Tir oblique: analyse de la trajectoire et résolution d'un exercice-type

Bonjour à toutes et à tous.

Voici, comme promis, une vidéo sur le tir parabolique.

Alors, je vais dans un premier temps vous expliquer la trajectoire, comment comprendre cette trajectoire parabolique, puis comment écrire des équations du mouvement et comment résoudre un exercice simple.

Voici un exemple de tir parabolique : il s'agit donc de molécules d'eau qui sont propulsées par un robinet et qui effectuent un tir parabolique comme ceci.

Si on souhaite étudier ce mouvement, évidemment, la première étape est de définir un référentiel. Les molécules d'eau, enfin les gouttelettes d'eau, vont se déplacer vers la droite dans un référentiel que j'appelle x, et également vers le haut dans un premier temps, puis vers le bas, ensuite dans un mouvement le long du référentiel que j'appelle y.

Le robinet donne une vitesse initiale aux molécules d'eau qui sont donc propulsées avec une vitesse qui possède cet angle d'inclinaison. Cette vitesse possède donc, dans notre référentiel xy, deux composantes : v0 composante horizontale, donc v0x, et v0 composante verticale, donc v0y.

Remarquez que dans notre référentiel, v0x est positive, composante scalaire positive, puisque dans le sens du référentiel. Élevé, v0y aura une composante scalaire positive également.

Pour faire l'étude d'un mouvement, il faut aussi bien évidemment étudier les forces. Si j'imagine une gouttelette d'eau dès qu'elle acquitte le robinet qui la propulse, elle part avec sa vitesse. La seule force à laquelle elle est soumise, si on oublie les forces de frottement, est la force gravitationnelle.

Dans notre référentiel, cette force gravitationnelle possède une composante scalaire négative et va communiquer une accélération à la gouttelette d'eau qui est vers le bas. Donc, dans notre référentiel, la gouttelette d'eau est ici le long du référentiel x. Si on oublie les forces de frottement, il n'y a aucune force. On pourra donc dire qu'il n'y a pas de force résultante le long du référentiel x.

Dès lors qu'il n'y a aucune accélération le long du référentiel x, cette composante de vitesse v0x restera constante partout le long du mouvement, quelle que soit la position de la gouttelette d'eau le long de sa courbe parabolique.

Si on réalise l'étude des forces selon le référentiel y, on voit que la seule force est opposée au référentiel. Elle possède donc une composante scalaire négative et donnera à la gouttelette d'eau, sur laquelle elle agit, une accélération le long du référentiel y.

Comme la force de pesanteur, c'est simplement la masse fois l'accélération gravitationnelle, on en déduit que l'accélération le long du référentiel y sera donc égale à moins ce facteur gravitationnel fixe, c'est-à-dire environ -10 mètres par seconde au carré, alors que normalement on apprend -9,81.

Ainsi, on a une accélération qui agit vers le bas et qui, dans un premier temps, va s'opposer à la composante verticale de la vitesse, alors qu'elle ne touche pas du tout la composante horizontale de vitesse.

Un petit peu plus tard, la goutte qui est partie d'ici à l'instant t égal à zéro se trouve ici. Après six centièmes de seconde, le vecteur vitesse est bien évidemment tangent à la trajectoire. Il possède une composante x qui est strictement la même que celle de départ, puisque il n'y a pas d'accélération le long du référentiel x, et une composante y qui est plus petite que celle de départ, puisque nous avons une accélération vers le bas qui s'oppose au vecteur vitesse vers le haut.

Quand la gouttelette d'eau atteint, après 25 centièmes de seconde, la composante verticale de vitesse est complètement annulée par cette accélération qui agit vers le bas, et la vitesse verticale est donc nulle. La vitesse à cet instant précis est intégralement orientée le long du référentiel x et elle vaut la vitesse de départ.

Un petit peu plus tard encore, après 35 centièmes de seconde par exemple, la gouttelette se trouve ici. Elle possède une composante horizontale de vitesse qui est toujours parfaitement la même que celle de départ, et une composante verticale de vitesse qui est cette fois orientée vers le bas, puisque entre le sommet et le point d'impact, au niveau du sommet, la vitesse verticale s'est annulée.

On a toujours une accélération qui est orientée vers le bas et qui va donc donner un vecteur vitesse verticale de plus en plus grand. Combiné avec la vitesse horizontale strictement constante, on a donc un vecteur vitesse total qui sera de plus en plus incliné vers le bas et de plus en plus grand.

En réalité, vous remarquerez que cette trajectoire n'est pas parfaitement parabolique. C'est parce qu'on ne peut pas négliger les forces de frottement. Ces gouttelettes d'eau sont expédiées à très grande vitesse, et elles frottent dans le fluide.

Si vous voulez retrouver l'explication, vous pouvez aller sur mon blog, où j'ai expliqué les frottements visqueux dans l'air et cette trajectoire parabolique un peu particulière liée au comportement de la couche limite. C'est ce qu'on appelle la crise de Trennt, qui est due à la viscosité de l'air.

Dans le secondaire, on n'aborde pas évidemment.

Alors, si on prend un exemple concret, on a une joueuse de tennis qui va frapper dans la balle à partir d'une hauteur de 2 mètres avec une vitesse initiale de 12 mètres par seconde. Donc ça, c'est la valeur de v0. Je peux dire que sa composante scalaire est de 12 mètres par seconde avec un angle de tir de 60 degrés.

Cette vitesse, dans le référentiel xy que l'on choisit, si on décide de prendre un référentiel y vers le haut et un référentiel x vers la droite, possède une composante horizontale dont la norme est donnée par 12 fois cosinus 60, puisqu'ici on a bien un angle de 60 degrés, et la composante verticale sera évidemment donnée par 12 fois sinus 60.

Faisons l'étude des forces qui agissent sur la balle. La seule force qui agit sur la balle, une fois qu'elle a quitté la raquette, si on oublie les forces de frottement, est une force qui agit le long du référentiel y, qui est orientée vers le bas et qui est donc opposée à notre référentiel y. C'est donc la force de pesanteur, avec une composante scalaire négative qui donnera à la masse de la balle une accélération le long du référentiel y.

Ceci étant égal à la masse fois le facteur gravitationnel, on en déduit que ay vaut -9,80 ou environ -10 mètres par seconde au carré.

Le long du référentiel x, on ne rencontre aucune force, puisque si on oublie le frottement, il ne peut donc y avoir aucune accélération le long du référentiel x.

On a donc un mouvement rectiligne uniformément accéléré verticalement et un mouvement rectiligne uniforme horizontalement.

Alors, on pose trois questions. D'abord, on s'intéresse à la hauteur maximale atteinte, c'est-à-dire un point qui est situé par ici. Ensuite, à la portée du tir, c'est-à-dire de combien de mètres la balle s'est déportée à ce point-ci. Et finalement, à la vitesse d'impact avec le sol, c'est-à-dire qu'on s'intéresse à ce même point.

On pourrait vous poser toutes sortes de questions par rapport à n'importe quel point de la trajectoire, et donc il est utile d'établir les équations du mouvement.

Le mouvement est donc composé d'un mouvement vers la droite, la balle se déplace vers la droite, et d'un mouvement vertical vers le haut puis vers le bas.

On peut dire que pour le mouvement horizontal, qui est donc le mouvement le long du référentiel x, la coordonnée x au cours du temps sera donnée par la coordonnée x à l'instant de départ plus la composante horizontale du vecteur vitesse à l'instant de départ multipliée par le temps.

Pour trouver ici l'équation d'un mouvement rectiligne uniforme, puisque le terme d'accélération n'existe pas, puisqu'il n'y a pas d'accélération le long du référentiel x. Donc on pourrait dire que si on mettait l'équation complète du mouvement, on aurait ceci : x(t) = v0x * t.

Donc, v0x = 12 fois cosinus 60, c'est-à-dire 6 m/s. À l'instant de départ, la balle est ici, à son instant de départ, sa coordonnée x est bien nulle, et on se retrouve donc avec x(t) = 6t.

C'est l'équation que je nomme numéro un, et c'est l'équation qui va décrire l'évolution de la coordonnée x de la balle au cours du temps.

On peut aussi dire que le vecteur vitesse va évoluer au cours du temps. La composante horizontale ne change pas, puisqu'il n'y a pas d'accélération. À tout instant, la composante horizontale du vecteur vitesse devra être égale à sa composante de départ, c'est-à-dire égale à 6 mètres par seconde. C'est l'équation que je note 2.

J'étudie maintenant le mouvement vertical. J'étudie la variation de la coordonnée y au cours du temps. La coordonnée y après un certain temps sera donnée par la coordonnée y à l'instant initial plus la composante y de la vitesse initiale fois le temps plus l'accélération le long du référentiel y fois t au carré divisé par deux.

Si je complète cette équation du mouvement, y(t) = y0 + v0y * t + (1/2) * ay * t².

On avait dit tout à l'heure que y0 était 0, donc y(t) = 0 + 12 fois sinus 60, ce qui nous donne 10,4, c'est une composante scalaire positive, puisque ce vecteur est bien dans le même sens que le référentiel, donc c'est une composante scalaire positive, plus l'accélération le long du référentiel y, qui est -10, donc -10 * t² / 2, autrement dit -5t².

J'obtiens ici l'équation du mouvement que je note 3, qui va me donner l'évolution de la coordonnée y de la balle au cours du temps.

Je peux également dire que la coordonnée verticale du vecteur vitesse va évoluer au cours du temps de la façon suivante : v(t) = v0y + ay * t, c'est-à-dire dans ce cas-ci, v(t) = 10,4 - 10t.

C'est l'équation que je note 4, qui va donc décrire l'évolution de la composante verticale du vecteur vitesse au cours du temps.

Donc, j'ai quatre équations qui me permettent à tout instant de caractériser la valeur de x au cours du temps, la valeur de y au cours du temps, la composante horizontale du vecteur vitesse au cours du temps et la composante verticale du vecteur vitesse au cours du temps.

Pour trouver les valeurs de chacun de ces quatre paramètres, il suffit de donner une valeur à t qui correspond à l'instant précis auquel la balle se trouve.

Alors, si on essaye de répondre à la première question : quelle est la hauteur maximale atteinte ? Quand la balle va atteindre le sommet, on l'a dit sur la précédente, v(y) = 0, parce que pendant toute l'ascension de la balle, l'accélération de pesanteur a diminué la composante scalaire de la vitesse verticale.

On sait que, au sommet, la composante scalaire de la vitesse verticale est égale à zéro. Je vais donc utiliser l'équation 4 dans laquelle je vais dire que je cherche cet instant t1, auquel v composante verticale, donc la composante verticale du vecteur vitesse, est nulle.

Je remplace ceci par 0 et j'obtiens 0 = 10,4 - 10t. C'est une équation du premier degré, je vais trouver facilement que cet instant vaut 10,4 / 10, c'est-à-dire 1,04 seconde.

Donc, la balle se trouve au sommet de sa trajectoire après 1,04 seconde. Si on me demande quelle est la hauteur maximale atteinte, je cherche donc à évaluer la valeur de y à cet instant.

La valeur de y est donnée à n'importe quel instant par l'équation 3. En prenant l'équation 3, dans laquelle je remplace la valeur de t par 1,04 seconde, je vais obtenir la valeur de y après 1,04 seconde.

Si vous faites le calcul, vous verrez que vous obtenez 7,4 mètres, qui correspondent bien à la valeur maximale, à l'altitude maximale atteinte par la balle.

La question suivante : quelle est la portée du tir ? Donc, la hauteur maximale a été atteinte après 1,04 seconde. La portée du tir correspond à un instant t2, qui est l'instant auquel la balle arrive ici. Quand la balle arrive ici, je ne connais pas sa valeur de x, c'est d'ailleurs ce qu'on me demande de trouver, puisque on me demande d'apporter du tir.

Par contre, je peux avoir accès à la valeur de y, puisque y = 0 dans mon référentiel. Je vais simplement l'exprimer dans l'équation 3, que y à cet instant précis vaut zéro.

Donc, l'équation 3 devient 0 = 10,4t - 5t². Vous voyez de suite qu'il s'agit d'une équation du second degré. Il suffit donc de calculer delta et d'en tirer deux racines.

On tire un premier temps qui correspond à -0,18 secondes et un second temps qui correspond à 2,26 secondes.

Alors, rappelez-vous simplement que vous travaillez avec un outil mathématique. Cette parabole est purement mathématique. Vous cherchez l'instant t pour lequel y = 0. Cette parabole possède deux moments pour lesquels y = 0.

Cet instant t1 correspondrait donc à un temps négatif qui, évidemment, physiquement n'existe pas. La balle se retrouve sur le sol après 2,26 secondes. Ce qu'on me demande, c'est la portée. Autrement dit, on me demande d'évaluer la valeur de x après 2,26 secondes.

Il suffit alors de reprendre cette première équation dans laquelle je remplace t par 2,26 secondes, et je trouve alors que la portée à cet instant vaut 13,6 mètres. On voit bien effectivement que la portée est entre 13 et 14 mètres.

La dernière question est : quelle est la vitesse d'impact avec le sol ? Quand la balle arrive ici sur le sol, quel que soit l'instant, vous savez que le vecteur vitesse est en ligne avec la trajectoire. Autrement dit, quand la balle va toucher le sol, au moment de l'impact, sa vitesse possède une orientation qui ressemble à ceci.

C'est donc à l'instant t2, que nous avons déjà trouvé, puisque nous savons que la balle entre en contact avec le sol après 2,26 secondes. Ce vecteur vitesse possède bien évidemment, dans notre référentiel, une composante horizontale et une composante verticale.

La composante horizontale, c'est simple, on sait qu'elle vaut toujours la même chose, puisqu'on sait qu'horizontalement il n'y a pas d'accélération et que donc la composante horizontale du vecteur vitesse est strictement constante. Donc, v(t2)x = 6 mètres par seconde.

Par contre, la composante y, elle évolue. On sait qu'elle est d'abord positive, de plus en plus petite, nulle, puis négative, de plus en plus grande. Comment l'évaluer ? Je vais utiliser l'équation numéro 4 dans laquelle je vais remplacer le temps à l'instant qui m'intéresse, c'est-à-dire l'instant 2,26 secondes.

Donc, si je fais 10,4 - 10 * 2,26, j'obtiens une composante y à l'instant t2 qui vaut -12,2 mètres par seconde. Cette composante scalaire est bien évidemment négative, puisque c'est un vecteur qui est orienté vers le bas, alors qu'on travaille dans un référentiel orienté vers le haut.

Alors, évidemment, la suite est assez simple. Pour trouver la valeur du vecteur vitesse, vous voyez qu'on est dans un triangle rectangle et que la valeur du vecteur vitesse correspond à l'hypoténuse. Il suffit donc d'appliquer Pythagore et vous allez trouver un vecteur vitesse qui vaut 13,6 mètres par seconde.

Je tente de caractériser un vecteur vitesse. Donc, c'est très bien de donner la norme, mais ça ne suffit pas. Il faut encore donner l'orientation, puisque c'est un vecteur.

Si je choisis de donner cet angle, vous voyez que dans ce triangle rectangle, vt2x est le côté adjacent et vt2y est le côté opposé. Donc, si on écrivait tangente, on aurait tangente alpha égale vt2y / vt2x.

C'est-à-dire que la longueur de vt2y est -12,2 et vt2x est 6. Donc, pour trouver l'angle alpha, il suffit de prendre arc tangente de ce rapport et vous trouverez un angle qui est presque égal à 60,4 degrés.

Comme la composante y est beaucoup plus grande, deux fois plus grande que la composante vt2x, le vecteur est bien au-delà de 45 degrés. Il pointe très fortement vers le bas.

On pourrait vous poser n'importe quelle question à n'importe quel autre moment. Sachez que vous avez quatre équations à votre disposition. Dans les questions qu'on vous pose, soit vous connaissez x, soit vous connaissez y, soit vous connaissez vy, soit vous connaissez vx, restant constant, soit vous connaissez le temps, parce qu'il est possible qu'on vous demande de caractériser la vitesse après, par exemple, 0,2 secondes de mouvement.

Donc, vous avez toutes ces équations qui peuvent être adaptées et qui peuvent vous donner des réponses pour n'importe quel point de la trajectoire.

Et donc, ce n'est pas si compliqué de répondre à toute une série de questions.

Merci et bravo pour votre attention. On se retrouve bientôt. Bon travail !