الأخيرة بواحد، لحسن الحظ أنها ليست صفرًا، لذلك يمكننا تقليلها بواحد، ثم كتابة سلسلة لا نهائية من التسعات. مرة أخرى، أؤكد، نحن نقبل هذا كتعريف، وأن هذين شكلين بديلين لتسجيل نفس العدد. أي أن هذين الكسرين العشريين اللا نهائيين متكافئان بحكم التعريف. المساواة. هنا سنضع أحيانًا هذا الرمز. إذا وضعنا علامة المساواة وكتبنا فوقها ثلاثة أحرف "د.ك."، فهذا يعني المساواة بحكم التعريف، ولا داعي لإثباتها. لقد اتفقنا ببساطة على أن هذه الكائنات نعتبرها شيئًا واحدًا. لماذا تم إدخال هذا التعريف؟ حسنًا، لأسباب مختلفة، من أجل الراحة. أما بالنسبة لإثبات الضرب، ففي الدردشة سأقول على الفور: لماذا هذه الاستدلالات، أننا ضربنا في 3 وحصلنا على هذه، هذه الاستدلالات معقولة، لكنها ليست إثباتًا. لسبب بسيط: نحن لا نعرف حتى الآن ما هو الكسر العشري اللا نهائي مضروبًا في شيء ما. لم نضع تعريفًا لضرب الأعداد الحقيقية، أي ضرب الكسور العشرية اللا نهائية. بمثال واحد، قد يبدو لنا أننا نعرف كيف نضرب هذا الكسر اللا نهائي في هذا العدد المحدد، ولكن لا يوجد تعريف عام لما يعنيه ضرب عددين، أحدهما كسر عشري لا نهائي. لا يوجد لدينا هذا التعريف. لذلك، فإن جميع الاستدلالات حول أننا سنضرب في شيء ما ونرى، غير صحيحة بالضبط في هذه النقطة. هذا يدفعنا إلى التعريفات، ولكنه ليس إثباتًا صارمًا. في المستقبل، سنثبت بعض الخصائص البسيطة للأعداد الحقيقية، وخاصة أنه بين أي عددين حقيقيين مختلفين، بالضبط مختلفين، سيوجد على الأقل عدد ثالث مختلف عنهما. أي بين أي عددين، يمكن وضع عدد آخر. حسنًا، بين هذين العددين، لا يمكن وضع أي كسر عشري لا نهائي ثالث جديد. هذا هو السبب الذي يدفعنا أيضًا إلى اعتبار هذين الكائنين شيئًا واحدًا، عددًا حقيقيًا له ببساطة أشكال تسجيل بديلة. مجموعة مثل هذه الكائنات ضئيلة جدًا. هذه فقط تلك التي جاءت من الكسور العشرية المنتهية. ومع ذلك، فيما يتعلق بها، يجب تقديم هذا التحفظ، وهو أنها شيء واحد، وأن لها أشكال تسجيل بديلة. الآن بعد أن أدخلنا الأعداد الحقيقية، نحتاج إلى إدخال ثلاث عمليات أساسية على مجموعة الأعداد الحقيقية، وسنبدأ بعملية المقارنة. عملية المقارنة على مجموعة الكسور العشرية اللا نهائية ليست معقدة. إذا كان لدينا عددان a و b من مجموعة الأعداد الحقيقية، فسنرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالحرف R من الكلمة الإنجليزية "real" (حقيقي). a هو ± x0.a1.a2. وهكذا، و b هو عدد حقيقي. الخطوة الأولى: إذا كانت هناك حاجة، نحول العددين إلى أحد الأشكال، على سبيل المثال، إلى شكل يحتوي على سلسلة لا نهائية من الأصفار، إذا كانت هناك حاجة. أو بطريقة أخرى، نتأكد من أن العددين ليسا شكلين بديلين لتسجيل نفس العدد. تأكدنا من أنهما ليسا شكلين بديلين. عندما يكون العددان a و b متساويين، إذا تطابقت العلامات، a0 = b0، a1 = b1، وهكذا إلى ما لا نهاية، أي أن التسجيلات في شكل كسر عشري لا نهائي لهذين العددين تطابقت، جميع العلامات متطابقة، فهذا يعني أنهما نفس العدد. منطقي، باستثناء اتفاق مرة أخرى، أن هذه ليست أشكالًا بديلة. إذا كانت a ≠ b، فهذا يعني أن شيئًا ما قد انكسر في مكان ما بين هذه المساواة. ثم لدينا خيارات. الحالة الأولى: b ≥ 0، a ≥ 0. انتبه إلى هذا التسجيل. يبدو أن الأمر يتعلق بمقارنة a و b. في الواقع، هذا ليس كذلك. هذا التسجيل يعني الآن أن a عدد غير سالب و b عدد غير سالب. ليس لدينا بعد عملية مقارنة مع الصفر. ليس لدينا عملية مقارنة على الإطلاق. نحن ننظر فقط إلى علامة العدد a ونرى أنه زائد، أو أن a هو سلسلة من الأصفار، و b إما علامة زائد أو سلسلة من الأصفار. ثم، نظرًا لأن سلسلة المساواة قد انقطعت، نجد أنفسنا في الوضع التالي: a0 = b0، a1 = b1، حتى علامة معينة n-1 كانت هناك مساواة، وفي مكان ما انكسرت لأول مرة، أؤكد، لأول مرة. ثم، إذا كانت an > bn، نقول أن a > b. إذا كانت an < bn، نقول أن a < b. وهكذا، فإن عملية مقارنة الأعداد غير السالبة من نفس العلامة بسيطة: نقارن بشكل متسلسل أولاً الأجزاء الصحيحة، ثم العلامة الأولى بعد الفاصلة، الثانية، الثالثة، الرابعة، حتى نصل إلى المكان الأول الذي يحدث فيه الاختلاف. قد لا يكون في الجزء الصحيح. إذا كانت a0 ≠ b0، وحيث حدث عدم المساواة لأول مرة، نقارن العددين a و b. من فاز؟ العلامات بعد الفاصلة. هذا هو الأكبر. الحالة الثانية: a و b أعداد سالبة. سنقدم مفهوم القيمة المطلقة للعدد a. a = ± x0.a1.a2. وهكذا. سنفهم بالقيمة المطلقة للعدد عددًا حقيقيًا له نفس الجزء الصحيح مثل a وجميع العلامات بعد الفاصلة، ولكن بالضرورة علامة زائد. لذا، إذا كان لدينا عددان سالبان، فنحن نعرف كيف نقارن قيمهما المطلقة، وهي أعداد غير سالبة. إذا كانت |a| > |b|، فنحن نعتبر أن a < b. وإذا كانت |a| < |b|، فنحن نعتبر أن a > b. وهكذا، تعلمنا مقارنة الأعداد السالبة. السؤال لم يكن واضحًا تمامًا، ولكن سنتعامل معه لاحقًا. وأخيرًا، الحالة الثالثة: أحد العددين، على سبيل المثال a، أكبر من أو يساوي صفرًا، والعدد الآخر b سالب. ثم نعتبر أن a > b. وهكذا، نظرنا في جميع الحالات الممكنة: إما كلا العددين بعلامة زائد، أو كلاهما بعلامة ناقص، أو أحدهما بعلامة زائد والآخر بعلامة ناقص. وهكذا، أدخلنا عملية المقارنة لمجموعة الأعداد الحقيقية. ثم نثبت خصائص عملية المقارنة. الخاصية الأولى: التعدي. لدينا خاصية واحدة فقط فيما يتعلق بعملية المقارنة. الحالة الأولى: إذا كانت a = b و b = c، فإن a = c. في الواقع، يمكن القول أن هذا يتبع من التعريف. إذا عدنا إلى تعريف المساواة، فهذا يعني تطابق جميع علامات العددين a و b. وتطابق b و c يعني تطابق جميع علامات b و c. حسنًا، هذا يعني تطابق جميع علامات العددين a و c. بكتابة سلسلة لا نهائية من العلامات، أولاً بين a و b، ثم بين b و c، ننتقل إلى المساواة بين a و c. أي أن a = b = c. وهذا يعني مساواة العددين a و c. الجزء الثاني أكثر إثارة للاهتمام: تعدي عدم المساواة. إذا كانت a > b و b > c، فيجب أن نثبت أن a > c. سنثبت هذه الخاصية بالاعتماد على التعريف الذي قدمناه. أريد أن أؤكد على أهمية صحة ودقة التعريفات في الرياضيات. إذا تم تقديم التعريفات في المدرسة، فكان يُعتقد أنها تُعطى لسبب ما، للسؤال في الامتحان، لاختبار، لشيء ما ليتعلمه الطلاب. في الواقع، إنها ليست كذلك. بل بالاعتماد على التعريف يمكن إثبات خصائص معينة. لذلك، فإن صحة ودقة التعريفات مهمة للغاية. إذا كان التعريف غير دقيق قليلاً، وغير صحيح قليلاً، فسيتم تضمين كائنات غير ضرورية تحته، أو لن يتم تضمين الكائنات الضرورية، ولن نتمكن من إثبات التأكيدات المقابلة. لذلك، ألفت الانتباه فورًا إلى دقة وصحة صياغة التعريفات. سنثبت الآن تعدي عملية المقارنة فيما يتعلق بعدم المساواة. سننظر في ثلاث حالات. الحالة الأولى: c ≥ 0، عدد غير سالب. بحكم التعريف الذي أدخلناه، إذا كانت b > c، فإن b لا يمكن أن تكون سالبة، وإلا لكانت أصغر من c. لذلك، b أيضًا عدد غير سالب. وبما أن a > b، فإن a أيضًا عدد غير سالب. لذلك، نحن نتعامل مع ثلاثة أعداد غير سالبة. كلها كسور عشرية لا نهائية بعلامة زائد. لذلك، a0 = b0، a1 = b1، وهكذا، حتى an-1 = bn-1. ولكن في مكان ما، تفوق علامة العددين b و c. وبالمثل، b0 = c0، b1 = c1، حتى علامة معينة bm-1 = cm-1. ولكن bm > cm. m و n هما عددان طبيعيان أو صفر. إذن، يمكننا تحديد الرقم k، وهو الحد الأدنى من الأرقام m و n. من بين عددين صحيحين غير سالبين، يمكننا دائمًا تحديد الحد الأدنى. ثم، مع الأخذ في الاعتبار أن a0 = b0 و b0 = c0، نحصل على أن a0 = c0. وبالمثل، a1 = c1، وهكذا، حتى ak-1. علامات a و c متطابقة. ولكن ak ≥ bk و bk ≥ ck. على الأقل أحد العلامات صارمة. اخترنا k كأصغر رقم تكون فيه عدم المساواة صارمة. في هذه الحالة، إذا كان m و n متساويين، فإن كلا العلامتين صارمتين. وإذا كان m و n غير متساويين، ففي مكان واحد لدينا مساواة، وفي مكان آخر عدم مساواة صارمة. ولكن في كلتا الحالتين، هذا يعني أن ak > ck. وإذا نظرنا إلى ما حصلنا عليه، فقد حصلنا على سلسلة من المساواة التي تنقطع بعدم مساواة صارمة. وهذا هو التعريف: a > c. وهكذا، أثبتنا تعدي عدم المساواة للحالة التي تكون فيها جميع الأعداد الثلاثة غير سالبة. الحالة الثانية: a < 0. يمكن القول أن a ≤ 0. ثم بالضرورة b < a، وبالتالي b < 0. و c < b، وبالتالي c < 0. إذن، نحن نتعامل مع ثلاثة أعداد سالبة. لذلك، لمقارنتها، نحتاج إلى النظر في قيمها المطلقة. |a| < |b| و |b| < |c|. يمكننا تطبيق البند 1 لمقارنة الأعداد الموجبة: |a| < |b| و |b| < |c|. وبالتالي، |a| < |c|. مع الأخذ في الاعتبار أن هذه أعداد سالبة، فإن العلاقة بين قيمها المطلقة تعني أن a > c. وهكذا، أثبتنا التعدي للحالة التي تكون فيها جميع الأعداد الثلاثة سالبة. وأخيرًا، الحالة الثالثة: a ≥ 0، c < 0. إذن، لا نحتاج إلى مقارنة b. a > c. أي أن لدينا a في المنطقة الموجبة، و c في المنطقة السالبة. لقد أثبتنا ذلك. إذا كان a في المنطقة الموجبة، و c في المنطقة السالبة، فـ a > c. وهكذا، أكملنا إثبات تعدي عملية المقارنة، مع الأخذ في الاعتبار كيفية تعريفها. المقارنة المتسلسلة للعلامات بعد الفاصلة. الآن لدينا أداة مثل عملية المقارنة، ويمكننا على الأقل صياغة عبارة أساسية تميز مجموعة الأعداد الحقيقية عن مجموعة الأعداد النسبية. لهذا، سنحتاج إلى تعريف. سنقدم مفهوم المجموعة المحدودة. نفترض أننا نفهم ما هي المجموعة. ليكن x مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية. إذن، المجموعة x محدودة من الأعلى أو من الأسفل، على التوالي، فقط إذا كان هناك عدد x* علوي أو على التوالي، يوجد عدد x* سفلي بحيث أن لجميع العناصر x من المجموعة x، x ≤ x* علوي أو على التوالي، x ≥ x* سفلي. المجموعة محدودة من الأعلى إذا وجد عدد حقيقي x* بحيث أن x* ≥ x لجميع عناصر المجموعة x. x* يسمى الحد العلوي للمجموعة x. وبالمثل، x* سفلي يسمى الحد السفلي. أمثلة بسيطة: المجموعة x هي الفترة (0، 1). التسجيلات مفهومة، آمل. العدد x* = 7 هو حد علوي لـ x. x* = 117 هو أيضًا حد علوي لـ x. x* = 1 هو أيضًا حد علوي لـ x. هناك عدد لا نهائي من الحدود العليا للمجموعة. إذا كان عدد ما x* حدًا علويًا، فإن أي عدد أكبر منه هو أيضًا حد علوي. أي، يتعلق الأمر بنوع من القيود من الأعلى. وبالمثل، x* سفلي = -115 هو حد سفلي. x* = 0 هو أيضًا حد سفلي. هناك أيضًا عدد لا نهائي من الحدود السفلى. مرة أخرى، الحد العلوي هو عدد أكبر من أي عنصر في المجموعة. الحد السفلي هو عدد أصغر من أو يساوي أي عنصر في المجموعة. الفترة (0، 1) هي مجموعة محدودة من الأسفل ومن الأعلى. المجموعة x هي ببساطة محدودة إذا كانت محدودة من الأعلى ومن الأسفل. الفترة (0، 1) هي مجموعة محدودة من الأعلى ومن الأسفل. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية محدودة من الأسفل. على سبيل المثال، يمكن أخذ -10 كحد سفلي. ولكنها غير محدودة من الأعلى. أي لا يوجد عدد حقيقي يكون أكبر من جميع الأعداد الطبيعية الممكنة. ليست كل مجموعة محدودة. هذه المجموعة غير محدودة من الأعلى. غير محدودة من الأعلى. ليست محدودة من الأعلى. المجموعة Z غير محدودة من الأعلى. غير محدودة من الأسفل. لا توجد أعداد تحد من الأعلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الممكنة. مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الممكنة محدودة من الأسفل. تعرفنا على مفهوم الحد. ولكننا نرى أن هناك العديد من الحدود العليا، عدد لا نهائي. ولكن من بينها، هناك أصغر حد علوي. ونصل إلى المفهوم الأساسي: الحد العلوي الدقيق. ليكن المجموعة x محدودة من الأعلى. يسمى العدد x̄ supr(x) أو الحد العلوي الدقيق للمجموعة x إذا كان هذا هو أصغر الحدود العليا. ولكن هذا ليس تعريفًا بنائيًا. سنقدم تعريفًا يسهل التعامل معه بنائيًا. العدد x̄ هو الحد العلوي الدقيق للمجموعة x إذا تحققت الشروط التالية: 1. لأي x من المجموعة x، x ≤ x̄. الشرط الأول يقول أن x̄ هو أحد الحدود العليا. 2. لأي x' حقيقي، x' < x̄، يوجد x من المجموعة بحيث أن x > x'. ترجمة لغة الكميات إلى اللغة الروسية: حاول أن تأخذ أي عدد x' أقل من x̄. حاول تقليل أصغر الحدود العليا. لن يكون هناك شيء جيد. لأي عدد x' < x̄، يوجد عنصر واحد على الأقل من المجموعة يتجاوز x'. أي أن أي عدد x' < x̄ ليس حدًا علويًا. الشرط الأول: x̄ هو أحد الحدود العليا. الشرط الثاني: أي x' < x̄ ليس حدًا علويًا. وهذا بالفعل تعريف بنائي للحد العلوي الدقيق. وبالمثل، يمكن تقديم تعريف للحد السفلي الدقيق. ليكن المجموعة x محدودة من الأسفل. يسمى العدد x̄ inf(x) الحد السفلي الدقيق للمجموعة x إذا تحققت الشروط التالية: 1. لأي عنصر x من المجموعة x، x ≥ x̄. هذا هو أحد الحدود السفلى. 2. محاولة زيادة الحد السفلي لن تؤدي إلى نتائج جيدة. لأي عدد حقيقي x' > x̄، يوجد على الأقل عنصر واحد x من المجموعة بحيث أن x < x'. وهكذا، قدمنا تعريف الحدود الدقيقة: أصغر الحدود العليا أو أكبر الحدود السفلى. بالعودة إلى الأمثلة: المجموعة x هي الفترة (0، 1). الحد العلوي الدقيق لهذه المجموعة موجود وهو 1. 1 هو بالفعل أحد الحدود العليا لهذه الفترة. ولكن إذا أخذنا x' < 1، فسيوجد عدد x في مجموعتنا سيكون أكبر من x'. أي، بين x' و 1، سيكون هناك على الأقل عنصر واحد من المجموعة. إذن، 1 هو الحد العلوي الدقيق. الحد السفلي الدقيق سيكون 0. الوضع مماثل. أود أن ألفت الانتباه إلى أن 0 و 1 لا ينتميان إلى المجموعة نفسها. دعنا ننظر إلى المجموعة x هي القطعة [0، 1]. هذه أيضًا مجموعة محدودة، وهنا أيضًا supr(x) = 1، وهو ينتمي إلى المجموعة. inf(x) = 0، وهو ينتمي إلى المجموعة. بالعودة إلى الشريحة السابقة، هنا supr(x) لا ينتمي إلى المجموعة، و inf(x) لا ينتمي إلى المجموعة. ما هو supr(x)؟ في الأساس، هذه هي خيارات محسنة للحد الأقصى والحد الأدنى. بالعودة إلى المثال السابق، في الفترة (0، 1) لا يوجد عنصر أقصى أو أدنى. ولكن supr و inf موجودان. إذا كانت المجموعة تحتوي على عناصر قصوى ودنيا، فإن supr و inf سيكونان هما الحد الأقصى والحد الأدنى للمجموعة. هذا هو الاختلاف الأساسي بين مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعة الأعداد النسبية. النظرية الأساسية التي سنثبتها في المرة القادمة هي أن المجموعات المحدودة من الأعداد الحقيقية لها supr و inf بالضرورة. في الأعداد النسبية، قد لا توجد supr و inf. مجموعة الأعداد النسبية لا تمتلك هذه الخاصية. ولكن مجموعة الأعداد الحقيقية، التي بنيناها، تمتلك هذه الخاصية. هذا هو اختلافها الأساسي عن مجموعة الأعداد النسبية. ولكن هذه النظرية سنثبتها في المرة القادمة. أما بالنسبة لليوم، فقد انتهت المادة الأساسية. حسنًا، الآن حان وقت الأسئلة. يمكنكم النظر في الدردشة، أو طرح الأسئلة صوتيًا. نعم، مرحبًا. ماذا يمكنك أن تقول عن التحليل غير القياسي؟ عن التحليل غير القياسي؟ يُفهم هذا بطرق مختلفة، لأنه يستخدم أعدادًا متناهية الصغر وأعدادًا حقيقية. حسنًا، الأعداد الدورية لدينا، بطريقة ما، تنشأ كنوع من الخيارات بين الكسور العشرية اللا نهائية. يمكن أن تكون الكسور العشرية اللا نهائية دورية أيضًا. أما بالنسبة للأعداد المتناهية الصغر، فنتحدث الآن عن الأعداد الحقيقية وسننتقل مباشرة إلى دراسة المتتاليات، وخاصة دراسة المتتاليات المتناهية الصغر. نعم، سنواجه وصفًا، وخاصة المتتاليات الأساسية. ويمكن، كما قلت، إدخال الأعداد الحقيقية كمتتاليات أساسية. أي، المتتالية الأساسية هي خاصية. سنصيغها لاحقًا، بعد حوالي 3-4 محاضرات، ونربطها بأعداد حقيقية معينة. خاصية الأساسية بنائية ويمكن أن تؤدي إلى التقارب إلى أعداد حقيقية. وهي تؤدي إلى التقارب إلى أعداد حقيقية. سنقدم المتتاليات الأساسية المتقاربة، بالاعتماد على الأعداد المتناهية الصغر. لذلك، فإن دراسة المتتاليات المتناهية الصغر أمر ضروري. من حيث المبدأ، يمكن. أما بالنسبة للأشكال البديلة، ففي بعض الكتب المدرسية يتم النظر فيها. في كتابنا المدرسي، لا نحتاج إليها. في فصلنا الدراسي، لن نتوقف بالتفصيل عند هذا. هل هناك أسئلة أخرى؟ سأنظر الآن في الدردشة. حسنًا، هنا، ما هو العدد المتناهي الصغر؟ ظهر هذا في الدردشة. هذا غير مفهوم. ما هي المتتاليات المتناهية الصغر؟ نعم. ولكن يمكن ربطها بالأعداد. ولكن ما هو العدد المتناهي الصغر؟ إضافة عدد متناهي الصغر إلى عدد حقيقي هي عملية غير واضحة تمامًا. كيف يمكن مقارنة عناصر من طبيعة مختلفة، من مجموعات مختلفة؟ يمكننا تحديد عملية الجمع على مجموعة واحدة. ولكن ما هو مقارنة عدد ومتتالية؟ ليس واضحًا تمامًا. فيما يتعلق بالتحليل غير القياسي، فيما يتعلق بالرموز، المجموعات، وما إلى ذلك، نستخدم أشياء قياسية. بالطبع، x ينتمي إلى المجموعة. الحديث يدور عن أن العنصر من المجموعة، أو x' ينتمي إلى المجموعة. حسنًا، x' هي مجموعة جزئية، وبالتحديد، يمكن أن تكون مجموعة جزئية تتكون من عنصر واحد، x. لذلك، الرموز، مثل هذا الرمز، أو هذا، تستخدم تقليديًا. واحد للعناصر، والثاني للمجموعات الجزئية. سنتحدث قليلاً عن نظرية المجموعات، وعن العمليات على المجموعات، وعن التقاطع والاتحاد، وما إلى ذلك. نفترض أنها معروفة لك، مفهومة، ويمكنك التعامل معها. هنا، مفهوم الحد العلوي يشمل الحد الدقيق؟ نعم، الحد العلوي الدقيق هو أحد الحدود العليا. عناصر نظرية المجموعات، العمليات على المجموعات. العمليات على المجموعات ليست مهمة جدًا. ولكن سنتحدث عن عناصر نظرية المجموعات، لنتعرف على بعض المفارقات في نظرية المجموعات، لفهم المزيد عن الفرق بين مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعة الأعداد النسبية. أمثلة عندما تتكون المجموعة من عدد واحد. عندما يتطابق supr و inf. نعم، هذا ممكن. خصائص الأعداد النسبية. والشرط الثاني لتعريف supr و inf. السؤال 5. على سبيل المثال، دعنا نمسح هنا ما هو غير ضروري. حسنًا، كيف نجد supr و inf؟ لم نناقش هذا بعد. إنها عملية إبداعية. كل شيء يعتمد على مدى تعقيد المجموعة المعطاة. أي، السؤال هو كيفية البحث عن الحدود الدقيقة. هذه مهمة منفصلة. تمامًا مثل حل المعادلات. بعضها يُحل، وبعضها لا يُحل. أما بالنسبة لتعريف supr و inf مرة أخرى، على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية. سنثبت أن الحد السفلي الدقيق لمجموعة الأعداد الطبيعية هو واحد. إذا نظرنا إلى خط الأعداد، لدينا 1، 2، 3، 4، وهكذا. من الواضح أن واحدًا أصغر من أو يساوي أي عدد طبيعي. هذا هو الشرط الأول للتعريف. الشرط الثاني: خذ أي عدد حقيقي x' أكبر من واحد. خذ x' هنا. إذن، سيوجد عنصر من مجموعة الأعداد الطبيعية، على سبيل المثال، نفس الواحد، بحيث أنه يتجاوز x'. أو بالأحرى، سيكون أصغر من x'. لدينا inf. محاولة تحريك الحد السفلي قليلاً تؤدي إلى حقيقة أن شيئًا ما يقع خارج هذا الحد. إذا رسمنا الحد عند الواحد، فإن المجموعة بأكملها تقع هنا. وإذا حاولنا رسم الحد السفلي عند x'، فإن شيئًا ما سيقع خارج هذا الحد. x' هو مجموعة محدودة من الأسفل. هذا ما يقوله الشرط الثاني. محاولة تحريك الحد في اتجاه واحد أو آخر يؤدي إلى حقيقة أن شيئًا ما من المجموعة يقع خارج هذا الحد. نظرنا إلى الفترة (0، 1) وأظهرنا أن supr(x) = 1. محاولة تحريك الحد العلوي إلى النقطة x' والقول أن المجموعة بأكملها تقع هنا، أقل من x'، يؤدي إلى أخطاء. لأن هناك عنصرًا من المجموعة x سيكون أكبر من x'. نفقد جزءًا من المجموعة. هذا ما تقوله الشروط الثانية للتعريف. أما بالنسبة للعلاقة بين supr و inf وحدود المجموعة، فإن supr و inf هما حدود المجموعات العددية. وهذه المفاهيم لا يمكن نقلها إلى الفضاء R2، R3، أو فضاءات أخرى. هناك بالطبع يمكن إدخال مجموعات مختلفة، يمكن إدخال تعريفات الحدود، وما إلى ذلك. ولكن لا توجد مفاهيم supr و inf. لأنها تعتمد على عملية المقارنة. وعملية المقارنة تُدخل بشكل صحيح للمجموعات العددية. بالفعل في الفضاء ثنائي الأبعاد، ثلاثي الأبعاد، وما إلى ذلك، لا تحدث عملية المقارنة. علاوة على ذلك، سنعلن في النهاية أن مجموعة الأعداد الحقيقية هي الحد الأقصى حيث يمكن إجراء عمليات المقارنة والجمع والضرب بشكل صحيح. بشكل أساسي، يتعلق الأمر كله بالمقارنة. وحتى في مجموعة الأعداد المركبة، لا يمكن إدخال عملية المقارنة بشكل صحيح. لذلك، لا يتم تعريف supr و inf هناك. لأنها تعتمد مرة أخرى على عملية المقارنة. بالفعل، عندما نتحدث عن مجموعات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد أو فضاءات أخرى، لا تظهر مفاهيم supr و inf. هنا ظهرت أسئلة أخرى. هل يمكن أن تتكون المجموعة من عدد واحد؟ نعم، على سبيل المثال، مجموعة تتكون فقط من الصفر. لديها supr و inf، وهما يتطابقان مع هذا العنصر الوحيد. لا يمكن إجراء عملية المقارنة بشكل صحيح في R^n. هناك بالفعل R^2. مجموعة الأعداد الحقيقية هي أقصى مجموعة يمكن فيها إجراء جميع هذه العمليات بشكل صحيح. بمعنى، بشكل صحيح مع الحفاظ على جميع الخصائص الـ 13 الأساسية. يمكن إجراء عملية المقارنة بطريقة ما، ولكن تحقيق جميع الخصائص ليس ممكنًا. حسنًا، الأسئلة الأساسية قد تم استنفادها. حسنًا، إذن، نختتم محاضرة اليوم. سيتم نشر التسجيل في المستودع. كل التوفيق، ونراكم يوم الأربعاء هنا مرة أخرى. شكرًا لكم. شكرًا لكم.