DESCRIZIONE MATEMATICA DELLE ONDE - grafici onde armoniche, leggi e grandezze e problemi

[Musica] altro video dedicato alle onde in particolare al modello delle onde armoniche e periodiche che analizzeremo grazie a rappresentazioni grafiche e alle caratteristiche funzioni d'onda che ci permetteranno di caratterizzare le onde meccaniche attraverso delle grandezze fisiche che potremo ricavare direttamente dalle informazioni di tale funzione e dei grafici ma anche applicare ad alcuni particolari problemi.

Prendere appunti durante una video lezione male non fa. Consideriamo due grafici che rappresentano, partendo da sinistra, rispettivamente la rappresentazione spaziale di un'onda meccanica, ossia il suo profilo rispetto a due coordinate in un istante fissato, definito come zero secondi, che la variazione della componente verticale rispetto al tempo, ottenuta fissando per la coordinata x il valore di zero metri.

A partire da queste due rappresentazioni dobbiamo cercare di ricavare la funzione d'onda. È necessaria però una premessa: l'onda meccanica che stiamo considerando è descritta dal modello di onda armonica e periodica di cui ho già parlato in un video introduttivo all'argomento delle onde meccaniche, che potete trovare cliccando sul link che apparirà tra qualche istante. Guardate qui in alto.

Riassumendo, onde di questo tipo possono essere descritte matematicamente attraverso delle funzioni trigonometriche. Anche introduciamo invece in questa videolezione che dipendono da una serie di caratteristiche dell'onda. In particolare, una funzione d'onda armonica può essere descritta come una sinusoide o attraverso una funzione coseno o attraverso una funzione seno, in base al sistema di riferimento che viene scelto.

In effetti, in entrambi i casi la funzione d'onda presenta diverse variabili. Cerchiamo di mettere un po' d'ordine. Anzitutto osserviamo che le due variabili x e t appaiono sia nella prima che nella seconda tipologia di equazione. Tra un attimo vi dirò quale delle due stiamo utilizzando per la risoluzione di questo problema, perché lo possiamo dedurre anche dai grafici, ma pazientate ancora un po'.

Possono essere definite in modo da essere considerate separatamente. Pensate al nostro esempio: fissare un istante, per esempio pari a 30, equivale a eliminare il blocco della t, sia in un caso che nell'altro, ottenendo delle funzioni che dipendono solo dalla x e dalla y. Infatti, come potete osservare nel primo grafico, le due coordinate x e y. Invece, fissando una posizione x, per esempio pari a zero metri, limitare tra virgolette la considerazione delle due equazioni, considerandole come funzioni in cui la y è esplicitata rispetto alla variabile t. Poi arriveremo a descrivere le altre lettere che osservate nelle due equazioni.

Quindi, i due grafici proposti sono due diapositive di una funzione d'onda considerata in un istante fissato per valori fissati della t o della x. Ma passiamo alla caratterizzazione delle altre lettere e osserviamo che la lambda e a sono delle grandezze caratteristiche dell'onda che vengono chiamate rispettivamente lunghezza d'onda, periodo e ampiezza.

Per capire in che modo possono essere dedotte a partire da un grafico, è arrivato il momento di considerare solo l'equazione che fa al caso nostro, e lo possiamo dedurre da un punto di vista matematico. Infatti, dai due grafici possiamo osservare che per x uguale a zero, per t uguale a zero, la funzione parte all'origine, proprio come la sinusoide. A mente, la cosinusoide tende a partire dal punto di ordinata 1. Naturalmente, vista la presenza di un fattore a, sia per il coseno che per il seno, le funzioni che possono descrivere un'onda da un punto di vista matematico sono delle sinusoide o delle cosinusoide contratte o dilatate e che possono avere, come in questo caso, riferimenti diversi sull'asse delle y da meno 1 e 1, mentre la variazione dei riferimenti sull'asse delle x è dovuta alle operazioni che sono svolte nell'argomento del coseno e del seno.

Quindi, nel nostro caso, la funzione da considerare è la seconda. Eliminiamo la prima, ma vi prometto che nel prossimo esercizio la utilizzeremo per la risoluzione appunto del prossimo problema e vedremo comunque che alcune caratteristiche risulteranno in comune. E quindi partiamo dalla a, che è una grandezza chiamata ampiezza, che è definita dalla massima altezza che può essere raggiunta dai punti del grafico o dal valore assoluto dell'ordinata della posizione più bassa che può essere raggiunta.

Vi faccio osservare, notate, che sia nel grafico relativo a x e y, che nel grafico relativo a t e y, l'ampiezza risulta la stessa e pari a 0,7 metri. Questo perché, torniamo un attimo alla funzione, eliminando tra virgolette o il termine t o il termine x, la a risulta costante e va a contrarre l'ordinata della funzione seno, appunto moltiplicando a 1 il valore di a, che possiamo quindi osservare sull'asse delle y.

Passando invece alla lambda, parliamo della lunghezza d'onda, che possiamo caratterizzare nel caso in cui non ci sia la t e che possiamo osservare graficamente come la distanza che intercorre da un punto del grafico rispetto a un determinato andamento e successivo, come ad esempio la distanza che possiamo valutare sull'asse delle x tra due valli, che non con cui vengono chiamate di solito le altezze minime che vengono raggiunte, o altri due punti.

Il riferimento all'andamento della funzione non è casuale. Infatti, due punti che hanno lo stesso andamento sono quelli definiti per x uguale a 1 e x uguale a 3, dove la curva tende a crescere intersecando l'asse x nel punto di ascissa 1, come accade nel punto di ascissa 3. Senza specificare il particolare andamento, potremmo pensare erroneamente che la lunghezza d'onda sia definita, ad esempio, come la lunghezza del segmento orizzontale che unisce i punti dell'asse x di ascissa 1 e di ascissa 2, che hanno la stessa ordinata. Quindi, facciamo attenzione a questo particolare.

Infine, il periodo T è l'analogo, diciamo così, della lunghezza d'onda, che possiamo ricavare nel grafico in cui è stata fissata la coordinata x pari a zero metri ed è definito, appunto, come il periodo di questa funzione, ossia l'intervallo di tempo che separa un determinato istante che, come nel caso precedente, possiamo valutare sull'asse orizzontale, in questo caso t, fino all'istante che raggiunge la stessa altezza seguendo lo stesso andamento della curva.

Le caratteristiche della lambda si possono riscontrare analogamente nel caso della funzione definita dal coseno. Ciò che varia è in realtà il punto di partenza, ossia l'ordinata all'origine. A questo punto siamo pronti per ricavare la funzione d'onda relativa ai due grafici proposti, andando a calcolare la lambda seguendo le indicazioni presenti sul grafico. In particolare, per lambda possiamo considerare i punti da ascissa delle due valli, quindi 0,5 e 2,5, e quindi sottrarre a 2,5 metri, appunto, 0,5 metri, ottenendo come risultato 2,0 metri.

Nel frattempo, non spaventatevi per il più o meno che non ho ancora spiegato, ma che colorano la soluzione appena avrò finito con le tre grandezze da calcolare. Per quanto riguarda il periodo, ho considerato, guardate, i valori nel secondo grafico presi sull'asse orizzontale dei tempi relativi a quelle che vengono chiamate creste, cioè i punti di altezza massima della curva che rappresenta l'onda, quindi 1,5 meno 0,3, che produce come risultato 1,2 secondi. L'ampiezza, invece, la deduciamo da entrambi i grafici ed è pari a 0,7 metri.

A questo punto andiamo a scrivere l'equazione dell'onda facendo alcune osservazioni. Innanzitutto, sceglieremo come segno il meno. È possibile infatti dimostrare che quando l'onda, parliamo del primo grafico, quindi per un istante fissato, si propaga sul semiasse positivo delle x, va scelto il meno. Se invece la propagazione è verso il semiasse negativo delle x, si sceglierà il più, e analogamente accade per quanto riguarda l'equazione definita dalla funzione coseno, che vedremo nel prossimo esercizio.

Quindi, consideriamo solo il meno. E per sostituire ordinatamente lambda, t e a nelle loro opportune posizioni, possiamo anche pensare di calcolare i rapporti 2 pi greco fratto t e 2 pi greco fratto lambda separatamente. Allora, facciamo in questo modo: inseriamo le grandezze trovate qui a destra e andiamo a calcolare questi rapporti, osservando che 2 pi greco fratto t è pari a 2 pi greco fratto 1,2 secondi, quindi a una quantità che è all'incirca uguale a 1,67 pi greco al secondo alla meno uno. Guardate, ho preferito lasciare il pi greco inalterato per non riscrivere l'unità di misura, spostando i secondi al numeratore, quindi elevando alla s 1.

E con procedimenti analoghi possiamo dedurre che 2 pi greco fratto lambda è pari a 1,0 pi greco per metro alla meno uno. Andiamo quindi a inserire i due rapporti trovati all'interno dell'argomento della funzione seno. L'ampiezza a, poster. Osserviamo che passando un attimo nel riquadro in verde, la funzione si può scrivere, guardate, in questo modo. Eccola qua.

Ma passiamo, come promesso, a un altro esercizio. Consideriamo questo punto una funzione d'onda, in questo caso, come vi accennavo nella sezione precedente della videolezione, caratterizzata dalla funzione coseno e cerchiamo di dedurre proprio a partire da questa funzione i valori della lunghezza d'onda, del periodo, dell'ampiezza e anche della velocità e della frequenza.

Il secondo quesito ci permetterà infatti di introdurre altre formule utili nella descrizione di un'onda. Osservando quindi che l'equazione generica che caratterizza una funzione d'onda con il coseno ci permette di osservare che la costante a moltiplicata al coseno, nel nostro caso, è pari a 0,3 metri, mentre è possibile estrapolare il valore di lambda e di T maiuscolo, cioè del periodo, rispettivamente sfruttando i coefficienti della x e della t minuscola, eguagliando queste due espressioni rispettivamente a 2 pi greco fratto lambda e 2 pi greco fratto t.

In particolare, dalla prima, attraverso una formula inversa, guardate, possiamo ricavare il valore di lambda, semplificando prima 2 pi greco, ottenendo come risultato un valore pari a circa 0,3 metri. Analogamente, possiamo ricavare T, osservando, guardate, che è pari a circa 0,6 secondi.

Passiamo quindi al secondo quesito, con cui riusciremo a ricavare velocità e frequenza, osservando innanzitutto che la velocità di un'onda è definita dal modello di un'onda armonica periodica, può essere definita come una costante calcolata grazie al rapporto tra la lunghezza d'onda e il periodo. Che, considerando che la frequenza è l'inverso del periodo, possiamo ricavare da queste due condizioni che la velocità può essere definita come prodotto tra la lunghezza d'onda e la frequenza.

Questo per dire che lunghezza d'onda e frequenza, rispetto a una specifica onda che viaggia a una certa velocità, sono grandezze inversamente proporzionali. Quindi, due onde che hanno la stessa velocità ma che viaggiano con lunghezze d'onda diverse avranno a loro volta frequenze diverse. In particolare, per lunghezze d'onda maggiori avremo frequenze minori e viceversa.

Un'applicazione interessante è data dalle onde elettromagnetiche che nel vuoto viaggiano alla stessa velocità, ma che è possibile classificare per frequenze e quindi lunghezze d'onda differenti, ma lo vedremo in un'altra sede. Nel nostro caso specifico, possiamo calcolare velocità e frequenza agevolmente, visto che conosciamo i valori di lambda, t e a. Mi ricordo infatti che lambda è pari a 0,3 metri e t è pari a 0,6 secondi, per cui la velocità è pari al rapporto fra 0,3 metri e 0,6 secondi, che produce come risultato 0,5 metri al secondo.

Mentre la frequenza è pari a 1 fratto 0,6 secondi, che è definita in hertz, un valore di 1,7 Hz, dove Hertz è l'unità di misura nel sistema internazionale della frequenza. Chiaro.

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