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你知道如何用数学在游戏中必胜吗？
作为一名毕业于清华姚班的人工智能博士生，今天我将会用半个小时，带你深刻了解游戏背后的数学——博弈论，并了解必胜策略和神之一手背后的奥秘。
有一天，人类终于造出了终极的围棋之神，并且复制两份，想要观赏他们精彩的搏杀和对局。但是情况似乎和人类预想的很不一样。双方对着空白的棋盘沉思，但就是没有落子。
“你怎么不落子呀？”
“两百手之后，我的大龙做不活，我认输。”
接着，黑棋投子认父。不死心的人类又换成了象棋，结果象棋之神也陷入沉思，久久没有落子。
“你怎么又不下棋？”
“结果红棋稍作沉思之后，提出和棋。”
“黑棋同意，好，和了。”
自始至终，双方都从来没有动过一下棋子。这绝对不是我的杜撰，入学上可以证明，像围棋和象棋这种棋类游戏，实质上一定在开局的时候就胜负已分。为什么会这样呢？理论上该怎么找到这些游戏“神之一手”的必胜策略呢？既然都必胜了，为什么人类还一直在下着这些棋呢？
今天我就将带你走进数学中研究游戏的，一个非常有趣的分支——组合博弈论。
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我们先来看一个简单的例子。想象有50个糖果，a 和 b 两个人轮流从这包糖果中拿。每次呢，可以拿1到3个，但不能不拿。拿最最后一枚糖果的人，胜利奖励一个零食大礼包。两个人都要最后的这个大礼包，那谁可以保证自己一定能赢呢？
标准答案是：不管上一个人拿了几个糖果，你总以拿一个互补的数量，使得两个人这一轮刚好加在一块儿拿四个糖果。那么，先拿的人只需要先拿两个，那么就剩下48个是4的倍数。那么接着呢，别人拿一个你拿三个，别人拿两个你拿两个，把留给对方的数量一直控在四的倍数上。那么拿到最后一定剩下四个糖，对方一次拿不完，而对方拿过之后，剩下的自己能一次拿完，于是就必胜。
这个解法固然精妙，但是好奇的同学一定会觉得不满意：“你看看又来了，这个四的倍数是怎么注意到的？我注意力太涣散了，有没有什么方法可以系统性的分析，让四的倍数这个关键的胜负性质，自然地浮现出来呢？”
有的，兄弟有的。我们可以从糖果数量少的情况开始分析。如果只剩下1到3个糖果，那么这个时候，先拿的人只需要全部拿走就可以获胜。所以我们可以记一下，当剩下至多三个糖果的时候，先拿的人必胜，后拿的人必败。
接下来我们重点看四颗糖的情况。此时无论先拿的人拿几个，都一定拿不完，而剩下的糖果数量只会是一个、两个或者三个。根据前面的推导，这种局面一定是先拿的人必胜。因此，在剩下四颗糖的时候，先拿必败而后拿必胜。
正因此，当剩下五颗糖的时候，先拿的人就可以动心思了。他只拿一颗，从而把先手必败的局面，也就是四个糖果，留给对方。此时游戏的本质就是四个糖果，对方先手，而先手必败。只需要继续按照之前的策略，对方拿几个，自己把剩下的拿完就能获胜。因此，五颗糖果的局面也是先手必胜的。
值得注意的是，必胜局面并不代表怎么来都一定必胜。比如说五个糖果时，如果只拿两个或者三颗，那么剩下的三颗或者两颗，都是先手必胜的局面，对方一次就拿完了。用棋类的术语来说，在剩下五个糖果的时候，只拿一个是这个局面紧要的胜负手。
同理，在剩下六颗或者七颗糖的时候，先拿的人只需要拿两颗或者三颗，那么剩下四颗糖给对方先手，我们就可以保证必胜。
第二次有趣的情况出现，在剩八颗糖的时候，跟四颗糖的情况类似啊。先拿的人，无论是拿一颗、两颗还是三颗糖，那么剩下的就都是七颗、六颗和五颗糖。而我们刚才说过，这些局面都是先拿的人必胜。因为对方可以控制局面，把只剩四颗的先手必败局面再留给我们。所以相应的，当剩下八颗糖的时候，无论先拿的人怎么拿，后续局面都是先手必胜的。因此，八颗糖先手必败，而后手必胜。
总结一下，剩x颗糖时，我们只需要看x-1，x-2，x-3颗糖的这三个局面里，先手只能选择让对方进入这三个局面之一。因此，只要这三个状态里，有一个是先手必败、后手必胜的，那我们的先手就可以取到他，并交换先后手，把这个先手必败的局面留给对方。
比如说，五个、六个都可以到四个。而反之，如果说所有的后续的三个局面，都是先手必胜，那意味着无论先手怎么做，都会把必胜的局面留给对方，对方都有办法拿捏自己。这就说明后拿的人一定必胜。
有了这样一个递推关系之后，我们就可以从无可辩驳的终点——零个糖果，开始不断逆向的递推。一个先手拿完之后只剩零个，说明对方已经取完了，所以零个是先手必败的。那么1、2、3，因为都可以通过合法操作取到只剩零个，所以1、2、3都是先手必胜的。又因为四，不管取多少，他的后续局面1、2、3都是让对方先手必胜的，因此四先手必败。五可以到2、3、4，其中四先手可以是必败的，留给对手，所以五必胜。六、七同理必胜。八，因为只能到5、6、7都是对方的先手必胜，所以八必败。
以此类推，在这种反向推导中，我们就能看出四的倍数必败是如何浮现出来的，以及为什么要控制把四的倍数留给对方了。你可以很自然的想到，如果能取的糖果是1到4个，那么局面的关键就变成了要控制在五的倍数上。有兴趣的同学也可以推理一下，如果每次可以拿走一个或者质数个糖果的时候，50颗糖，谁可以拿到最后的这个零食大礼包呢？
所以说啊，如果有两个拿糖果之神玩这个游戏，他们一眼就能看出以上所有的推理过程，而无需真的去博弈。玩这个游戏，先拿的人会拿走零食大礼包和14颗糖，后拿的人会拿走剩下的36颗糖，分配，就这样心照不宣的完成了，只留下不明真相的吃瓜群众一脸懵逼。
我们可以再稍微变化一下规则。现在呢，有两堆糖果，每堆都是100个。同样的，还是拿走最后一个糖果的人是获胜的。此时，每个人都可以拿走任意多个糖果，只要他们全部来自同一堆啊，你甚至可以一次性把一堆拿完，但不能不拿。那么这个新的游戏，哪一方会获胜呢？
还是用之前的方法。此时，所有的游戏局面可以有两堆糖果的数量表示，就像一个二维的坐标。所以我们可以画出一张二维的表格，第x行第y列表示剩下的两堆糖果分别有x个和y个。初始状态位于100, 100。而拿糖果的操作，本质上就是相当于单独减少当前这个局面的横坐标或者纵坐标。你也可以由此看出，这个游戏等价于有一个只能往上或者往左单向移动的车，双方交替移动，看谁最后将车移到最左上角的位置。
接下来，我们还是从结束局面开始，反向分析每个局面的胜负状态。红色是先手必胜，蓝色先手必败。第一个唯一确定的必败状态是左上角。如果局面已经到这里，变成了你先手，说明上一步对方走到了这个地方，说明对方赢了，而自己输了。所以(0,0)这个位置是先手必败的。
那么由此反过来推断，任何能一步走到(0,0)的局面，都是必胜的。举个例子，(15, 0)这个状态表示有一堆有15个糖果，一堆什么都没有。那么先手只需要一次性把15个全部取完，就赢得了游戏。所以我们得到一个必败状态(0,0)和一整行一整列的必胜状态，他们都能够一步到达游戏终局获胜。
好，接下来有意思的来了。我们来看一看(1,1)这个点。他往上和往左的两个状态，分别是(1,0)和(0,1)，都是先手必胜的。而我们说过，如果无论你怎么走，留给对方的局面都是先手必胜的，那你自己就是必败的。用人话说就是，你只能取某一堆的一个，然后对方取走另一堆的那一个，然后就赢了。所以你是必败的。
也正因为(1,1)是必败的，所以只要有一堆是一个，而另一堆多余一个，我们就可以通过一次取糖果来来到一一这个地方。所以形如(1,n)这样的n大于1的局面，都是先手必胜的。(n,1)同理。
沿着这样的逻辑，对于每一个格子，我们只需要看他往上和往左的所有格子里，是否有必败的蓝色格子留给对方。如果有，那么这一格就是红色的。其中这一步的必胜着法，就是走到蓝色格子那里去。而如果往左和往上看去全是红色，那这一个就是蓝色。我们可以用这样简单的递归逻辑，把整张图填满。
观察一下，我们不难发现，模式很明显，只有对角线是蓝色的，而其他地方都是红色。也就是说，只有在两堆糖果数量相同的时候，才是先手必败，否则走是先手必胜。而这些必胜策略的走法规律，也非常明显，一句话就能说明白：保持两堆石子（糖果）的数量一样。
所以，在我们的问题里，两堆100的糖果是后手必胜的。策略是，一直把局面控制在两堆一样的状态，对方在一堆里取多少，自己在另一堆里取多少。这就是一个非常经典的后手方的模仿策略。对于对称性很好的游戏而言，模仿策略往往都是窍门。而我们，再次通过这种系统性的逆向分析，得到了一个第一眼看去很不寻常且深刻的洞察：控制两堆相等。
其实啊，只要一个游戏的局面数量是有限的，我们总能进行这样的逆向分析，层层抽丝剥茧。比如说井字棋，在一个3x3的棋盘里，两个人轮流画圆和打叉，谁的符号三个连成一条线就获胜。小时候我们玩过很多盘之后就会发现，几乎总是平局，没有人可以连成一条线。如何用博弈论的方法来严格证明呢？
和之前类似，我们还是从终局到开局，依次给每个局面推导出胜负。由于会出现平局，所以这个时候，所有的局面有叉必胜、圆必胜和双方平局三种结果。而且这些局面之间有单向连接的边，表示上一个局面可以通过合法的落子来到下一个局面。如此，所有的局面就构成了一个复杂的图。
我们从底到上一点点拆解。首先是所有已经下满棋盘的局面，此时结果已定，只需要根据规则判断最终的结果是谁赢谁输就可以了。于是，我们有了一个最简单的井字棋之神，只不过他只会判断所有九个子全部落满的局面，谁胜谁负还是平局。
接着，我们来看剩下一个空位的局面。如果分出胜负，我们就直接判定谁输谁赢，不用管了。否则，无论下一步怎么走，我们都一定会走到棋盘上九个子全部落满的局面。那么此时，我们就可以去询问九子井字棋之神，来得到这个局面的胜负状态。再利用前面说过的逻辑，如果后续有对手输的局面，则我必胜。没有对手输但有和棋，那么最好的结局是和棋。所有后续局面全是对手赢，则自己必败。
我们可以用这种逻辑，反向知道每一个八个子的局面中，双方按照最优策略的结果是什么样子。于是，我们得到了一个八子井字棋之神，他可以调用九子之神的能力，来判断所有八子局面的胜负。
顺着这个逻辑，我们可以调用八子井字棋之神，构建一个七子之神，六子之神可以调用七子之神，五子之神可以调用六子之神。我们不断进行这个过程，直到最后，我们回到了最开始的空无一子的棋盘。这个时候，我们就拥有了终极的井字棋之神，他能无可辩驳的告诉我，在双方都采取最优策略的情况下，井字棋的最终结局是什么。
你可能已经猜到了，这个结局就是平局。这就是为什么我们小时候玩井字棋，一旦双方都熟悉擅长了，就几乎再也分不出胜负了。
我们刚才用来分析拿糖果和井字棋的这种方法，在数学上被称为逆向归纳法，那就是从终局状态出发，层层反推，逐一确定每一个局面胜负属性。而这个方法能够成功应用背后，依赖于一个深刻的数学定理，这就是大名鼎鼎的策梅洛定理（Zermelo theorem）。
策梅洛定理，由德国数学家恩斯特·策梅洛在1913年提出。他指出，在任何一个双人有限确定的完美信息零和游戏中，以下三者必有其一，且只有其一成立：那就是先手有必胜策略，或者后手有必胜策略，或者双方都有策略可以保证游戏平局。
所以，即便是围棋和象棋这样复杂的游戏，对于每个局面，要么有一方存在必胜策略，要么双方都有策略保证自己不输。而这就是博弈论中著名的策梅洛定理。
拆解一下这个定理的条件，一共有三点：
第一，双人有限。这个游戏只有两个人玩，而且总步数和局面数是有限的，不会无限进行下去。
第二，这是一个确定的完美的信息游戏。在有的游戏里有骰子这样的随机因素，但是在棋类游戏中，双方都完全了解所有信息，没有隐藏手牌，也没有任何随机因素。
第三个是零和游戏。一方的胜利就是另一方的失败，或者双方完全打平，总之没有双赢。
现在回头看看我们所熟悉的棋类游戏，井字棋、中国象棋、国际象棋、围棋、五子棋等。加入了禁止相同局面循环的规则后，他们全都满足策梅洛定理的条件。也就是说，一定是在开局就胜负已分。
而策梅洛定理成立的原因也近乎显然，因为我们总可以像之前的逆向归纳那样，把这棵树从底向上捋一遍，从而确定每一个局面对先手来说究竟是胜还是负。正因此，在视频的开头，围棋之神根本不必落子。这棵局面的大树虽然极其庞大，节点数甚至超越了宇宙的原子个数，但终究是有限的。理论上，从空棋盘开始，双方用最完美的下法，结局到底是黑胜、白胜或者平局，这个结果就已经被唯一确定了。那两个围棋之神拥有无穷的算力，他们在下第一手之前，就已经遍历了所有的可能。因此，在他们眼里，下棋本质上变成了一个谁抽到黑或者白就赢的游戏。
这就不得不提一个段子。传闻当年不贴目的时代，日本有一位本格派高手执白棋输棋之后，复盘时发现没有找到后面明确的问题手，于是 一步一步倒腾回来，结论是白棋的第一步白2就是败招。大家当成了段子，但其实这个段子无意间触及到了策梅洛定理的真谛。
运用策梅洛定理，我们可以推断出一些复杂游戏的结果，甚至可以根本不需要像分析井字棋那样硬算。那是因为有一个至关重要又极其精妙的技巧，叫做策略窃取（strategy stealing）。
我们可以从这个例子里体会一下策略窃取的巧妙。想象一下有一块m x n的巧克力，左下角的那一块是有毒的，吃到的人就会输。玩家会轮流选择一块还没有被吃掉的巧克力(x,y)，并吃掉他以及他右上方所有的巧克力，直到吃到最后一块的人输。
首先，我们知道这个游戏不可能平局，因为总会有一个人吃掉最后这一块。所以我们知道逆向归纳之后，先手要么必胜，要么必败。而我们可以证明先手一定是必胜的。为什么呢？仔细想一想，假设先手必败，那就是后手必胜。翻译一下就是，无论先手怎么操作，选择哪一块巧克力，后手都一定有一个精妙的办法，将必败的局面留给先手。而我们将会证明这是不可能的。
证明的方法非常简单。你说你后手必有必胜策略是吧？好，那我就只取最右上角的一个巧克力。请B开始你的表演。根据必胜策略的性质，意思是此时后手B一定有一个精妙的位置可以选择，之后把必败的局面还给先手A。但是，AI，你仔细看看这个精妙操作之后，所谓的必败局面发现了什么？因为先手A只拿了一个，所以后手无论选哪里，都一定构成了一个矩形的缺口。这意味着，这个局面是先手A也能一步直接选到的。
好，那不好意思，现在我们重开一局游戏。我第一次A就选你的这个位置。此时你会发现，完全一样的局面。按照刚才的说法，此时先拿的人是必败的，所以让A必败了。但现在两极反转，同样的局面，先拿的人变成了后手B。你既然说这个局面先手必败，那一定后续有一系列精妙操作，对吧？我从此刻开始偷窃你所有的后续策略。于是，先手就通过第一步抢夺和后续的偷窃，精妙的交换了先后手，从而证明了先手A也有必胜的操作。这是原本A必败、B必胜所相矛盾的结论。而归根结底之所以会有这样的矛盾，就是因为我们一开始假设后手必有必胜策略。因此，反证法告诉我们，这个问题的真相就是后手B没有必胜策略，那么必胜的就一定是先手A了。
值得注意的是啊，这套推理并没有像之前的逆向归纳那样，给出精确的必胜策略和每个局面的必胜下法是什么。但借助这一步的凭空，借用交换先后手的方法，我们就能严谨推理出究竟是先手必胜，还是先手必败。
这个方法还可以用在一些真实的游戏中。例如这个棋叫做六贯棋。双方轮流在棋盘中放入自己颜色的棋子。黑棋想要搭起左右两岸一条连通的路径，叫做桥。而白棋同样的，想要构建起一个搭建上下两岸的桥。你会发现，一旦一方不能搭桥，那么就可以找到他的棋子所有连通的边缘，这一定是一条对方的桥。而反过来，一旦一方成功搭桥，就将对方的两岸拦中，划分成了不可能连通的两块。因此，这个游戏一定不存在平局的可能。而且你很容易想到，先手总是多下一个子，对于搭桥有优势。那么我们能否简单证明这个游戏先手必胜呢？
这里我们还是用反证法。假设先手不是必胜，那么后手必胜。此时，先手方在开局随便下一个子，并在脑海中假设这个子根本不存在。这样，先手就可以在心里把自己当成后手，并在之后的对弈中模拟后手必胜的策略。特别的，如果后手的必胜下法刚好要我们走到那个第一步，那我们就找一个新的空地下一步棋，并把这个新的棋子当成是第一步。我们先手会总把局面变成，把自己当成后手的情况下，多出了一个棋子。
现在让我们来看看局面的胜负关系。白棋作为后手，一直在按必胜策略对弈。那么根据必胜策略的定义，它最后应该是必胜的。可是在我们黑棋的先手看来，我们也觉得自己应该是必胜的。因为相较于我们把自己当成后手的必胜局面，唯一的区别不过是多了一枚黑子而已。可是在六贯棋这样的棋里，我们想要搭桥，多出一个黑子总是有百利而无一害的。因此，我们不可能因为多出一个黑子而从必胜变成必败。因此，双方都觉得这是必胜，而最终结果只有一方胜利，矛盾。因此，只可能是先手必胜，而不是后手必胜。
这套推理逻辑，可以同样应用于没有禁手限制的五子棋。任何一方必胜的局面，多加一个子，只可能更加必胜。所以五子棋只要不是一定和棋，那一定是先手必胜。
然而，这套规则不能应用于中国象棋和国际象棋或者围棋。虽然大家感觉啊，大概多走一步棋不会差，但严格来说是不对的。因为我们可以在象棋中构造出一些无论哪方先走，都是必败的局面。比如说中国象棋里的这个局面里，双方的窝心马都锁死了，不能动，只有炮能动。炮也不能左右移开，因为被对方的炮牵着，所以只能在中路前后顶牛。这个局面就是谁先动谁输。比如说，如果黑棋先动就只能往后退，那么退一步，红棋就往前进一步，直到最后顶结实了，黑棋就输了。但如果红棋先走，红棋就只能退，然后就反过来被黑棋顶结实，最终困毙。这就是象棋里多给你走一步不一定好的例子。所以象棋当中，并非所有的局面都是一方多走一步棋一定会更好。国际象棋和围棋同理。
可不要小看这些刁钻的例子，正是这些局面，使得我们不能简单断定象棋和不贴目的围棋是先手必胜。
讲到这里，你可能会产生一个巨大的疑惑。那既然这些游戏在一开始的时候，胜负就已经注定，那为什么我们人类还要乐此不疲的对弈呢？我们比拼的到底是什么？
答案是组合爆炸（combinatorial explosion）和有限理性（bounded rationality）。正如人类已经发明了能够脱离第一宇宙速度的火箭，但并不代表人类的赛跑没有意义。策梅洛定理只是证明了必胜、必败、平局策略的存在性，但它并没有告诉我们如何找到这个策略。
对于井字棋，总共的局面数，不考虑对称性，只有几千个。人类的大脑可以轻松算透，所以它很快就变成了无聊的平局游戏。而对于国际象棋，其游戏数的复杂度就到了10的120次方这个量级。这个数字比可观测的宇宙中的原子总数还要多。而对于围棋，这个数字更是达到了令人绝望的10的300次方，甚至更高。
除了计算的难度之外，还有一个非常棘手的问题，那就是就算围棋之神现在在你的身边，他怎么传授你这个必胜策略的功法呢？必胜策略的本质，是对于任何一个可能的围棋局面，都告诉你最优的下法应该下在哪里。我就问你，你怎么学它？你怎么存储呢？人类只有有限的记忆和理性的推理能力，所以就算这里有一个庞大的必胜策略，你也<bos>很难记忆和应用它。
那作为普通的人类，没有这样的下棋之神的辅助，也没有超级计算机可以用，人类下棋一般是怎么思考的呢？我们来试着分析这样一个井字棋的局面，教你怎么样在下棋的时候去学会计算。
比如说此时轮到打叉方行动。棋盘上此时有七个空位。由于对称性，实际上本质只有四种不同的可选下法。我们只需要分析清楚这四个局面，按照双方的最优策略下完的结果后，打叉一方选择对其中最有利的一个就可以了。
好，我们先来看第一个局面。由于此时画圆的一方，只要不选择右下角，那我就能立刻占领这个右下角获胜。所以，在第一个局面里，画圆的人看似有六个空位可以选择，但其他五个分支都是显然必败。所以他必然要过来挡我。这样像园艺工人一样修剪旁枝的推理逻辑，就被称作剪枝。因此，按照双方的最优策略，第一个局面的后续一定是这个局面。
此时，打叉方又有五个格点可以选择。我们还是在这其中选择对自己最有利的即可。那我们还是看第一个局面进行分析。这个局面有意思一点在于，打叉一方下一步有两个位置都能连成三个一线，都能获胜。而换人的一方，在这一步只能阻止一个空位。因此，这个时候打叉一方是必胜的。
那么有了这个局面作为基石，我们就可以倒推一步看上面那个空位。更多的局面在上面的这五个后续当中，打叉方找到了一个分叉，可以保证自己获胜。那么，他无需再分析另外四个局面的结果，直接选择第一个就可以保证胜利。所以，在这个局面当中，打叉一方是必胜的。
好，我们再往上倒腾一步。因为在这一步画圆一方别无选择，所以，在上面的这个局面下，也是打叉方必胜的。那么再往上倒腾一步，打叉方已经知道，在最一开始的四个局面当中，会有一个后续是必胜的。那么我们也就无需再分析另外三个局面的结果，直接选择第一个就能保证胜利。因此，在刚开始的局面中，打叉方是必胜的。
这个结论，不是一个简单的胜或负的零一的比特，而是说我们知道有一系列后续的手段，对方都无力招架。以上这个过程，学名叫做Alpha-Beta剪枝。每次找对自己最有力的下法，并考虑对方所有的应对，再针对每一个应对，思考最有力的针对下法，看看是不是对方任何下法都无法招架。这是一种存在任意存在任意来回嵌套的逻辑，也正是策梅洛定理不断逆向归纳的展现。
人类下棋的过程，一方面比拼的是对于这棵树，你的思考能够覆盖多大。另一方面，则是在每一步寻找最有力下法的时候，你的感觉是否准确，以及向下搜索到一定深度之后，你是否能快速判断这个局面大概是谁输谁赢。
为了做到最后这一点的快速判断，人类提出了很多的表征（representation）。比如象棋当中有一个经典的，就是子力的价值之和。你要是比别人少一个大子，多半要输。还有子力的位置好不好。在围棋当中呢，我们在意的是实地或者外势等等。只不过，这些仍然都是不精确的近似判断方法。
吊打人类的AI都远远强于人类，只不过我们今天的AI和真正的棋神之间的差距，恐怕比人类和AI之间的差距还要大很多。在围棋之神和象棋之神眼中，我们和AI犯过的所有人类认知的错误，压根都不算是错误，而是直接投降。
从这个角度，我们还能深刻的理解什么是神之一手。那就是一个看似必败的局面，其实存在着一步能够导向胜利的妙招。它不仅是这一步啊，而且包含了所有后续局面逆向推倒的结果。根据定义，走出这一步神之一手之后必胜，意味着无论对方后面走什么，自己也仍然一定有一部棋可以牢牢把控局面，是必胜的局面。所以神之一手远远不只是一步，更是因为有一系列刁钻又无法抵抗的后续手段，可以化腐朽为神奇，把看似必输的局面反败为胜。
这也正是人类钟爱棋类游戏的原因。
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我是漫士，一名毕业于清华姚班的人工智能博士生。漫士沉思录，学海引路不辛苦。我们下期再会。