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En el presente video vamos a hablar acerca del sistema radial. Al sistema radial también se lo conoce como sistema circular y también por el otro nombre que sería sistema internacional. Es decir, el sistema internacional y el sistema circular son sinónimos del sistema radial.
Hay que recordar que en la medición de ángulos nosotros tenemos tres sistemas principales, y estos son: el sistema sexagesimal, cuya unidad de medida es el grado sexagesimal, el cual es expresado por un pequeño círculo en la parte superior del número. Uno es decir, por ejemplo, su unidad de medida en este caso del sistema sexagesimal sería 1 grado sexagesimal.
También tenemos el sistema centesimal, cuya unidad de medida es el grado centesimal, y este grado centesimal se expresa como un uno y una pequeña G en la parte superior. Y el otro sistema es el que estamos analizando en este caso, sería el sistema radial, cuya unidad de medida de este sistema radial sería el radián, y el radián en este caso se expresa por la abreviación de rad. Es decir, un rad sería la unidad de medida del sistema radial.
Para entender un poco mejor al sistema radial, vamos a utilizar unos gráficos. Por ejemplo, acá tenemos un círculo, acá tenemos un radio en este caso de longitud r, y ahora vamos a graficar otro radio de longitud r. Y de esta forma vamos a formar un ángulo al cual lo vamos a llamar ángulo teta. Es decir, este vendría a ser el ángulo teta, esta rotación le llamamos ángulo teta. Y acá podemos ver que estamos formando un arco, no un segmento de arco. Es decir, todo esto es sería la longitud de la circunferencia, pero este pequeño segmento de arco que está limitado por este radio y este otro radio y que se encuentra opuesto a este ángulo teta, le vamos a llamar L sub a, es decir, longitud de arco. Y en este caso lo vamos a pintar de color naranja. Esto sería la longitud L sub a o longitud de arco, que tendría las mismas unidades de medida que el radio.
El sistema radial nos permite relacionar a este ángulo teta que se encuentra entre estos dos radios con la longitud del arco L sub a y con su radio respectivo. Es decir, la fórmula para relacionar estas tres variables sería: teta = a L sub a dividido entre su radio, es decir, dividido entre r. La longitud del arco y el radio deben tener las mismas unidades, por lo que si es que la longitud L sub a, la longitud de arco L sub a está en metros, entonces el radio también va a estar en las mismas unidades, es decir, estaría en metros. Si es que L sub a se encuentra en las unidades de pulgadas, entonces el radio también se va a encontrar en las unidades de pulgadas. Vamos a ver otro ejemplo. Si es que L sub a se encuentra digamos en milímetros, entonces hay que tener cuidado que el radio también se encuentre en las mismas unidades, es decir, en milímetros. El ángulo sí se va a representar en las unidades de los radianes, es decir, en rad.
Vamos a poner un ejemplo práctico para poder entrenar un poquito más esta fórmula. Entonces, por ejemplo, si es que tenemos un radio que en este caso vamos a decir que es igual a 2 m y la longitud de arco vamos a decir que vale igual a 3.2 m, entonces nos dicen a qué sería igual el ángulo teta. Vamos a ver acá, tenemos la fórmula, por lo tanto, lo único que hacemos es reemplazar. Teta sería igual a L sub a, en este caso sería igual a 3.2, colocamos 3.2 en el numerador, serían metros, y en el denominador va el radio, en este caso el radio estamos viendo que es igual a 2 m, entonces colocamos 2 m en el denominador. Por lo tanto, teta, ¿qué sería igual? Teta sería igual a, eliminamos metro con metro, se va, sería 3.2 dividido entre 2, y esto nos da igual a 1.6. Acá vemos, hemos eliminado metros, simplemente nos queda 1.6. Esto lo podemos dejar así, teta = 1.6, o también podemos decir que teta es igual a 1.6 radianes. Cualquiera de estas dos respuestas, es decir, teta = 1.6 o teta = 1.6 radianes, son válidas. Si es que nosotros no colocamos ningún tipo de unidad, nosotros nosotros debemos asumir que son radianes. Es decir, teta = 1.6 o teta = 1.6 radianes sería una respuesta válida, no cualquiera de estas dos.
Vamos a borrar la pizarra para poder poner otro ejercicio para poder entender un poco mejor este tema de los radianes. Por ejemplo, si es que tenemos que la longitud de arco L sub a es igual en este caso a 12 pulgadas y si es que tenemos la medida del ángulo teta y sabemos que es igual a 1.5 radianes, entonces nos piden calcular a qué es igual el radio. Lo único que hacemos es reemplazar en esta fórmula los valores ya conocidos. En este caso tenemos teta, esto sería igual a 1.5, colocamos 1.5, sabemos que es indiferente si colocamos 1.5 radianes o simplemente el valor numérico que en este caso sería 1.5. Así es que en este caso solamente lo dejamos como 1.5, y esto sería igual a L sub a, en este caso L sub a, que es la longitud de arco, esta medida es igual a 12 pulgadas, entonces en el numerador escribimos 12 pulgadas, y eso es lo que escribimos en el numerador. Y en el denominador tenemos el valor de r, que es justamente lo que deseamos conocer, entonces escribimos r. Acá vemos que r se encuentra dividiendo y pasa al otro lado a multiplicar. Colocamos r, y vemos que el ángulo, que en este caso sería de 1.5, estaría multiplicando al r, entonces va a pasar a dividir. Es decir, acá tendríamos las 12 pulgadas, simplemente lo volvemos a escribir, y este 1.5, como estaba multiplicando al r que está pasando a este lado, pasaría a dividir, es decir, escribimos 1.5 en este lado. Por lo tanto, de esta división de 12 pulgadas entre 1.5, podemos ver que el valor de r, vamos a escribirlo en esta parte, sería igual a qué, sería igual a 8 pulgadas. Colocamos 8 pulgadas, esa sería la respuesta, esa sería la medida del radio.
Ahora vamos a borrar nuevamente la pizarra para poder seguir explicando. Ahora vamos a ver un caso especial, y esto es cuando el radio es igual a un. Vamos a ver qué es lo que pasa cuando este radio r es igual a la unidad. Acá igual tenemos el ángulo teta, este vendría a ser el ángulo teta, y todo esto vendría a ser la longitud del arco L sub a. Esto sería la longitud del arco. Entonces, por ejemplo, si en caso nosotros tenemos un radio ya sea en pulgadas, en cualquier unidad, en este caso vamos a decir si es que este radio mide igual a una pulgada, por ejemplo, qué es lo que pasaría con el ángulo y con L sub a. Entonces, lo único que hacemos es reemplazamos. Digamos, tenemos que teta sería igual en este caso a L sub a dividido entre el radio, pero en este caso el radio es igual a 1 pulgada. Entonces, vamos a ponerle un valor en este caso a L sub a. ¿Qué pasa si es que L sub a es igual a 2 pulgadas? Digamos, L sub a igual a 2 pulgadas. Entonces, vamos a reemplazar. Sería teta sería igual, L sub a es igual a 2 pulgadas, entonces colocamos 2 pulgadas en el numerador, y en el denominador sabemos que va el radio, en este caso estamos asumiendo que es igual a 1 pulgada, por lo tanto, el ángulo teta vendría a ser igual. Acá eliminamos pulgada con pulgada, sería 2 dividido entre 1, entonces el ángulo teta sería igual a 2 radianes. Es decir, el ángulo teta toma la misma magnitud que L sub a, pero en las unidades de radianes. Es decir, si es que el radio midiera 1 m y L sub a fuera igual al valor, digamos, de 5 m, entonces el ángulo teta sería igual a 5 radianes. Si el radio fuera de 1 mm y L sub a fuera igual a 3.5 mm, entonces teta sería igual a 3.5 radianes. En otras palabras, tenemos una correlación directa del ángulo teta con L sub a cuando el radio es igual a la unidad.
Ahora vamos a borrar esta pizarra y vamos a ver qué es lo que pasa cuando el radio es igual a la longitud del arco. Por ejemplo, en este ejemplo, acá tenemos el radio, acá tenemos el ángulo teta que lo estamos graficando, y también tenemos esta longitud que en este caso vendría a ser la longitud del arco L sub a. Y qué es lo que pasa si es que en este caso tenemos un radio igual a 1. Es decir, vamos a asumir en esta vez eh 1 m, vale 1 m. Sabemos que pueden ser cualquier unidades, metro, milímetro, pulgada o cualquier otra unidad. Estamos asumiendo en este caso que es igual a 1 m, y vamos a asumir que L sub a también tenga el valor de 1 m. Entonces, como hemos visto anteriormente, el ángulo toma directa cuando el es igual a 1 m o a una unidad, ya sea en cualquier unidades. En este caso tenemos la unidad del metro, el ángulo teta toma exactamente el valor de la longitud del arco, pero en radianes. Es decir, en este caso el ángulo teta sería igual a un radián. Sería un radián, no. Esto ya lo hemos demostrado, simplemente podemos colocar acá un metro en el numerador, que sería el valor de L sub a, y en el denominador sería el radio, es decir, igual a 1 metro. Se anula un en un metro con metro se anula, y nos quedaría una unidad que en este caso sería el valor de teta igual a un radián.
Entonces, vamos a partir a este círculo en dos y vamos a ver qué es lo que pasa si es que nosotros esto ustedes también lo pueden demostrar en su casa con una pita, miden con una hincha 1 metro y a partir del centro pueden graficar su círculo y también con la hincha pueden medir en ese círculo graficado una longitud de arco de 1 metro. Metros. Esto lo pueden demostrar lo que voy a demostrar en estos momentos. Entonces, ¿qué es lo que pasa acá? Ya hemos medido a partir de este punto un metro. Sabemos que este ángulo tiene una medida de un radián. Y qué es lo que pasa si es que nosotros graficamos nuevamente un ángulo de un radián acá. Nosotros sabemos que este ángulo tiene el valor de un radián, acá lo escribimos teta igual a un radián. Por ejemplo, acá tenemos otro ángulo, en este caso también sería el ángulo teta, y si es que nosotros medimos esta distancia, en este caso también es una longitud de arco, lo vamos a llamar L sub a. Y si medimos a esta distancia igual a 1 metro, entonces este ángulo también tendría un valor. Este ángulo tendría el valor de un radián, ya que si reemplazamos acá L sub a entre r, L sub a sería 1 metro dividido entre 1 metro, el ángulo sería un radián, como hemos explicado anteriormente.
Ahora, si volvemos a graficar nuevamente el ángulo teta, ¿qué es lo que pasaría? Por ejemplo, esto sería la nueva longitud del arco, y todo esto vendría a ser igual a 1 metro. Ustedes con su cuerda pueden medirlo, como repito, en su casa, y ustedes miden con su wincha esto igual a 1 metro, entonces este ángulo también tendría el valor de un radián, ya que el ángulo toma directamente el valor de la longitud del arco debido a que su radio es igual a la unidad. Y si ustedes, como repito, hemos partido el círculo en dos, en la mitad, acá tenemos un pequeño espacio, y si ustedes lo miden, este pequeño espacio va a tener el valor de 0.1416. Por lo tanto, le vamos a llamar L sub a a 0.1416. Por lo tanto, este ángulo, este pequeño ángulo, tendría un valor. Lo voy a jalar hacia acá, ya que es muy pequeño, no puedo escribirlo. Este ángulo tendría un valor de 0.1416 radianes.
Ahora, si es que nosotros sumamos todos estos ángulos, ¿qué es lo que nos da? Vamos a borrar esta parte de la pizarra para poder tener un poco más espacio. Entonces, ahora vamos a sumar todos estos ángulos para ver cuánto es la medida del ángulo en radianes para la mitad de una vuelta. Entonces, acá tendríamos en este caso un radián, lo vamos a poner de color naranja para poder identificar que es el ángulo que está opuesto a este esta longitud de arco. Entonces, sería igual a un radián, más en este caso, acá tenemos otro radián, sería la unidad, un radián, que está opuesto a esta longitud de arco, colocamos acá un radián, más acá tenemos otro radián, que sería opuesto a esta longitud de arco, y lo escribimos como un radián, y más acá vemos que tenemos 0.1416 radianes, y eso es lo que escribimos acá, más 0.1416 radianes. Si es que nosotros sumamos todo esto, esto ¿a qué nos va a dar igual? Este ángulo sería 1 + 1, 2 + 1, 3 + 0.1416, sería igual a 3.1416 radianes. Este vendría a ser el ángulo de la mitad de una vuelta. Entonces, es que nosotros queremos saber a qué es igual el valor de una vuelta completa, a este ángulo nosotros le vamos a llamar el ángulo Alfa. Este ángulo Alfa vendría a ser igual a qué, sería dos veces este valor, es decir, sería dos veces 3.1416, y por lo tanto, este valor Alfa sería igual a 6.2832 radianes.
Ahora, hay que tomar en cuenta que el valor de 3.1416 también se representa por el símbolo de pi, es decir, esto sería igual para la media vuelta, es decir, para la media vuelta de un círculo, sería igual a pi radianes. Por lo tanto, el ángulo para una vuelta completa sería igual a 2 pi radianes, o también 6.2832. Normalmente nosotros lo conocemos como 2 pi radianes al valor de una vuelta completa en las medidas de radianes, ¿no?
Ahora vamos a borrar parte de la pizarra para poder poder entender un poco mejor la conversión de unidades. Sabemos que Alfa sería igual en este caso, vamos a dejarlo como igual a 2 pi radianes. Entonces, si nosotros recordamos el sistema sexagesimal, entonces podemos decir de que una vuelta completa en el sistema sexagesimal es igual a 360 grados sexagesimales. Y además, en el sistema centesimal, una vuelta completa a un círculo vendría a ser igual a 400 grados centesimales. Es decir, podemos igualar en este caso al sistema sexagesimal con el sistema centesimal, y hemos visto que en este caso, en el sistema radial, que es el caso que estamos estudiando actualmente, acabamos de ver de que una vuelta completa en este sistema radial sería igual a 2 pi radianes. De esta forma, nosotros podemos comparar estos tres sistemas.
Ahora, si es que nosotros dividimos entre dos a cada uno de estos valores, entonces podemos decir que en este caso sería 160 dividido entre 2, sería 180 grados sexagesimales, y esto sería igual a 400 dividido entre 2, nos da 200 grados centesimales, y 2 pi radianes entre 2 sería igual a pi radianes. Entonces, nosotros podemos hacer la conversión, ya sea de grado sexagesimal a grado centesimal, igualando 180 igual a 200 grados centesimales, o de sistema sexagesimal con el radial, igualando 180 grados sexagesimales es igual a pi radianes, o del sistema centesimal al sistema radial, igualando 200 grados centesimales es igual a pi radianes.