Scienza Delle Costruzioni: Analisi della tensione - Lezione 2.1

Ciao ragazzi, in questa lezione di scienza delle costruzioni ci occuperemo del continuo di Cauchy e del legame costitutivo. Come al solito, vi consiglio di scaricare preventivamente le dispense; in questo modo potete seguire bene quello che dico e magari appuntarvi alcune cose che non sono scritte. Ok, quindi iniziamo.

Allora, consideriamo un corpo in una posizione del tutto generica, quale, ad esempio, potremmo essere noi seduti in questo momento sulla sedia. Che cosa succede? Che abbiamo sicuramente una parte di superficie libera, come questa che sto indicando con il mouse, e una parte di superficie vincolata. Inoltre, poiché siamo seduti sulla sedia, tutti i punti del nostro corpo sono soggetti alla forza di gravità, perché sono punti dotati di – perché siamo dotati di – una certa massa. Ora, la forza di gravità è una forza che agisce a distanza e viene chiamata forza di massa, poiché è una forza che viene risentita da tutti i corpi che hanno una certa massa. E nel caso della Scienza delle costruzioni, noi non consideriamo in particolar modo la massa di un corpo, quanto il suo volume; quindi chiameremo queste forze che agiscono a distanza come delle forze di volume.

Inoltre, siamo anche soggetti all'aria che ci circonda. No, se andassimo in una camera priva d'aria, una camera vuota, esoderemmo. Perché? Perché l'aria che ci circonda esercita una pressione sul nostro corpo che va in equilibrio con i liquidi che conteniamo. Quindi siamo soggetti a questa forza dell'aria, che è una forza di contatto, di contatto, perché poiché le particelle dell'aria rimbalzano sul nostro corpo. E allo stesso modo, più o meno, ho disegnato qui questa situazione. Quindi abbiamo B che rappresentano le forze di volume e sono le forze che dovrebbero agire su tutto il corpo. Ora, per non disegnare infiniti vettori, che cosa ho fatto? Ho preso B e l'ho concentrato in un volumetto ΔV; quindi ho chiamato questa forza B*ΔV. È un po' come quando, nella risoluzione delle travi, trasformiamo un carico distribuito in un carico concentrato. Se il carico distribuito vale P ed è distribuito sulla lunghezza l, il carico concentrato vale Pl. Perché l'aria qui è la stessa cosa: il carico B, le forze di volume B, sono distribuite su tutto il volume, quindi le ho concentrate in questo volumetto. Motivo per cui la forza concentrata è B per ΔV, ossia B per il volumetto.

Allo stesso modo, le forze di contatto, sempre per non disegnare infiniti vettori, le ho concentrate su quest'area piccolissima di corpo che ho chiamato Δan, in quanto la normale a questa superficie è n. Ricordatevi che, in matematica, le aree sono caratterizzate attraverso il vettore normale, ossia il vettore perpendicolare all'area di lunghezza unitaria, e quindi di nuovo la forza di contatto F_N, ma per renderla concentrata l'ho moltiplicata per Δn, che è l'area della superficie sulla quale agisce. Assumiamo che tale corpo, soggetto a forze di volume e a forze di contatto, sia equilibrato. Questa è un'ipotesi importantissima su cui ritorneremo più in là; al momento, l'importante è ricordarsi che tutto questo corpo è in equilibrio sotto l'azione delle forze di volume e di contatto.

Ora, che cosa sappiamo? Che lo stato di sollecitazione esterno produce delle azioni interne, e per studiare tali azioni dividiamo il corpo con un piano π avente normale n. Quindi prendiamo questo piano che definisco π, eh, quindi non l'ho scritto, però vabbè. Diciamo che questo piano lo chiamiamo π; la normale al piano è n. Tagliamo il corpo, tagliamo il corpo in questo modo; riusciamo a vedere le forze, le azioni al suo interno. No, e siccome il corpo è in equilibrio, vediamo che le due porzioni di corpo che otteniamo si scambiano forze uguali e opposte. A questo punto, sulla porzione inferiore del corpo consideriamo un'area Δan e su quest'area andiamo a concentrare le forze, ossia su quest'area andiamo a calcolare la sommatoria delle forze e la sommatoria dei momenti, ottenendo quindi due vettori risultanti: un vettore che rappresenta la risultante delle forze e un vettore che rappresenta la risultante dei momenti, indicato appunto con la doppia punta, perché i vettori momenti si indicano inserendo un'altra punta. A questo punto, Cauchy definisce il vettore della tensione sulla faccia di normale n come il limite per Δn che tende a 0 di ΔF_N fratto Δn.

Ora, che cosa vuol dire fenomenologicamente questa definizione matematica? Semplicemente che Cauchy definisce la tensione come la forza che agisce sull'area Δn nel momento in cui questa diventa piccolissima. In poche parole, quell'area che ho disegnato lì rossa diventa sempre più piccola, perché Δn tende a zero fino a diventare quindi un punto. Nel momento in cui la forza agisce sul singolo punto, la chiamo tensione. Quindi la tensione altro non è che la forza agente in un singolo punto interno al corpo. E questa definizione viene detta postulato di Cauchy. Allo stesso modo, Cauchy dice anche che il limite per Δn che tende a 0 di ΔM_N/Δn è uguale a 0, e per la definizione che ho dato qui direi che è abbastanza logica come cosa, perché se la forza agisce in un singolo punto è chiaro che non può produrre il momento, perché la forza passa per questo punto e quindi non può farlo ruotare; è una forza di braccio nullo. Se eh considerassimo un corpo che so un po' più grande e applicassimo una forza F qui, dove l'ho disegnata, chiaro che questa F tende a far ruotare questo corpo, magari rispetto a questo punto, ma nel nostro caso non è così, poiché la forza passa proprio per il punto. Questa è la prima formula; come vi dicevo, si chiama postulato di Cauchy. Questa seconda formula, invece, è una condizione che identifica la classe dei corpi di Cauchy, perché ci sono dei corpi per cui questa cosa non vale, però noi non – non li tratteremo.

Cerchiamo a questo punto di capire qualche proprietà del vettore della tensione. Quindi cosa facciamo? Dal corpo, quello a forma di fagiolo che ho disegnato prima, estraiamo un elementino a forma di parallelepipedo. Allora, su questo elementino sicuramente agiranno, sulla superficie laterale, le forze F, all'interno le forze di volume B. Qui anche vedete un unico vettore, ma in realtà tutti questi dovrebbero essere distribuiti, eh. Poi questa porzione ha normale n, quindi la faccia sotto ha normale -n, perché la normale è opposta. Inoltre, Cauchy, per quanto abbiamo appena detto, dice che sulla faccia di normale n agisce T_n, sulla faccia di normale -n agisce T_-n, poiché il pedice che compare sotto alla T altro non indica che la normale alla faccia su cui sta agendo il – su cui sta agendo la tensione. Adesso possiamo dimostrare – la dimostrazione non la faremo, magari la faremo in separata sede – però si può dimostrare che questi due vettori T_n e T_-n sono uguali e opposti, ossia si può dimostrare che T_-n è proprio uguale a -T_n, ossia la tensione sulla faccia di normale -n è uguale e opposta alla tensione sulla faccia di normale n. E questo risultato non è eh per nulla scontato; in realtà sembrerebbe a prima vista banale, ma fidatevi che non è così. Tale risultato è noto come lemma di Cauchy, poiché è la diretta conseguenza del postulato, fondamentalmente.

Adesso che abbiamo scoperto una delle proprietà del vettore della tensione, addentriamoci ancora un po' più a fondo e cerchiamo di vedere cos'altro possiamo dire su questo vettore. Allora, consideriamo un altro elemento estratto dal corpo, ma questa volta consideriamolo di forma tetraedrica. Inoltre, lo consideriamo proprio all'interno, non vicino al bordo, che magari si vedono ancora le forze di contatto e così via. Quindi, ehm, consideriamo questo elemento a forma di tetraedro. E perché scegliamo il tetraedro? Perché è una – è un solido avente una faccia obliqua, questa che quindi non è parallela a nessuno dei piani coordinati. Quindi possiamo dire che questo piano, che poi costituisce la faccia del tetraedro, è un piano del tutto generico, e assumiamo che abbia normale n. Allora, per quanto abbiamo detto sui punti del piano di normale n, o meglio sulla faccia di normale n, agirà il vettore della tensione T_n. Allora, la prima cosa che posso pensare di fare è quella di scomporre questo T_n in una componente parallela ad n e una componente perpendicolare, che quindi giace sulla – sulla faccia del tetraedro. La componente parallela alla normale la chiamo σ_nn, mentre la componente perpendicolare che giace sulla faccia la chiamo τ_n. E ora che cosa dico? Dico: vabbè, ma io – io, o meglio noi, siamo molto bravi a lavorare con le terne ortonormali, cioè le terne formate da tre assi perpendicolari tra di loro. Allora cosa faccio? Prendo questo τ_n e lo scompongo in altri due vettori perpendicolari tra loro, così che ottengo una σ e due τ che in totale formano una terna ortonormale, ossia tre vettori perpendicolari tra loro. Ora, la σ_nn viene chiamata tensione assiale, mentre le due τ vengono chiamate tensioni tangenziali. Quindi la σ è la componente di tensione assiale, le due τ sono le componenti di tensione tangenziale.

Ora soffermiamoci un secondo sui pedici. Come vedete, tutte e tre le componenti hanno come primo pedice n: σ_nn, τ_n, τ_n. E questo perché il primo pedice indica la normale alla faccia che stiamo considerando. Noi, in particolar modo, stiamo considerando questo tetraedro, e questo tetraedro ha normale n. Quindi il primo pedice che compare nelle componenti di tensione è n. Il secondo pedice indica invece la direzione della componente di tensione. Ossia, la σ è diretta parallelamente a n, quindi giace sulla faccia di normale – cioè si – agisce in un punto che si trova sulla faccia di normale n ed è diretta lungo n. Questa τ_nm agisce in un punto della faccia di normale n ed è diretta lungo m. Quest'altra componente agisce in un punto della faccia di normale n ed è diretta lungo l. E quindi che cosa abbiamo scoperto fondamentalmente? Che possiamo considerare il vettore della tensione come composto da tre componenti: una componente assiale e due componenti tangenziali. A questo punto, piuttosto che un tetraedro, allora andiamo a considerare un cubetto che abbia le facce parallele ai piani coordinati. Allora, per quanto detto su ogni faccia – ops, vediamo come si toglie questo coso – per quanto detto su ogni faccia agiscono tre componenti di – o meglio, diciamolo come si deve: in ogni punto di ogni faccia agiscono tre componenti di tensione. Perché sulla faccia di normale e₁ abbiamo la σ₁₁, la τ₁₂ e la τ₁₃? Perché la σ è quella perpendicolare alla faccia, che sta sulla – che sta in un punto della faccia di normale 1 ed è diretta lungo 1. Questa componente agisce sulla faccia di normale 1 ed è diretta lungo 2. Questa componente agisce sulla faccia di normale 1 ed è diretta lungo 3. Andiamo alla faccia azzurra, che è quella di normale 2. Allora abbiamo la σ₂₂, che è la componente perpendicolare alla faccia, quindi parallela a 2. Poi abbiamo le due τ che sono sempre in punti della faccia di normale 2, quindi il primo pedice 2, poi questo è diretto lungo 3, questo è diretto lungo 1. E similmente avviene per la faccia arancione, che è quella superiore, perpendicolare a 3. Quindi che cosa possiamo dire? Possiamo dire che il vettore T₁, ossia il vettore della tensione sulla faccia di normale 1, ha la componente σ₁₁ lungo e₁, la componente τ₁₂ lungo e₂ e la componente τ₁₃ lungo e₃. Se prendiamo la faccia di normale 2, abbiamo che il vettore della tensione T₂ ha la componente τ₂₁ lungo i₁, poi σ₂₂ lungo e₂ e poi τ₂₃ lungo e₃. Ovviamente l'ordinamento è questo, perché che va sempre prima la componente su e₁, poi la componente su e₂, poi la componente su e₃. Questo vuol dire che i vettori sono ordinati rispetto al secondo pedice. Infine, sulla faccia arancione, che è quella di normale 3, abbiamo la τ₃₁ lungo 1, la τ₃₂ lungo 2, la σ₃₃ lungo l'asse e₃. Ora, questo cubetto – eh, io chiaramente ho disegnato solo queste nove componenti di tensione, ma ci sarebbero quelle uguali e opposte nelle facce, qui non si vedono per il lemma di Cauchy, perché abbiamo detto che se sulla faccia di normale e₃ agisce σ₃₃, sotto, quindi la faccia che non si vede, sulla faccia sotto agirà la σ₃₃ uguale e opposta, quindi diretta verso il basso. Però teniamoci solo questa, in maniera tale che il disegno è più pulito. Ora, questa T₁, T₂ e T₃ costituiscono le componenti speciali della tensione di Cauchy, e per quanto speciali? Perché ci dicono proprio quanto valgono i vettori della tensione sulle facce che sono parallele ai piani coordinati. A questo punto, dal lemma di Cauchy deriva che il cubetto è in equilibrio alla traslazione, perché se σ₂₂ tende a tirare verso destra, avrò un -σ₂₂ che tenderà a tirare verso sinistra, perché appunto sulla faccia opposta agisce la tensione uguale e opposta. E così vale anche per tutte le altre. Vediamo un po' invece l'equilibrio alla rotazione. E supponiamo di guardare il corpo, il cubetto, frontalmente; ciò che vediamo è questa sezione, no? E quindi vediamo la τ₃₂ sopra che va a destra, la – la τ₃₂, poi la τ₂₃ a destra che va in alto, e di conseguenza, per il lemma di Cauchy, vedo le altre due uguali e opposte sui lati che non vedo, perché qui, come dicevo, non le ho disegnate. E a questo punto cosa succede? Che le τ₃₂ tendono a dare una rotazione oraria, ossia creano un momento orario, mentre le τ₂₃ creano un momento antiorario, e siccome il cubetto deve essere in equilibrio, i due momenti si devono eguagliare, ma questo succede – solo dato che è un quadrato – succede solo se τ₃₂ è uguale a τ₂₃. Allo stesso modo, se vediamo la faccia azzurra frontalmente, vediamo la τ₃₁ che viene a sinistra, la τ₁₃ che va in alto, e di conseguenza quelle opposte. Ripetendo il ragionamento, la τ₃₁ deve essere uguale alla τ₁₃, perché il momento prodotto dalle – dalla coppia di forze arancioni deve essere uguale al momento prodotto dalla coppia di forze verdi. E la stessa cosa vale anche per la faccia in alto, se la guardiamo frontalmente. Quindi se – che la τ₂₁ deve essere uguale alla τ₁₂. A questo punto, dalla conoscenza – ho scoperto che schiacciando il tasto destro si annullano tutte le eh transazioni – transizioni fatte, quindi sono dovuto ripartire dall'inizio. Quindi vi dicevo che adesso cosa succede? Che con le componenti speciali di tensione che abbiamo trovato vorremmo essere in grado di calcolare questo T_n, ok? E in particolar modo possiamo effettivamente andare a trovare una trasformazione lineare che prende in ingresso il vettore n, quindi prende come input n e restituisce in output T_n. Quindi ripeto: è possibile trovare una trasformazione lineare che prende in ingresso il vettore n, che è il vettore normale alla superficie sulla quale voglio calcolare la tensione, e questa trasformazione lineare restituisce in output T_n. Quando dico trasformazione lineare, pensate a una funzione lineare, un po' come se fosse una retta, tanto per capirci, oppure un piano in R³. E tale trasformazione lineare rappresenta in realtà una sorta di rotazione del sistema di riferimento. Ora comunque, senza entrarci troppo nei dettagli matematici, diciamo che ad ogni trasformazione lineare è possibile associare una matrice. Questo è un concetto algebrico. Quindi ad ogni – ripeto – ad ogni trasformazione lineare è possibile associare una matrice. La matrice associata alla trasformazione lineare che ci interessa in questo caso viene indicata con T ed è chiamata tensore della tensione, e tale matrice è la matrice che ha per componenti – che ha, o meglio per colonne, proprio i vettori T₁, T₂ e T₃, e quindi è la matrice:

σ₁₁ τ₁₂ τ₁₃

τ₂₁ σ₂₂ τ₂₃

τ₃₁ τ₃₂ σ₃₃

Questi sono proprio le tre componenti speciali della tensione di Cauchy che abbiamo ricavato prima. L'ho chiamata tensore perché i tensori sono delle particolari matrici che rispettano determinate leggi di trasformazioni, e non mi addentro nei dettagli perché tanto non è necessario che li sappiate, non vengono trattati in determinati corsi di laurea. Però sappiate che il tensore è una – il tensore è come se fosse una generalizzazione del vettore. Cioè voi avete lo scalare che è il numero, poi avete il vettore, poi potrete – potreste immaginare di creare un vettore tridimensionale, quindi non un vettore nello spazio, ma proprio un vettore tridimensionale, e questo vettore tridimensionale sarebbe, ad esempio, un tensore se rispetta determinate leggi. Però ripeto, non voglio addentrarmi nella teoria dei tensori perché complicherà – giusto per spiegarvi il perché c'è questa parola tensore. Non viene chiamata semplicemente matrice della tensione, viene chiamata tensore proprio perché è una matrice che rispetta determinate proprietà. Comunque, dicevo, attraverso il tensore della tensione quindi siamo in grado di conoscere T_n, perché il tensore della tensione è la matrice associata a questa trasformazione lineare. Allora possiamo scrivere semplicemente che T_n = T*n, dove – e quindi questo è il prodotto riga per colonna, ossia devo prendere la matrice T, quindi T_n, devo – per calcolarlo devo prendere la matrice T che ha tutte le nove componenti e devo moltiplicarla per il vettore n che avrà le tre componenti n₁, n₂ e n₃, e questo prodotto si fa come prodotto riga per colonna, se – ehm – che immagino abbiate studiato in altri esami. Quindi eh abbiamo detto che T_n = T*n. Questo risultato è noto come teorema di Cauchy. Una volta noto T_n, possiamo andare a calcolare anche le altre componenti della tensione, ossia σ_nn, τ_nm e τ_nl, perché se ci pensate, ad esempio, σ_nn non è altro che la proiezione di T_n sulla direzione n, τ_nm è la proiezione di T_n sulla direzione m, come se fosse l'ombra – vabbè, la proiezione appunto – mentre τ_nl è la proiezione di T_n sulla direzione l. Ora, in matematica le proiezioni si fanno col prodotto scalare. Quindi se volessi calcolare σ_nn basta che faccio il prodotto scalare tra T_n e il vettore n su cui sto proiettando. τ_nm sarà quindi T_n*m, τ_nl sarà T_n*l, dove n, m, l ovviamente saranno vettori assegnati, perché sapete qual è la normale alla faccia che state studiando. Detto questo, vediamo qualche proprietà di questo – del tensore della tensione. In particolar modo, dall'equilibrio alla rotazione abbiamo detto che τ₃₂ = τ₂₃, τ₃₁ = τ₁₃ e τ₂₁ = τ₁₂. Eh, ma allora il tensore della tensione risulta simmetrico, perché τ₁₂ = τ₂₁, τ₃₁ = τ₁₃, τ₃₂ = τ₂₃. Quindi abbiamo che i termini opposti alla diagonale principale sono proprio uguali, motivo per cui il tensore appunto è simmetrico. E ora che succede? Che in algebra una matrice simmetrica è diagonalizzabile. Cosa vuol dire che è diagonalizzabile? Che esiste una trasformazione che è in grado di rendere il tensore – o la matrice, ripeto, confondo i due termini, perché nel nostro caso tanto la matrice T è un tensore, quindi un tensore è una matrice – una matrice non è detto che è un tensore; nei nostri casi le due cose coincidono. Quindi vi dicevo che T è diagonalizzabile. Questa cosa vuol dire che T può essere reso in forma diagonale. La forma diagonale di una matrice è questa che ho scritto qui:

σ₁ 0 0

0 σ₂ 0

0 0 σ₃

Ossia una matrice con termini diversi da zero solo sulla diagonale principale e tutti gli altri termini nulli. Attenzione che σ₁, σ₂ e σ₃ non sono σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃, cioè sono altri termini, altri valori numerici. Ora, la trasformazione che permette di diagonalizzare una matrice è semplicemente una rotazione del sistema di riferimento. σ₁, σ₂ e σ₃ vengono chiamate tensioni principali e corrispondono agli autovalori della matrice T, mentre i nuovi assi del sistema di riferimento ruotato vengono chiamati direzioni principali di tensione e sono autovettori associati agli autovalori, ossia sono le direzioni lungo cui agiscono σ₁, σ₂ e σ₃. Per quanto detto, allora per determinare tensioni principali e direzioni principali dovremmo calcolare autovalori e autovettori, perché noi abbiamo detto che σ₁, σ₂ e σ₃ sono gli – gli autovalori, mentre le – i nuovi assi del sistema di riferimento, ossia le direzioni principali, sono individuati dagli autovettori. Tuttavia, se lo stato di tensione è piano – e vedremo a breve cosa vuol dire – gli autovalori e autovettori, quindi tensioni principali e direzioni principali di tensione, possono essere determinate con il metodo grafico del cerchio di Mohr. Vi faccio anche un'osservazione fenomenologica prima di andare avanti. Se guardate la forma della matrice T, eh, il tensore della tensione ha sulla diagonale principale le σ, quindi le tensioni assiali, sui termini al di fuori della diagonale le tensioni tangenziali. Eh, ma noi qui le tensioni tangenziali le abbiamo sempre uguali a zero. Questo che cosa vuol dire? Che esistono in ogni corpo tre direzioni tali per cui le fibre del corpo, allineate con tali direzioni, sono solo soggette a tensioni assiali, che possono essere quindi di trazione o di – di compressione. Perché queste σ altro non sono quelle che abbiamo già studiate quando abbiamo trattato Saint-Venant. In Saint-Venant noi studiamo la – calcoliamo la σ₃₃ perché studiamo una – la sezione di una trave avente normale l'asse 3, e quindi ecco questa cosa è molto importante perché ci sta dicendo che per ogni corpo esistono tre fibre soggette soltanto a tensioni assiali.

Vediamo quindi come si utilizza il metodo grafico del cerchio di Mohr, che è quello che useremo di più negli esercizi; il metodo analitico non lo useremo praticamente mai. Allora, per calcolare il cerchio di – per calcolare le tensioni principali e le direzioni principali con il cerchio di Mohr, abbiamo detto che ci sia bisogno – che c'è bisogno che lo stato di tensione sia piano, e che cosa vuol dire che lo stato di tensione è piano? Che le componenti di tensione possono essere racchiuse in un piano. Vedete, se consideriamo il disegno che – che ho – che ho portato qui, σ₁, τ₁₂, τ₂₁ e σ₂ sono tutte disegnabili in questo piano che coincide con il piano e₁e₂. A parte l'altezza, diciamo il piano è quello, no? Perché è parallelo a e₁ e e₂. Infatti, in questo piano possiamo andare a disegnare quelle quattro componenti di tensione, motivo per cui lo stato di tensione viene detto piano. Ora, per uno stato – ovviamente ci sono anche sempre le tensioni opposte che non disegno per comodità e per rendere il disegno più pulito – e se vediamo ad esempio la – il tensore della tensione relativo a questo stato tensionale, eh, le uniche componenti diverse da 0 sono σ₁₁, τ₁₂, τ₂₁ e σ₂₂. Quindi l'espressione del tensore è questo. Ma allora, siccome ho una riga – o vi ho una riga – o viceversa una colonna di tutti zeri, il determinante di questo tensore della tensione sarà zero. Allora questa è la condizione matematica che mi permette di individuare se lo stato di tensione è piano. Qui, qualora in un esercizio mi venga richiesto di dimostrare che lo stato di tensione è piano, basta calcolare il determinante della matrice T e verificare che tale determinante sia uguale a 0. Il piano della tensione lo ricavate semplicemente guardando i termini della matrice, anche se non avessi avuto il disegno. Da questa matrice capisco che il piano di tensione è il piano e₁ e e₂, perché gli unici pedici che compaiono sono il pedice 1 e il pedice 2. Quindi ci troviamo sul piano e – e una volta che ho individuato il piano della tensione vado a disegnarmi e₁, e₂ e disegno una delle facce del quadratino, in particolar modo questa è la faccia in alto – perché, o meglio, la faccia in basso, perché se guardo il piano e₁e₂ in questo modo è come se guardassi il quadratino dal basso – e quindi vado a riportarmi le – le componenti di tensione che vedo. Ora, senza mettermi a perdere tempo nel farlo graficamente, io personalmente preferisco utilizzare – o meglio, farmi questo disegno analiticamente, nel senso che disegno il quadratino e poi dico: ok, prendiamo la faccia di normale 1, che quindi è questa faccia. Qui la chiamo faccia in lato, perché chiaramente qui dietro c'è il cubetto che non si vede, però ricordatevi che questo è il cubetto. Quindi ripeto, prendo la faccia di normale u, quindi la faccia perpendicolare all'asse 1, e dico: ce l'ho una componente di tensione lungo 1? Sì, eccola qui; assumiamo sia positiva, quindi è questa σ₁₁. Qui c'è scritto σ₂₂, ma non è vero, questa è la σ₁. Poi ce l'ho una componente di tensione diretta lungo 2? Sì, è questa τ; assumiamo la positiva, quindi va verso l'alto, perché 2 è positivo in alto, e abbiamo disegnato queste due componenti. Tutto questo perché vi ricordo che la prima colonna del tensore della tensione ci dà – è dato da T₁, quindi questo è il vettore della tensione sulla faccia di normale 1. La seconda colonna rappresenta invece T₂, quindi il vettore della tensione sulla faccia di normale 2. Allora, sulla – prendo la faccia di normale 2, che quindi è questa che coincide con questo lato, quindi diciamo così, e dico: ce l'abbiamo una forza diretta lungo 1, una tensione diretta lungo 1? Sì, eccola qua, la τ₂₁. Com'è positiva? Ma allora va verso destra, perché 1 è positivo a destra. Ce l'abbiamo qualcosa lungo 2? Sì, abbiamo questa σ₂₂ che è positiva, quindi va verso l'alto. Ce l'abbiamo qualcosa lungo 3? No, perché l'asse 3 nemmeno lo vedo. La terza colonna è tutta nulla, quindi non ho più niente da disegnare. Una volta che ho disegnato queste, vado a disegnare anche le loro opposte, per il – che esistono per il lemma di Cauchy, che sono uguali e opposte per il lemma di Cauchy, ma non riporto il loro valore, perché tanto non – nella determinazione delle tensioni principali e direzioni principali non servono. Ci servono solo queste sui lati esterni, diciamo così, sui lati aventi normale gli assi cartesiani positivi. Detto questo, cosa dobbiamo fare? Dobbiamo andare a rappresentare questo stato tensionale nel cosiddetto piano di Mohr, che è il piano avente per – ehm – ops, dicevo: dobbiamo andare a riportare…

questo, nel piano di Mor, questo stato di tensione nel piano di Mor, dove il piano di Mor è il piano avente sugli arti, sugli assi cartesiani, la Sigma e la Tau. Quindi, sull'asse delle ascisse troviamo la Sigma e sull'asse delle ordinate troviamo la Tau. E noi vogliamo riportare questo stato tensionale su questo piano. Allora, come facciamo? Prendiamo due punti: un punto O sul lato orizzontale e un punto V sul lato verticale. Non, non è necessario che questi due punti siano a metà, eh. Cioè, io li ho messi a metà, ma potevo metterli dove mi pareva sul lato orizzontale, perché voi qui vedete queste componenti di tensione, ma in realtà io ne ho infinite, eh, perché ho una componente di tensione in ogni punto di questo lato. Ne abbiamo disegnate poche per semplicità, perché è più comodo. Quindi, il punto O, O lo prendo qui, o più a sinistra o più a destra, non cambia niente. La stessa cosa V, O lo disegniamo più in alto o più in basso, anche non cambia nulla. Allora, prendiamo questi punti U e V e vogliamo riportare questi punti U e V su questo piano, su questo piano cartesiano. Allora, la prima componente di questi punti è la Sigma. La seconda è la Tau. Come facciamo a determinare le componenti? Allora, si usa questa convenzione: la Sigma è positiva se di trazione, la Tau è positiva se induce rotazioni orarie, adesso rispetto all'origine del quadratino. Adesso, se prendo il punto O, vedo che la Sigma 22 va verso l'alto. Ma quindi è di trazione, perché che sta tirando il punto. Se fosse stata diretta al contrario, allora sarebbe stata di compressione, perché schiacciava il punto. Allora, nel nostro caso, comunque va, la Sigma 22 tira il punto, quindi è di trazione ed è positiva. La Tau 21 va verso destra. Quindi, rispetto all'origine, tende a dare questa rotazione che è una rotazione oraria e quindi positiva, motivo per cui qui l'ho scritta positiva. Se prendiamo invece il punto V, la Sigma, perché vi ricordo che questo è 11, è di trazione perché tira il corpo, tira il punto, mentre la Tau 1 tende a dare, rispetto all'origine, una rotazione antioraria, quindi negativa, motivo per cui la seconda coordinata è -Tau 12.

Una volta che abbiamo determinato questi due punti, possiamo andarli a disegnare nel piano di Mor. Ora, fate finta che questo disegno non ci sia. Non so perché già sta qua. Comunque, li andiamo a disegnare nel piano di Mor. Allora, il punto O sta qua, il punto V sta qua. Chiaramente, io non ho i valori di Sigma e Tau, eh, perché questo è, è una spiegazione teorica; voi nell'esercizio avrete dei numeri. Nel mio caso, ho deciso di piazzarli in questo modo. L'unica cosa che sapete è che Tau 21 è uguale, opposta, a Tau 12, per il Lemma di così. Quindi, diciamo, le altezze, le distanze dei due punti dall'asse delle Sigma, eh, sono uguali. Una volta che abbiamo calcolato il punto, abbiamo disegnato il punto O e il punto V, li uniamo. Uniamo questi due punti con un segmento. Chiaramente, voi in sede di esame o quando fate gli esercizi, fate tutto su un unico grafico. Io qui li sto facendo su più grafici, perché in questo modo avete la consequenzialità delle azioni e vi ricordate quali sono gli step successivi da fare. Quindi, dicevo, unisco i punti O e V, e questo segmento che ho ottenuto rappresenta il diametro del cerchio di Mor. Il centro del cerchio di Mor è il punto di intersezione col diametro con l'asse delle Sigma, proprio perché abbiamo detto che le distanze dai due punti sono uguali, e quindi il centro della circonferenza deve stare sull'asse delle Sigma. Una volta che, quindi, ho il centro e il diametro, posso calcolare, posso disegnare il cerchio di Mor, e quindi traccio la circonferenza. Dico cerchio, perché si chiama, viene chiamato cerchio di Mor; in realtà, disegnate la circonferenza, ripeto, perché conosce, perché avete tracciato il diametro, il punto di intersezione col diametro dell'asse Sigma, il centro. A questo punto, conoscete anche il raggio, perché sarebbe il diametro diviso 2, e disegnate il cerchio. Una volta che ho il, il cerchio di Mor, vado a, ehm, evidenziare le intersezioni del cerchio con l'asse delle Sigma e l'origine, e poi questi tre punti che abbiamo evidenziato sono le tensioni principali, ossia quelle che stavamo cercando.

Allora, le tensioni di fatto sono tre, perché una matrice 3x3 presenta tre autovalori, però dato che il nostro stato di tensione è piano, quando utilizziamo il cerchio di Mor, una delle tre tensioni sarà sempre zero. Per quanto riguarda la nomenclatura, io personalmente chiamo sempre Sigma 1 quella più a destra, e poi piano piano vado a, a crescere verso sinistra. Quindi, se questa la chiamo Sigma 1, il, il, l'origine del sistema di riferimento la chiamo Sigma 2, e quest'altra qui è Sigma 3, proprio perché voi evidenziate, ve lo rifaccio vedere il passaggio. Io ho tracciato il, ve lo faccio qua, ho tracciato il cerchio. Quindi, una volta che traccio il cerchio, segno questo punto, questo punto e questo punto, ossia cerchio, evidenzio le intersezioni della circonferenza con l'asse delle Sigma e l'origine del sistema di riferimento, e poi questa la chiamo Sigma 1, questa la chiamo Sigma 2, e questa la chiamo Sigma 3, ossia procedo sempre da destra verso sinistra nel mettere i nomi, però non è una, è una regola, ognuno fa un po' come gli pare. Detto questo, una volta che abbiamo calcolato le tensioni principali, dobbiamo calcolare le direzioni principali. Come facciamo a calcolare le direzioni principali? Dobbiamo andare a calcolare il polo delle normali. Allora, il polo delle normali, lo dice un po' il nome stesso, è il punto in cui si incontrano le normali ai lati. Quindi, il punto O giace sul lato orizzontale del quadratino che abbiamo disegnato prima. Il quadratino che abbiamo disegnato prima era così, il punto O stava qua e il punto V qui. L'abbiamo chiamato appositamente orizzontale e verticale. Quindi, la normale ad O è verticale, quindi faccio passare, però, una retta verticale. La normale a V è orizzontale, quindi faccio passare per il punto V una retta orizzontale. Se il cerchio è fatto come si deve, quindi in proporzione, il punto di incontro di queste due rette si trova sulla circonferenza, e lo chiamiamo N, appunto, polo delle normali. Adesso, dal polo delle normali, tracciamo i vettori che passano per Sigma 1 e per Sigma 3, quindi 1 e 2. Quindi, mi raccomando, i vettori che passa, che partono dal polo delle normali devono sempre passare per i punti di intersezione della circonferenza con l'asse delle Sigma, e quindi chiamo il vettore che passa per Sigma 1 lo chiamo V1, il vettore che passa per Sigma 3 lo chiamo V3. E allora, che informazioni mi stanno dando questi due vettori? Mi stanno dicendo che nel quadratino che abbiamo disegnato prima, quindi questo quadratino qui, questo R2, questo R1, che in questo quadratino tutte le fibre orientate come V1 vanno in trazione, ossia tendono ad essere tirate, motivo per cui vicino a V1 si fa questo disegnino qui. Questo è un pezzettino infinitesimo di fibra che tende ad essere tirato, mentre tutte le fibre del corpo parallele a V3, quindi quelle orientate in questo modo, tendono ad essere compresse, perché tendono a essere compresse perché V3 passa per Sigma 3. Sigma 3 è negativo perché sta dalla parte negativa dell'asse Sigma, perché qui questo è l'origine, quindi a destra Sigma è positivo, a sinistra è negativo. Sigma 3 sta a sinistra, quindi è negativo, quindi è compressione. Ok. Una volta fatto questo, allora capisco, come vi dicevo, che in questo quadratino ci sono, che in un corpo ci sono sempre tre direzioni tali per cui le fibre parallele a queste tre direzioni vanno solo in trazione o compressione, e la terza direzione qui sarebbe quella perpendicolare, perché è scarica, non c'è nessuna Sigma, visto che una delle Sigma è zero. E allora, potrei anche pensare un'altra cosa, dico: va bene, ma allora se ruotasse questo quadratino in un certo modo, le, le uniche tensioni che vedrei sarebbero le Sigma, perché le tensioni perpendicolari ai lati sarebbero solo queste. Se ruotasse il quadratino in questo modo, e quindi adottando questo punto di vista, dico: ok, cerchiamo come dobbiamo ruotare il quadratino attraverso il cerchio di Mor per capire di come, di quanto dobbiamo ruotare il quadratino. Calcoliamo il polo delle giaciture. Come si trova il polo delle giaciture? Come l'intersezione delle rette che passano per O e per V, e ci dicono appunto come le direzioni dei lati lungo cui giacciono O e V. Quindi, O giace su un lato che è orizzontale, e quindi la direzione è questa. V giace su un lato che è verticale, e quindi per V passa la retta verticale. I due punti di nuovo si intersecano sulla circonferenza in un punto che, che verrà sempre diametralmente opposto ad N. Questo punto si chiama K, polo delle giaciture. Ora, dal polo delle giaciture, traccio due, due semirette che passano per Sigma 1 e Sigma 3, ossia che passano per le intersezioni della circonferenza con l'asse delle Sigma, una e 2, e disegno un quadratino con i lati paralleli a queste due semirette. Quindi, vedete, questo lato del quadratino è parallelo a questa semiretta, questo lato del quadratino è parallelo a quest'altra. E su questo quadratino vado a riportare le azioni, ehm, le tensioni che abbiamo determinato prima, e questo è simile al disegno che ho cancellato. Ok.

Per quanto riguarda le espressioni analitiche, le formule che ci permettono di calcolare analiticamente il valore delle Sigma, sia che le, le tensioni principali sono date dalla Sigma del punto O più la Sigma del punto V fratto 2, più o meno la radice quadrata della Sigma di O meno la Sigma di V fratto 2, al quadrato più Tau al quadrato. La Tau non ho specificato se quella di O o quella di V, perché tanto in valore sono uguali. Cambia solo il segno. Beh, e quindi elevata al quadrato verrà proprio lo stesso numero. Potete scegliere quella che vi pare. Per capire ora, dal punto di vista geometrico, questa, questo termine rappresenta il centro del cerchio di Mor, quest'altro termine rappresenta il raggio, e il raggio rappresenta anche la Tau max. Perché? Perché il raggio vi dà la massima, la massima altezza che raggiunge il cerchio sull'asse delle Tau. Quindi, questo punto è quello che registra la Tau max, la Tau più alta, e questo perché, perché sul cerchio di Mor voi trovate tutti i possibili stati di tensione, perché in ogni punto del cerchio ci sarà una certa Tau e una certa Sigma. Noi con il cerchio di, con questa procedura che abbiamo fatto, abbiamo calcolato quelle tensioni che hanno solo le Sigma, perché sull'asse delle Sigma la Tau è zero, che sono proprio quelle che ci interessavano. Per capire invece qual è l'angolo che forma la direzione principale con l'asse delle Sigma, utilizziamo la seguente formula: theta, che quest'angolo che ho disegnato, è 1/2 per l'arcotangente di 2 Tau fratto Sigma O meno Sigma V. E con questo finisce la trattazione del cerchio di Mor, e magari sì, è stata fatta un po' velocemente, ma sugli appunti, quindi sulle dispense allegate alle slide, il procedimento è scritto in maniera molto dettagliata. In realtà, un po' tutta la teoria è scritta dettagliatamente. Infatti, queste, questa video lezione è più semplicemente per andare ad accompagnare quelle dispense che sono già di per sé, in realtà, molto dettagliate, giusto per specificare magari qualcosa. E detto questo, quindi, come vi dicevo, il procedimento del cerchio di Mor è finito, perché abbiamo ottenuto le nostre tensioni principali e anche l'angolo theta che indica le direzioni principali, e possiamo continuare la trattazione del continuo di Cauchy parlando dell'equilibrio. Perché, come ho detto all'inizio, quel, quel, quel corpo a forma di fagiolo, come viene chiamato in letteratura, diciamo così, si parla di sto corpo a forma di fagiolo, era equilibrato, ora non fa, e quindi vediamo un po' com'è fatto questo equilibrio, perché il corpo è equilibrato non solo sotto l'azione delle forze di volume, ma anche sotto l'azione delle forze di contatto, e si parlerà allora di equilibrio interno, ossia l'equilibrio che riguarda le forze di volume, e di equilibrio esterno, come l'equilibrio che riguarda le forze di contatto. Partiamo dall'equilibrio interno. Quindi, qui ho fatto un bellissimo copia incolla dall'altra slide, questo è l'equilibrio interno. Allora, che cosa succede? So che il disegno vi sembra confusionario, ma non vi preoccupate, perché in realtà il discorso è molto, molto semplice. Consideriamo un cubettino interno al corpo di dimensioni infinitesime. Quindi, questo lato che è parallelo ai due ha dimensioni infinitesime dX2, questo lato che è parallelo a E1 ha dimensione infinitesima dX1, questo lato che è parallelo a E3 a dimensione infinitesima dX3. Come vi dicevo, all'interno del corpo agiscono le forze di volume, e adesso che cosa succede? Che se sulla faccia di normale -E1, ossia se sulla faccia dietro agisce T di -1, sulla faccia avanti non solo deve agire T1 che è uguale, opposta a questa e quindi la contrasta, ma deve anche agire un qualcosa, questo contributo che tenderà a bilanciare B. Solo che non so quanto vale questo contributo, so che ci dovrà essere perché sto facendo variare la Tau, perché è il contributo che mi dà T1 dovuto, dovuto al fatto che mi sto spostando lungo l'asse X1 della quantità dX1. Vedete perché nel passare dalla faccia dietro alla faccia avanti abbiamo percorso questa distanza che è proprio dX1. E allora, lungo tutta questa distanza io avrò dovuto contrastare queste forze B. Ora, non so di preciso quanto vale ciò che sto contrastando, ma so che sicuramente lo contrasterò facendo variare T1 nel lungo. Quindi, ripeto, faccio variare T1 mentre mi sposto lungo l'asse X1 della quantità dX1. Questa è una derivata che potete leggere in questo modo, cioè il significato è questo: questa derivata mi sta dicendo di quanto varia T1 lungo l'asse X1 man mano che mi sposto lungo l'asse X1 della quantità dX1. Allo stesso modo, se sulla faccia di normale meno E2 agisce T -2, su quest'altra non solo agisce T2, ma agisce anche il dT2 su dX2 per dX2, perché, perché stiamo facendo variare la nostra T2 spostandoci lungo l'asse X2 della quantità dX2, e lo stesso discorso vale per quanto riguarda le facce di normale E3 e -E3. Ora, se facessimo la sommatoria di tutte queste tensioni, e per fare la sommatoria delle tensioni andrebbero prima trasformate in forza, ma la dimostrazione non la facciamo, anche se non è complicata, però dicevo, se si vede già d'occhio, se io facessi la sommatoria di tutte queste forze, T1 e T -1 se ne vanno e mi rimane solo il termine differenziale. T -3 e Td3 se ne vanno e mi rimane solo il termine con la derivata, appunto. E T2 e T -2 se ne vanno e mi rimane di nuovo il termine con la derivata più il vettore, eh, B. Allora, l'equilibrio mi dirà che il dT1 su dX1 più il dT2 su dX2 più il dT3 su dX3 più B deve essere uguale a 0, ossia sia le forze di volume sono bilanciate dalla somma, dalla somma delle derivate dei vettori della tensione. Ora, se ricordiamo che in Matematica 2 l'operatore gradiente è questo che ho disegnato qua, perché il gradiente è il vettore che va, è un operatore che va a fare le derivate parziali, no? Voi quando prendete il gradiente e gli mettete una F vicino, quello che ottenete è il vettore dF su dX1, dF su dX2, dF su dX3, eh, però il gradiente di per sé è un operatore, quindi piuttosto che calcolare il gradiente di una funzione, posso anche prendere il gradiente e moltiplicarlo scalarmente per un campo vettoriale. E allora mi rendo conto che questa espressione che c'è a sinistra io posso vedermela come il prodotto del vettore gradiente con il vettore T1, T2, T3, prodotto scalare ovviamente, perché faccio il primo per il primo e ottengo dT1 su dX1, il secondo per il secondo e ottengo dT2 su dX2, il terzo per il terzo e ottengo dT3 su dX3 più B, che è proprio l'espressione che sta scritta qua. Eh, ma in matematica il prodotto scalare del gradiente con un campo vettoriale si chiama divergenza. Quindi, in forma compatta, questa formula può essere riscritta come divergenza di T più B = 0. Non vi preoccupate che incontrerete questa roba negli esercizi, anzi, potremmo dire praticamente mai. Detto questo, andiamo avanti e ricordiamo che in effetti noi conosciamo l'espressione, la forma delle T1, T2 e T3, no? Perché sono le componenti speciali della tensione di Cauchy. Ma allora possiamo anche effettuare esplicitamente il calcolo di dT1 su dX1 più dT2 su dX2 più dT3 su dX3 più B, che è sempre un vettore, uguale a 0, che è sempre un vettore, perché, perché prendo tutte le componenti di T1 e le derivo rispetto a X1. A tutte queste componenti sommo le componenti di T2 derivate rispetto a X2. A tutte queste vado a sommare le componenti di T3 derivate rispetto a X3 più il vettore B che avrà componenti B1, B2, B3, tutto uguale a 0. Questo sistema costituisce le cosiddette equazioni indefinite di equilibrio, e con questo abbiamo concluso la trattazione dell'equilibrio interno. Per quanto riguarda invece l'equilibrio esterno, la situazione è molto più semplice, perché, perché dal punto di vista esterno, se sulla faccia di normale N in un certo punto agisce la forza di contatto FN, affinché il corpo sia in equilibrio c'è necessità che questa forza equivalga esattamente alla tensione TN. Quindi, l'equilibrio è semplicemente dato, l'equilibrio esterno, da TN uguale FN, che è la relazione che abbiamo scritto qui. Detto questo, possiamo concludere, possiamo considerare conclusa questa parte relativa al calcolo della tensione, alla trattazione specifica della tensione, e voglio dire due parole, ma veramente solo due, sul legame costitutivo. Allora, il legame costitutivo rappresenta fondamentalmente la prima legge in cui entra in gioco il materiale di cui è composto il corpo che stiamo considerando, perché noi abbiamo studiato una prima parte relativa alla cinematica del continuo di Cauchy, diciamo così, con la matrice della deformazione, che anch'essa è un tensore, la rotazione rigida, eccetera, eccetera. E adesso abbiamo studiato le tensioni. Il legame costitutivo, che come vi dicevo è relativo al materiale del corpo, mette in relazione le tensioni con le deformazioni, quindi ci permette di passare dalle una, dal, dall'una alle altre, e queste relazioni sono in realtà abbastanza gravose da scrivere, però se noi le, le scriviamo in termini tensoriali risultano molto più agevoli. In termini tensoriali, che cosa vuol dire? Vuol dire che piuttosto che usare le componenti di tensione e di deformazione, uso la matrice della tensione e la matrice della deformazione, ossia uso i due tensori. Quindi, posso dire che il tensore E è uguale a 1 più nu fratto E per il tensore T meno nu fratto E per la traccia di T per I, dove nu è il modulo di Poisson, è un numero che caratterizza il materiale. E detto in parole povere, che cosa vi dice questo numero di Poisson? Vi dice questo: immaginate di avere il classico provino a forma di osso di cane con cui si effettuano le prove di trazione, e io tiro questo provino. Chiaramente, il provino tenderà non solo a diventare più lungo, ma tenderà anche a diventare più sottile. In mezzeria si verifica la cosiddetta strizione. Ecco, il numero di Poisson rappresenta proprio il rapporto tra quanto si allunga la fibra, questa assiale, e quanto si accorciano queste altre. Tanto per capirci, ehm, e poi E invece è il modulo elastico, o di Young. La traccia di T rappresenta la somma degli elementi sulla diagonale principale della matrice T. La traccia è un concetto tipico dell'algebra e caratterizza una matrice. E quindi, con questa formula, noi siamo in grado di ricavare il tensore E nel momento in cui conosciamo il tensore T. Come facciamo? Semplicemente sostituiamo a T il tensore che conosciamo e facciamo i calcoli. I è la matrice identità, è la matrice che ha tutti 1 sulla diagonale principale, 0 altrimenti. Quindi, 1 più nu fratto E che moltiplica il tensore meno nu fratto E che moltiplica la traccia per la matrice identità. Poi, su come si fanno questi calcoli, lo vedremo con degli esempi applicativi. Veniamo invece al calcolo opposto, ossia supponiamo di conoscere la matrice E e diciamo di voler calcolare il tensore T. La formula ci dice che dobbiamo, non so perché si sta, sta un po' impazzendo la presentazione. Diciamo che per calcolare T la formula che utilizziamo è 2 mi per E più lambda per la traccia di E per I, dove E è il tensore della deformazione che assumiamo noto, e mi e lambda sono le costanti di Lamé. La traccia di E è di nuovo la somma delle componenti sulla diagonale principale di E. I è la matrice identità. Ora, un'osservazione: una delle due costanti di Lamé, in particolar modo mi, è il modulo di taglio. Quindi, è possibile anche che in qualche esercizio la trovate indicata con la lettera G, perché è la stessa cosa. Ok. E quindi, questo è l'unica cosa che mi premeva di dire sul legame costitutivo. Magari poi faremo un'altra lezione approfondendo un po' il concetto. Al momento mi serviva dirvi questo, perché in questo modo potete fare degli esercizi completi in cui potete passare dal calcolo della matrice T alla matrice E e viceversa. Allora, io spero che sia tutto chiaro. La video lezione è stata abbastanza, diciamo così, veloce, ma questo solo perché, come vi dicevo, gli appunti sono scritti in maniera molto, molto dettagliata. Quindi, questo è una sorta di, di più che va magari a spiegare meglio alcune cose che stanno lì scritte. Nella prossima lezione vedremo qualche esercizio, qualche esempio. Al momento, spero sia stato tutto chiaro, e nel caso basta che mi scrivete. Va bene. Ciao ragazzi.