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那如果我們今天的有一個訊號，有訊號，他是一個單位，單位的這個延遲的訊號的系統，那我有個輸入訊號呢，一個這樣的訊號，他是一個x[n] = {3, 1, 4, x[n] = {3, 1, 4, x[n] = {3, 1, 4, 1, 5, 9}，他是一個這樣的訊號。然後呢，我們把他送入這個單位延遲系統，那我們來請問y[n]是什麼？請問y[n]是什麼？那其實，其實這個不算，你也知道了，因為你送入單位延遲嘛，其實就是把所有的訊號往時間軸的右邊移一格，所以最後的答案一定會是y[n]，y[n] = y[n] = {0, 3, 1, 4, 1, 5, 9}，y[n] = {0, 3, 1, 4, 1, 5, 9}，y[n] = {0, 3, 1, 4, 1, 5, 9}，y[n] = {0, 3, 1, 4, 1, 5, 9}。最後答案一定會變這樣，只是我現在為了要Demo這個的Z轉換，我們故意繞一圈。好，用Z轉換來做這個問題，怎麼說呢？如果我們要把我們的訊號啊，我們的訊號x[n]送到這個單位延遲系統裡面，單位延遲系統裡面，那我們要求y[n]，事實上這個X(Z)，如果我們可以把這個訊號先轉到我們的Z-domain，那這個這個Y(Z)就輸出訊號，他就會變成是等於H(Z)，Y(Z) = H(Z)X(Z)，乘上X(Z)，Y(Z) = H(Z)X(Z)，就是你輸入訊號送到單位延遲系統裡面，那你輸出訊號的Z轉換呢，你相當於是整個Z轉換是用相乘的，而不是用Convolution。那這個，這個的證明呢，等一下會證明，但是我們可以先看看這個要怎麼用，也是說其實我可以先算出，求出X(Z)啊，X(Z)，他是，我先把訊號轉成，轉到他的Z-domain，我現在是一個時間為0, 1, 2, 3, 4，所以我的訊號，我的Z轉換就是3Z^-0，3Z^-0 + Z^-1，1倍的Z^-1，3Z^-0 + Z^-1 + 4Z^-2，3Z^-0 + Z^-1 + 4Z^-2，3Z^-0 + Z^-1 + 4Z^-2，然後呢，3Z^-0 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3，3Z^-0 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3，3Z^-0 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3 + 5Z^-4 + 9Z^-5。那我要求Y(Z)，Y(Z)，他事實上就會等於H(Z)乘上X(Z)，Y(Z) = H(Z)X(Z)，就等於你要延時一個時間點嘛，他就會等於Z^-1，Z^-1 *，Z^-1 *(，就上面這個式子，Z^-1 *(3 + Z^-1，Z^-1 *(3 + Z^-1，然後呢，Z^-1 *(3 + Z^-1，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3 +，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3 + 5Z^-4，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3 + 5Z^-4，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3 + 5Z^-4 + 9Z^-5)，Z^-1 *(3 + Z^-1 + 4Z^-2 + Z^-3 + 5Z^-4 + 9Z^-5)。那他就會等於是這個3Z^-1，3Z^-1 + Z^-2，3Z^-1 + Z^-2，3Z^-1 + Z^-2 + 3Z^-1 + Z^-2 + 4Z^-3，3Z^-1 + Z^-2 + 4Z^-3 + Z^-4，-3乘-1，3Z^-1 + Z^-2 + 4Z^-3 + Z^-4 + 3Z^-1 + Z^-2 + 4Z^-3 + Z^-4 + 5Z^-5，3Z^-1 + Z^-2 + 4Z^-3 + Z^-4 + 5Z^-5 + 9Z^-6，3Z^-1 + Z^-2 + 4Z^-3 + Z^-4 + 5Z^-5 + 9Z^-6。你就可以求得你的Y(Z)，有了Y的Z轉換，你就可以去求出說y[n]，這個是Z^-1嘛，也就是說在時間為1的時候，我有一個訊號為3，他其實就是變成是0的時間沒有東西嘛，對不對？然後呢，就是3，1的時間有3，y[n] = {0, 3, 1, 4, 1, 5, 9}。所以從中我們可以看到說其實我們之前要求輸入跟輸出的關係，如果在Time-domain我們是用convolution，那如果在這個Z-domain呢，我們不需要convolution，我們直接用自己的多項式來做相乘的動作，可以一樣得到我們的結果，OK。所以我們從這邊可以看到說，如果我有一個Z^-1，他就相當於延遲系統，那這邊是一個，一個輸入跟輸入之間的Demo，那等一下呢還會有其他的例題，所以說我們這邊衍生出了一個Delay的這個property，什麼意思？如果一個訊號，一個系統的一個訊號他是x[n-1]，x[n-1]是不是相當於把x，x[n]，x[n-1]這種訊號是不是相當於說，把x[n]這種訊號呢，輸入一個延遲系統，我把我的訊號呢輸入一個延遲系統，他就是會變成是x[n-1]，那換成Z-domain來看，就是原來是X(Z)，輸出訊號呢就變成是，因為我會送到一個Z^-1的系統，所以他就變成是Z^-1乘上X(Z)。如果，如果x[n]的Z轉換，Z轉換是X(Z)，則x[n-1]的Z轉換，x[n-1]的Z轉換就是Z^-1乘上X(Z)，那x[n-2]，x[n-2]的Z轉換，他就是Z^-2，Z^-2乘上X(Z)，x[n-n0]，x[n-n0]的Z轉換就是Z^-n0，Z^-n0乘上X(Z)。這是一個練習，就是你x[n-1]這種訊號，他其實就相當於說我們把我的原先的訊號，你做一個延遲，那延遲呢在Z-domain來說呢，他就是將訊號乘上Z^-1，就是做一個時間的延遲，那再一個例題喔。如果呢，我們要做這個Convolution，我們知道說我們訊號的輸入跟輸出的關係呢是y[n]等於h[n]跟x[n]的convolution，這是訊號的輸入跟輸出之間的關係，那在Z-domain裡面呢，好他事實上是可以寫成這樣，Y(Z) = H(Z)X(Z)，這是Time-domain，然後呢這個是Z-domain，也就說其實Convolution的運算，你事實上是可以利用Z-domain的運算來幫忙，比如說啦，x[n]呢，他等於x[n] = δ[n-1]，x[n] = δ[n-1] - δ[n-2]，x[n] = δ[n-1] - δ[n-2] + δ[n-3]，x[n] = δ[n-1] - δ[n-2] + δ[n-3] - δ[n-4]，x[n] = δ[n-1] - δ[n-2] + δ[n-3] - δ[n-4]，這是我的輸入訊號，然後假設我的系統的脈衝響應呢，h[n] = h[n] = δ[n]加上兩倍的，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1]，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1]，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3倍的Delta，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2]，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2]，加上4倍的，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2] + 4δ[n-3]，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2] + 4δ[n-3]，h[n] = δ[n] + 2δ[n-1] + 3δ[n-2] + 4δ[n-3]。如果我知道我的輸入訊號跟我的脈衝響應，請問要你求y[n]是什麼，要你求y[n]。那如果是原先在這個FIR系統裡面的時候我們就說OK，LTI系統，所以我們就說，ok，你y[n]嘛就等於x[n]跟h[n]的convolution，你可以用convolution來求，那我們現在呢，就是我們不用convolution來求，假設我用Z轉換來求呢，會是什麼樣子？你可以先把X(Z)，X(Z)算出來，他就會等於時間n減1嘛，就是時間為1的時候，所以這邊有一個Z^-1，他就會換成Z^-1，X(Z) = Z^-1，X(Z) = Z^-1 - Z^-2，X(Z) = Z^-1 - Z^-2 + Z^-3，X(Z) = Z^-1 - Z^-2 + Z^-3 - Z^-4。還可以把h，小h換成大H，等於1乘上這是Z^-0嘛，所以就是1，H(Z) = 1 +，H(Z) = 1 + 2Z^-1，H(Z) = 1 + 2Z^-1，H(Z) = 1 + 2Z^-1 + 3Z^-2，H(Z) = 1 + 2Z^-1 + 3Z^-2，H(Z) = 1 + 2Z^-1 + 3Z^-2，H(Z) = 1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3，H(Z) = 1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3。那你要求y[n]怎樣？事實上，你可以先求出Y(Z)，把convolution變成Z的，Z的多項式，等於Y(Z) = H(Z)*X(Z)，Y(Z) = H(Z)*X(Z)，也就是等於這個(1 +，(1 + 2Z^-1，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3)，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3)，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3)，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3) * (1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3) * (Z^-1，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3) * (Z^-1 - Z^-2，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3) * (Z^-1 - Z^-2 + Z^-3，(1 + 2Z^-1 + 3Z^-2 + 4Z^-3) * (Z^-1 - Z^-2 + Z^-3 - Z^-4)。你這整個就會變成是一個多項式的乘法，就會變成是一個多項式乘法，我把他在騰過來這一頁，他就是等於Z的0次方呢，你就是等於0，1，-1，1，-1這樣子，然後這一項是，這一項是Z^-0，Z^-1，Z^-2，Z^-3，Z^-4，那H呢是，痾，1，然後2，3，4，所以我這邊有一個1乘0，從這邊開始，1乘0，那就是0，1，-1，1，-1，然後是2乘0，0，2，然後-2，-2，然後2，-2，一樣，就是3乘0，0，然後3乘1，-3，然後3，-3，最後是4乘0，0，4，-4，4，-4，所以這項對下來是Z^-5，Z^-5，Z^-6，然後Z^-7，最後一項是7，你看-4乘-3就是-7，最後你把他總結一下，第一項是0，這一項是1，這一項1，然後這一項是2，然後這一項呢，6減4是2，然後-6加3，-3，這項是1，這項是-4，所以你就知道說你的Y(Z)，Y(Z)呢，他就是寫成這樣子，等於，等於Y(Z) = Z^-1，1倍的Z^-1加上一倍的Z^-2，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2，加上兩倍的Z^-3，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3，加上兩倍的Z^-4，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3 + 2Z^-4，減三倍的Z^-5，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3 - 3Z^-5，加1倍的，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3 - 3Z^-5 +，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3 - 3Z^-5 + Z^-6，減四倍的，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3 - 3Z^-5 + Z^-6 - 4，Y(Z) = Z^-1 + Z^-2 + Z^-3 - 3Z^-5 + Z^-6 - 4Z^-7。最後你就可以求得你的y啦，那你的y呢，就會等於在時間1的時候，在時間1的時候呢，0的時候沒有東西嘛，時間1的時候有1，時間2的時候有1，時間3的時候有2，時間4的時候有2，然後時間5的時候有-3，時間6的時候有1，時間7的時候有-4，那你可以當然也可以寫成這個impulse的形式，那這一個形式的意義是一樣的，也是對的，那你可以也寫成impulse的形式。好所以我們就可以求得convolution，還記得剛才的問題嗎？剛才的問題是想要求，我有輸入訊號，我有系統，我要求y[n]，你可以用convolution來做，那你可以也可以先換到，好你也可以把訊號先換到Z-domain，然後變成是多項式乘法，一樣是可以做得到，那這一個動作呢，他其實是可以證明的出來的，我們來看看這個convolution的property，其實Z轉換呢他是蠻直覺的，但是你要證明，可以用比較Formal的方法能來證明convolution，你的y[n]呢，他其實是等於輸入跟輸，輸入訊號跟LTI系統的convolution，他呢等於對所有的K做summation，y[n] = h[n]＊x[n] = Σh[k]x[n-k]，那你如果把，把這整個式子做Z轉換，也就是說你把n，時間n代換變成從時間n，跟n有關的東西呢，把它代換成跟Z有關，也就是說，我並不是等於哦，是Z轉換，那我們要看的就是時間，把時間這個Term變不見，變成是Z，所以是他就是變成是Y(Z)，這項變Y(Z)，那k呢，因為跟時間沒有關嘛，我們不管留著，k在這裡面他算是一個常數，那這裡有一個n嘛，所以我們要替這項作Z轉換，因為都是加法嘛，summation是加法所以這一項可以直接代換成Z轉換，他就會變成是Z^-k乘上X(Z)，就這一項，還記得嗎？x[n-k]就，就相當於說我把x[n]的訊號呢延遲k個時間點，延遲一個時間點的就是把X(Z)乘上Z^-1，延遲k個時間點的就相當於是X(Z)乘上Z^-k，也就是說啊，這項呢，他就會變成是，我在把他代換一下，把有k的收起來，那這項X(Z)對於這個summation他相當於是常數，所以這項整理一下，他可以寫成Y(Z) = Σh[k]，Y(Z) = Σh[k]，Y(Z) = Σh[k] *，Y(Z) = Σh[k] * Z^-k，這項一起，那X(Z)呢自己一起，Y(Z) = (Σh[k] * Z^-k)*X(Z)，因為X(Z)，X(Z)對於summation來講是常數，那這項呢，不就是剛好是大的H(Z)嗎？就是小h的Z轉換就大H嘛，所以她就變成是H(Z)，H(Z)*X(Z)，對嗎？所以你看，如果我的輸入跟輸出關係是convolution，你在Z-domain來看呢，他變成是一個相乘，變成是一個很簡單的一個case。那我們知道說我們的系統，如果我有兩個系統，x[n]把他送到第一個LTI，1，LTI，1，然後呢再送到LTI，2，那他變成y[n]，那如果LTI，1的impulse response是h1[n]，LTI，2的impulse response，impulse response是h2[n]，則我輸入脈衝響，輸入一個脈衝，這裡的輸出變成是h1[n]，最後的輸出呢是變成h1[n]，h1[n]跟h2[n]的convolution，h1[n]跟h2[n]的Convolution。我們現在又學會了Z轉換對不對？那他看起來像什麼？你的整個大系統的這個，整個大系統的這個脈衝響應的其實我們可以看成是h1，h1[n]跟h2[n]的convolution，這東西也相當於說，如果你今天他的Z轉換是大H1(Z)乘上，這個是H2(Z)，那如果你用，痾，脈衝響應來說，系統的整個，大的系統合起來的系統是h1[n]跟h2[n]的convolution，那合起來的大系統的Z轉換呢，你看嘛，系統進來這裡被稱上H1倍，你再送入第二個系統被乘上H2倍，那合起來他豈不是剛剛好是H1(Z)乘上H2(Z)，你的和系統，你的等效系統就是大H等於H1乘上H2，他呢其實也會是H2，H2(Z)乘上H1(Z)，對不對？所以如果你這兩個系統都是LTI系統的話，你把它交換，你把它交換，事實上是可以的，你先送入LTI，1再送入LTI，2，或者是反過來，你先送入LTI，2再送入LTI，1，他的結果是一樣的。所以說我們說這個，這個LTI系統，他可以是被重新交換的，就是重新排列，Rearranged，OK，所以你去交換他，是可以做得到的，重點是他一定要是LTI系統，不是LTI系統的話就，不會有這樣子的一個功能。那最後呢，我們來練習一個和系統的例子，這是我有一個系統是這樣子，x[n]他呢送到一個系統呢叫做H1，他輸出以後會變成w，那我再把他送到一個H2裡面，最後求得y[n]，那我想要求整個大系統的，系統方程式或是他的difference equation是什麼？我只給你什麼，我只給你w，我給你w呢他是等於w[n] = x[n]，w[n] = x[n] -，w[n] = x[n] - x[n-1]，w[n] = x[n] - x[n-1]，這是我給你的，然後呢我告訴你這一個系統的difference equation呢是y[n]，y[n] =，y[n] = w[n]，y[n] = w[n] + w[n+1]，y[n] = w[n] + w[n+1]，就是我給你這個系統的equation，我給你這個系統的equation，但是我希望你告訴我這整個大的系統，和系統的這個系統方程式是什麼？你看你這一個，這一個系統，你可以求出說他的，系統的方程式呢，H1(Z)，他的其實就等於H1(Z) = 1，H1(Z) = 1 - Z^-1，你有原來的訊號，然後呢，你可以，你有延遲訊號，那如果同學沒有辦法一次看出來的時候呢，你可以先求h1[n]，h1[n]是等於h1[n] = δ[n]，h1[n] = δ[n] - δ[n-1]，那你在代入H(Z)，H(Z) = Σ，H(Z) = Σh[k]，H(Z) = Σh[k]Z^-k，或者是這都可以，你用這個公式呢，去從他換到他是可以的，但是其實你也可以直接看出來啊，第二個H2(Z)，H2(Z)，他就會等於是H2(Z) = 1，H2(Z) = 1 +，H2(Z) = 1 +，H2(Z) = 1 + Z，這邊有個地方我寫錯了，H2(Z) = 1 + Z^-1。好，一個系統，你可以說的他的脈衝，脈衝響應在求回他的Z的，這個Z-domain的transform，那你可以求得他的H2，那你要求整個和系統，大的H，他就會等於H1(Z)乘上H2(Z)，等於是(1-Z^-1)乘上(1+Z^-1)，好，那你把他乘開來，就是A加B乘上A減B，所以是A的平方減B的平方，所以他就會變成是1減掉Z^-2，1減掉Z^-2，1減掉Z的負2次方，你要看整個系統，你的系統是什麼，有兩個東西啊，一個是原封不動給你，就是1，一個，經過另外一個系統是延遲，延遲兩個時間點系統，所以這整個大系統的它其實就是y[n]等於什麼？等於y[n] = x[n]，然後呢，y[n] = x[n] - x[n-2]這樣。我如果要把兩個系統合起來的時候，我可以用大的H1跟大的H2兩個乘起來之後求得大的H，那大的H之後呢，你就可以自然可以換回原先的系統是什麼樣子，那這個就是Z轉換的第一個部分。