Equivalenza Asintotica

[Musica] Ciao ragazzi, in questo video vedremo che cosa sono le equivalenze asintotiche e come possono tornarci utili nel calcolo dei limiti e nello studio locale di una funzione.

Come abbiamo visto in alcuni dei video precedenti di questa playlist, molti dei limiti notevoli ci consentono di confrontare il comportamento di alcune funzioni quando X tende a 0 con quello di altre funzioni più semplici. Ad esempio, dire che il limite per x che tende a 0 di sen X fratto x è uguale a 1 è un po' come dire che il seno si comporta più o meno come X quando X tende a 0. E questo perché se il loro rapporto tende ad 1, significa che i due devono essere più o meno uguali quando X tende a 0.

Questa idea di comportarsi più o meno allo stesso modo quando ci si avvicina ad un certo punto può essere generalizzata e formalizzata meglio tramite il concetto di equivalenza asintotica. Cerchiamo di capire esattamente di che cosa si tratta. Date due funzioni F(X) e G(X), queste si dicono asintoticamente equivalenti per X tendente ad X con 0 se il limite per x che tende ad x0 del loro rapporto è uguale ad 1. Il simbolo che si utilizza per indicare l'equivalenza asintotica è una tilde, e quindi quando vedremo scritture come questa, dovremmo tradurre che F è asintoticamente equivalente a G quando X tende ad X con 0.

Alla luce di questo, è chiaro che possiamo riscriverci tutti i limiti notevoli di cui abbiamo parlato nei video precedenti sotto forma di equivalenze asintotiche. Ed in particolare, per x che tende a 0, si ricava che il seno è asintoticamente equivalente ad X, che 1 - cos x è asintoticamente equivalente a 1/2 X qu, che la tangente di x è asintoticamente equivalente ad X, che e all' x - 1 è asintoticamente equivalente ad X, che il logaritmo naturale di 1 + x è asintoticamente equivalente ad X, e che 1 + X elevato all' Alfa - 1 è asintoticamente equivalente ad alfa x. E questo è vero per ogni Alfa numero reale.

Naturalmente, un po' come avevamo già visto per i limiti notevoli, tutte le equivalenze precedenti possono essere generalizzate sostituendo al posto della X una generica funzione ep X che sia infinitesima, ovvero che tenda a zero. Avremo quindi, ad esempio, che il seno di 5x è asintoticamente equivalente a 5x quando X tende a 0. E vedete che si tratta sostanzialmente di questa equivalenza asintotica qui, in cui al posto di avere X abbiamo stavolta 5x, e l'equivalenza resta valida perché 5x, nelle nostre ipotesi, è una quantità che tende a zero. E analogamente, avremo che e elevato alla 1 su X - 1 è asintoticamente equivalente a 1 su X quando X tende all'infinito. E vedete che si tratta stavolta di questa equivalenza asintotica qui, in cui al posto di X c'è 1 su X, che è una quantità che, nelle nostre ipotesi, tende a zero.

Appurato questo, diamo adesso un'occhiata ad alcune importanti proprietà delle equivalenze asintotiche, che seguono subito dalla definizione e che possono poi tornarci molto utili nel calcolo dei limiti. In primis, se per X tendente ad un certo punto X con 0, la funzione F1 è asintoticamente equivalente alla funzione G1, e la funzione F2 è asintoticamente equivalente alla funzione G2, allora possiamo dire che F1 * F2 è asintoticamente equivalente a G1 * G2. Ed in particolare, se i limiti di questi due prodotti esistono, quei limiti sono uguali. In parole spicciole, questo ci autorizza, quando dobbiamo fare il limite di un certo prodotto, a sostituire uno o entrambi i fattori con degli altri fattori ad essi asintoticamente equivalenti.

E qualcosa di analogo lo possiamo fare anche nel caso dei rapporti. Infatti, nelle stesse ipotesi di prima, possiamo anche concludere che F1 fratto F2 è asintoticamente equivalente a G1 fratto G2. E quindi, anche all'interno di un rapporto, potrò sostituire alcuni dei termini con altri ad essi asintoticamente equivalenti. Infine, se FX è asintoticamente equivalente a GX per X che tende ad un certo punto X con 0, allora sono autorizzato a concludere che FX elevato all' Alfa è asintoticamente equivalente a GX elevato all' Alfa, naturalmente sempre per X tendente allo stesso punto X con 0.

Senza perdere altro tempo, diamo subito un'occhiata ad un primo esempio di limite e vediamo come tutto questo possa tornarci utile per risolverlo. Supponiamo che ci venga chiesto di calcolare il limite per x che tende a 0 di e elevato alla 3x - 1 per seno di 4x, tutto diviso per la tangente di 2x al quadrato. Notiamo innanzitutto che per x che tende a 0, ciascuno dei tre fattori che compaiono nel nostro limite tende a 0, e dunque siamo davanti ad una forma indeterminata del tipo 0 fratto 0.

Ora, in base alle valutazioni asintotiche di cui parlavamo poco fa, sappiamo che per x che tende a 0, e elevato alla 3x - 1 è asintoticamente equivalente a 3x, che il seno di 4x è asintoticamente equivalente a 4x, e che la tangente di 2x al quadrato è asintoticamente equivalente a 2x al quadrato. E combinando queste informazioni, alla luce delle osservazioni di cui parlavamo poco fa, possiamo concludere che la funzione che ci interessa si comporta in prossimità di x = 0 come 3x * 4x diviso 2x al quadrato, cosa che possiamo naturalmente semplificare, ottenendo come risultato semplicemente 6.

A questo punto, capite, abbiamo vinto, perché in base a quanto dicevamo qui sopra, se queste due quantità sono asintoticamente equivalenti, allora il limite per x che tende a 0 di questa deve essere uguale al limite per x che tende a 0 di quest'altra. Ma siccome quest'altra è semplicemente 6, allora possiamo concludere che anche il nostro limite deve essere uguale a 6. Vedete quindi come, grazie alle equivalenze asintotiche, sia possibile riscriversi una funzione molto poco friendly come la nostra in una forma equivalente ma molto più facile da trattare, soprattutto nel momento in cui si tratta di farne un limite.

Deve comunque essere chiaro che il simbolo di equivalenza asintotica non è un uguale. Quindi, quando scriviamo una relazione di questo tipo, non stiamo dicendo che questa funzione è uguale a questa funzione, ma stiamo solamente dicendo che le due si comportano allo stesso modo quando X tende a 0, e quindi in particolare che il limite della prima è uguale al limite della seconda.

Diamo adesso un'occhiata ad un secondo esempio e supponiamo che ci venga chiesto di calcolare il limite per x che tende a 0 meno della radice di 1 meno il coseno di X al quadrato, tutto diviso il logaritmo naturale di 1 + 2x. Da un'analisi preliminare, è facile convincersi che anche stavolta siamo davanti ad una forma indeterminata del tipo 0 fratto 0. Infatti, quando X tende a 0 meno, si annullano sia l'argomento della radice che il logaritmo che abbiamo al denominatore.

Ora, in base alle equivalenze asintotiche di cui parlavamo prima, quando X tende a 0, 1 meno il coseno di X al quadrato si comporta come 1/2 X alla quarta. E questo perché 1 meno coseno X, come abbiamo visto prima, si comporta come 1/2 X al quadrato, e noi dentro il coseno invece di avere X abbiamo x al quadrato. Dunque, dall'altra parte dobbiamo mettere il quadrato di x al quadrato, ovvero x alla quarta. Inoltre, visto che 1 meno il coseno di X al quadrato si comporta come 1/2 X alla quarta, possiamo anche concludere che allora la radice di 1 meno il coseno di X al quadrato sarà asintoticamente equivalente, cioè si comporta come la radice di 1/2 X alla quarta. E questo segue dalla terza regoletta che abbiamo visto prima, quella che ci diceva che se F(X) è asintoticamente equivalente a G(X), allora F(X) elevato all' Alfa è asintoticamente equivalente a G(X) elevato all' Alfa, perché vi ricordo che la radice quadrata la possiamo pensare come un elevamento alla 1/2. Ah, naturalmente, radice di 1/2 X alla quarta possiamo poi scrivercelo in maniera più semplice come 1 su radice di 2 per X al quadrato.

Per quanto riguarda invece il denominatore, per x che tende a 0, il logaritmo naturale di 1 + 2x è asintoticamente equivalente a 2x. E quindi, combinando le informazioni che abbiamo appena ricavato, possiamo concludere che quando X tende a 0, la nostra funzione si comporta come 1 su radice di 2 X al quadrato diviso 2x, che semplificato diventa semplicemente X fratto 2 radice di 2. Ma a questo punto, capite, abbiamo vinto, perché sapere che la nostra funzione è asintoticamente equivalente quando X tende a 0 a X fratto 2 radice di 2, ci dice in particolare che il limite per x che tende a 0 della nostra funzione deve essere uguale al limite per x che tende a 0 di X fratto 2 radice di 2. E questo limite è immediato da fare, fa zero. E quindi vedete, grazie alle equivalenze asintotiche, siamo riusciti a scoprire agevolmente che il risultato del nostro limite è zero.

Prima di salutarvi, volevo ricordarvi un ultimo paio di cose importanti. La prima è che naturalmente non ha senso scrivere che F(X) sia asintoticamente equivalente a 0 quando X tende ad un certo punto X con 0, e questo è ovvio se pensate alla definizione di equivalenza asintotica, perché se fosse vero questo, staremmo dicendo che il limite del rapporto di questi due tende ad 1 quando X tende ad X con 0, ma naturalmente non è possibile dividere per zero. Quindi una scrittura di questo tipo non va bene.

Inoltre, altra cosa importante da ricordare, se sappiamo che F1 è asintoticamente equivalente a G1 ed F2 è asintoticamente equivalente a G2 quando X tende ad un certo punto X con 0, non siamo in generale autorizzati a concludere che F1 più o meno F2 è asintoticamente equivalente a G1 più o meno G2. La cosa funziona a volte, ma in generale non è detto. Giusto per fare un esempio, anche se sappiamo che Sen x è asintoticamente equivalente ad X e che il logaritmo naturale di 1 + x è asintoticamente equivalente ad X quando X tende a 0, non possiamo allora concludere che Sen x meno logaritmo 1 + x è asintoticamente equivalente ad X meno X, perché vedete, X meno X farebbe 0, e come dicevamo poco fa, non ha senso scrivere che una funzione è asintoticamente equivalente a zero. Quando vi trovate davanti ad una situazione come questa, significa che siamo stati un po' troppo brutali nella nostra valutazione al primo ordine ed è necessario raffinarsi, cosa che comprenderemo ed impareremo a fare meglio nei prossimi video quando parleremo degli sviluppi di Taylor.

Io per il momento, ragazzi, vi saluto. Come sempre, se avete trovato utile il video, ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarci sulla pagina Facebook e date un'occhiata all'interno del canale, dove troverete moltissimi altri video. R. [Musica]