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Hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil. En este vídeo vamos a ver cómo podemos calcular la raíz cuadrada de un número complejo. Y esto vamos a hacerlo resolviendo una ecuación. Esta es una manera de calcular una raíz cuadrada. Más adelante vamos a ver otras formas en las que podemos calcular raíces cuadradas e incluso otros tipos de raíces, raíces cúbicas, cuartas, etcétera. Pero en este vídeo vamos a ver cómo podemos calcular una raíz cuadrada resolviendo una ecuación.
Ya vimos en vídeos anteriores cómo resolver ciertas ecuaciones con números complejos. En este caso, lo que nosotros queremos hacer es expresar la raíz cuadrada de un número complejo x + iy en la forma a + ib. Es decir, separar en su parte real y su parte imaginaria. En particular, lo que vamos a hacer en este vídeo es calcular la raíz cuadrada del número i. Pero este mismo método funciona para calcular la raíz cuadrada de cualquier otro número complejo.
Entonces, lo que vamos a hacer primero es recordar lo que es una raíz cuadrada. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es igual a 3, porque si nosotros elevamos 3 al cuadrado, eso nos da 9. Entonces, recordando esta definición de raíz cuadrada, si nosotros tenemos que la raíz cuadrada de un número a es igual a b, esto es así porque si elevamos b al cuadrado, eso nos da como resultado a. O sea, lo que está aquí adentro.
En nuestro caso, lo que nosotros queremos hacer es encontrar el número complejo z tal que la raíz cuadrada de i sea igual a ese número z. Y esto lo vamos a lograr encontrando el número complejo z que satisface que z al cuadrado es igual a i. Esta es la ecuación que tenemos que resolver. Entonces, vamos a resolver la ecuación z cuadrada igual a i. Y esto lo vamos a hacer siguiendo el método que hemos visto en los vídeos anteriores. Vamos a escribir z en su parte en su forma a + ib y vamos a realizar las operaciones e igualar parte real y parte imaginaria.
Bueno, entonces vamos a resolver esta ecuación. Para resolver esta ecuación, vamos a escribir z como x + iy, no estamos escribiendo en su parte real y su parte imaginaria. Si hacemos esta sustitución aquí, pues tenemos (x + iy)² = i. Desarrollamos este binomio al cuadrado y nos queda x² + 2xyi - y². Recuerden que aquí al elevar iy al cuadrado, pues va a ser (iy)² = i²y², pero i² es -1, por eso nos queda -y². O sea, -y². Y esto igual a i.
Entonces tenemos aquí una ecuación. Ahora tenemos que igualar las partes reales del lado izquierdo con el lado derecho y la parte imaginaria del lado izquierdo con la parte imaginaria del lado derecho. Observamos que del lado izquierdo, la parte real es x² - y², que es la que no tiene ninguna i. Del lado derecho, la parte real es cero, porque en realidad pues no hay ningún otro número aparte de la i. Ahora vamos a igualar las partes imaginarias, esto es, los coeficientes de la i. Entonces, del lado izquierdo es 2xy y del lado derecho es 1. Así que ponemos que 2xy tiene que ser igual a 1.
De esta manera, lo que obtenemos ahora es un sistema de dos ecuaciones con dos variables, tenemos x y y. Entonces, simplemente hay que resolver este sistema y de esta manera vamos a obtener la parte real y la parte imaginaria del número z que estamos buscando y así vamos a tener la raíz cuadrada de i. Bueno, vamos a resolver entonces este sistema.
Para eso, en la primera ecuación, lo que podemos hacer es este y² pasarlo al lado derecho sumando. Y ahora vamos a pasar este cuadrado como raíz cuadrada al lado derecho, pero hay que recordar que cuando un cuadrado lo pasamos como raíz cuadrada, hay que considerar dos raíces cuadradas, la positiva y la negativa. Ahora bien, la raíz cuadrada de y² nos da y. Así que x tiene que ser igual a ±y. Bueno, ahí tenemos entonces una relación entre x e y.
Ahora vamos a considerar cada signo por separado. Si consideramos x = y, o sea que con el signo positivo, al sustituir en esta otra ecuación tenemos lo siguiente. Como x = y, sustituimos aquí en la y la x. Y al multiplicar por esta x, pues nos queda 2x² = 1. Y de aquí ya podemos despejar rápidamente la x. El 2 pasa dividiendo y luego el cuadrado pasa como raíz cuadrada. Y de nuevo, hay que considerar dos signos. Entonces, x puede ser igual a ±√(1/2). Eso también lo podemos expresar como 1/√2. Recuerden que la raíz cuadrada de una fracción se puede separar como la raíz de lo de arriba sobre la raíz de lo de abajo, y la raíz de 1 pues es 1. Así que ya tenemos la parte real del número complejo, o sea, la x es ±1/√2. Hemos obtenido dos posibles valores para x.
Si multiplicamos arriba y abajo por √2, podemos racionalizar la fracción. Esto es opcional. También podríamos haberlo dejado así. Y bueno, pues al multiplicar por √2 arriba y abajo, pues nos queda 1 * √2 = √2 y abajo √2 * √2 = √4 = 2. Entonces, así queda la fracción racionalizada. Pero como x = y, entonces también y tiene que ser igual a ±√2/2, o sea, el mismo valor en x e y.
Entonces obtenemos dos posibles números complejos que vamos a llamar z₁ y z₂. El valor de z₁ pues es si tomamos el signo positivo en la x, por lo cual teníamos que tomar también el signo positivo en la y, porque x = y. Entonces, el primer número complejo que obtenemos es √2/2 + √2/2 i, porque estamos sustituyendo en esta expresión la x y la y. Entonces, esta es una posible raíz cuadrada de i. Otra posible raíz cuadrada de i es z₂, que si tomamos el signo negativo aquí y aquí, es -√2/2 - √2/2 i. Por estas, entonces son las dos posibles raíces cuadradas de i.
Si nosotros elevamos esto al cuadrado y simplificamos los términos, tenemos que obtener como resultado i. También en el caso de aquí abajo, si elevamos al cuadrado, desarrollamos el binomio y simplificamos, lo que obtendremos como resultado es i. Por eso ambas son raíces cuadradas de i. Yo los invito a que ustedes comprueben eso que les estoy diciendo. Eleven z₁ al cuadrado y verifiquen que el resultado es i. Y también eleven z₂ al cuadrado y verifiquen que el resultado es i.
Bueno, esto es, recordemos, cuando nosotros tomamos aquí el signo positivo x = y. ¿Qué pasa si tomamos el signo negativo? Bueno, pues si x = -y, al sustituir aquí nos va a quedar ahora -2x² = 1. Porque si x = -y, entonces y = -x. Y al sustituir aquí, pues multiplicamos 2x por -x y eso nos da -2x² = 1. Ahora, el -2 pasa dividiendo. Y ahora aquí lo que tenemos es una ecuación que dice que x² nos tiene que dar igual a un número negativo. Pero esto no es posible dentro de los números reales. Recuerden que en esta expresión x + iy, tanto la x como la y son números reales, a pesar de que z sea un número complejo. Z es un número complejo porque tiene por aquí la i, pero x por separado y por separado son números reales. Entonces, aquí lo que tenemos es que el número real x al elevarlo al cuadrado nos tiene que dar algo negativo, y eso es imposible dentro de los números reales. Fue lo que vimos en el primer vídeo de este curso. Por lo tanto, esta ecuación no tiene solución.
Entonces, si tomamos el signo negativo aquí, no hay soluciones. Por lo tanto, estas dos son todas las soluciones posibles. Y así entonces hemos calculado ya las raíces cuadradas de i.
Bueno, regresemos a lo que explicaba hace un momento. Cuando nosotros queremos calcular la raíz cuadrada de un número, por ejemplo, en este caso, √9, decimos que es igual a 3, porque el 3 satisface que 3² nos da 9. Pero hay otro número que también al cuadrado nos da 9, en este caso -3. -3 al cuadrado también es igual a 9. Entonces, ¿por qué no decimos aquí que √9 es igual a -3 también? Aquí hay que tomar en cuenta que el símbolo de raíz cuadrada en los números reales únicamente hace referencia a la raíz cuadrada positiva. Cada número real tiene dos raíces, una positiva y una negativa, pero cuando nosotros utilizamos este símbolo, únicamente nos referimos a la raíz positiva. Si queremos referirnos a la raíz negativa, tenemos que agregarle el signo menos a la raíz. De esta manera, entonces, -√9 haría referencia al -3.
La ecuación x² = 9 tiene dos soluciones: x₁ = 3 y x₂ = -3. Es decir, el 9 tiene dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa. Si nosotros queremos referirnos al conjunto de las dos raíces cuadradas, en el curso de variable compleja vamos a hacerlo mediante la siguiente notación. Vamos a expresar lo con el exponente 1/2. Cuando nosotros entonces tengamos 9 elevado a la 1/2, nos estaremos refiriendo al conjunto de raíces cuadradas de 9, que en este caso son el 3 y el -3.
Entonces, lo que nosotros hemos calculado aquí son las dos raíces cuadradas de i. Eso lo vamos a expresar así: i¹/² es el conjunto de las dos raíces cuadradas de i, que son esta de aquí y esta de aquí. Y al igual que ocurre con este símbolo de raíz cuadrada, lo vamos a reservar únicamente para la raíz cuadrada principal de un número complejo, que en este caso resulta ser esta de aquí. Es decir, √i únicamente hará referencia a esta raíz de aquí y no a esta raíz de acá. Esto lo voy a explicar con más detalle en un vídeo más adelante, porque para la raíz cuadrada principal de un número, primero tenemos que definir lo que es el argumento de un número complejo y a partir de ahí el argumento principal de un número complejo. Y una raíz cuadrada estará relacionada con el argumento principal. Entonces, todo esto son conceptos que vamos a ver más adelante, y ahí van a entender por qué vamos a reservar este símbolo únicamente para la raíz cuadrada principal, que está relacionada con el argumento principal.
Ahora, los invito a que ustedes resuelvan la siguiente ecuación: el conjugado de z al cuadrado igual a 4z. Para resolver esta ecuación, empiecen haciendo lo mismo. Escriban z = x + iy, sustituyan en la ecuación, igualen parte real y parte imaginaria y resuelvan el sistema que les resulte. En el siguiente vídeo les voy a mostrar el procedimiento completo para que verifiquen su respuesta.
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