The Riemann Hypothesis, Explained

Cuando miras esto, ¿qué ves? Para mí, esta es una de las cosas más bellas, fascinantes y frustrantes que he visto. Eso es porque soy un matemático, y estas hipnotizantes curvas han atormentado a personas como yo durante 150 años. Lo que estamos viendo es un vistazo de la hipótesis de Riemann. Es uno de los problemas sin resolver más importantes, si no EL más importante, en todas las matemáticas. Es posible que hayas oído hablar de la hipótesis de Riemann, porque es uno de los problemas del milenio del Instituto Clay. Lo que eso significa es que la persona que lo resuelva no solo alcanzará la inmortalidad en las matemáticas, sino que también ganará un premio de 1 millón de dólares. Pero hay otras razones para preocuparse por el enigma que es la hipótesis de Riemann. Si la hipótesis es cierta, resolvería un misterio tan antiguo como las matemáticas mismas: el misterio de los números primos. Innumerables teoremas en campos tan dispares como la criptografía y la física cuántica asumen que la hipótesis de Riemann es cierta, lo que significa que tenemos mucho en juego en esta única declaración no probada. Entonces, ¿qué es? ¿Qué es la hipótesis de Riemann? ¿Por qué la búsqueda de una prueba se ha convertido en algo así como un santo grial para los matemáticos? ¿Y qué tienen que ver estas extrañas curvas con todo esto? Mi nombre es Alex Kontorovich, y soy profesor de matemáticas. Serviré como tu guía mientras exploramos la Hipótesis de Riemann. Para construir una comprensión algo sofisticada de esta hipótesis, lo que intentaré hacer es mencionar algunos conceptos ligeramente avanzados. Ahora, no necesitas un título avanzado en matemáticas para emprender este viaje conmigo. Lo que voy a hacer es intentar sentar las bases, paso a paso, de una manera visual e intuitiva. Así que para empezar, aventurémonos en el universo caótico y elusivo de los números primos. Esta es la ciudad de los factores, donde los primos son literalmente los bloques de construcción de todos los números. Ahora, cada número entero es un edificio, y ha sido construido a partir de sus primos. Las casas de un piso son exactamente los primos. Ahora, gracias al antiguo griego, Euclides de Alejandría, sabemos que los edificios de un piso continúan para siempre, si puedes caminar tan lejos. Pero, dependiendo de dónde te encuentres, es posible que quieras saber: ¿Cuántos edificios de un piso ves a tu alrededor? Esto es lo que queremos entender sobre los números primos, y lo que actualmente no entendemos. Verás, los números primos parecen aparecer al azar entre los números naturales, hasta el infinito. A finales de la década de 1700, los matemáticos realmente empezaron a preguntarse si era posible predecir los lugares donde aparecerían los primos. Ahora, un adolescente llamado Carl Friedrich Gauss estaba especialmente obsesionado con domar los primos. Calculó enormes tablas de primos, hasta 3 millones, y buscó patrones. Podemos ver los datos que Gauss recopiló sobre los números primos utilizando algo que llamaremos la Función de Conteo de Primos. El gráfico de esa función nos mostrará exactamente dónde aparecen los números primos a medida que los números se vuelven cada vez más grandes. Entonces, el gráfico permanece plano hasta que encuentras un primo, y en ese punto salta en uno. Así es como se ve el gráfico hasta 10, y hasta 100, y ahora hasta 3 millones, hasta donde llegó Gauss. A esta escala, esos bultos que vimos al principio se han suavizado, dejando una curva bastante agradable. Cuando Gauss miró estos datos, se preguntó: ¿Hay alguna otra función que conozca que tenga más o menos el mismo gráfico? Ahora, por suerte, casi al mismo tiempo Gauss también estaba jugando con funciones logarítmicas. Quizás recuerdes que un logaritmo es una función que deshace la exponenciación, de la misma manera que la división deshace la multiplicación. Lo que Gauss notó fue que el gráfico de algo llamado la función integral logarítmica (que es una función cuya pendiente es 1 sobre log x) se parecía sospechosamente al gráfico de la Función de Conteo de Primos. Así es como se ven juntos. Puedes ver por qué Gauss hizo la conexión. A esta escala, están tan cerca que ni siquiera puedes distinguirlos. Para entender qué tiene que ver la pendiente de uno sobre log x con los números primos, visitemos de nuevo la Ciudad de los Factores. Lo que Gauss imaginó fue que si estás en la dirección x, y miras a la izquierda y a la derecha, la proporción de edificios de un piso, es decir, primos, que verías a tu alrededor es aproximadamente la misma que uno sobre log x. Esta sospecha se conoció como la Conjetura de Gauss. Después de que Gauss formuló esta conjetura, su alumno Bernard Riemann pasó a hacer algo absolutamente increíble con ella. Pero para entender lo que Riemann hizo, primero tenemos que retroceder un poco en el tiempo para conocer a alguien más. Este es Leonard Euler, uno de los primeros estudiantes de cálculo del mundo. Más tarde en su vida, escribió muchos libros de texto influyentes y estandarizó la notación matemática moderna que todavía usamos hasta el día de hoy. Si alguna vez has escrito algo en notación de función estándar, ya sabes, como y igual a f de x, bueno, puedes agradecer, o quizás culpar, a Leonard Euler. En la época de Euler, los matemáticos intentaban comprender la estructura general de las series infinitas. Lo que eso significa es que estás intentando sumar una secuencia infinita de números, como 1, un medio, un cuarto, un octavo, y así sucesivamente, para siempre; a veces esa suma total es un número finito, que luego llamamos un límite. Si una serie tiene un límite, diríamos que la serie en sí es convergente. En esta serie, nuestro límite es 2. Por otro lado, si sumáramos, digamos, uno más uno más uno más uno más uno para siempre, bueno, esa suma eventualmente se volvería mayor que cualquier número finito, y por lo tanto diríamos que esa serie es divergente. A veces puede ser bastante difícil saber si una serie dada converge o no. Por ejemplo, esta serie, que se llama la serie armónica, resulta que en realidad diverge, a pesar de que los términos en sí mismos se vuelven cada vez más pequeños. Esto realmente no es obvio, y requiere algo de gimnasia matemática para verificarlo. Ahora, ¿qué pasa con esta serie, la suma de 1 sobre los cuadrados de todos los enteros positivos? No fue difícil para los matemáticos demostrar que esta serie de hecho converge. Pero la pregunta era, ¿cuál es el límite exacto? Euler alcanzó la superestrella matemática cuando vio este problema. Lo que se dio cuenta y demostró es que el límite es pi al cuadrado sobre seis. ¿No es eso raro? ¿Qué tiene que ver pi con los cuadrados? Bueno, esa es otra historia para otro momento. Así que, lleno de adrenalina por su temprana victoria, Euler continuó. Encontró los límites de la suma de uno sobre los enteros positivos a la cuarta potencia, y a la sexta potencia, y a la octava potencia. Ahora, intentemos estudiar todas estas series a la vez. Escribamos "s" para ese exponente. Cuando hacemos esto, definimos lo que se llama la función Zeta. En otras palabras, Zeta de dos es la suma de uno sobre los cuadrados, y Zeta cuatro es la suma de uno sobre las cuartas potencias, y así sucesivamente. Euler demostró que todas estas convergen, pero solo cuando s es mayor que uno. Pero aquí es donde las cosas se pusieron realmente interesantes. Euler descubrió que la función Zeta podía expresarse como un producto infinito, uno por cada número primo, de una serie infinita. Así es como se hace: Para cada número primo, sumas uno sobre todas las potencias de ese primo a la s. Si multiplicas todas esas series sobre todos los números primos, obtienes la función Zeta. El descubrimiento de Euler insinuó una conexión íntima entre la función Zeta y los números primos. Pero pasarían otros cien años hasta que se revelara el significado completo. Y fue entonces cuando nuestro amigo Bernhard Riemann haría un gran avance en la teoría de números primos. Y ese avance nos permitiría, por primera vez, comprender los profundos misterios de los números primos. Entonces, Riemann. Nació en 1826 en la actual Alemania. Es un matemático absolutamente espectacular, innovador y prolífico, y, entre otras cosas, su enfoque novedoso de la geometría sienta las bases matemáticas para la teoría de la relatividad de Einstein. Riemann también fue uno de los fundadores del análisis complejo, que es una rama de las matemáticas que estudia funciones con entradas y salidas complejas. Y se dio cuenta de que podría tener algo nuevo que decir si estudiaba, desde ese punto de vista, la función Zeta de Euler. Quizás recuerdes que el cuadrado de cualquier número real es positivo: así que 2 al cuadrado es 4, pero -2 al cuadrado también es cuatro. Así que no hay ningún número cuyo cuadrado sea -1. Resulta que es realmente útil para los matemáticos tener un número cuyo cuadrado sea -1. Entonces, ¿qué hicimos? Simplemente inventamos uno. Lo llamamos "i" por imaginario, así que cada vez que veas i al cuadrado, lo que significa es que debes reemplazarlo con -1. Esto significa que cualquier múltiplo real de i, como 3i o 2i, todos estos son primos imaginarios de los números reales. Cuando tomas combinaciones de números reales y números imaginarios, obtienes algo que llamamos un número complejo. Los números complejos pueden parecer dos números, pero en realidad son solo un número expresado en dos partes: la parte real y la imaginaria. La cuestión es que estos números imaginarios y complejos no son imaginarios en absoluto, son solo la extensión natural de nuestro sistema numérico habitual de una dimensión a dos. Se grafican en lo que llamamos el plano complejo, con la parte real yendo de izquierda a derecha, y la parte imaginaria de arriba a abajo. Una vez que tienes estos números complejos, puedes estudiar funciones complejas, es decir, funciones con entradas y salidas que viven en el plano complejo. Y así, armado con el poder del análisis complejo, Riemann abrió una perspectiva completamente nueva sobre el mundo de las matemáticas. Riemann se preguntó: ¿Qué pasaría si permitieras que la función Zeta tomara entradas complejas? Es decir, permitió que s fuera un número complejo. Así que tomemos el exponente complejo s igual a 2 + 3i, por ejemplo. Podemos enchufarlo en Zeta y la función se verá así. Ahora, si sumamos cada término, uno a la vez en el plano complejo, podemos ver cómo la serie comienza a espiral maravillosamente. Así que Riemann había logrado con éxito lo que se propuso: extendió la función Zeta al plano complejo. Pero al igual que Euler, Riemann descubrió que la función solo convergía cuando la parte real de s era mayor que uno. Ahora Riemann tuvo una idea brillante: se dio cuenta de que era posible extender la función Zeta al resto del plano complejo. Riemann utilizó una técnica llamada continuación analítica, que le permitió abrir el potencial oculto de la función Zeta. Ahora, la continuación analítica es un concepto avanzado en análisis complejo, pero es posible darle sentido de forma intuitiva. Puedes pensar en ello como un método lógico de resolución de problemas para extender el dominio de una función. Para que Riemann complete la parte faltante del dominio en la función de datos de Euler, tuvo que crear una función completamente nueva. Esta función tomaría los mismos valores que la función Zeta, donde ambas convergen, pero también tendría que tener sentido en todas partes del plano. Así que el secreto de la continuación analítica es que en realidad hay dos funciones en juego a la vez. Una es la función Zeta original, que tiene un alcance limitado. Pero la otra es esta nueva función, la función Zeta de Riemann, que se extiende más allá del dominio que definió Euler. ¿Recuerdas esto? Ahora podemos mirarlo más de cerca y finalmente comenzar a comprender sus misterios. Verás, cuando Riemann extendió el dominio de la función Zeta, sucedió algo asombroso. En el nuevo territorio que Riemann descubrió, de repente la función Zeta se puede ver cruzando el origen. Lo que eso significa es que para algunas entradas, la función Zeta se evalúa en cero. Llamamos a estos lugares los "ceros de Zeta". Algunos de los ceros de Zeta son fáciles de explicar. Cuando introduces un entero negativo par, la función Zeta es igual a cero. Pero no necesitamos preocuparnos por estos llamados "ceros triviales", son los ceros no triviales de los que tenemos que hablar. Estos otros ceros de Zeta exhiben un patrón muy convincente, y ese patrón es el tema central de la hipótesis de Riemann. Todos los ceros no triviales se encuentran dentro de una única región llamada banda crítica. Aquí es donde la parte real de s está entre 0 y 1. Riemann demostró que hay infinitos ceros que se encuentran en esta banda crítica. Pero aquí está la conclusión más importante del innovador artículo de Riemann de 1859: Riemann hipotetizó que todos los ceros no triviales se encontrarán no solo en algún lugar de la banda, sino en una única línea vertical, justo en el medio. Llamamos a esta la "línea crítica", que es donde la parte real de s es exactamente un medio. Esta es exactamente la hipótesis que ahora lleva el nombre de Riemann y la recompensa de un millón de dólares. Ahora, en este punto, podrías estar preguntándote: ¿Por qué importa la ubicación de estos ceros no triviales, y qué tiene todo esto que ver con los números primos? No te culpo. Déjame mostrarte exactamente por qué la hipótesis de Riemann es de tan profunda consecuencia para la teoría de números. Y déjame hacerlo compartiendo el descubrimiento final de Riemann. ¿Recuerdas la función de conteo de primos de Gauss, desde el principio del video? Bueno, por razones técnicas la modificaremos ligeramente ahora, pero no te preocupes. Preservaremos la esencia de la función. en lugar de aumentar en 1 cada vez que vemos un nuevo número primo, que llamaremos p, aumentemos en log p. Y haremos lo mismo cuando encontremos p al cuadrado, y p al cubo, y p a la cuarta, y así sucesivamente. Así que déjame intentar explicar por qué estamos haciendo todo esto. Riemann encontró una conexión sorprendente entre esta modificación de la conjetura de Gauss y su nueva función Zeta. Descubrió una onda que corresponde a la función Zeta en s igual a uno, y demostró que la conjetura de Gauss seguiría, si solo se pudiera demostrar que esta onda es la frecuencia fundamental, lo que significa que se aproxima cada vez más a la función de conteo de primos a medida que ambas crecen hasta el infinito. Así es como se ve la función de conteo de primos con esa onda que Riemann descubrió. Riemann se dio cuenta de que los ceros de Zeta eran exactamente lo que necesitaba para ajustar esta línea recta para que coincidiera con la función de conteo irregular. Cada vez que agregaba un cero de Zeta, contribuía con una armónica. Así es como se ve la primera armónica cuando la agregamos. Intenta suavizar suavemente las ondulaciones de la función de conteo de primos modificada. ¿Qué sucede cuando introducimos el segundo cero de Zeta? ¿Un poco mejor, verdad? ¿Qué pasa con los primeros 10, o los primeros 30, o los primeros 60? Ya entiendes. Riemann pudo demostrar rigurosamente que si sumas todas las armónicas de los ceros de Zeta, todas las infinitas, obtienes una coincidencia perfecta con la función de conteo de primos modificada de Gauss. Entonces, la hipótesis de Riemann demostró que la distribución de los números primos puede predecirse de hecho. La ubicación de los números primos está profundamente conectada con la ubicación de estos ceros de Zeta no triviales. Esto significa que si la hipótesis de Riemann es realmente cierta, nos diría todo lo que podríamos tener derecho a saber sobre la distribución de los números primos. No hace falta decir que Riemann no pudo probar la hipótesis completa. En otras palabras, ni él ni nadie desde entonces ha podido demostrar que cada cero de Zeta no trivial se encuentra en esa línea crítica. En un momento dado, un proyecto informático masivo verificó más de mil millones de ceros de Zeta no triviales cada día. La computadora buscaba un solo cero errante. Si encontraba solo uno, entonces la hipótesis de Riemann se desmoronaría. Al final, de los 10 billones de ceros que la computadora verificó, cada uno estaba en la línea crítica. Pero si ves un patrón que se mantiene una y otra y otra vez, todavía es imposible que las máquinas lo verifiquen hasta el infinito. Por lo tanto, la computación por fuerza bruta nunca resolverá la hipótesis de Riemann. Eso significa que todavía solo hay una manera de estar seguro de ello, y es la misma manera en que los antiguos griegos hacían sus matemáticas: una prueba matemática rigurosa y absoluta.