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En ocasiones, cabe la posibilidad de que exista una respuesta posterior de la empresa que actúe en primer lugar, ante la acción tomada por la empresa que decidió su acción en segundo lugar. Las respuestas se podrían suceder en realidad en tantas ocasiones como consideremos oportuno; sin embargo, la forma de encontrar la solución del juego, así como el equilibrio de Nash perfecto en sus juegos, del mismo, siempre será similar, utilizando la inducción hacia atrás.
Supongamos el siguiente ejemplo: una empresa, E1, puede ampliar, A, o no ampliar, NA, su negocio. A continuación, si decide ampliar su negocio, una empresa de la competencia, llamémosla E2, puede reaccionar, realizando una campaña de publicidad, llamaremos P, o no, NP. Si lleva a cabo la campaña de publicidad, la primera empresa, la empresa E1, que llamamos, puede a su vez reaccionar aplicando una política agresiva de precios, con unas rebajas, R, que hicieran perder cuota de mercado a su competidor; o no reaccionando, NR.
Los resultados que una y otra empresa obtendrían ante cada una de esas posibilidades, están expuestos en esta representación, que como veis, tiene forma de árbol; donde los pagos, representados antes de la coma, son los beneficios en millones de euros de la empresa E1, y los de detrás de la coma son los de la empresa E2. Resolvemos el juego por inducción hacia atrás, indicando cuál sería la acción que tomaría la empresa número uno, E1, en el sub juego que comienza cuando la empresa número 2, E2, opta por hacer la campaña publicitaria, es decir, en la P. En ese punto, la empresa número uno, ha de optar por hacer rebajas, R, o no, NR. En el primer caso, como vemos, su beneficio sería 4 y en el segundo, tan sólo 3; luego haría rebajas, lo que señalamos a continuación con una flecha en la figura.
Después, damos un paso hacia atrás y analizamos la decisión anterior, que habría de tomar la empresa número 2, E2, si la empresa número 1 decide ampliar su negocio. En ese punto, ha de decidir si realiza la publicidad, P, o no la realiza, NP. En el primer caso, dado que como hemos visto en el gráfico, la empresa número 1 va a reaccionar con las rebajas, el beneficio previsible de la empresa número 2 sólo sería de 1; si por el contrario, la empresa número 2 opta por no hacer la publicidad, su beneficio sería, como vemos, de 2. Por tanto, esta será su decisión y la señalamos con una flecha en la figura.
Siguiendo con la inducción hacia atrás, hemos llegado al primer nudo de decisión, la que compete a la empresa número 1 respecto de ampliar o no su negocio. Si decide ampliar, dado que la empresa número 2 no va a realizar la campaña publicitaria, su beneficio sería de 6; si por el contrario no amplía el negocio, el beneficio que obtendría sería solamente de 5, por consiguiente, deberá ampliar, como se aprecia en la figura que tenemos aquí, con la flecha.
El desarrollo del juego por tanto será el siguiente: la empresa número 1 ampliará sus instalaciones y la empresa número 2 no reaccionará llevando a cabo la campaña publicitaria; lo hemos visto siguiendo las flechas. El resultado que una y otra empresa tendrá será de 6 y 2 millones, respectivamente.
El equilibrio de Nash perfecto a sus juegos sin embargo será A, R, NP; en efecto, la empresa número 1 puede tener que, puede tener que elegir en dos puntos, en el nudo inicial y en el nudo final; por tanto su estrategia deberá contener una acción para cada uno de ellos. La empresa número 2 sólo tiene que elegir en una ocasión: P o NP.
Sabemos, por el desarrollo previsible del juego, que la empresa número 1 no va a tener que optar entre hacer rebajas o no, dado que la empresa número 2, una vez que la empresa número 1 amplíe su negocio, no realizará la publicidad y ahí acabará el juego; sin embargo, saber qué ocurriría en el hipotético caso de que la empresa número 1 se encontrara en el nudo final, aunque sabemos que no se va a llegar allí, no es una cuestión baladí. En efecto, la decisión que tomará la empresa número 2, NP, está determinada por el hecho de que la empresa número 1 estaría dispuesta a llevar a cabo las rebajas en ese nudo final; en caso contrario, la empresa número 2 sí que realizaría la publicidad. Por consiguiente, no es en absoluto superfluo definir las estrategias de un jugador, conteniendo acciones que, por el desarrollo del juego, nunca se van a llevar a cabo. Además, la alteración del valor de un pago de un jugador, situado fuera del desarrollo previsible del juego, puede alterar dicho desarrollo por completo. Obsérvese que por ejemplo si el pago de la de la empresa número 2 en el nudo final del juego fuera de 3 millones, la empresa número 1 decidiría no ampliar.
Olvidándonos de esta alteración y volviendo al juego original, para calcular la totalidad de los equilibrios de Nash del juego, optaremos por comodidad, por representar el juego en forma matricial en esta figura. Como se puede apreciar, las cuatro últimas celdas contienen los mismos pagos para ambas empresas: 5 y 3. Obsérvese que en todas ellas la acción de la primera empresa para el primer nudo es la de no ampliar. Así, independientemente de lo que tuviese previsto hacer la empresa número 2, P o NP, y de lo que la propia empresa número 1 pensase hacer en el último nudo, R o NR, si no amplía sus instalaciones, el juego finaliza en ese momento y los pagos son, respectivamente, 5 y 3.
Otros pagos que se repiten en otras dos celdas son 6 y 2; en efecto, son los correspondientes a que la primera empresa amplíe sus instalaciones y la empresa número 2 no haga publicidad. Independientemente de que la empresa número 1 pensase hacer rebajas, R, o no, NR, el juego finaliza en ese momento, en el que la empresa número 2 decide no hacer publicidad, con los pagos respectivos de 6 y 2.
Para calcular los equilibrios de Nash subrayamos en la figura los pagos correspondientes a la mejor estrategia para cada jugador en función de la estrategia seguida por el otro, como siempre hemos hecho. En esta ocasión, como se puede apreciar en la figura, hay un equilibrio de Nash que es el equilibrio de Nash perfecto en sus juegos; que habíamos calculado anteriormente, ayudándonos de la representación en forma extensiva o de árbol del juego, que es A, R, NP. Pero junto a él, figuran otros dos equilibrios de Nash que no son perfectos en sus juegos: el NA, R, P y NA, NR, P.
En ambos observamos una especie de amenaza de la empresa número 2, que es la de llevar a cabo la publicidad si la empresa número 1 amplía. Obsérvese que lo que desearía la empresa número 2 es que la empresa número 1 no amplíe, pues su pago crecería hasta los 3 millones. La empresa número 1 reaccionaría ante esa amenaza no ampliando sus instalaciones; de esta forma, se aseguraría un pago de cinco frente a un pago de cuatro o de tres, en función de que posteriormente hicieras rebajas o no, pero esa amenaza de la empresa número 2 no es creíble.
La empresa número 2, si la empresa número 1 amplía sus instalaciones, actuando racionalmente, no va a realizar la publicidad. De esta forma, obtendrá un pago de 2, mientras que con la publicidad, dado que la empresa número 1 haría rebajas, sólo tendría un pago de 1. La perfección en sus juegos elimina estos equilibrio de Nash, que están basados en promesas o amenazas que no son creíbles.