Serie de Fourier parte 1

Bueno, lo que tenemos que empezar hoy es con el tema que se llama serie del Fourier. Y vamos a empezar a hablar sobre eso. Tenemos que comenzar con un capítulo nuevo que se llama "Serie de Fourier". En el tema de series, nos va a perseguir un poquito más todavía, por supuesto. Esto, como el nombre lo indica, es una serie, solo que no sería un poco particular, un poco diferente. Pero como ven, el tema de series nos va a seguir persiguiendo todavía.

Un viento de qué se trata esto. Bueno, primero, algo que ya hemos charlado, pero por las dudas, para definirlo de una vez por todas, ¿qué se entiende por una función periódica? Si yo les preguntase a ustedes de qué en una función periódica, ¿qué me dirían?

Tiene una misión periódica, Georgina, ¿qué te parece? ¿Estás viendo de imagen, nena? Si te parece que es una función periódica. No, no da miedo, porque pasa como como como tratar de agua en así, porque comparado como porque es un plan periodo. Y qué te parece que caracterizan la función periódica, chicos, ¿qué les parece? Cuando no funciona el periódico, a ver, les cambio la pregunta de última. Gustado, si me permitís, dale. Saber, coloque la definición de una función periódica. ¿Sabrían decirnos cuál es una función periódica? Dando con un ejemplo de una tablet, estable, sin saber definirlo, pero sí. Para mí, lo que yo periódica es la que cumple la condición, no se nos ponen 300 y lo que tienen de partido viendo a través del tiempo con estas periódicas, CSS. Es una función que se va repitiendo, es una función que el aspecto, si vos mirás la gráfica de la función, como esta que están viendo allí, ves que se repite, tiene un patrón que se va repitiendo. En este caso, estamos hablando de una función del tiempo, no tiene por qué ser en tiempo, obviamente, pero una función que se repite es una función periodo.

Formalmente, la definición de función periódica es esta que ustedes me han resaltado acá, que dice que para todos T, está dada vuelta. Significa eso, para todo valor de T, para el valor de T que ustedes quieran, cuadrado de la variable independiente T, que ustedes quieran, la función en T chiquita, a la variable dependiente, más un valor fijo T grande, que va a ser el periodo, es igual al valor de la función en T. Es decir, lo traducido al seno, ¿qué quiere decir esto? Todos sabemos que el periodo de la función seno es 2 pi, en 360 grados. Quiere decir que el valor del seno F en 360 grados más T chiquita, pongamos cualquier número, 15 grados, el valor del seno en 375 grados va a ser igual al valor del seno de 15 grados, que es lo que todos sabemos. Entonces, la definición de una función periódica formalmente es simplemente esta, pero no se va más allá de lo que ustedes saben. Esto es más que nada darle una forma concreta a eso que más o menos todos conocemos intuitivamente que es una función periódica.

Como decimos, el valor de T grande se denomina el periodo de la función. La frecuencia, que habitualmente se simboliza con la letra F, el recíproco del periodo, 1 sobre T, sobre T. Y a menudo se usa la frecuencia angular. No sé cómo usar bastante la frecuencia angular, que es 2 pi por el valor de la frecuencia, o donde dividido el periodo. Lo que sí quería remarcar acá es que claramente ese valor de T que está indicado en la gráfica es querido decir el valor de la función en este punto es exactamente igual al valor de la función en este punto, pero también es cierto que ese otro T también el periodo, pero es demasiado grande de periodo. Hay un periodo más chico, y si hay un periodo más chico, pero este también es un periodo, y lo mismo que este. En definitiva, lo importante es reconocer que si una función tiene un periodo T grande, también tiene como periodo a cualquier múltiplo de entero positivo de ese valor T grande. Es decir, bajo el ejemplo del seno, el seno tiene periodo, pero también podemos decir que tiene periodo 4 pi, o sea, cada 4 pi se repite. Que, pero me quedó una parte que se repite antes. Sí, es cierto, se repite cada 2 pi, pero 4 pi también es periodo, 6 pi también es periodo, 8 pi también el periodo. Estamos. Eso simplemente porque en algún momento de acá un ratito lo vamos a utilizar.

¿Qué se entiende por serie de Fourier? ¿Qué pretendemos hacer con serie de Fourier? Lo que pretendemos es lo siguiente: dada una función periódica, cada una F de T periódica, de cualquier forma, pero con un cierto periodo T grande, lo que pretendemos es escribir esa función de otra manera. ¿De qué forma? Como una sumatoria donde todos los términos, salvo el primero, que es una constante, un medio de A sub 0, donde A sub 0 va a ser un valor constante, pero todos los otros términos son una serie, una suma infinita de términos donde aparecen senos y cosenos. Es decir, lo que pretendemos, la expresión que tienen acá abajo, no es más que el desarrollo explícito de esta sumatoria que tienen acá. Y como ven, los puntos suspensivos que están acá al final me indican que eso continúa indefinidamente, no tiene fin. Lo que pretendemos es que lo que tenemos a la derecha del signo igual, en el segundo miembro, equivalga al primero. Es decir, representar esta F de T de que la tenemos, equivale, es lo mismo, es idéntico a todo esto que tenemos ubicado en el segundo miembro.

¿Para qué? ¿Cuál es la ventaja de esto? Que las funciones senos y cosenos conocemos cómo se comportan y son fáciles de manejar. Son fáciles de derivar y entonces en muchas ocasiones va a resultar útil en el análisis posterior que podemos hacer cuando hemos desarrollado esas funciones frente que va a ser periódica, pero que no va a ser, por supuesto, una función seno, una función coseno, va a ser una función periódica complicada, por decirlo de algún modo. Va a ser fácil en el análisis posterior si la podemos describir de esta otra manera, en forma de suma de senos y cosenos.

Algunas cuestiones relacionadas con la notación que vamos a usar y con otra manera de escribir el desarrollo en serie de Fourier. Una manera de escribirlo es este que ustedes tienen acá. Insisto, las dos expresiones que tienen resaltadas acá en en celeste son idénticas, solo que la de arriba está escrita en forma compacta, en forma de una sumatoria, y abajo simplemente hemos escrito alguno de los términos de esa sumatoria, nada más. Pero ahora sí, vamos a encontrar otra manera de escribir lo mismo. Partamos de esta expresión que ya vamos a ver por qué arrancamos de esto. Y esa expresión la podemos escribir de esta otra manera. A ver, yo no pretendo que ustedes recuerden identidades trigonométricas, pero en esta, en este primer miembro, tenemos el seno de la suma de dos ángulos. Uno es N por omega por T y el otro es uno que llamamos phi sub N. El seno de la suma de dos ángulos se podía escribir, insisto, no pretendo que lo recuerden, se podría escribir como el seno del primero por el coseno del segundo, por el coseno del primero, más el coseno del segundo por el seno del primero. Los dos términos están multiplicados por A sub N. Porque hemos recurrido a esta expresión, porque hemos hecho esto, porque si ustedes se fijan, coseno de N omega T es lo que teníamos acá en la sumatoria, y seno de N omega T es también lo que teníamos acá en la sumatoria. Quiere decir que esto que nos ha quedado entre paréntesis lo podemos asociar con este A sub N que teníamos acá arriba, y este otro paréntesis con el B sub N que teníamos acá multiplicando al seno de N omega T. Es decir, si definimos A minúscula sub N como A mayúscula sub N por seno de phi sub N, y análogamente A minúscula sub N igual a A mayúscula sub N por coseno de phi sub N, los definimos de esa manera a los coeficientes que teníamos acá en la sumatoria primera que escribimos, podemos despejar A mayúscula sub N y B mayúscula sub N. Es decir, si nosotros conocemos los A sub N y los B sub N, fíjense en esta expresión que tengo aquí. Si yo elevo al cuadrado en ambos miembros las dos expresiones y luego las sumo, en el segundo miembro me queda A mayúscula sub N al cuadrado por seno al cuadrado de phi sub N, y acá me queda A mayúscula sub N al cuadrado por coseno al cuadrado de phi sub N. Cuando sume, me queda seno al cuadrado más coseno al cuadrado, vale 1, y entonces puedo despejar el A mayúscula sub N en función de A minúscula y B minúscula. Y al mismo tiempo, si estas dos expresiones que tengo divido una sobre la otra, los A mayúscula se cancelan, me queda seno sobre coseno de phi sub N, es decir, tangente de phi sub N es igual a A minúscula dividido el B minúscula. Y entonces el valor de phi sub N no es más que el arco tangente de N sobre B minúscula. En el caso particular de que el valor de B minúscula valga 0, fíjense que si en esta expresión B minúscula vale 0, nos podemos hacer ese cociente, nos podemos encontrar el arco tangente, pero igual en ese caso, en este caso particular, pero el valor de phi sub N entonces sale de esta expresión. No es más que tomar el límite de esta expresión para cuando B minúscula tiende a 0, y eso nos da el valor del ángulo. Utilizando el arco tangente es muy sencillo de hacer. Quiere decir entonces que yo puedo escribir la misma sumatoria que teníamos antes de otra manera, porque en lugar de escribir este A sub N minúscula y este B sub N minúscula, yo puedo escribir el A mayúscula sub N como raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los A sub N minúsculas y el phi como el arco tangente. Y ya demostramos recién que este A mayúscula sub N por seno de N omega T más phi sub N, si lo desarrollo, si no lo hago, no me queda lo que teníamos acá. Quiere decir entonces que, como dijimos, yo puedo escribir el desarrollo en serie de la función F de T como está escrito de arriba, como está escrito en el medio, que insisto, es el mismo de arriba, solo que desarrollado, o como está escrito acá abajo, que si es una manera un poco diferente de escribirlo, también es una sumatoria, también es una serie, también tiene infinitos términos, pero tiene un aspecto un poco diferente a la primera sumatoria que escribimos. En particular, considerando esta última forma de escribir la función, se denomina amplitud al valor de A sub N mayúscula, se denomina ángulo de fase y el valor de phi sub N. Y algo que los electromecánicos, sobre todo, suelen utilizar bastante, que en esta sumatoria, en el índice N va de 1 a infinito. Cuando N vale 1, tenemos lo que se conoce como la armónica fundamental o la primera armónica. Por supuesto, el N va a ir variando, como decimos, de uno a infinito, va a tomar todos los valores posibles enteros. Cuando N tome un valor cualquiera, vamos a tener la enésima armónica.

Antes de seguir, quería ubicarlos un poquito en en lo que estamos hablando. A ver si le encontramos alguna referencia más o menos concreta que nos permita darnos cuenta de qué estamos hablando. ¿Qué es esto de las armónicas? ¿De toda esa historia? Yo sé que Agustín tiene habilidades musicales de las cuales yo carezco completamente. No es que sea peor músico que autito, super músico que cualquiera, decir, yo no tengo habilidades musicales, pero Agustín y la verdad que ignoro si el resto de los chicos que nos están escuchando tienen o no habilidades musicales, pero es muy probable que dentro de la concurrencia haya gente que conoce de música. Agustín, y si digo alguna barbaridad, por favor, corregir. Para los que tienen habilidades musicales, mejor, pero yo le dije que no las tengo, así que y voy a formular la pregunta. Así que, por favor, los que no tengan habilidades musicales, hagan un esfuerzo.

No como un instrumento musical cualquiera, no sé, el piano, y todo otro instrumento musical, el violín. Elegí dos instrumentos de cuerdas que quieren. Podemos cambiar un poco la cosa. Puedo elegir un instrumento de viento, una trompeta, un oboe. Y en dos instrumentos distintos, toco la misma nota musical. Hago sonar la misma nota musical en los instrumentos de cuerda. Tal vez es un poquito más fácil encontrar cuál es la nota. En el instrumento de viento, que es un poco más difícil, pero para un músico experto, no. Si éxitos con la misma nota musical en los dos instrumentos diferentes, ¿se escucha lo mismo? ¿Suena lo mismo o suena diferente? A ver, los que tienen habilidades musicales, que nadie tiene habilidades musicales, a nadie le gusta la música, por lo menos, ¿serían tan amable de opinar, por favor? ¿Cuántos alumnos hay, Agustín, en clase? 19 con nosotros dos, serían 17. Bueno, a ver, producto de alguna particular, ni idea. Contesta Francisco de la Rosa. El instrumento útil. Yo sé que no quiero hacer esto, estado, pero vamos a suponer que no nos suponemos nada. Pero [Música] eso mundo, por ejemplo, y eso es un rey. Yo no creo que esto suene igual a esto. [Música] Hasta yo me doy cuenta que son un poco distintas. Pero esas son dos notas distintas, ¿verdad? Que son dos notas distintas. Yo quiero que hagan la misma nota. Pero no, no. Yo lo que estoy hablando es la misma nota, el do que tocaste, pero tocado en una guitarra y tocado en un piano. Si yo tomo un pianista y le digo, tócame el do, el pianista va a tocar una tecla del piano particular. Si hago, te pido a segundo, va a pulsar la guitarra de una determinada manera particular. Y yo voy a lo que yo voy a notar, digo yo, en el sentido de que lo nota hasta el que no tiene la menor idea. El músico lo nota todavía, pero el que no tiene la menor idea, ¿cómo lo nota? No le tienen que decir que las dos son la misma nota, porque yo no me doy cuenta. Pero los dos músicos van a decir, a mí me tocaron dos, la guitarra del mundo, en el piano. Y un infeliz total para la música, ¿cómo lo va a decir? Siempre se escucha distinto. No están tocando lo mismo. Y los dos tipos han sido, no, no, sí, sí, hemos tocado exactamente lo mismo.

Voy a dar otro ejemplo que suele volar en clase, que es más fácil cuando hablamos en clases, pero acá es un poco más complicado y lo voy a usar a Agustín, lo voy a bardear un poco a Agustín y Agustín me va a disculpar y todo, creo que me va a aprender. Supongamos que esto pues el celular de Agustín. En un momento suena el celular, Agustín atiende y escucha: "Hola, papito, ¿cómo estás?". Beauty sonríe. Antes a esas palabras. Al rato, vuelve a sonar el celular, Agustín vuelve a entender y escucha: "Hola, papito, ¿cómo estás?". Y aún no sonríe. Demasiado. Cuando escucha eso, ¿por qué les parece que en un caso sonrió y en el otro lado, teniendo en cuenta que las palabras escuchadas fueron exactamente las mismas? Digamos, si hubiera sido un mensaje de WhatsApp, hubiera sido idéntico. ¿Por qué creen que en un caso se sonríe y en el otro caso no? Por el timbre de la voz, por porque Agustín está descubriendo por él, lo que vos estás llamando precisamente y correctamente, el timbre de la voz. ¿Quién está diciendo esas palabras? Eso nos ocurre a todos cuando alguien nos da por teléfono y sin mirar, tal vez, quién es el contacto que están llamando, cuando escuchamos la voz, reconocemos quién es la otra persona. Bueno, eso que han denominado el timbre de la voz, también se utiliza el mismo término timbre para los instrumentos musicales.

En términos matemáticos, ¿de qué estamos hablando? De las enésimas armónicas. Cuando dos instrumentos distintos tocan la misma nota, lo que es idéntico en ambos instrumentos es la armónica fundamental, es la frecuencia de la nota que están tocando, es la misma en los dos instrumentos. Pero ¿qué es diferente? ¿Qué hace que yo escuche cosa distinta? Yo puedo decir que lo que he escuchado, vaya, que me diga que la misma nota no suena igual, y es cierto que no suena igual, porque cada instrumento le agrega armónicas que se suman a la armónica fundamental y que hacen que el sonido sea particular de cada instrumento. Bueno, esa es la conexión que podemos hacer entre lo que estamos estudiando y la música, por ejemplo. Pero no solo la música, con la voz, tal como dijimos, ocurre exactamente lo mismo. En definitiva, el análisis de Fourier permite detectar las distintas armónicas y, por lo tanto, poder distinguir a través de esa detección, a través de encontrar cuáles son las armónicas, distinguir, por ejemplo, si la nota que estamos escuchando proviene de tal o cual instrumento, aunque sea la misma nota, ya que han emitido los dos instrumentos. Pero analizando las distintas armónicas, nosotros podríamos decir de cuál instrumento viene la nota, porque tenemos un archivo, tenemos un registro que nos dice que los distintos instrumentos le agregan determinadas armónicas. No sé, haciendo el análisis de Fourier, nosotros podríamos determinar, sin saber nada de música, cuál es el instrumento del cual ha salido esa nota. Bueno, con la voz, algo parecido. Yo podría analizar las armónicas de las palabras que está diciendo una persona para detectar características particulares de esa persona que está hablando. Hacia ese lado, ambos, hacia el análisis de funciones periódicas a través de las frecuencias que las componen.

A ver, vamos a un ejemplo un poquito más gráfico, hablando más o menos de lo mismo, pero más gráfico. Supongo que yo tengo una función periódica como esta de color azul que se ve acá. Y la función que va de 0 a 3 en el tiempo, crece abruptamente hasta 0.5, se mantiene es el constante hasta un T igual a 1.5, y ahí baja y pasa a valer menos 0.5 y se mantiene así hasta 3. ¿Qué pasa entre 3 y 6? Exactamente lo mismo que ver acá. O sea, a partir de este punto, vuelve a subir a 0.5, se mantiene constante hasta 4.5, baja, se hace menos 0.5, y así sigue hasta 6. Y entre 6 y 9 es exactamente lo mismo. Se entiende, estamos mostrando solo un periodo de la función, pero hay periodos para valores anteriores de T, si quieren, para valores negativos, y hay periodos idénticos para valores de T superiores a 3. Lo que nosotros pretendemos es escribir esta función, que claramente no se parece a un seno ni a un coseno, no tiene facha ni de seno ni de coseno, escribirla como una suma infinita de términos seno y coseno.

Y lo vamos a hacer. Empecemos por el primer término. La función que más podemos aproximar a la azul en un solo término es esa que también es 0.637 seno de omega T, donde el omega lo calculamos a partir del periodo 3 que tiene nuestra función en azul. Dijimos hace un rato que el omega era 2 pi dividido el periodo. Como el periodo de nuestra función es 3, el omega vamos a utilizar es 2 pi sobre 3. Y entonces, la mejor aproximación que podemos hacer de la función en azul con un solo término en seno es esta que ustedes ven acá. ¿Ser una porquería de aproximación? Sí, sí, sí, una porquería, pero es lo mejor que podemos tener. ¿De dónde sale 0.637? Bueno, eso es lo que de todo un rato le vamos a enseñar a calcular, pero ese número no es arbitrario, no es casual, hay que determinar cuánto vale. Ahora, dijimos que esta aproximación es muy burda. Decir que la curva que ustedes ven de color fucsia es parecida a la azul es casi una broma, no es demasiado parecidas, por lo menos. Entonces, para hacer que sean más parecidas, sumémosle algún otro término. Agreguémosle algún otro término a la de color fucsia, de manera tal que si ahora sumamos las dos, tengamos algo un poquito más parecido a la de color azul. En esta ejecución acá, van a ir viendo las distintas funciones que vamos sumando, y acá en el gráfico, donde está el azul superpuesta, van a ir viendo lo que da la suma. O sea, acá en la reja ven término a término, y acá ven cuánto vale la suma de todos esos términos. Si a la que teníamos le agregamos esta otra función que ustedes ven acá y sumamos las dos, esa otra función de la que estamos hablando es 0.212 seno de 3 omega T. Si las sumamos a ambas, obtenemos esto. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. Si ahora agregamos otro, donde vamos a tener un seno de 5 omega T, el resultado de la suma de los tres términos es esta que tenemos acá. De nuevo, no se parece al azul, no, pero está bastante mejor que el anterior, por lo menos. Y ahora, lo que seguimos haciendo es sumando términos. 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La sub n de esta manera. Fíjense que, como dijimos en la sub n, como es lógico, depende de n. Acá lo tienen, adn. Pero yo voy a encontrar, cuando hagamos problemas, una fórmula para determinar cualquier coeficiente. A su vez, por supuesto, en esa fórmula el l va a aparecer. Yo después le tendré que ir dando valores numéricos al n. Acuérdense que el n es un entero positivo. Le iré dando valores numéricos alegres para calcular los distintos coeficientes.

Bueno, la idea para calcular el b es idéntica, idéntica a lo que hicimos recién. Con la única diferencia que antes multiplicamos por coseno de m omega t, ahora multiplicamos por seno de m omega t. Pero es idéntico a lo que hicimos previamente. Se multiplica, se integra y luego analizamos término a término. Esa integral da 0 cuando analizamos el a en eco seno de n omega t multiplicando al seno de m omega t. De nuevo usamos algún truco trigonométrico para transformarlo en dos integrales que dan 0. Y cuando realizamos el segundo término de la sumatoria, x seno de mi omega t, hacemos lo mismo. Usamos el truco trigonométrico, transformamos en dos integrales que de nuevo, una es cero y la otra no es cero, solamente cuando l es igual a m. Si n es igual a m, de nuevo tengo un coseno de 0. Me queda entonces bn por t grande dividido de nuevo. De todo esto que teníamos, que era un montón, nos ha quedado un poquito. Nos quedó el primer miembro y solamente eso cuando n y m coinciden. Y entonces, igualando, puedo despejar el valor de bs vm. Es decir, hemos encontrado tres fórmulas: una para sub cero, otra para suben y otra para b sub n, que nos permite encontrar todos los coeficientes. Todos esos coeficientes que veíamos hace un rato y que no sabíamos de dónde salían cuando hacíamos las representaciones gráficas de las funciones. Bueno, ahora sabemos de dónde sale y esto es lo más importante que vamos a ver de la teoría de series de Fourier.

Nuestro trabajo siguiente es empezar a resolver problemas y ver cómo aplicamos esto a casos concretos. La teoría elemental de serie de Fourier no es simplemente esto. Ahora hay que empezar a resolver los problemas y los vamos a empezar a hacer la semana que viene. Tengo solamente dos recomendaciones en relación a los problemas que vamos a hacer a partir de ahora, desde la semana que viene, sobre este tema.

Se acuerdan que por allá, al principio del año, en los primeros temas que vimos, en algún momento los problemas empezaron a complicar y dijimos: "realmente los problemas son complicados". Y la principal complicación es que no hay un método para resolverlos. Te tiran un problema y tenés que rebuscarla para ver qué hay que hacer para resolverlo, pero no hay una manera determinada de resolverlo. Se acuerda que los primeros problemas que hacíamos por allá en la tercera o cuarta semana de clase, en algún momento decíamos: "hay que resolver una ecuación en zeta, ¿y qué hago? ¿La cesta la escribo como x + y? ¿O no la escribo? ¿La manejo como zeta?". Y resulta que a veces, si la escribía como x + y, te quedaban unas expresiones enormes que no se podían manejar. Y en otros casos, convenía escribir una como x. Es decir, no había un método general. Bueno, la muy buena noticia ahora es que acá, totalmente al revés, hay un método general. Todos los problemas de serie de Fourier se resuelven usando estas fórmulas que acabamos de ver. No hay otra manera. No vamos a ver otra cosa diferente que esto. Listo, de nuevo, al problema solucionado. Más o menos.

¿Cuál es la mala noticia o las malas noticias? Es que los problemas de serie de Fourier suelen ser largos y engorrosos de resolver. Usamos esta fórmula y nada más que estas fórmulas, pero son largos de resolver. Entonces, una recomendación para la clase que viene, que vamos a empezar a hacer problemas y que yo quiero que los hagan efectivamente en casa, no quiero que copien lo que vean en el pizarrón, sino que lo hagan: sean extremadamente prolijitos. Un problema de serie de Fourier cualquiera, miserable, demanda dos páginas, tres páginas dependiendo el tamaño de la letra, pero dos páginas tranquilamente. Bueno, si en algún momento cometen algún error y te das cuenta que metiste la pata, atrás, levanta la vista, es dos páginas llenas de fórmula. Anda a encontrar el signo en el cual te equivocaste. Entonces, hay que ser muy prolijo, muy cuidadoso con el paso a paso, porque cometer un error es muy difícil de recuperar. La mala noticia es esa. La muy buena noticia es que el método de resolución está perfectamente definido. Se resuelve de esta manera. No nos van a tener que ponerse a ver si cómo lo encaro a este problema. No, está clarísimo cómo encararlo. Ahora, ponete y encará el problema. Va a ser el encararlo, no el cómo encararlo. El cómo está clarísimo. La cuestión es ponerse a resolver.

Y vas a decir algo. No me hacía reír un mensaje de Axel que decía: "un error y tira la hoja, norma, y vuelve a hacerlo". Más o menos así. O sea, por ahí tampoco está la comunicación es más grande que puedes llegar a ver en esto en resolución de integrada. La gente sí, pero de nuevo, las integrales a saber. A Agustín dice bien, porque si miramos el problema con amplitud, resolver las integrales es complicado. Porque, prosigue, se tienen que resolver esta integral que están bien. Pero en la integral de una grapa de ese seno de l omega t y multiplica a la función. Sé que vos te imaginarás, y si esta función es el logaritmo al cuadrado de la raíz quinta de algo, cuando lo multiplicas por seno de neo mediante, no resolver nunca. Bueno, nosotros no vamos a resolver integrales complicadas. Si el seno va a estar metido y el seno va a estar metido, pero para nosotros esta ft va a ser una constante o, en el peor de los casos, una función lineal. No nos vamos a escapar de ahí, porque simplemente para que los problemas no sean exageradamente complicados resolver a mano. Por supuesto que este puede ser cualquier cosa, pero en tal caso, no lo resuelve a mano, se lo tira a una computadora y te lo resuelve. Solo. Problema que nosotros vamos a resolver son con efe de t, o bien constante, o en el peor de los casos, función lineal, con lo cual las integrales no van a ser exageradamente complicadas. Y encima, nosotros no les vamos a pedir que resuelvan la integral que trae a ser resultado la integral. Escritor, no hay ningún problema. Debemos, yo no pretendo que resuelvan por parte. No, solo no nos traiga es el resultado de la integral escrita y lo utiliza nada más que eso.

Te ha gustado. Puedes volver una o dos filminas. Teníamos las las funciones que teníamos de ejemplo como para dar una referencia. Así que, por ejemplo, esa si si queremos ver cuál es nuestra efe de t, no es cierto, en esa función que es un bolsito, a primera vista, no sé si alguno se le ocurre como podríamos llamarla a esa función. Sí, como la expresaría, no es cierto, esa ft, porque también analizar cuáles las funciones es parte de empezar bien el problema. Perdón, lo que disculpen, lo que está diciendo es, acuérdense que hay que integrarla efe de x seno de n o mega t. Quiere decir que a efe de t yo la voy a tener en forma gráfica. Yo se las voy a dar como la función de color azul que ven ahí, pero ustedes van a poder integrarla. Las tienen que expresar en forma analítica, sino cómo hacer para integrarla. Entonces, esta ft, así de sencillito como se ve ahí, la de color azul, analíticamente, ¿cómo la expresarían para poder integrarlo? ¿Cómo definirían la fdp azul que ven acá?

Gustavo, lo que le había dicho antes que le quería preguntar era, por ejemplo, eso que está en azul, en realidad no es una función porque, por ejemplo, bueno, ahora no veo que me costó, pero parece valor que creo que es 1,25 tiene desde 0 hasta 1,6 infinitos valores. 2, pero no. En realidad, no. En realidad, está dibujada de esa manera simplemente para simular continuidad, digamos. Pero en realidad es una función discontinua. Me explico. Veros, es una función. Cuando estaba explicando, la verdad que escuché y el chat en esta configuración no lo estoy viendo, por eso, perdóname. Exacto, es una función discontinua. O sea, las verticales que volver acá tranquilamente podríamos no dibujar. Estamos.

Entonces, volvemos. La pregunta es, ¿una función discontinua? ¿En una función que tiene una discontinuidad de salto? La famosa función a trozos que ya nada, si ustedes quieren, la famosa función a trozos de análisis, ¿o no? Pero de nuevo, la pregunta es la misma. Yo voy a tener que representar la. Voy a poder escribir la analíticamente de esta función, porque no se olvide, pero tengo que meterla dentro de una integral multiplicada por seno de n omega t o por coseno de ellos me gasté, dependiendo si voy a calcular los veo los a. Y tengo que resolver la integral que sigue. No puedo meter dentro de integral del dibujito este. ¿Cómo pondrían dentro de la integral esta función? Es muy sencillo lo que te estoy preguntando, pero ¿cómo definirían esta función en palabras o analíticamente?

Junto, vale la función. Pero mi duda y me distraje por el grito de gol de atrás. Dios, entre los grupos de profesores que son las 11 de la noche y no paran de escribir, están los votos. Tus colegas, tan loco. Pero yo lo tengo acá en casa también. Después lo discutimos otro día. Siento que grita al de atrás. [Risas] Severo, la pregunta es, ¿cómo decirlo analíticamente la función de color azul? 1.6. Servís en tres lotes. Entre 0 y 1, 25. 20. Listo. Y ya está. Porque a mí me va a interesar un periodo solamente. Se después seguiría de la misma manera, se repetiría la función, pero me va a interesar únicamente la definición en un periodo. Entonces, si esta función vale 16, si te está entre 0 y 125, y vale 0, si está entre 125 y 5. Quiere decir, no solamente adentro de la integral a esta y la multiplique por seno o cocer o en definitiva, solamente voy a tener que estar integrando entre 0 y 125, porque ese dt vale 0 entre 125 y 5. X 0 por cco se nos va a dar 0 en ese intervalo. Entonces, la única integral que voy a tener que hacer es entre 0 y 125 de la constante 16 multiplicando a con cero, o la constante 12 va a seguir multiplicando al seno. Y no es una integral complicada de resolver. Es. Estamos. Entonces, no se preocupen por el cálculo de integrales. Cálculos integrales no es un problema en este tema. El problema es que hay que partir las integrales en varias partes y es largo de resolver, es engorroso. No los quiero molestar demasiado con esto, porque la clase que viene vamos a hacer un problema. La clase que viene, yo le pedí a Agustín que vayan viendo algún problema que pueda subir, que no sea tan complicado. Y la clase que viene vamos a hacer un problema muy complicado. Vamos a hacer el más complicado que podamos encontrar que se pueda resolver a mano y que no haya que recurrir a una computadora para resolverlo. Lo vamos a resolver el más complicado que podamos encontrar. Se puede hacer a mano y van a ver que el más complicado nos demanda un rato y nos demanda varias páginas. Entonces, es muy importante la prolijidad. Acá normalmente las mujeres sacan ventajas, suelen ser bastante más prolijas las chicas que los varones. Y entonces hay una pequeña ventaja a favor del sexo femenino en este caso. Pero a ver, para que se den cuenta de lo que queremos decir. Yo me acuerdo muy bien de que algún problema así hemos tomado de algún parcial. Y entonces, fíjense en el omega vale dos pisos de signo. La clase que viene, acuérdense de esto. La cantidad de veces que van a escribir o mega van a ser muchas, se los aseguro. Van a tener que repetir el omega muchas veces. Y yo recuerdo muy bien que alguien en un parcial terminó el parcial a los insultos diciéndole, estaba re podrido de escribir dos pisos sobre cinco. Cuando decimos dos visuales, sino bueno, son tres numeritos. Si cuando lo escribiste una vez, pero cuando lo que tenés que escribir treinta o cuarenta veces en el problema, la a partir de la vez número día empieza a insultar al dos al día cinco. Ahora, de nuevo, hay una cuestión de prácticas de cancha. Que no escriba dos pidió cinco, escribió mega hasta el final y en el último reunión mira cuánto vale o mega y reemplazado medio por dos visores cinco. Pero eso se va aprendiendo con la cancha. Eso lo vamos a discutir mejor la clase que viene cuando hagamos problemas. Y son pequeños consejos de canchero, nada más que eso. Yo lo que les voy a pedir es que sean muy prolijos, que la resolución escriban grande, en las letras grandes, los números grandes, no aprenden las cosas porque no van a encontrar los errores. Y cometer un error acá es difícil de volver atrás. Nada más, chicos. ¿Alguna pregunta sobre esto? Por ejemplo, como lo que el alero decía que le parecía que esta no era una función. Mencionó bien esto. Si sigue una función, pero con una discontinuidad de salto. Más alguna pregunta. Si no, yo los dejo aquí y la clase que viene y nos metemos con lo que me interesa de este tema, que es aprender a resolver problemas. Bueno, chiquitos, entonces los dejo hasta el jueves próximo. Yo voy a ver si puedo subir alguna partecita de teoría para el jueves que viene que sea necesario, pero ya con esto tenemos para trabajar una clase y media o dos resolviendo problemas.