Das Paradox der Ableitung - Das Wesen der Infinitesimalrechnung 2

[Musik]

Willkommen zum zweiten Video der Serie. Das Ziel dieses Videos ist einfach: zu erklären, was eine Ableitung ist. Das ist gar nicht so einfach, weil einige subtile Ideen vorkommen, die paradox wirken, wenn man nicht sorgfältig ist. Ein untergeordnetes Ziel ist, dass du diese Paradoxe und Widersprüche umgehen kannst.

Oft wird gesagt, dass die Ableitung die momentane Änderungsrate ist. Aber wenn du darüber nachdenkst, macht diese Aussage keinen Sinn. Eine Änderung ist das, was zwischen zwei Zeitpunkten passiert, und wenn du nur einen Moment betrachtest, kann es keine Änderung geben. Wir werden uns das gleich näher ansehen. Aber zu erkennen, dass eine Aussage wie "momentane Änderungsrate" keinen Sinn macht, ist clever.

Die Väter der Infinitesimalrechnung waren und ja, es waren nur Männer, sie haben es geschafft, etwas zu finden, das die Idee der momentanen Änderungsrate verkörpert, nun, nicht widersprüchlich in sich selbst ist, nämlich die Ableitung.

Stell dir ein Auto vor, das an einem Punkt A startet, langsam beschleunigt und bremst und an einem Punkt B, der 100 Meter entfernt ist, ankommt. Und sagen wir weiter, dass das als zehn Sekunden dauert. Dieses Beispiel werden wir verwenden, um zu beschreiben, was eine Ableitung ist.

Wir könnten diese Bewegung auch auf einem Koordinatensystem auftragen, wo die Y-Achse die zurückgelegte Strecke ist und die X-Achse die Zeit. Also sagt uns die Kurve zu einem Zeitpunkt auf der horizontalen Achse, wie weit das Auto gefahren ist, indem wir die Höhe der Kurve an diesem Punkt ablesen. Üblicherweise nennt man eine solche Funktion für die Strecke zu einem Zeitpunkt t s(t). Anfangs ist die Kurve ziemlich flach, weil das Auto am Anfang von s(t) fährt. Deshalb ändert sich während der ersten Sekunde die zurückgelegte Strecke kaum. Für die nächsten paar Sekunden wird die in der jeweiligen Sekunde zurückgelegte Strecke immer größer. Das hängt mit der dort steilen Kurve zusammen, und gegen Ende flacht die Kurve wieder ab.

Und würden wir die Geschwindigkeit des Autos in Meter pro Sekunde in Abhängigkeit von der Zeit auftragen, könnte sie wie dieser kleine Hügel aussehen. Zu Beginn ist die Geschwindigkeit sehr gering, zur Mitte hin erreicht sie irgendeine maximale Geschwindigkeit. Das Auto legt also eine ziemlich große Strecke in der Sekunde zurück, und dann nimmt die Geschwindigkeit wieder ab.

Nun kannst du sehen, was diese beiden Kurven miteinander zu tun haben. Wenn man zum Beispiel die Funktion s(t) ändert, dann kann das nur sein, weil auch das Auto eine andere Geschwindigkeit gefahren ist, also s'(t) anders ist. Und was wir versuchen herauszufinden ist, wie genau diese beiden Kurven zusammenhängen.

Nehmen wir uns einen Moment, um darüber nachzudenken, was Geschwindigkeit hier eigentlich genau ist. Intuitiv hast du wahrscheinlich ein gutes Gefühl dafür, was Geschwindigkeit bedeuten sollte, zum Beispiel, was auch immer das Tacho zu einem gewissen Zeitpunkt anzeigt. Und außerdem ist es vielleicht intuitiv klar für dich, dass die Geschwindigkeit höher sein sollte, wenn die Funktion s(t) steiler ist, also das Auto mehr Strecke pro Zeiteinheit zurücklegt.

Aber das Komische ist, dass Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt keinen Sinn macht. Wenn ich dir ein Bild von einem Auto zeige, eine Momentaufnahme, und die Frage: "Wie schnell ist das Auto?", könntest du mir die Frage nicht beantworten. Was du bräuchtest, wären zwei verschiedene Zeitpunkte, um zu vergleichen. So kannst du die Änderung der Strecke durch die Änderung der Zeit dividieren, um die Geschwindigkeit zu berechnen. Und das ist die Geschwindigkeitsänderung, eine Strecke pro Zeiteinheit.

Also, wie können wir hier eine Funktion für die Geschwindigkeit haben, die nur einen Zeitpunkt t verwendet? Ist das nicht irgendwie seltsam? Wir haben für jeden Zeitpunkt t eine Geschwindigkeit, aber um meine Geschwindigkeit zu berechnen, benötigen wir immer zwei Zeitpunkte.

Wenn das alles seltsam und paradox wirkt, super! Du kannst mit denselben Problemen wie die Gründer der Infinitesimalrechnung kämpfen. Und wenn du ein tieferes Verständnis für Änderungsraten haben möchtest, nicht nur bei Autos, sondern für alle möglichen Dinge in der Wissenschaft, dann brauchst du eine Lösung zu diesem vermeintlichen Paradox.

Lasst uns zuerst über die echte Welt reden und später daraus ein mathematisch korrektes Konstrukt bauen. Denkt mal darüber nach, was das Tacho des Autos macht. Zum Beispiel nach drei Sekunden. Wahrscheinlich müsste es in sehr kurzen Zeitintervallen, zum Beispiel 0,1 Sekunden, wie viele Umdrehungen ein Rad geschafft hat, und rechnet diese Distanz. Dann kann es die Geschwindigkeit berechnen, indem es die kleine Änderung der Strecke durch die kleine Änderung der Zeit (0,01 Sekunden) dividiert.

Also umgeht ein echtes Auto dieses Paradox, eine Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu berechnen, indem es die Geschwindigkeit über einen super kurzen Zeitraum berechnet. Lasst uns diese kurze Änderung in der Zeit Δt nennen. In diesem Beispiel sind es 0,01 Sekunden, und die kleine Änderung der Strecke nennen wir Δs. Also ist die Geschwindigkeit in diesem kurzen Zeitraum Δs durch Δt, die kleine Änderung der Strecke dividiert durch die kleine Änderung der Zeit.

Auf der Kurve kann man sich das so vorstellen, dass man auf einen kleinen Bereich um t herum hineinzoomt. Das ist ein kleiner Schritt nach rechts, weil ja die Zeit auf der horizontalen Achse aufgetragen ist, und Δs ist die Änderung der Kurve in die vertikale Richtung, da die Strecke auf der Y-Achse aufgetragen ist. Also ist Δs / Δt so etwas wie die Steigung Δy / Δx, das du vielleicht aus dem Steigungsdreieck kennst.

Und dass das eine gute Annäherung für die Geschwindigkeit ergibt, stimmt nicht nur für Δs = 3 Sekunden, sondern für jeden Zeitpunkt t. Es ändert sich nur der Wert, der bei der Division herauskommt. Und weil sich der Wert ändert, je nachdem, zu welchem Zeitpunkt wir dieses Dreieck betrachten, können wir uns diesen Ausdruck Δs / Δt als Funktion vorstellen, die von der Zeit t abhängt. Und so habe ich auch die Kurve für s'(t) berechnet. Ich habe einen kleinen Wert für Δt gewählt, in diesem Fall war es 0,01, und habe dann für ganz viele Zeitpunkte zwischen 0 und 10 diese Steigung berechnet. Also konkret: die Strecke zum Zeitpunkt t + Δt minus der Strecke zum Zeitpunkt t. Das ist also die zurückgelegte Strecke zwischen t und 0,01 Sekunden danach. Das habe ich dann noch durch Δt dividiert, und das hat mir eine gute Annäherung für die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t gegeben.

Mit dieser Formel können wir, oder besser der Computer, jede beliebige Funktion für die Strecke nehmen und eine gute Annäherung für die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt ausspucken. Es ist ein guter Zeitpunkt, um das Video zu pausieren und darüber nachzudenken, ob es Sinn macht, die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt über die kleinen Änderungen der zurückgelegten Strecke zu berechnen.

Lasst uns jetzt das Paradox der Ableitung lösen. So wie wir gerade die Geschwindigkeit berechnet haben, benötigen wir immer noch die Strecke zu zwei verschiedenen Zeitpunkten. Und je nachdem, wie groß man Δt wählt, kommen verschiedene Werte heraus. Und auch wenn das Tacho eines Autos tatsächlich so etwas macht, wie alle 0,01 Sekunden die Streckenänderung zu messen, und auch wenn das Zeichenprogramm hier einen konkreten Wert für Δt gewählt hat, zufällig auch 0,01 Sekunden, in der Mathematik ist die Ableitung nicht Δs / Δt für ein gewisses Δt, sondern es ist, woran auch immer sich dieser Bruch annähert, wenn Δt immer näher Richtung Null geht.

Und man kann sich grafisch sehr schön vorstellen, woran sich dieser Bruch annähert: Für ein gewisses Δt ist das Δs / Δt die Steigung einer Geraden durch die beiden Punkte auf der Kurve. Es ist ja ein Steigungsdreieck. Wenn jetzt Δt gegen Null geht, dann geht der rechte Punkt auch immer näher zum linken Punkt, und die Steigung der Geraden nähert sich der Steigung der Tangente am Punkt.

Also nochmal: Die wirkliche, echte Ableitung ist nicht die Steigung zwischen zwei Punkten. Sie ist gleich der Steigung der Tangente an einem Punkt. Aber Achtung: Ich sage nicht, dass die Ableitung das ist, was bei einem unendlich kleinen Δt herauskommt oder bei Δt = 0 herauskommt. Das Δt ist immer ein kleiner Wert, der größer als Null ist, der aber Richtung Null konvergiert, wie man so schön sagt.

Und ist das nicht irgendwie clever? Auch wenn die Änderungsrate zu einem Zeitpunkt eigentlich keinen Sinn macht, diese gefinkelte Idee, zu schauen, was passiert, wenn Δt Richtung Null geht, erlaubt uns, sinnvoll über die Änderungsraten zu einem Zeitpunkt zu sprechen. Und das finde ich irgendwie großartig. Wir haben mit dem Paradox herumgespielt und es dann ausgetrickst. Und dann haben wir noch die schöne visuelle Darstellung gefunden mit der Steigung der Tangente.

Die Änderungsrate zu einem Zeitpunkt macht trotzdem keinen Sinn. Finde ich es am besten, die Ableitung stattdessen als die beste konstante Annäherung für die Änderungsrate um einen Zeitpunkt herum zu betrachten. Lasst es ruhig mal sacken.

Übrigens, ich möchte noch etwas zur Notation sagen. Ich habe in diesem Video Δt immer verwendet, um eine kleine Änderung der Zeit, z.B. 0,01 Sekunden, zu beschreiben. Und ganz ähnlich habe ich Δs die Änderung der Strecke in diesem Zeitraum bezeichnet. Und beide hatten konkrete Werte, und es macht oft Sinn, so zu denken. Aber in der Mathematik verwendet man ein "d", um anzuzeigen, dass man dieses "etwas", das danach kommt, gegen Null gehen lässt. Zum Beispiel schreibt man für die echte, wirkliche Ableitung von s(t) einfach ds/dt, auch wenn das eigentlich kein Bruch ist, sondern was herauskommt, wenn Δt gegen Null geht. Deswegen sagt man auch "ds nach dt".

Noch ein konkretes Beispiel: Man könnte ja denken, dass es super schwierig ist zu berechnen, was herauskommt, wenn man Δt gegen Null gehen lässt. Aber komischerweise macht das das eigentlich einfacher. Nehmen wir an, wir haben die Funktion s(t) = t³ gegeben. Als nach einer Sekunde ist das Auto 1³ = 1 Meter gefahren, und nach zwei Sekunden ist es 2³ = 8 Meter gefahren und so weiter. Was ich jetzt mache, wird zuerst kompliziert, aber wenn wir es verstanden haben, ist es einfach. Und was auch gut ist: Wir müssen das alles nur einmal machen.

Sagen wir, du möchtest jetzt die Geschwindigkeit berechnen, z.B. bei t = 2 Sekunden. Und lasst uns zuerst wieder annehmen, dass Δt eine kleine Zahl ist. Lasst sie gleich wieder Richtung Null gehen. Die kleine Änderung der Strecke zwischen dem Zeitpunkt 2 und 2 + Δt ist s(2 + Δt) - s(2). Und das dividieren wir noch durch Δt. Wenn wir also einsetzen, haben wir (2 + Δt)³ - 2³ / Δt. Super, damit können wir jetzt rechnen.

Wenn wir also die Klammer auflösen, bekommen wir 2³ + 3 * 2² * Δt + 3 * 2 * Δt² + Δt³ und dann noch - 2³. Das alles noch dividiert durch Δt. Drei Terme kürzen sich, und den Rest kann man durch Δt dividieren. Also ist Δs / Δt = 3 * 2² + 2 Terme, die jeweils Δt enthalten. Und wenn wir jetzt Δt gegen Null gehen lassen, dann verschwinden auch diese hinteren Terme. Dass man sie gleich Null setzt, kann man nur machen, wenn man nirgends mehr durch Δt dividiert, was wir ja vor dem Kürzen noch gemacht haben. Das wäre ja eine Division durch Null gewesen.

Es bleibt also nur der erste Term: 3 * 2² übrig. Das heißt also, dass die Steigung der Kurve bei t = 2 Sekunden gleich 3 * 2² = 12 ist. Und das war nichts Spezielles an t = 2. Wenn wir stattdessen einfach t einsetzen, dann sehen wir mit derselben Rechnung, dass die Ableitung von t³ nach t gleich 3t² ist.

Lasst uns nochmal rekapitulieren, was wir gerade gemacht haben. Die Ableitung ist diese verrückte Idee, die kleinen Änderungen der Zeit und die kleinen Änderungen der Strecke in dieser kurzen Zeit zu betrachten und dann diese Zeit gegen Null gehen zu lassen. Ganz schön kompliziert eigentlich. Und am Ende kam 3t² heraus. Und natürlich musst du nicht jedes Mal diese komplizierte Berechnung machen. Dass die Ableitung von t³ gleich 3t² ist, lernt jeder Schüler ziemlich am Anfang der Infinitesimalrechnung.

Und im nächsten Video zeige ich euch, wie man sich diese Ableitung noch anders vorstellen kann. Aber was ich mit dieser ganzen Rechnerei zeigen möchte, ist, dass wenn man sich diese kleinen Änderungen einer Strecke, die in einem kurzen Zeitraum zurückgelegt wird, ansieht und so für ein konkretes Δt, das größer als Null ist, das total kompliziert aussieht, aber wenn man sich ansieht, woran sich dieser Bruch annähert, wenn man Δt gegen Null gehen lässt, vereinfacht es sich wieder. Das ist auch ein Grund, warum die Infinitesimalrechnung und Mathematik generell oft hilfreich sein können. Außerdem bereitet es dich ein wenig auf andere Produkte vor.

Wenn man zu sehr an das Konzept von einer momentanen Änderungsrate glaubt, stell dir ein Auto vor, das eine Strecke nach der t³-Funktion zurücklegt, und sie dir die Bewegung zum Zeitpunkt t = 0 an. Bewegt sich das Auto zu diesem Zeitpunkt? Einerseits können wir die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt berechnen mit der Formel 3t². Zum Zeitpunkt t = 0 ist das also 0. Grafisch gesehen bedeutet das, dass die Tangente am Punkt waagerecht ist. Also ist die unter Anführungszeichen momentane Geschwindigkeit gleich Null.

Aber wenn das Auto nicht bei t = 0 Sekunden anfängt, sich zu bewegen, dann... Was hier mal das Video, um darüber nachzudenken. Bewegt sich das Auto zum Zeitpunkt t = 0 Sekunden? Erkennst du das Paradox? Die Frage macht keinen Sinn. Sie bezieht sich auf die Idee der Änderung in einem Moment, aber die existiert natürlich nicht. Das ist nicht, was die Ableitung angibt.

Was es bedeutet, wenn die Ableitung gleich Null ist, ist, dass die beste konstante Annäherung um den Zeitpunkt Null herum gleich Null Meter pro Sekunde ist. Wenn man sich die tatsächlich zurückgelegte Strecke zwischen Null und z.B. 0,1 Sekunden ansieht, dann sieht man, dass sich das Auto bewegt. In diesem Fall 0,001 Meter. Das ist natürlich sehr klein, vor allem im Vergleich zur Änderung in der Zeit. Wenn wir die Streckenänderung durch die 0,01 Sekunden teilen, dann ergibt das eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 0,01 Meter pro Sekunde. Zur Erinnerung: Dass die Ableitung bei t = 0 Null ist, bedeutet, dass wenn t gegen Null geht, die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen Null und t gegen Null Meter pro Sekunde geht. Aber das heißt nicht, dass das Auto steht. Die Annäherung mit einer konstanten Geschwindigkeit ist eben nur eine Annäherung.

Also immer, wenn du jemanden sagen hörst, dass die Ableitung die momentane Änderungsrate ist, eine Aussage, die sich selbst widerspricht, dann stell dir besser vor, dass das eine Abkürzung ist für die beste konstante Annäherung um einen Punkt.

In den nächsten Videos werde ich noch mehr über Ableitungen zeigen, wie sie in verschiedenen Situationen aussehen, wie man sie berechnet, wofür man sie braucht und wie immer mit dem Fokus auf Visualisierungen.