Limiti notevoli : introduzione e primi esempi ;)

[Musica] Ciao ragazzi, in questo video vedremo quali sono i principali limiti notevoli e vedremo concretamente come utilizzarli all'interno degli esercizi.

Cominciamo col dire che quelli che vengono chiamati limiti notevoli non sono altro che delle forme indeterminate classiche particolarmente ricorrenti, di cui uno si impara il risultato e che, una volta imparate, ci consentiranno, come vedremo, di risolvere una quantità vastissima di altri limiti.

I limiti notevoli fondamentali sono sostanzialmente due e poi, come vedremo, da questi se ne possono ricavare degli altri conseguenti. Il primo è il limite per x tendente a 0 di seno di x fratto x, e questa, se fate l'analisi preliminare, sarebbe una forma indeterminata del tipo 0 fratto 0. Ecco, si dimostra che questo limite è uguale ad 1.

Dall'altra parte abbiamo invece il limite per x tendente all'infinito (non importa se più o meno infinito, tanto il risultato è lo stesso) di 1 + 1 su X, il tutto elevato alla x, e questo limite, che si presenta come forma indeterminata 1 elevato all'infinito, da come risultato E, che sarebbe, vi ricordo, il numero di Nepero, che possiamo stimare grezzamente con 2,718 se vogliamo averne un'approssimazione al millesimo, e che, vi ricordo, come Pi greco, è uno di quei numeri irrazionali trascendenti di uso comune in matematica.

A partire da questi due limiti notevoli, possiamo poi ricavarne altri quattro che sono davvero molto, molto frequenti e che sono, se volete, conseguenza diretta di questi. Diamogli un'occhiata e vediamo anche in che modo possono essere ricavati a partire dai precedenti, in modo tale da cominciare a familiarizzare con l'utilizzo dei due limiti notevoli fondamentali all'interno degli esercizi.

Il primo è il limite per x tendente a 0 della tangente di x fratto x, che, facendo una rapida analisi preliminare, si rivela essere una forma indeterminata 0 fratto 0. Questo limite può essere risolto facilmente se riscriviamo la tangente di x come rapporto tra il seno di x e il coseno di x, perché vedete, a questo punto, che cosa ci è saltato fuori? Ci è saltato fuori un sen x su x, che è una quantità che, quando x tende a 0, tende ad 1, e questo ce lo dice il nostro amico limite notevole. E poi abbiamo l'altro pezzettino, l'1 fratto cos x, che, quando x tende a 0, tende ad un anche lui, e questo, ragazzi, accade perché il coseno è una funzione che, per x tendente a 0, tende ad 1. E segue quindi che il risultato di questo limite è 1.

L'altro limite fondamentale che si dimostra sempre a partire da sen x fratto x è il limite per x tendente a 0 di 1 meno coseno x, tutto fratto x al quadrato, e anche questo, se facciamo una rapida analisi preliminare, si presenta come forma indeterminata del tipo 0 fratto 0. Ora, se vogliamo cercare di ricondurre questo limite a limite per x che tende a 0 di sen x su x, dobbiamo in qualche modo far saltar fuori la funzione seno, che per il momento, vedete, non compare. E la mossa vincente da fare in questo caso è quella di moltiplicare e dividere per 1 più coseno x. Naturalmente, qualcuno di voi magari si starà chiedendo: "E perché diavolo moltiplicare e dividere per la stessa quantità 1 più coseno di x?". L'idea è che, se procediamo in questo modo, al numeratore della frazione ci compare la quantità 1 meno coseno al quadrato x, che è uguale, ricordando la relazione fondamentale della goniometria che diceva che seno al quadrato x più coseno al quadrato x è uguale a 1, a seno al quadrato x. E quindi, vedete, possiamo riscrivere la nostra frazione come seno al quadrato x fratto x al quadrato, il tutto che moltiplica 1 fratto 1 più coseno x. E se adesso andiamo ad analizzare a che cosa tendono questi due pezzettini, vedete che il primo, qui, seno al quadrato x diviso x al quadrato, non è altro che il quadrato del nostro limite notevole, e quindi, se il limite notevole tendeva ad 1, il suo quadrato tenderà ad 1 al quadrato, che, se volete, è direttamente 1. Mentre l'altro pezzettino, 1 fratto 1 più coseno x, quando la x tende a 0, tenderà ad 1/2, dato che il coseno, come dicevamo prima, è una funzione che, per x tendente a 0, tende ad 1. A questo punto non ci resta che fare questa ardita moltiplicazione per concludere che il risultato del limite è un mezzo.

Vediamo adesso un paio di esempi di esercizi dove bisogna utilizzare direttamente i due limiti che ci siamo appena ricavati e che io vi consiglio di imparare a memoria al pari dei due limiti notevoli fondamentali, perché sono talmente frequenti che tanto vale veramente impararsi una volta per tutte e poi utilizzarli all'interno degli esercizi.

Supponiamo, ad esempio, di dover calcolare il limite per x tendente a 0 di due volte il seno di x più quattro volte di x, il tutto diviso per x coseno di x più due volte sen x. E anche questa, dopo una rapida analisi preliminare, si dimostra essere una forma indeterminata del tipo 0 fratto 0. Ora, uno nota immediatamente che ci sono dei seni, delle tangenti, e vorrebbe cercare di riutilizzare quindi il limite notevole con il seno e il limite notevole con la tangente. Il problema è che non abbiamo le x al denominatore. Vedete, qui c'è il seno e la tangente, però non le abbiamo fratto x come vorremmo. E quindi, che cosa possiamo fare per far comparire queste x al denominatore che per il momento non ci sono? Beh, possiamo, ad esempio, raccogliere al numeratore e al denominatore una x e, naturalmente, visto che i pezzettini con il seno e la tangente qui la x in origine non ce l'avevano, se noi la raccogliamo, dobbiamo compensare mettendogli la alla denominatore. E a questo punto, capite, siamo felici perché sono spuntati esattamente i pezzettini che stavamo cercando e di cui sappiamo fare il limite. E una volta semplificate le x qui davanti e ricordando che il coseno, quando x tende a 0, tende ad 1, non ci resta che fare i calcoli e vedete che sopra ci viene un 2 per 1 più 4 per 1, che naturalmente fa 6, e sotto invece abbiamo un 1 più 2 per 1, che fa 3, e di conseguenza il risultato del limite sarà 2.

Vediamo adesso un altro esempio. Proviamo a calcolare il limite per x tendente a 0 della radice quadrata di coseno x meno coseno al quadrato x, il tutto fratto 2x al quadrato. Di nuovo, se facciamo l'analisi preliminare, anche questa si presenta come una forma indeterminata del tipo 0 fratto 0, perché infatti, quando x tende a 0, il coseno tende ad 1, e quindi qui ci viene un 1 meno 1 che fa 0, e sotto abbiamo il 2x al quadrato, 2 che fa zero anche lui. Ora, dando un'occhiata, è abbastanza chiaro che quello che c'è sotto radice assomiglia alla lontana a 1 meno coseno x fratto x al quadrato. Come facciamo, quindi, a far saltar fuori esattamente quel limite lì? Beh, possiamo, ad esempio, raccogliere al numeratore un coseno di x, visto che abbiamo coseno e cos quadro, e a questo punto fattorizzare quello che c'è sotto radice in coseno x fratto 2 che moltiplica esattamente il pezzettino che stavamo cercando. Lui abbiamo scoperto prima tende a 1/2. Coseno di x fratto 2 è una quantità che tende anch'essa a 1/2, e quindi, svolgendo la moltiplicazione che ci è comparsa sotto radice, possiamo concludere che il risultato del limite è radice di 1/4, che è naturalmente uguale a 1/2.

Capite, quindi, ragazzi, che una volta che uno si impara a memoria il limite notevole di partenza e le sue due dirette conseguenze, risolvere molti altri limiti diventa a questo punto facile, perché si tratta solo di riconoscere all'interno di questi altri limiti i pezzettini che noi conosciamo.

Capito questo, diamo un'occhiata agli altri due importantissimi limiti che discendono questa volta dal secondo limite notevole fondamentale. Il primo è il limite per x tendente a 0 del logaritmo naturale di 1 più x fratto x, e anche questo, una volta che uno prova a sostituire 0, si presenta come una forma indeterminata del tipo 0 fratto 0. Ora, la prima cosa da fare, se vogliamo ricondurre questo limite al secondo limite notevole fondamentale (che vi riscrivo qui da una parte così ce lo ricordiamo), è quella di spostare questa x che sta al denominatore e metterla come esponente dell'argomento del logaritmo, e questo, ragazzi, è possibile in base a una di quelle proprietà dei logaritmi. Se non ve le ricordate bene, ho realizzato un video apposta su questo, lo trovate all'interno del canale. Quindi, questa x che sta qui sotto, che, se volete, è come se fosse un 1 su x moltiplicato davanti al logaritmo, lo possiamo spostare ad esponente. E arrivati a questo punto, ci tocca cambiare variabile, perché ci tocca cambiare variabile perché vedete, dove nel limite notevole c'è 1 su x, noi abbiamo x, e dove invece vorremmo x, abbiamo questa volta 1 fratto x. E quindi, come facciamo ad aggiustare la cosa? Beh, possiamo, ad esempio, chiamare la quantità 1 su x y e cambiare variabile in questo modo: dove avevamo 1 su x, adesso otterremo y, dove invece c'era x, cioè il reciproco di 1 su x, otterremo questa volta 1 su y. E naturalmente, quando x tende a 0, avremo che la nostra y, che è 1 fratto x, tenderà ad infinito. E naturalmente, arrivati qui, siamo molto felici perché ci è saltato fuori esattamente il nostro amico limite notevole, che sappiamo tendere a e. E quindi possiamo concludere che il risultato del limite sarà il logaritmo naturale di e, che naturalmente fa 1.

Capito questo, vediamo a questo suo punto il suo amico, altrettanto importante, che è il limite per x tendente a 0 di e alla x meno 1, il tutto fratto x. E anche questa, se andiamo ad analizzarla, si presenta come forma indeterminata del tipo 0 fratto 0, perché infatti, quando x tende a 0, qui ci verrebbe e alla 0, che fa 1, meno 1, e quindi 0, e sotto naturalmente 0. Ora, questo limite si potrebbe dimostrare direttamente riconducendolo a quello di partenza, quindi al capostipite, se volete. Tuttavia, volendo recuperare un po' del lavoro che abbiamo appena fatto nel dimostrare il limite precedente, possiamo anche optare per una sostituzione più ardita e chiamare direttamente e alla x meno 1 y. In questo modo, se invertiamo questa relazione, abbiamo che e alla x è uguale a 1 più y, e quindi x, che era l'esponente, sarà uguale al logaritmo naturale di 1 più y. Inoltre, notiamo che se x tende a 0, anche y, che è uguale a e alla x meno 1, tenderà a 0. E quindi, se andiamo a sostituire, ci verrà il limite per y tendente a 0 di che cosa? Al posto di e alla x meno 1 metteremo y, e al posto di x, come dicevamo, il logaritmo naturale di 1 più y. Ma notate che quello che ci è saltato fuori è esattamente il limite precedente, upside down, cioè con il numeratore e il denominatore invertiti tra di loro. E quindi, forti del risultato che abbiamo ottenuto prima, possiamo dire che questa quantità tende al reciproco di 1, che fa sempre 1, che è quindi anche il risultato del limite.

Per concludere, volevo poi dirvi che a partire da questi due limiti che abbiamo appena dimostrato, ne seguono subito altri due che sono il limite per x tendente a 0 di a alla x meno 1 fratto x, che fa il logaritmo naturale di a, e il limite per x tendente a 0 del logaritmo in base a di 1 più x, il tutto fratto x, che fa invece 1 fratto il logaritmo naturale di a. Questi due si trovano decisamente più raramente dei precedenti, però ogni tanto saltano fuori e quindi può essere una buona idea memorizzarli.

Nel prossimo video vedremo alcuni esercizi un pochino più avanzati con i limiti notevoli. Detto questo, ragazzi, io vi saluto. Come sempre, se avete trovato utile questa video lezione, ricordatevi di mettere mi piace, passate a trovarci sulla pagina Facebook e date un'occhiata all'interno del canale, dove troverete moltissimi altri video.

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