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Hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil. En este vídeo vamos a empezar un curso de variable compleja. El curso de variable compleja también se conoce como análisis complejo o como cálculo complejo.
Para poder entender este curso, hay unos requisitos que son, por supuesto, saber álgebra elemental y geometría analítica, y saber cálculo en varias variables. Es decir, saber, bueno, que se sobreentiende aquí que también cálculo de una variable. Es saber calcular derivadas, integrales, derivadas parciales, integrales de línea y esas de este tipo de cosas. Lo que se va a ir necesitando a lo largo del curso. De todas maneras, vamos a ir repasando, pero bueno, lo recomendable es que ya hayan visto estos cursos para que no les cueste demasiado trabajo entender los temas que aquí se van a ver. Pero bueno, como les digo, de todas maneras, a mí me gusta hacer un pequeño repaso cuando se necesita si vamos a utilizar alguna herramienta de alguno de estos cursos.
Bueno, y me voy a basar en algunos libros que son, bueno, principalmente este libro, Variable Compleja y Aplicaciones de Churchill. Este libro está bastante bueno y es el que en realidad voy a utilizar principalmente. Aunque el libro de variable compleja hay bastantes y muy buenos. Otro libro que me gusta a mí mucho particularmente es el de Póliza y La. Este libro en realidad es un gusto, fue el que a mí me ayudó en la universidad para aprobar el curso de variable compleja, pero el de Churchill ya en la actualidad me parece bastante mejor y es en el que me voy a basar principalmente. Y otro libro bastante bueno es el de Análisis Básico de Variable Compleja de Marsden y Hoffman. También el libro de Variable Compleja de la serie de Schaum también está bastante bien. Y en general, hay bastantes libros de variable compleja que están bastante bien. Pero bueno, de todos estos, el que más recomiendo, repito, es el de Churchill.
Y bueno, pues vamos a empezar este curso hablando precisamente de qué son los números complejos. En este vídeo voy a dar una explicación informal de dónde surgen los números complejos y ya en el siguiente vídeo voy a dar la definición precisa de números complejos y voy a explicar, bueno, pues algunas de las propiedades. Entonces, en este vídeo simplemente es dar la idea de dónde surgen, por qué es que surgen los números complejos. Y bueno, tengo un vídeo que subí hace tiempo que se llama "De Números", donde explico los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos. Por lo que si no han visto este vídeo, los invito a que lo vean. Les voy a dejar el enlace en la descripción. De cualquier manera, vamos aquí a repasar algunas de las cosas que explico en este vídeo.
El primer conjunto de números con el que la humanidad se familiarizó, pues fue el de los números naturales, el cual sirve para contar objetos. Los números naturales son estos de aquí: 0, 1, 2, 3 y se siguen sin infinitamente. En estos números nosotros podemos realizar algunas operaciones. Podemos hacer sumas y multiplicaciones sin ningún problema. Cualquier par de números naturales que nosotros sumemos nos va a dar como resultado otro número natural, y podemos multiplicar dos números naturales y obtendremos como resultado otro número natural. De hecho, esas operaciones son las más básicas, las que aprendemos al principio en la escuela. Y también aprendemos a hacer restas, pero el problema con las restas es que no se pueden hacer todas las restas en los números naturales. Pueden hacer algunas de ellas. De hecho, cuando aprendemos a restar, siempre primero vemos esto: a un número mayor restarle un número menor, por ejemplo, 9 menos 2 que nos da 7, o 6 menos 3 que nos da 3. Al principio de la escuela, pues no nos enseñan a restar algo como esto, que a un número menor le podamos restar una cantidad mayor. Esto de aquí no se puede hacer dentro de los números naturales. Es decir, 1 menos 5 no es un número natural, no queda definido dentro de los números naturales.
Pero existe otro conjunto que incluye de los naturales y que es el de los enteros, donde además de estos números naturales que serían los enteros positivos, se incluyen a los enteros negativos. Y si incluimos a estos enteros negativos, entonces ya podemos realizar todas las restas, incluida esta de aquí. En este caso, bueno, pues 1 menos 5 queda definido aquí como menos 4. Aquí ahora sí, cualquier par de números enteros que nosotros tomemos, tanto podemos sumar, multiplicar y también hacer restas.
Ahora, lo que no podemos hacer aquí en todos los casos son divisiones. Solamente podemos hacer algunas de las divisiones. Es decir, podemos agarrar un par de números enteros y solo en algunos casos al dividirlos nos va a quedar como resultado un entero, pero en muchos casos el resultado de la división no será entero. Por ejemplo, si dividimos 6 entre 2, bueno, pues eso nos da 3, es un número entero. Pero si queremos dividir 7 entre 2, esto ya no es un número entero, es una operación que no se puede realizar con este conjunto. Y por ello existe otro conjunto que es el de los racionales. El conjunto de los racionales es el conjunto de todas las divisiones de números enteros y, bueno, en particular también los propios números enteros, porque cualquier número entero se puede obtener de dividir el propio número entre uno.
Ahora, el problema con los números racionales es que, aunque se pueden hacer todas las divisiones, hay ciertas cosas que no podemos hacer con los números racionales y que descubrieron de hecho los antiguos griegos. Con los números racionales podemos calcular ciertas distancias, pero hay distancias que no podemos calcular, distancias que no son números racionales. Para entender mejor esto, vamos a ver un sencillo problema. Tenemos el siguiente rectángulo que tiene como altura 3, como base 4, y supongamos que queremos saber cuánto mide la diagonal de este rectángulo, es decir, esta. Bueno, pues una de las cosas que aprendemos, de las primeras cosas que vemos en geometría, es el teorema de Pitágoras, que nos permite calcular la hipotenusa de un triángulo a partir de sus catetos. Recordemos que aquí podemos nosotros calcular la hipotenusa con el teorema de Pitágoras, que nos dice que hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Lo que nosotros estamos buscando es la medida de la diagonal, la cual estoy representando aquí como d. Entonces, nosotros podemos hacer estas operaciones: 3 al cuadrado nos da 9, 4 al cuadrado nos da 16, y al sumar 9 más 16 es 25. Esa es la medida de la diagonal al cuadrado, pero nosotros queremos la propia diagonal. Entonces, estamos buscando un número que elevado al cuadrado nos dé como resultado 25. En este caso, es muy fácil, el número es el 5. 5 al cuadrado es lo que nos da como resultado 25, y el 5 es un número racional. Es decir, en este caso, el problema sí lo podemos resolver dentro de los racionales.
Pero esto no se puede hacer en general. Si nosotros construimos un cuadrado muy sencillo como este de aquí, el cuadrado tiene longitud 1 aquí y longitud 1 aquí también, pero si queremos medir la diagonal de este cuadrado, aplicando el mismo teorema, tenemos que la diagonal al cuadrado es igual a 1 al cuadrado más 1 al cuadrado. 1 al cuadrado es 1 y 1 más 1 es 2. Así que nos queda que la diagonal al cuadrado debe ser igual a 2. Entonces, aquí estamos buscando un número que elevado al cuadrado sea igual a 2. Y una de las cosas que descubrieron los griegos es que es imposible encontrar una fracción que elevada al cuadrado nos dé como resultado 2. En otras palabras, no es un número racional la medida de esta diagonal. A ese número se le llama número irracional. Entonces, en este caso, la distancia no la podemos medir dentro de los racionales.
Y tenemos un conjunto más grande que nos permite medir cualquier distancia, que es el conjunto de los números reales. En los números reales sí que podemos medir esta distancia de aquí. De hecho, en este caso mide la raíz cuadrada de 2, que es 1.4142, etcétera, una infinidad de decimales que nunca terminan y que no llevan aquí un patrón claro, no se repite como en el caso de los números racionales. Todo esto lo expliqué con más detalle en el vídeo que les recomendé que vieran, así que bueno, y no me voy a extender más. Lo que es importante es que en los reales se puede medir cualquier distancia. Otro número real, por ejemplo, es el número pi, que en este caso nos permite medir la longitud de la circunferencia, por ejemplo, de un círculo de radio 1. Entonces, mediante los reales podemos medir cualquier distancia. Y de hecho, a los reales los podemos representar como los números, bueno, como puntos en una recta. Si en una recta nosotros elegimos un punto como el cero y luego a la derecha a otro punto como el 1, de esta manera quedan definidos todos los números reales como puntos que se encuentran sobre la recta, dependiendo de a qué distancia desde el cero se encuentran. Por ejemplo, aquí podemos medir el 0.5 como el número que está a la mitad entre el 0 y el 1. Y entonces todos los números racionales en general se pueden representar en la recta, pero hay números en la recta que no son racionales. Por ejemplo, si nosotros tomamos esta diagonal y la ponemos aquí sobre la recta, por lo que vamos a tener es el número que acabamos de decir aquí, 1.4142, etcétera, que es un número que no es racional. También podemos representar el número pi, que se encontraría por aquí, más adelante del 3. Y en general, cualquier distancia la podemos representar sobre la recta.
Bueno, entonces hasta aquí pues tenemos a los números reales. Todavía no hemos dicho que son los números complejos, así que necesitamos saber, bueno, pues qué problemas no podemos resolver dentro de los reales. Ya hemos visto hasta aquí que cada nuevo conjunto de números se crea a partir de un problema que queda sin resolver para el conjunto anterior. Primero, no podemos hacer restas, así que se inventan los números enteros. Luego, no podemos hacer todas las divisiones, así que surge el de los racionales. Y luego, no podemos medir todas las distancias dentro de los racionales, así que tenemos ahora al conjunto de los reales. ¿Cuáles son los problemas que no podemos resolver dentro de los reales, por la cual surge la necesidad de crear a los complejos? Bueno, el problema es que al resolver problemas con los números reales frecuentemente nos encontramos con ciertos polinomios que no podemos resolver dentro del conjunto de los reales. Por ejemplo, esta ecuación de aquí: x² + 2x + 5 = 0. Es una ecuación de segundo grado. Cuando nosotros vemos ecuaciones de segundo grado, nos encontramos, bueno, pues una fórmula que nos permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es esta fórmula de aquí. Si nosotros en esta fórmula sustituimos los valores que nos dice aquí la ecuación, que en este caso son a = 1, b = 2 y c = 5, al sustituir llegamos a esta expresión de aquí. El problema con esta expresión de aquí es que la raíz cuadrada de menos 16 no es un número real, por lo que esta ecuación no se puede resolver dentro de los números reales. Es decir, esto de aquí no tiene sentido dentro de los números reales.
De hecho, una ecuación mucho más simple que esta, que es x² = -1, tampoco se puede resolver dentro de los números reales. Estamos buscando un número tal que al elevarlo al cuadrado nos dé como resultado algo negativo, y esto no lo cumplen los reales, porque de hecho una propiedad que se puede demostrar es que si x fuera un número real, siempre x² es mayor o igual que 0. Esto surge, pues, de las leyes de los signos básicamente, porque si x es un número negativo, pues menos por menos da más, así que el resultado nos queda algo positivo. Si x es un número positivo, también más por más da más, así que x² es positivo. Y si x es 0, pues 0 por 0 nos da cero. Es decir, que para todo número real, siempre que lo elevamos al cuadrado, el resultado es mayor o igual que 0, nunca puede ser menor que cero, por lo que esto no lo podemos resolver dentro de los números reales.
Este problema de obtener raíces cuadradas negativas no ocurre únicamente en las ecuaciones de segundo grado. De hecho, tenemos algunas curiosidades en ecuaciones, por ejemplo, de tercer grado, como que esta ecuación de aquí. A principios del siglo XVI se encontró un método general para resolver ecuaciones de tercer grado, y al encontrar ese método general, se encontraron también ciertas curiosidades con las soluciones que se obtenían a partir de la fórmula. En el caso de esta ecuación, uno puede comprobar fácilmente que una solución es x = 4. Simplemente sustituyan este valor en esta ecuación y van a ver que se satisface la igualdad. Bueno, se sabe que este valor es el único valor positivo que resuelve esta ecuación, pero utilizando las fórmulas que se descubrieron en el siglo XVI, que son las fórmulas de Tartaglia-Cardano, se llegó a que esa misma solución positiva tiene esta expresión de aquí, la cual es una expresión un tanto curiosa, porque fíjense que tenemos aquí una raíz cúbica de 2 más una raíz cuadrada de menos 121. Es decir, aquí tenemos una raíz cuadrada de un número negativo, aquí también tenemos esa misma raíz cuadrada. Y como estamos diciendo, esta expresión de aquí, que se ve bastante más extraña, es la misma que, bueno, o debería dar el mismo resultado que el 4. Es decir, de alguna manera misteriosa, el número 4 es igual a esta expresión que es más complicada y que incluye esas raíces cuadradas de números negativos.
Al ver este tipo de cosas, uno ya no puede ignorar simplemente las raíces cuadradas de números negativos, porque de alguna manera sí que están relacionadas con los números reales. Es decir, existe algún proceso mediante el cual nosotros podemos llegar de esta expresión complicada, que además incluye raíces de números negativos, a este 4. También un poco más adelante del siglo XVI, Lagrange se encontró esta otra expresión, que la raíz cuadrada de 6 es igual a la raíz cuadrada de 1 más la raíz cuadrada de menos 3 más la raíz de 1 menos la raíz de menos 3. Vean como aquí únicamente aparecen raíces cuadradas, pero aquí adentro tenemos la raíz cuadrada de algo negativo. Entonces, de nuevo tenemos algo similar a lo que teníamos aquí arriba. De nuevo vemos que un número real está de alguna manera relacionado con raíces cuadradas de cantidades negativas. Esta fue una de las razones por las que los matemáticos de aquella época se vieron en la necesidad de estudiar las propiedades de estas cantidades misteriosas, las raíces cuadradas de números negativos, primero encontrar alguna forma de operar con estas cantidades y ver las propiedades de esas operaciones y qué se puede hacer con esos números. Uno de los primeros matemáticos en hacer todo esto fue Euler, y más adelante Gauss, quien llegó además a un resultado muy importante que mencionaría un poquito más adelante.
Pero también, como muchos de ustedes habrán notado, al resolver ecuaciones de segundo grado, algunas veces lo que ocurre es que al resolverlas obtenemos dos soluciones, como por ejemplo en esta ecuación de aquí. Al sustituir en la fórmula general, ven que en la fórmula aparece un más menos, y al tomar el signo positivo tenemos un resultado, al tomar el signo negativo tenemos otro. Por ejemplo, también en esta ecuación de aquí se obtienen dos soluciones que se pueden obtener con esa fórmula o directamente factorizando. Pero hay casos también en los que obtenemos una sola solución. Sin embargo, esa solución se puede considerar como una solución repetida, porque si nosotros factorizamos esto de aquí, esto se factoriza como (x - 1)², que es lo mismo que (x - 1) por (x - 1). Es decir, que la solución que en este caso es x = 1 se repite dos veces porque está el binomio repetido dos veces. Así que vemos que en general, como que se sigue aquí un patrón de que las ecuaciones de segundo grado todas tienen dos soluciones, aunque algunas veces se repita la solución, siguen siendo en realidad pues dos soluciones. Sin embargo, después uno se encuentra con ejemplos como el que vimos hace un momento, en el cual la ecuación no tiene ninguna solución, pero nunca pueden encontrar una ecuación de segundo grado que tenga más de dos soluciones, que tenga tres o cuatro soluciones, por ejemplo.
Entonces, vemos como si hubiera alguna regla que nos dijera que de alguna forma el grado de la ecuación está relacionado con el número de soluciones que tiene la ecuación. Al estudiar, por ejemplo, ecuaciones de tercer grado, también ocurre que nos encontramos con ecuaciones que tienen tres soluciones, y en ecuaciones de cuarto grado nos encontramos con ecuaciones que tienen cuatro soluciones. Entonces, para una ecuación de un grado cualquiera, podemos encontrar algún ejemplo en el cual la ecuación tenga esa misma cantidad de soluciones que el grado de la ecuación. El problema es que si nos restringimos únicamente a los números reales, vamos a encontrar ecuaciones que tienen menos soluciones que el grado de la propia ecuación. Por ejemplo, para esta ecuación de grado 3, podemos encontrar ejemplos de ecuaciones que solo tienen una solución. Esto de alguna manera no nos deja con la sensación de que aquí hay algo incompleto. Y de hecho, los números complejos resuelven también este problema de las raíces o soluciones y ecuaciones de este tipo.
Ahora volvamos a la ecuación sencilla que vimos hace un momento: x² = -1. Como ya vimos, esta ecuación no se puede resolver dentro de los números reales, porque cualquier número real elevado al cuadrado es positivo o a lo mucho cero, pero nunca va a ser una cantidad negativa. Entonces, en este caso, pues no se puede resolver esta ecuación dentro de los números reales. Pero lo que se hizo fue introducir un nuevo número que sí la pueda resolver. A ese número se le llamó i, al cual se le conoce como unidad imaginaria, y lo que cumple i es que si nosotros elevamos i al cuadrado, obtenemos como resultado menos 1. Es decir, este número i resuelve esta ecuación. Uno podría pensar en introducir un nuevo número para cada ecuación que no tiene solución, pero en realidad lo que resulta es que con este simple número es suficiente. Al introducir este nuevo número, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones que vimos hace un momento, y esto se logra con los números complejos.
Los números complejos se definen como estos números de aquí: a + bi, donde a y b son números reales y esta i es esta que acabamos de ver aquí arriba. Es decir, un número complejo es, por ejemplo, el 3 + 2i. Tenemos aquí un número real más otro número real por i. Otro número complejo es 5 - 8i. Otro número complejo es 2 + i. En este caso es como tener 2 + 1i, así que aquí a es el 2 y b es el 1. También podemos tener números complejos en los que solamente tengamos, como en este caso, 5i. No aparece aquí otro número sumando, pero esto es un número complejo porque lo podemos pensar como si fuera 0 + 5i, entonces a vale cero mientras que b vale 5. Cualquier número real es a su vez un número complejo, por ejemplo, el número 7 es un número complejo porque lo podemos escribir como 7 + 0i. Todos estos de aquí son ejemplos de los números complejos.
Y resulta que con los números complejos terminamos ese proceso que empezamos desde los naturales. Es decir, ya no hace falta construir otro conjunto más grande porque ocurra que aquí no se pueda realizar alguna operación. Resulta que con los números complejos podemos resolver cualquiera de las ecuaciones que vimos hace un momento y, en general, cualquier ecuación que construyamos con números complejos, lo podemos resolver dentro de los números complejos. De hecho, eso es lo que nos dice el más fundamental del álgebra. Si nosotros tenemos una ecuación de grado n, donde estos números a₀, a₁, a₂, etcétera, son números complejos, resulta que esta ecuación siempre se puede resolver y de hecho tiene exactamente n soluciones. Este es el Teorema Fundamental del Álgebra, que fue demostrado por Gauss y que es bastante importante. Ya más adelante veremos un poco más acerca de este teorema.
Pero bueno, hasta este momento, en realidad no hemos definido lo que son los números complejos. Solamente hemos visto algunos ejemplos y hemos visto más o menos pues de dónde surgen, qué es lo que motiva la creación de los números complejos. Y ya en el siguiente vídeo es donde voy a explicar la definición formal de los números complejos, cómo es que se definen matemáticamente y algunas de las propiedades que tienen. Así que los invito a que miren ese vídeo.
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