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Hola, ¿qué tal? Espero que se encuentren muy bien.
En este video revisaremos el tema de técnicas de contenido, el cual forma parte del tema principal de probabilidad, ya que, como hemos mencionado anteriormente, los problemas de probabilidad se terminan traduciendo en problemas de conteo, tanto del espacio muestral así como de los resultados favorables de cierto evento.
Al determinar el número de elementos necesarios y así realizar cálculos de probabilidad, se puede ya sea elaborar listas con todos los posibles resultados o bien calcular dicho número sin armar listas. El uso de diagramas ayuda a tener una idea más detallada e intuitiva del problema, pero si elaborar diagramas resulta ser una tarea muy compleja y tardada, se puede hacer uso de reglas o ecuaciones. A estas reglas y diagramas que se utilizan para dichas tareas se determinan en conjunto técnicas de corte.
Entre las técnicas de conteo que hacen uso de diagramas se tienen los diagramas de Venn. Además, tenemos también los diagramas de árbol. En el caso de las ecuaciones, tenemos al principio de multiplicación, las permutaciones y combinaciones.
Dado que el diagrama de Venn ya fue previamente estudiado en el tema de probabilidad, iniciaremos con el diagrama de árbol. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento, el cual se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad. A continuación, explicaremos este tipo de diagrama con el siguiente ejercicio:
En el comedor de una empresa se ofrecen menús para los trabajadores, los cuales constan de un platillo principal que incluye una fuente de proteína como carne de pollo, res, pescado o bien, queso. Por otro lado, también se incluye una fuente de carbohidratos como puede ser pasta, puré de papas o pan. ¿De cuántas maneras distintas se puede armar un platillo?
Este caso, como estamos observando, tenemos que identificar cuáles son los objetos, individuos o situaciones que se requieren contabilizar en las distintas etapas. De esta forma, los objetos que se desean clasificar son los platillos. Por lo tanto, se tiene que los platillos son clasificados en una primera etapa en base a la fuente de proteína, ya sea carne de res, pollo, pescado o queso, desprendiéndose del tronco principal del platillo cuatro ramas primarias, una para cada uno de los resultados de esta etapa.
Ahora bien, en una segunda etapa se requiere hacer una clasificación secundaria con base en la fuente de carbohidratos, por lo que para cada uno de los resultados obtenidos en la etapa anterior, es decir, la fuente de proteína, se estará desprendiendo una rama secundaria derivada de cada resultado de la etapa anterior y generando una serie de ramas secundarias para cada uno de los resultados de esta segunda etapa, es decir, una para pasta, una para puré de papas y una para pan, repitiéndose esto cuatro veces, como se muestra en pantalla.
De este modo, podemos observar si contamos las últimas ramas, en total tenemos 12 posibles resultados, los cuales se formaron de la combinación de los resultados de la primera y segunda etapa, es decir, la fuente de proteína y la fuente de carbohidratos.
Ahora, pasando a las técnicas de conteo que hacen uso de las ecuaciones, iniciaremos con el principio de multiplicación. Esta técnica es ampliamente utilizada en la mayoría de las veces de manera inconsciente, resultando de gran utilidad cuando se requiere hacer cálculos complejos en los cuales la elaboración de un diagrama resultaría poco práctico por el tiempo y el esfuerzo que requeriría realizar. De este modo, es que vamos a estudiarlo y revisarlo para que se pueda entender de una forma sistemática y que su aplicación en el futuro resulte de mucha mayor facilidad.
El principio de multiplicación se basa en la observación de procesos los cuales constan de dos o más etapas, donde cada una de estas etapas estaría constituida de N cantidad de resultados. De este modo, para la etapa 1 tendríamos N1 resultados, para la etapa 2 tendríamos N2 resultados y así sucesivamente hasta la etapa K, la cual tendría NK resultados. El principio de multiplicación se basa simple y sencillamente en multiplicar cada uno de los N resultados de cada una de las etapas, desde la primera hasta la última de ellas.
Aunque de hecho, este principio de multiplicación es una de las técnicas más sencillas. Etapa crucial a considerar es el establecer de manera adecuada el número de etapas, así como el número de resultados de cada una de estas etapas.
A continuación, veremos un sencillo ejemplo: En el departamento de recursos humanos se tienen tres puestos vacantes: uno para jefe de almacenes, otro para el área de contabilidad y uno más para el área de intendencia. Y después de una semana de entrevistas, se tuvieron cinco prospectos para jefe de almacén, diez para contabilidad y ocho para intendencia. ¿Cuántas maneras distintas se podrán hacer estas tres contrataciones?
En este caso, es sencillo observar que cada una de la selección de las plazas estaba constituyendo una etapa, por lo que se emplearía el principio de multiplicación, donde cada etapa contaría con cinco, diez y ocho resultados respectivamente para cada área antes mencionada. Por lo tanto, aplicando el principio de multiplicación, tendríamos 5 por 10 por 8, lo cual nos da un total de 400 posibles resultados.
Otros dos tipos de técnicas de conteo muy útiles son las permutaciones y combinaciones, las cuales son muy similares, por lo que hay que prestar atención de especial para no confundirlos a la hora de resolver problemas de conteo y, por lo tanto, de probabilidad.
Iniciaremos entonces con las permutaciones. Una permutación es un arreglo de N individuos, objetos o situaciones donde los elementos no se repiten en cada arreglo y el orden sí importa. En el siguiente ejemplo, dadas las letras ABC, los siguientes arreglos mostrados en pantalla son permutaciones distintas, donde N es el número de objetos o individuos, mientras que R es el tamaño del arreglo.
Ahora bien, en el siguiente ejercicio: si se cuentan con tres personas, ¿de cuántas maneras se puede formar un comité con tres funciones distintas? Como se puede observar, tenemos tres individuos de donde se pueden hacer los arreglos, es decir, N es igual a 3, mientras que el tamaño del arreglo es igual a 3. En un primer arreglo se podría tener esta configuración, pero dado a que cada posición es una función distinta, al cambiar el orden de algunos de ellos se generaría un nuevo arreglo. Lo mismo con cada cambio de posición, resultando un total de 6 posibles arreglos, permutaciones o resultados.
Por otra parte, en el siguiente ejercicio: ¿de cuántas maneras se puede formar un comité con dos funciones distintas si se cuenta con tres personas? Como se puede observar, al solo haber dos posiciones para el arreglo, podríamos tener una primera configuración de esta forma, o bien, con un cambio de posición tendríamos otra permutación que representaría otra regla. De la misma manera que con un cambio de individuo o de posición, y así sucesivamente. Por lo tanto, tenemos que el número de arreglos, permutaciones o resultados, casualmente también es de 6.
Continuando con las técnicas de conteo, estudiaremos ahora las combinaciones. Recordemos, son muy similares a las permutaciones, pero no obstante, estas presentan una sutil diferencia. Al igual que las permutaciones, una combinación es un arreglo de N individuos, objetos o situaciones donde los elementos no se repiten en cada arreglo, pero la sutil diferencia es que el orden no importa, lo cual hace que el número de arreglos o resultados posibles sea diferente que el de las permutaciones.
En el siguiente ejemplo, dadas las letras ABC, los siguientes arreglos mostrados en pantalla representan la misma combinación, donde N es el número de objetos o individuos, mientras que R es el tamaño del arreglo.
Ahora bien, revisemos el siguiente ejercicio: si se cuentan con tres personas, ¿de cuántas maneras se puede formar un equipo donde cada uno tendrá las mismas funciones? Aquí podemos observar que N es igual a tres, a la vez que R también lo es. De este modo, tenemos que la única combinación que tendríamos es esta, ya que como cada posición representa la misma función, el orden no tiene implicaciones en el arreglo, dando lugar al mismo arreglo en cada una de las configuraciones.
Sin embargo, si el tamaño del arreglo ahora fuese distinto, ¿de cuántas maneras se puede formar un equipo de dos personas donde cada uno tendrá las mismas funciones? Por lo tanto, un primer arreglo podría ser este, pero si se cambia el orden de los individuos, como ambas posiciones representan la misma función, esta configuración sería la misma combinación, por lo que seguiríamos teniendo un arreglo. Sin embargo, si hubiese un cambio en el individuo, entonces tendríamos un arreglo adicional, pero de manera similar a lo anterior, el solo cambio de la posición teniendo los mismos individuos no derivaría en otro arreglo o resultado adicional, ya que nos daría la misma combinación. Por lo que para que haya una combinación distinta, necesariamente se tiene que hacer un cambio de individuo en el arreglo, puesto que el orden no tiene relevancia.
De este modo, solo tendríamos un total de tres posibles combinaciones, arreglos o resultados para este ejemplo.
Recordemos que el objetivo de estudiar el tema de técnicas de conteo es precisamente para hacer más fáciles los conteos para posteriormente ser aplicados en los cálculos de probabilidad, por lo que una vez explicadas las bases de permutaciones y combinaciones, veremos cómo se realiza el cálculo de cada una de ellas.
El número de permutaciones y combinaciones se calcula con las siguientes ecuaciones respectivamente, donde N es el número de individuos u objetos a partir de los cuales de armar el arreglo, mientras que R es el tamaño del arreglo. Estas dos ecuaciones tienen una restricción lógica y esta es que el tamaño del arreglo siempre tiene que ser menor o igual al número de objetos disponibles para armar los arreglos.
Aunque en pantalla se muestran las ecuaciones para el cálculo de permutaciones y combinaciones, cabe mencionar que la mayoría de las ecuaciones vienen en calculadoras científicas disponibles en la actualidad y tienen programadas estas funciones, ya sea como una función directa o como una segunda función utilizando la tecla Shift.
De tal modo, poniendo un ejemplo: si se requiere calcular el número de permutaciones de tres objetos tomando dos a la vez, es decir, 3 permutación 2, se introduciría en la calculadora tal cual está escrito en pantalla, de la siguiente manera: 3, luego P, luego 2, dando como resultado 6 posibles arreglos, permutaciones o resultados.
Por otra parte, para calcular el número de combinaciones de tres objetos tomando dos a la vez, 3 combinación 2, de manera similar, tecleamos 3, luego C, luego 2, dando como resultado tres posibles arreglos, combinaciones o resultados.
Si comparamos los resultados de las permutaciones contra las combinaciones, observamos en la gran mayoría de las ocasiones obtendremos una cantidad de arreglos mayor en las permutaciones, lo cual es lógico, ya que sabiendo que el orden sí tiene importancia, donde el cambio de posición de un objeto o individuo generaría un nuevo resultado.
Es pertinente señalar que a la hora de hacer cálculos con las técnicas de conteo, lo más importante es distinguir cuál es la que se debe emplear, lo cual se logra solo con práctica. A continuación, se muestra un diagrama de flujo como guía para poder determinar cuál técnica de conteo es la adecuada.
Primeramente, se tendría que preguntar si los resultados se pueden repetir en el mismo arreglo. Si la respuesta es sí, entonces se utiliza la técnica de principio de multiplicación. Pero si la respuesta es no, entonces se procede a hacer una segunda pregunta: ¿es entonces que importa? Si la respuesta a esta pregunta es sí, entonces para calcular el número de arreglos se utilizan las permutaciones. De lo contrario, se emplearía entonces las combinaciones.
Cabe mencionar que estas técnicas de conteo aquí solo se estudian de manera aislada, pero en muchas situaciones se tiene que hacer uso combinado de estas.
Espero que este material te haya sido de utilidad. Si fue así, compártelo para que alguien más también lo pueda aprovechar. Mi nombre es Fernando Cárdenas Torres. Muchas gracias y nos vemos en el próximo video.