Transcription
Всем привет. Сегодня на занятии мы будем вычислять интегралы методом непосредственного интегрирования. И лишим вот такие примеры. И так, пример 1. Требуется вычислить интеграл от дроби: в числителе (1 – x)²; в знаменателе √x dx. Ну давайте перепишем его. И смотрите, данный пример можно решить методом непосредственного интегрирования, то есть просто привести его к одному или нескольким табличным интегралам путем обычных алгебраических преобразований, или может быть вспомнить какие-то известные формулы из школы, если это тригонометрия. Что мы делаем здесь? В числителе мы раскрываем разность квадратов. И так, интеграл черта дроби: 1 – 2x + x²; в знаменателе вспоминаем свойства степени. Вот посмотрите, вы помните, что √x – это x в одной второй степени. Соответственно, x√x – это x в первой степени умножить на x в 1/2. Если степени умножаются, основание у них одинаковые, то показатели складываются – будет x в степени 1 целая 1/2. И мы это подставляем в знаменатель. Вместо x√x мы пишем x в степени 1 целая 1/2 dx. И дальше посмотрите, интегрировать частное нельзя, нет такого свойства. Кстати, на прошлом занятии мы с вами рассматривали свойства неопределенных интегралов. Есть это видео на канале, если не видели – нужно посмотреть. Итак, еще раз, нет такого свойства, чтобы интегрировать дробь, поэтому вы должны здесь получить сумму. Мы почленно поделим числитель на знаменатель, то есть у нас будет интеграл: откроем скобку: 1, деленная на знаменатель x в степени 1 целая 1/2 – 2x, деленное на знаменатель x в степени 1 целая 1/2 + x², также деленный на знаменатель x в степени 1 целая 1/2, скобку закрываем, dx. Я пишу подробно, если все понятно – перематываем вперед. Далее я вспоминаю свойства степени: если у меня x оказался в знаменателе, вот например, 1 / x в степени с – это будет x в степени –с. Этим я пользуюсь. Будет интеграл: скобка x в степени –1 целая 1/2 – 2, я вижу, у меня вот здесь x делятся, если они делятся, значит, показатели их вычитаются: в числителе x в 1, значит, я вычитаю: 1 – 1,1/2. Значит, у кого туго со степенями – вот сбоку синим я выписала, можно поставить на паузу, еще раз вдуматься. И то же самое с третьим слагаемым: x делятся, основание у них одинаковые у этих степеней, значит, я вычитаю их показатели: 2 – 1,1/2, старая x в степени 1/2 dx. И дальше этот интеграл я разбиваю на сумму трех интегралов, причем, если есть постоянный множитель, я его выношу вперед. И так, это будет интеграл x в степени –1,1/2 – 2 интеграл x в степени –1/2 dx + интеграл x в степени 1/2 dx. И посмотрите, а вы как раз привели к сумме интегралов, где у каждого интеграла просто надо вспомнить формулу, по которой интегрируется степень. Интеграл от x в степени n dx находится по формуле: x в степени n + 1 / n + 1 + c. Это для того случая, когда показатель степени n не равен –1. Но у нас здесь нет такого. Хорошо, применяем эту формулу для каждого интеграла. И так, добавляю к показателю степени единицу: x в степени было –1,1/2, в единицу будет –1/2, x в степени –1/2 и в знаменателе пойдет –1/2 – 2 постоянный множитель; x в степени –1/2 и я к показателю добавляю +1: –1/2 + 1 будет 1/2 и так x в степени 1/2 и в знаменателе будет 1/2 + x был в степени 1/2 и я к показателю добавляю единичку: 1/2 + 1 – это 1 целая 1/2, и в знаменателе 1 целая 1/2 + c. В принципе, интеграл уже посчитан, осталось просто упростить ответ. Вот смотрите, вы делите на –1/2, значит, минус вперед, 1/2 в знаменателе перевернется – это будет 2, и у вас еще x в степени –1/2, значит, вы объединяете две вот эти формулы: если x в 1/2 – это корень, а если x в отрицательной степени – это дробь, и это значит, что у вас будет 1 / √x. Если непонятно – ставим на паузу, вдумаемся. Дальше –2, была еще одна 2 в знаменателе, она перевернется, станет двойкой: 2 на 2 – это 4, и x в степени 1/2 – это √x + вам придется перейти к неправильным дробям: 1 целая 1/2 – это 3/2, то есть вот это у вас это 3/2, 3/2 в знаменателе, переворачиваем её – это будет 2/3 умножить x в степени 1 целая 1/2. Чтобы все это еще раз не переписывать, давайте в сторонке выпишем. И так, x в степени 1 целая 1/2 каким образом это можно преобразовать? x в первой степени умножить на x в степени 1/2, правильно? При умножении степеней показатели складываются, как раз 1 + 1/2 = 1 целая 1/2, и у вас будет x, а x в 1/2 заменяем √x, √x и подставляем сюда. И так, 2/3 умножить на x√x + c. Можно так этот ответ оставить, а можно записать на одну черту дроби, привести к общему знаменателю. Общим знаменателем будет 3√x. Первое слагаемое умножаем на 3, второе слагаемое умножаем на 3√x и третье слагаемое умножаем на √x и будет у вас –6 – 12x + 2x√x√x – это x², и еще +c +c на общий знаменатель приводить не нужно. И если теперь вы перепишите в числителе степени по порядку, то у вас получится 2x² – 12x – 6 / 3√x + c. Это и есть ответ. Интеграл вы посчитали хорошо. И теперь мы перейдем к следующему примеру. И так, пример 2. Требуется вычислить интеграл: дробь, в числителе x⁴, в знаменателе 1 + x² dx. И опять вы вспоминаете свойства и говорите: нет интеграла от частного, мне надо перейти к сумме каким-то образом. И здесь есть два способа решения. Значит, смотрите, так как у вас степень числителя больше, чем степень знаменателя, то явно, что у этой дроби есть целая часть. Мы об этом будем еще говорить позднее, когда будем проходить интегрирование рациональных дробей, но в принципе, какие-то простые приемы можно уже сейчас уловить. Посмотрите, мы поделим с вами числитель на знаменатель столбиком: x⁴ / 1 + x². Наша задача – выделить целую часть. Даже посмотрите, наверное, лучше записать не 1 + x², а x² + 1 для удобства деления. Хорошо. И так, мне нужно x⁴, у меня x², насколько мне домножить на x²? –x². x² на x² = x⁴ + x². Далее я вычитаю: при вычитании x в четвертой степени у вас уничтожится, –x² – x², снести мне больше нечего, потому что у меня была только x⁴. Насколько мне домножить x², чтобы был –x²? На –1. И так, –(–x²) и еще –1 на 1 = –1. Итак, я умножила на –1 оба слагаемых и как раз вышла. Деление столбиком вы должны были в школе пройти, думаю, помните. Теперь смотрите, –x² взаимно уничтожаются и остается 1, потому что – на –1 будет просто 1. И то есть остаток. Что мне это дает? Это значит, что x⁴ / 1 + x² можно представить следующим образом: целая часть – это вот у нас получилось x² – 1 + дробь: остаток остался у нас 1, поделенный на знаменатель, отделили мы с вами знаменатель, у нас был x² + 1, x² + 1. Хорошо. И теперь свой интеграл вместо подынтегральной дроби вы подставляете вот это выражение. И так, интеграл перепишем и подставляем: интеграл, скобка открывается, целая часть x² – 1 + дробь: 1 / x² + 1 dx. И теперь вы можете разбить на три интеграла, каждый из них будет являться табличным: интеграл от x² dx – интеграл 1 dx, но 1 можно не писать + интеграл 1 / x² + 1 dx. И снова вспоминаем табличные интегралы. Значит, интеграл от x в степени n dx – это у вас x в степени n + 1 / n + 1 + c. Кстати, формулу надо выучить + c. И подставляем: значит, интеграл от x² был, квадрат станет степень на единицу больше: x³ / 3 – интеграл от 1 или интеграл от dx, можно вспомнить от чего взяли производную, чтобы получить 1? Да просто от x, а + c, или свойство вспомнить, что интеграл дифференциала – это будет сама функция, то есть x. И так, –x + и еще вспоминаем формулу: 1 / x² + 1 dx – это как раз есть arctg x. Вспоминаем, как раз производная от arctg x давала мне дробь 1 / x² + 1, а интегрирование – это обратное действие к дифференцированию. И так, + arctg x + c. И так, интеграл мы решили, ответ получили вот такой. Вот это вам как первый способ решения. И теперь давайте посмотрим второй способ, может кому-то он покажется более простым. Итак, второй способ. Я переписала интеграл и посмотрите, идея тоже: вам надо как-то эту дробь разложить на какие-то слагаемые. И так как у вас в знаменателе степень x², а в числителе x⁴, я предлагаю вам следующее: сыграть на разности квадратов. Мы в числитель сами прибавим и вычтем единицу, для чего. И так, вот смотрите, в числителе x⁴, там этого не было, я сама. Но давайте сначала вычтем, а потом прибавим вот эти единицы – это мое творчество. Знаменатель пока перепишу: + 1 dx. Кстати, вот этот метод часто применяется: вот с этими прибавим, вычтем единичку – это надо запомнить, что такое метод есть. Теперь вы видите, что x⁴ – 1 – это разность квадратов: (x² – 1)(x² + 1), еще было +1 и знаменатель x² + 1 dx. И вы разбиваете дробь почленно: делите первое слагаемое числитель на знаменатель и второе. Посмотрите, если я делю первое слагаемое на знаменатель, у вас скобки x² + 1 сократятся и останется x² – 1 + теперь делю второе слагаемое на знаменатель, но это придется просто переписать: 1 / x² + 1. И так, дробь: 1 / x² + 1. И если вы посмотрите, тот же самый результат мы получили, когда делили столбиком. И дальше точно так же, как в первом способе, один в один вы интегрируете, и у вас получится x³/3 – x + arctg x + c. Вот здесь уже все детали интегрирования я опускаю, потому что они один в один как в первом способе. Если непонятно – можно туда вернуться. Хорошо. И теперь мы можем перейти к следующему примеру. И так, пример 3. Вычислить интеграл ctg²x dx. И так, как вы увидели тригонометрию, котангенс, значит, нужно вспоминать формулы тригонометрические, которые позволят мне привести этот интеграл к табличным интегралам. Но и вот здесь я еще раз говорю: надо выучить формулы интегралов, чтобы хотя бы в голове у вас были две формулы, какие интегралы есть в таблице, содержащие тригонометрические функции, чтобы знать, к чему вообще приводить. Хорошо, вспомним, что ctg – это отношение косинуса к синусу, то есть cos²x / sin²x, ну потому что ctg в квадрате. Дальше cos² вы расписываете по основному тригонометрическому тождеству: это 1 – sin²x, в знаменателе был sin²x. И теперь эту дробь вы почленно делите: 1 / sin²x – sin²x / sin²x – это 1. Или есть формула, что 1 + ctg²x = 1 / sin²x. Перенесем 1 в правую сторону и получим, что ctg²x = 1 / sin²x – 1. И так, и так можно. Значит, что вам надо сделать обязательно: вам надо найти все формулы по тригонометрии и держать их прямо в той тетради, где вы решаете, потому что постоянно тригонометрические преобразования будут возникать при решении интегралов. И так, подставляем вместо ctg то выражение, которое мы получили. Не так. Пример переписала, интеграл, скобочки поставим: 1 / sin²x – 1 dx. И если вы посмотрите на свои формулы, на формулы интегрирования, то там как раз есть такая формула: 1 / sin²x dx – это у вас –ctg x + c. Ну или можно, если вы хорошо знаете табличку производных, просто вспомнить, от чего взяли производную, чтобы получить 1 / sin²x. И так, значит, интеграл от первого слагаемого будет –ctg x – интеграл от 1, об этом мы уже говорили: интеграл от 1 dx – это просто интеграл dx, это тоже надо запомнить – это будет просто x + c, потому что есть свойство, что интеграл от дифференциала – это сама функция. И так, –x + c. И это есть ответ. Интеграл вы вычислили хорошо. И мы можем перейти к следующему примеру. И так, пример 4. Вычислить интеграл sin²x/2 dx. Ну и здесь также вы должны вспомнить формулы: такого нет в таблице интегралов, что-то надо как минимум убрать квадрат у синуса, или как это говорилось в тригонометрии: понизить степень. Надо вспомнить формулы понижения степени для синуса: 2sin²x/2 = 1 – cos x. Ну и можно на 2 поделить: sin²x/2 = (1 – cos x) / 2. И подставляете это под знак интеграла. И так, интеграл, скобка открывается: и почленно поделим: 1/2, можно было так не делать – 1/2 cos x и так dx, поделили на 2. И далее разбивайте на два интеграла: у вас будет 1/2 интеграл dx – 1/2 интеграл cos x dx. И вот обратите внимание: до первый интеграл, он не пропадает, это не просто 1/2, вы должны эту 1/2 или единицу проинтегрировать, поэтому внимание вот здесь вот, когда вы просто интегрируете константу, у вас будет в ответе еще x, получатся вот здесь, это быть внимательным. Но и посмотрите, вы свели свой интеграл к двум табличным интегралам. И снова я вам напоминаю, чтобы лучше запомнили, что интеграл dx = x + c, а интеграл от cos x dx = sin x + c. Вы подставляете эти значения: будет 1/2 x – 1/2 sin x и еще + c. Но это ответ, можно 1/2 вынести за скобки, если нужно: 1/2(x – sin x) + c. Хорошо, пример вы решили, и мы переходим к пятому примеру. И так, а вычислить интеграл: дробь, в числителе cos 2x, в знаменателе sin²x * cos²x. И опять эту дробь надо как-то упростить: такого в таблице нет. Как это можно сделать? Посмотрите, в числителе у вас cos 2x – это косинус двойного угла, нужно вспомнить тригонометрическую формулу, и это будет у вас cos²x – sin²x, то есть вы расписали двойной угол. И теперь вы подставляете это в числитель. И так, интеграл, черта дроби: в числитель подставляем cos²x – sin²x, знаменатель пока просто перепишем: sin²x * cos²x dx. И теперь вы эту дробь разбивайте на две дроби: вы делите почленно числитель на знаменатель. И посмотрите, когда мы с вами будем делить первое слагаемое на знаменатель, то cos² у вас сократится, и при таком делении у вас останется 1 / sin²x. И мы записываем. И так, интеграл, скобка: 1 / sin²x – теперь делим второе слагаемое на знаменатель: при таком делении sin² у вас сократится, останется 1 / cos²x. Еще dx. Посмотрите, эти интегралы оба табличные, осталось применить эти формулы: будет –ctg x – это первый интеграл, минус потому что минус здесь стоит – tg x + c. И это есть ответ. Интеграл вы вычислили, и мы можем перейти к следующему примеру. Этот пример 6. Вычислить интеграл: под интегралом arcsin x + arccos x dx. Значит, смотрим в таблицу интегралов и говорим: интеграла от arcsin и от arccos формул нет, поэтому надо как-то эти arcsin, arccos убрать. И здесь как раз вы вспоминаете формулы для обратных тригонометрических функций, и есть такая формула, которая связывает между собой arccos и arcsin: известно, что arccos x = π/2 – arcsin x. arcsin x. Ну подробно на этой формуле останавливаться не буду, оно известно из тригонометрии. И еще раз, думаю, вы точно убедились в том, что нужно в конспект вложить формулы по тригонометрии. Если есть такая связка, то понятно, отсюда, что сумма arcsin и arccos вот это будет равно просто π/2. И я уже не буду переписывать пример еще раз: у вас получится интеграл π/2 dx. π/2 – это постоянный множитель, он выносится вперед за знак интеграла: интеграл dx. Интеграл dx – это x + c, и будет у вас π/2 * x + c. Вот так легко и просто решается этот интеграл. Хорошо, и мы переходим к следующему примеру. И так, пример 7. Вычислить интеграл 2ˣ⁺³ * 5²ˣ⁻¹ dx. И посмотрите: по свойствам интеграла произведения не интегрируются, что вы здесь можете сделать? А в интегралах вы видели формулу: интеграл от aˣ dx – это у вас будет aˣ / ln a + c. Чтобы воспользоваться этой формулой, вам надо привести все это в одну степень. Вот давайте попробуем. Итак, интеграл: у вас есть 2ˣ⁺³ – ну значит, это можно расписать как 2ˣ * 2³. 2³ – давайте сразу это 8, умножить. Распишем степень: 5²ˣ⁻¹ – это у вас будет 5²ˣ / 5¹, да, или что то же самое – умножить на 1/5 dx. Ну у кого проблемы со степенями – формулы я вам выписал. А теперь посмотрите: постоянный множитель 8, мы 1/5 мы выносим вперед за знак интеграла: 8 * 1/5 – это 8/5 интеграл 2ˣ, а 5²ˣ мне не надо, чтобы степень было 2x, мне нужно, чтобы показатель был просто x. И опять в квадрат возведу: это будет 25ˣ dx. И дальше вы вспоминаете свойства степеней, что aˣ * bˣ = (a * b)ˣ все целиком в степени x, и поэтому у вас будет 8/5 интеграл 2 * 25 = 50ˣ dx. И посмотрите, наконец-то вы можете воспользоваться вот этой формулой: у вас будет 8/5 * дробь: в числителе 50ˣ, в знаменателе ln 50 + c. И в принципе, это уже ответ. Это. Но в задачнике, откуда я этот пример брала, ответ приведен к тому виду, как был дан сам пример. Но если вам интересно – это тоже можно сделать. Посмотрите, ответ выражен через степень двойки и степень пятерки, каким образом. Значит, 8/5 * 50 я снова раскладываю как 2ˣ * 25ˣ и еще ln 50 + c. Дальше восьмерка – это также степень двойки: 2³, в знаменателе 5 * 2ˣ, 25 – это степень пятерки: 5², и еще в степени x: 5²ˣ и поделить на ln 50 + c. И далее собираете степени двойки: и так, 2ˣ умножается на 2³ – это 2ˣ⁺³, умножить 5²ˣ делится на 5, значит, это будет 5²ˣ⁻¹ / ln 50 + c. Вот такой ответ. Хорошо, этот интеграл мы решили и переходим к следующему. И так, пример 8. Требуется вычислить интеграл (x² + 2x + 3) / (x – 1) dx. Ну опять как вы рассуждаете: интегрировать дробь не получится, вам нужно как-то это раскидать на простейшие дроби. И похожий пример мы уже сегодня смотрели: если степень числителя больше, чем степень знаменателя, то вам желательно поделить, выделить целую часть. Наверно, нацело поделить на x – 1 не получится, потому что в числителе у вас квадратный трехчлен x² + 2x + 3, дискриминант у него будет отрицательный, он на множители не разложится. По этому уголку вы поделите числитель на знаменатель: x² + 2x + 3 делим на x – 1. И так, старшая степень у меня x, должен быть x². Значит, я домножаем на x: x на x = x² – x на –1 = –x. И я вычитаю: x² взаимно уничтожатся, 2x – (–x) = 2x + x = 3x + 3, сношу вот эту тройку вниз: + 3. И теперь мне нужно 3x, значит, мой x я домножаем на 3: + 3. Вычитаю, домножаем 3 на x: 3x – 3 на 1 = –3. Вычитаю: 3x взаимно уничтожаются, 3 – (–3) = 3 + 3 = 6. 6 – это остаток. Итак, эта дробь (x² + 2x + 3) / (x – 1) разложилось следующим образом: целая часть – это x + 3 + дробь: остаток – в остатке у вас 6, поделить на знаменатель, знаменатель у вас x – 1, то на что вы делили: x – 1. Хорошо. И это выражение мы подставляем под знак интеграла. И так, интеграл я переписала, а теперь заменяю: интеграл, поставлю скобочку: x + 3 + 6 / (x – 1) dx. Ну хорошо, был интеграл от дроби в условии дан, а вы получили интеграл от суммы трех слагаемых, разбиваете на 3 интеграла: интеграл x dx + 3, не забывайте, интеграл dx обязательно + 6, постоянный множитель можно вынести: интеграл 1 / (x – 1) dx. И далее вы вычисляете интегралы: интеграл от x dx – это первая степень, значит, добавляю к показателю степени единицу: x²/2 + 3, интеграл от dx = x + 6, а вот с этим интегралом надо немножко порассуждать. Вот посмотрите, в таблице интегралов у вас есть формула, что интеграл 1 / x dx = ln|x| + c. А также, когда прошлый раз мы разбирали с вами свойства неопределенного интеграла, было свойство, которая так и называлась: инвариантность формы интеграла, и там с вами мы доказывали, что все формулы интеграла справедливые не обязательно для x, вместо x может быть какая-нибудь функция u, лишь бы она была непрерывная и дифференцируемая: 1 / u du, формула как это может быть переписана: = ln|u| + c, то есть форма интеграла тоже, но не x, а целая u. И посмотрите, если я возьму x – 1 в качестве u, единственное, вы должны следить за тем, что если у вас x в знаменателе, да, то u должно быть под знаком дифференциала. У вас пока просто dx, ничего. И туда сами проверьте: занесите (x – 1) dx = ? Что это такое? Это производная от x – 1, как дифференциал считается, умноженная на dx. Производная от x – 1 – это 1, то есть это просто равно dx. Посмотрите, дифференциал от x – 1 равен dx, вы его можете просто заменить, и тогда ваш пример, ваш интеграл перепишется следующим образом. Итак, 6 интеграл 1 / (x – 1) * дифференциал (x – 1). Вы всегда себя еще раз можете проверить: вот этот дифференциал (x – 1) он как раз равен dx, никаких коэффициентов, ничего. И этот интеграл теперь по считается, он будет равен ln|x – 1|. Значит, то что вначале мы переписываем: x²/2 + 3x + 6, а здесь применяем формулу вот этого интеграла, где u – это у нас скобка (x – 1), значит, будет 6 * ln|x – 1| + c. Хорошо, вот этот метод, который мы здесь применили, да, у и воспользовались свойством инвариантности формы интеграла – этот метод называется методом занесения переменной под знак дифференциала, или еще говорят: метод подведения переменной под знак дифференциала. Это ваш следующий метод. На канале есть видео, более подробно, вы можете там тоже другие примеры посмотреть. Хорошо, но на этом сегодня все, а на следующем занятии мы продолжим.