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El cálculo diferencial es una poderosa herramienta matemática para analizar el cambio en las cosas. Las asas de esa herramienta son algunas reglas sencillas para calcular derivadas.
Alrededor de 600 años antes de Cristo, alguien descubrió que para obtener agradables acordes en un instrumento de cuerda, el largo de esas cuerdas tenía que estar en relación de números sencillos, como por ejemplo de uno a dos, dos a tres, etcétera. Eso se llama armonía pitagórica y fue un descubrimiento importante porque esta era la primera vez que se relacionaban entre sí las matemáticas y el mundo físico. Desgraciadamente esa relación se olvidó y hubo que descubrirla de nuevo muy lentamente y con grandes dificultades.
Unos 1 años después fue Galileo Galilei quien lo comprendió. Deseo leerles algo que Galileo escribió. Este libro publicado en Roma el año 1623 se llama Ilsayatore, traducido generalmente por el ensayador, pero yo prefiero traducirlo más bien por el experimentador porque me parece que es lo que más se aproxima a lo que Galileo tenía en mente. Galileo tenía la fea costumbre de escribir sus famosas notas en italiano. Yo se las iré traduciendo, no se preocupen. Dijo, "El verdadero conocimiento está escrito en un enorme libro abierto continuamente ante nuestros ojos. Me refiero al universo. Pero uno no puede entenderlo. Uno debe aprender la lengua y a reconocer los caracteres para poder entender el lenguaje en el que está escrito. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas. Luego nosotros ahora para poder leer el libro del universo tenemos primero que aprender los símbolos y el vocabulario del lenguaje matemático. Es un lenguaje de la precisión, de la poesía e incluso de la música.
Desde hace ya muchos años, los físicos utilizan el lenguaje de las matemáticas y los músicos aproximadamente desde 600 años antes de Cristo, también se sirven de él. Como en casi todas las lenguas, incluida la música, las matemáticas tienen su vocabulario propio, sus propias reglas y símbolos, su precisión y elegancia, su poesía y su historia. Y una parte de esa historia fue Galileo Galilei, que tuvo algo de inconformista, un rasgo que heredó de su padre Vincenzo, que fue un gran músico. Musicalmente, Vincenzo se había negado a sujetarse a las formas tradicionales, postura esta que llegaría a ser la marca de la familia. Vincenzo escribió un libro en el que se oponía la utilización de la armonía pitagórica, como acostumbraban a hacer sus contemporáneos en música. Él consideraba los antiguos acordes griegos demasiado simples para las complejas estructuras musicales del Renacimiento italiano. Más tarde, de tal palo, tal astilla, Galileo consideró que las matemáticas griegas eran demasiado sencillas para poder expresar sus ideas. y creó la cinemática, una rama de la mecánica que trata del movimiento en abstracto. Y la correcta expresión de cualquier idea abstracta requiere un lenguaje adecuado, conceptos y símbolos que den a una idea su significado y valor. A pesar de ser muy avanzada la nueva ciencia del movimiento de Galileo, sus raíces estaban todavía en el terreno donde acostumbraba moverse el antiguo intelecto griego. Y era algo enteramente nuevo lo que tenía que florecer en el campo de la matemática y de la ciencia.
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Los eruditos necesitaban un lenguaje más sofisticado que el que se hablaba desde Arquímedes y Euclides. En otras palabras, después de Galileo, la física necesitaba un lenguaje más avanzado. Aproximadamente 25 años después de su muerte se descubriría por fin ese famoso lenguaje y comenzaría a utilizarse a partir de entonces. se llamaría cálculo diferencial.
El cálculo diferencial es muy potente y como en cualquier lenguaje, su poder deriva de la idea que le sustenta, la derivada. La derivada es para la cinemática lo que las ruedas son para un viaje. Un medio sencillo pero muy eficaz para poder obtener una perspectiva completa de lo que es una derivada. Nada mejor que un poco de ejercicio.
La derivada no solo se aplica a un cuerpo moviéndose horizontalmente, ni por eso, ni solo a un cuerpo moviéndose verticalmente hacia arriba o hacia abajo o como sea. La derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un determinado punto instante. Como ya se explicó, al hablar de la ley de caída de los cuerpos de Galileo, la velocidad es la derivada de la distancia, pero es también algo más. Una derivada puede representar el ritmo de cambio de cualquier cosa, por ejemplo, la densidad de población de los delfines en relación con el aumento o disminución de temperatura del agua o el ritmo de cambio de volumen de un globo respecto al área de su superficie o el ritmo de cambio del precio de una pizza con respecto a su tamaño. Como se ve, el concepto de derivada está por todas partes, pero el proceso mecánico de la derivada, el cálculo diferencial, necesita un enfoque práctico para que el concepto se imponga. En definitiva, sin las reglas de diferenciación, el concepto de derivada se nos puede hacer una montaña. A la larga es una ayuda a incluir algunas definiciones recogidas por el camino. Por eso, antes de que sea demasiado tarde para volver atrás, consideren lo empinado.
En un plano inclinado, lo empinado es la relación entre el cambio en la altura y el cambio en la distancia horizontal. Esta relación, un número, recibe el nombre dependiente. Por ejemplo, supongamos que la altura de una cuesta aumenta 15 m, cada 100 m. El ciclista se mueve 15 met hacia arriba y 100 m en horizontal. La pendiente es de 015. Cuanto mayor es la pendiente, llegar hasta arriba es toda una proeza.
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Si es casi cero, es un [Música] paseo y cuando la pendiente es negativa es cuesta abajo. Aunque se pueda caminar fácilmente por ellas, las matemáticas tienen sus picos y valles. Y nadie sabe quién fue el primero que preguntó cuál era la mejor manera para ir de acá para allá. La respuesta en términos algebraicos fue dada por un matemático francés llamado Fermat. En 1629 se le ocurrió la idea de hallar la recta tangente en un punto arbitrario de una curva.
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En 1638, Fermat compartió su descubrimiento con su compatriota René Descart, que tenía su propio método para hallar tangentes a curvas [Música] algebraicas. Muchas de estas ideas matemáticas, sobre todo las de Fermat, fueron desarrolladas posteriormente por Wilgelinich e Isaac Newton. según un método general y sistemático de análisis matemático, el cálculo diferencial.
Dejando la historia de lado, al menos por el momento, quedan algunas preguntas oportunas. Por ejemplo, en una curva que cambie suavemente, hay una pendiente que cambia constantemente. ¿Cómo se puede calcular en el lenguaje de hoy la pendiente en un punto dado? Para determinar la pendiente en un punto particular, por ejemplo, aquí, simplemente se toma otro punto de la cuesta, no importa dónde. Después se traza una línea recta que se llama cuerda, que una esos dos puntos y la pendiente depende de la posición del segundo punto. Si el primer punto y el segundo están próximos, la cuerda es una aproximación bastante acertada del recorrido de la bici. Movamos el segundo punto hacia el primero. La pendiente es un número. Al tender un punto hacia el otro, esos números tienden hacia un cierto valor que se denomina pendiente de la cuesta en ese punto. La recta que pasa por ese punto con esa pendiente se llama recta tangente y es la recta hacia la que tienden las cuerdas al tender un punto hacia el otro. La pendiente de la cuesta es la pendiente de la recta tangente.
En ese punto se puede calcular la velocidad instantánea de manera análoga. La ley de caída de los cuerpos de Galileo, aquí aplicada a una persona que más bien no quiere, más que un terrorífico experimento, es el diferencial que viene en auxilio. La variación de la distancia se divide por la variación del tiempo. El cociente es la velocidad media durante un intervalo de tiempo dado. Cuando ese tiempo disminuye hacia cero, el valor límite de la velocidad media es la velocidad instantánea. El incremento en la altura se divide por el incremento en la distancia horizontal. El resultado es la pendiente de la cuerda que une los dos puntos. Si la distancia horizontal se reduce a cero, el valor límite de la pendiente de la cuerda es la pendiente en ese punto. La diferenciación, los objetivos y los cálculos difieren, pero no el concepto esencial ni el procedimiento. La velocidad es la derivada de la distancia con respecto al tiempo. La pendiente es la derivada de la altura con respecto a la distancia [Música] horizontal.
En cualquier caso, una derivada es lo que le ocurre a un cociente. Una razón entre dos números cuando el dividendo y el divisor disminuyen hacia cero. Antes de alcanzar el cero, sus pequeños valores se expresan con la letra griega delta. Delta I es un pequeño incremento de i. Delta x es un pequeño incremento de x, así que delta y dividido por delta x es simplemente un cociente de dos números pequeños. Cuando esos números se hacen cero, el cociente se convierte en una derivada y los deltas en un nuevo símbolo, diferencial de i dividido por diferencial de x. El símbolo de la derivada que significa derivada de la cantidad y con respecto a x.
Cuando ya se domina la mecánica sencilla, encontrar la derivada de cualquier cosa es tan fácil como accionar un [Música] interruptor. La derivada de una función es la pendiente de su tangente en cada punto. La derivada de una función es también una función. [Música] Si la función es una recta, la pendiente es constante y la derivada es precisamente esa [Música] constante. Si y es igual a seno de x, entonces derivada de i respecto a x es igual a coseno de [Música] x. Si es ig a coseno de x, entonces derivada de i respecto a x es igual a - seno de x. Hallar derivadas requiere un poco de práctica, pero el esfuerzo vale la pena. Y si consideramos el gran número de máquinas contemporáneas que hayan derivadas, esto se ha convertido en una práctica moderna. Un velocímetro o cuenta kilómetros es una máquina que deriva. Mide la derivada de la distancia recorrida en cada instante a lo largo del camino. El ritmo de cambio de posición es la velocidad instantánea expresada en kilómetros por hora. Por supuesto, cuando el vehículo no se mueve, no recorre ninguna distancia. Aquí la posición es constante y la derivada de una constante es cero.
La matemática es un lenguaje con estructura gramatical, un conjunto de reglas que componen y descomponen la tarea que se tiene entre manos. En cualquier cosa que se trabaje, desde construir una casa a componer una sinfonía, la tarea más complicada puede descomponerse de la misma manera. Newton y Linich desarrollaron las herramientas del cálculo que permiten diferenciar la función más complicada descomponiéndola en partes sencillas.
Una de las reglas básicas de la diferenciación es la regla de la suma. Supongamos que un pintor pinta 90 m² de pared por hora y otro pintor 100 m. Esos son los ritmos a los que las superficies de pared cambian de color. En otras palabras, son las derivadas. Por consiguiente, cada hora se han pintado 190 m² de pared. Así es cómo funciona la regla de la suma. La derivada de una suma es la suma de las derivadas.
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Otra buena herramienta es la regla del producto que se utiliza para obtener la derivada del producto de dos funciones. Por ejemplo, el área de un tablero es el producto de su largo por su ancho. Si se acorta el largo, la variación en el área es el producto del ancho multiplicado por la variación en el largo. Si el ancho se reduce, la variación en el área es el producto del largo multiplicado por la variación en el ancho. La variación total en el área es la suma de estos. Y es exactamente así en el caso del carpintero, como en el lenguaje del cálculo diferencial. La derivada del producto de i por zivada de z + z por la derivada de i.
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Usando esta regla es posible encontrar la derivada de x al cuadrado. [Música] [Música] [Música] o de x elevado al cuo o de cualquier potencia de x. [Música] La derivada de x a la enésima potencia es n * x a la potencia n - [Música] 1.
Frecuentemente una operación depende de otra. Por ejemplo, supongamos que un vehículo tiene un consumo específico de 17 millas por galón de fuelo. Eso es una derivada. Si es la distancia recorrida y x la cantidad de fuel consumida, entonces 17 millas por galón es la derivada de i respecto a x = de parido por dx. Supongamos que consume 2 galones por hora. dos galones por hora igual a dx/ por dt. La velocidad de un vehículo en millas por hora es igual a las millas recorridas por galón multiplicado por los galones que consume por hora. Es la regla de la cadena. Se utiliza cuando I depende de X y X depende de T.
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La regla de la suma, la regla del producto y la regla de cadena. Estas tres reglas representan la gramática del cálculo diferencial. Y el valor del cálculo diferencial se puede ver en la variedad de sus aplicaciones. Por ejemplo, cuando un cohete se mueve un desplazamiento S en un tiempo T, la derivada del desplazamiento es la velocidad positiva para movimiento hacia arriba y negativa para movimiento hacia abajo. La derivada de la velocidad es la aceleración, que es lo mismo que hallar la derivada de una derivada, o sea, la segunda derivada de S. La aceleración producida por el encendido del cohete.
He recibido una carta de un músico llamado Albert Einstein. La envió en 1912. Ha tardado en llegar. El servicio de correos trabaja a veces con mucha lentitud. Pero realmente no me la escribió a mí, sino a un amigo suyo. Yo la he obtenido en la biblioteca. De cualquier forma, voy a leerla y veremos qué escribió. dice, "Estoy ocupándome exclusivamente del problema de la gravitación y creo que ahora superaré todas las dificultades, pero yo estoy seguro de una cosa. He llegado a tener un gran respeto por las matemáticas, cuyas sutiles partes yo, en mi ignorancia hasta este instante había creído que eran un mero lujo."
Einstein trabajó 4 años más en la gravitación y el resultado fue la teoría general de la relatividad, de la cual podemos decir que es la teoría matemática más difícil de toda la física. ¿Qué quiso decir Einstein al expresar que las sutiles partes de las matemáticas le parecieran un lujo? ¿Pensó realmente que podría tener éxito sin hacer cálculos? Por supuesto que no. El asunto es que los físicos tienen cierta arrogancia ante las matemáticas. Por ejemplo, se puede tener la impresión de que siguiendo unas reglas sencillas se puede obtener la derivada de cualquier función y no es del todo cierto. Supongamos una función con forma piramidal como una pirámide de Egipto. Bien, es muy fácil obtenerla pendiente aquí y también es fácil obtenerla aquí. Sin embargo, en la punta tenemos problemas porque en ese punto no hay ninguna pendiente. La función no tiene derivada en ese punto. Yo nunca dije nada que les hiciese creer a ustedes que eso podía ocurrir. Para los físicos, las matemáticas son solo una herramienta que usan para llevar a cabo todo lo demás. Pero un verdadero matemático es el guardián de la precisión y claridad de las ideas. Lo que interesa a los matemáticos es la propia matemática. Si un matemático hace una proposición sobre las derivadas, la afirmación tendrá en cuenta toda posible excepción, por extraña e inusual que parezca, como el pico de la pirámide. Esa es la clase de sutileza que preocupaba a Eniste. Hasta el próximo día.