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[Musica] Ciao ragazzi, in questo video parleremo di integrali. Vedremo innanzitutto, in maniera un po' informale, di che cosa si tratta. Poi cercheremo di darne una definizione un po' più rigorosa e infine vedremo concretamente come fare a calcolarli.
Supponiamo quindi che ci vengano assegnate una certa funzione FX e un certo intervallo A B sull'asse x. Allora potete pensare all'integrale della funzione FX sull'intervallo AB come all'area della regione di piano che vi ho colorato qui in giallo e che vedete è sostanzialmente l'area sottesa dal grafico della funzione FX all'interno dell'intervallo a.
In altre parole, l'integrale definito tra A e B della funzione FX integrata in dx, che si indica con questa notazione, ci fornisce l'area con segno della regione di piano compresa tra il grafico di fdx, l'asse x e le rette verticali X = a ed X = B.
Ah, perché dico area con segno, ragazzi? Perché quello che accade è che se il grafico della funzione FX, che io ho preso qui al di sopra dell'asse x, fosse invece al di sotto, quindi se volete, se la funzione FX fosse negativa nell'intervallo a che ci interessa, allora avremmo che il risultato dell'integrale coinciderebbe con un numero che è l'area cambiata però di segno.
Queste considerazioni sull'interpretazione geometrica dell'integrale ed in particolare sull'eventuale segno da dare all'area, riprenderemo meglio in uno dei video successivi e vi saranno più chiare tra un attimo, quando ci occuperemo della definizione formale dell'integrale.
Prima però, cerchiamo di capire come si chiamano le varie parti che compongono questa notazione. L'intervallo avente come estremi A e B lungo cui svolgiamo l'operazione di integrazione prende il nome di intervallo, o se volete, anche zona di integrazione. Mentre la funzione FX che stiamo integrando, quindi quella di cui ci interessa l'area del sottografico, prende il nome di funzione integranda. Mentre il DX che ci compare qui in fondo a chiusura della notazione ci ricorda che stiamo integrando rispetto alla variabile X.
Cerchiamo a questo punto di capire come si fa a definire rigorosamente l'integrale. E nel fare questo, cominciamo considerando il caso di una funzione costante che valga sempre K e che abbia quindi come grafico una retta orizzontale. Per funzioni di questo tipo, quindi funzioni che assumano sempre lo stesso valore all'interno dell'intervallo che ci interessa, l'integrale viene definito dal prodotto della lunghezza dell'intervallo, quindi B - A, moltiplicato per il valore costante che la funzione assume all'interno dell'intervallo, quindi K. E coincide quindi con l'area con segno del rettangolino che si viene a costruire tra il grafico della funzione, l'asse x e le rette verticali X = a ed X = B.
E capite anche perché che l'area con segno? Perché vedete, B - A, che rappresenta la lunghezza della base, viene sicuramente positivo. Infatti B è più grande di A. Mentre il valore K, costante che assume la funzione, potrebbe anche essere negativo, se questa retta orizzontale stesse al di sotto, capite, dell'asse delle ascisse. E quindi quello che accade è che il prodotto di queste due quantità ci fornisce l'area del rettangolino se K è maggiore di 0, mentre ci fornirebbe l'area del rettangolino cambiata di segno se K fosse una quantità negativa.
Abbiamo quindi visto che definire l'integrale risulta abbastanza semplice se la nostra funzione è costante e risulta un'operazione poco più complicata se la nostra funzione invece di essere costante è costante a tratti. Le funzioni costanti a tratti, dette anche funzioni a scala, non sono altro che funzioni come quella che vi ho riportato qui, che assumono un certo valore, per esempio K con 1, in un primo intervallo, poi assumono un nuovo valore, per esempio K con 2, in un secondo intervallo e così via per un certo numero di intervalli che io qui ho chiamato genericamente n. Quindi nell'ennesimo intervallo la funzione assumerà il valore K con N.
Capite che a questo punto il nostro intervallo a lo possiamo pensare come suddiviso in tanti intervalli più piccoli e vedete che ho chiamato x 0 ed x 1 gli estremi qui del primo intervallo, poi avremmo X con 1 ed X con 2 gli estremi del secondo e così via, finché a questo punto l'ultimo sarebbe X con con n e il precedente X n - 1. E naturalmente avremo che x 0 coincide con a all'inizio ed X con N coinciderebbe quindi con b.
Per una funzione di questo tipo, quindi per una funzione a scala, l'integrale viene definito come la somma algebrica delle aree, prese naturalmente con segno, dei vari rettangolini che si vengono a creare vedete in corrispondenza di ciascuno dei tratti in cui la funzione risulta costante. Vedete che i due termini che compaiono moltiplicati all'interno della sommatoria non sono altro che la base e l'altezza presa con segno dell'imo rettangolino della nostra sequenza di n rettangolini complessivi. E quindi fare la sommatoria per i che va da 1 fino ad n significa proprio poi sommare tutti questi contributi tra di loro.
Fin qui, quindi, è tutto abbastanza easy. L'unica differenza tra il primo caso e il secondo caso, se volete, è che invece di avere un unico rettangolino, abbiamo di sotto più rettangolini, ma si tratta comunque di fare delle aree di rettangoli, eventualmente prese con segno.
La faccenda diventa invece molto meno banale quando la nostra funzione non è costante. Perché a questo punto il sottografico, vedete, è diventato un trapezoide, cioè una figura che assomiglia a un trapezio. Vedete, ha due lati paralleli, ma al posto di avere un lato obliquo, c'è un, passatemi il termine, un lato storto. E questo naturalmente complica la cosa, perché non abbiamo più una formula comoda come l'area del rettangolo da poter utilizzare.
Come fare quindi a cavarsela in questo caso? L'idea è fondamentalmente quella di andare a considerare delle funzioni a scala che siano sempre maggiori o uguali della nostra funzione FX. Vedete, io qui vi ne ho disegnata una che ho chiamato hx e vedete che sta sempre al di sopra o al limite, eventualmente coincide con la nostra funzione FX. E quello che possiamo fare è sostanzialmente approssimare il valore dell'area che vogliamo calcolare con l'integrale della funzione a scala verde. E questo integrale della funzione a scala verde l'abbiamo definito prima, non è altro che la somma delle aree di questi rettangolini prese con il proprio segno.
Più precisamente, possiamo dire che l'area del sottografico che ci riproponiamo di calcolare deve essere minore o uguale dell'integrale tra A e B della funzione a scala hdx. Ed è anche chiaro che di funzione a scala hdx che siano sempre maggiori uguali della funzione F all'interno dell'intervallo a, non c'è solo questa, ce ne sono naturalmente infinite. E di queste infinite funzioni, come potete notare dando un'occhiata a questa animazione, ce ne sono alcune che approssimano meglio di altre l'area gialla che ci riproponiamo di calcolare.
E di conseguenza, se noi considerassimo l'insieme di queste infinite funzioni e più precisamente l'insieme dei loro integrali, ci aspettiamo che l'estremo inferiore di questo insieme coincida sostanzialmente con l'area che vogliamo calcolare. E questo perché, ragazzi? Perché funzioni a scala di questo tipo sostanzialmente approssimano per eccesso la funzione viola e quindi il loro integrale ci fornirà una sovrastima dell'area a. E quindi, se immaginassimo di prendere via via delle funzioni a scala che approssimano sempre meglio il comportamento della F, ci aspettiamo in tutta risposta che i loro integrali diventino sempre più piccoli, cioè sempre più vicini al valore vero dell'area a che stiamo cercando di calcolare.
E quindi capite che il valore dell'area a diventa proprio quel numero a cui questi integrali tendono mano a mano che miglioriamo l'approssimazione. E quindi capite, diventa l'estremo inferiore del loro insieme. Naturalmente, lo stesso giochino che noi abbiamo appena fatto con le funzioni hdx che sovrastima la funzione F, uno lo potrebbe fare con delle funzioni a scala tipo la gdx che vi ho disegnato qui, che invece sottostimano il valore di F, cioè sono delle funzioni a scala che sono sempre minori o uguali della FX.
È chiaro che, similmente a quanto accadeva prima, di funzioni GX di questo tipo ce ne sono infinite e naturalmente alcune approssimano meglio di altre l'andamento della funzione F. E dunque, se consideriamo gli insiemi dei loro integrali, possiamo pensare al valore dell'area A che vogliamo calcolare come all'estremo superiore di questo insieme.
Se quindi, come spesso accade, l'estremo superiore di un insieme coincide con l'estremo inferiore dell'altro, allora si dice che la funzione è integrabile sull'intervallo a ed il valore comune è proprio l'integrale della funzione F calcolato sull'intervallo a, cosa che geometricamente possiamo interpretare come la misura dell'area a.
Oh, perché ho detto "se come spesso accade questi due valori coincidono"? Perché in realtà potrebbe sembrare scontato che debbano coincidere, nel senso che ci si immagina che sia l'estremo superiore di questo insieme che l'estremo inferiore di quest'altro insieme sostanzialmente debbano restituire l'area. In realtà, però, ci sono dei casi di funzioni anche limitate ma molto particolari in cui questo non accade. Se siete curiosi e guardate che sono funzioni comunque molto poco frequenti, vi lascio un link nella descrizione qui sotto dove potete approfondire la cosa.
Capito questo, vediamo adesso come si fa concretamente a calcolare un integrale. E in maniera, se volete, in un certo senso analoga a quanto accadeva per le derivate, per fare il calcolo degli integrali non si sfrutta direttamente la definizione che abbiamo appena dato, un po' come quando dovete calcolare una derivata e non vi sporcate le mani direttamente con il limite del rapporto incrementale che sarebbe proprio la definizione della derivata. Ci sono delle strategie più efficaci, più rapide, se volete, per fare questo calcolo.
Ecco, qualcosa di simile accade con gli integrali e cerchiamo di capire concretamente come si fa. La prima cosa che devo fare, se voglio calcolare l'integrale di una certa funzione FX sull'intervallo a, è quella di trovare un'altra funzione che nell'intervallo a b abbia la nostra FX come derivata, cioè devo trovare una cosiddetta primitiva della funzione FX. Una volta trovata, e di solito la si indica con F maiuscola se la funzione di partenza era F minuscola, si va a calcolarla nei due estremi di integrazione. E una volta che si hanno questi due valori, cioè una volta che abbiamo F di B ed F di A, è sufficiente sottrarli per trovare proprio il valore dell'integrale.
Quindi, fondamentalmente, la procedura è basata su tre passaggi: trovo una primitiva, la calcolo nei due estremi di integrazione e sottraggo questi due numeri. Il risultato è proprio il valore dell'integrale.
Per capire meglio la cosa, consideriamo subito un esempio. E Supponiamo quindi di dover calcolare l'integrale tra 0 e 5 di 3x al quadrato in dx. Allora, per prima cosa, dobbiamo trovare una funzione che abbia 3x al quadrato come derivata nell'intervallo 0 5. E se ci pensate bene, qual è una funzione che ha 3x al quadrato come derivata? Per esempio, la funzione X al cubo. Che noi dobbiamo andare a calcolare negli estremi di integrazione, che sono x = 5 ed x = 0.
E vedete che per indicare che la dobbiamo calcolare proprio nei due estremi, 5 e 0, si utilizza questa notazione con due parentesi quadrate e si riportano gli estremi, uno qui in alto e l'altro qui in basso. Quindi questa notazione sottende che adesso questo X al cubo lo dovremo calcolare prima in x = 5 e poi in x = 0 e poi dovremmo sottrarre i due valori che otteniamo.
Se quindi lo facciamo concretamente, vedete che otteniamo 5 elevato alla terza, che non è altro che la primitiva X alla terza calcolata mettendo al posto della x 5, e gli dobbiamo poi sottrarre sempre la primitiva X alla terza calcolata però in x = 0, cioè mettendo 0 al posto della x. E svolgendo il calcolo, concludiamo che l'integrale fa 125.
Capite quindi che di questa procedura per il calcolo operativo degli integrali, il secondo e il terzo passaggio sono fondamentalmente molto semplici, nel senso che una volta che io ho la primitiva, andare a calcolarla nei due estremi e poi sottrarre i due numeri che ottengo è fondamentalmente una cosa molto semplice. La cosa invece molto meno banale è, purtroppo, determinare la primitiva, cioè trovare una funzione che abbia F di X come derivata. E di come fare a trovare concretamente una primitiva, ci occuperemo dettagliatamente nei prossimi video.
Io per il momento, ragazzi, vi saluto. Come sempre, se avete trovato utile questa video lezione, vi è piaciuta, ricordatevi di mettere mi piace. Passate a trovarci sulla pagina Facebook e date un'occhiata all'interno del canale, dove troverete moltissimi altri video. [Musica] L [Musica]