Transcription
[Musik] willkommen zur video serie über das wesen der informierte mal rechnung.
dass es das erste video in der serie und ich werde die restlichen zehn videos in den nächsten tagen hochladen. mein ziel ist den kern des themas in einer serie zu erklären. deluxe ocean kannst das thema ist er breit also will ich kurz sagen was euch hier erwartet.
in der internet diesmal rechnung gibt es viele formeln und oft werden sie als etwas präsentiert das man auswendig lernen soll. zb die verschiedenen ableitung regeln, die produkt präge, die ketten regel, implizite differenzierung, die tatsache dass integral und differenzial das gegenteil voneinander sind, hehlerei uns weiter. und mein ziel ist diese themengebiete so zu zeigen dass du nach der serie sagen kannst das hätte ich selbst erfinden können. dazu werden wir unser ansehen woher diese kerne den kommen und was sie eigentlich bedeuten indem es sie visualisieren. natürlich gibt es einen großen unterschied zwischen etwas zu verstehen und etwas zu erfinden. mein ziel ist es dass du das gefühl hast dass falsch denn mathematiker der zeit gewesen wärst mit den richtigen ideen herumgespielt hättest dass du die selben dinge hättest entdecken können.
in diesem video möchte ich die grundideen und hand von einem beispiel zeigen. die berechnung des flächen inhalts eines kreises. vielleicht weißt du schon dass diese mit der formel pi mal radius zum quadrat berechnet werden kann aber warum eigentlich. woher kommt diese formel. wenn man genau darüber nachdenken die richtigen fragen stellt und diese nachgeht kann man drei der wichtigsten ideen der internet diesmal rechnung finden nämlich integrale ableitungen und die tatsache dass sie das gegenteil voneinander sind. aber lasst uns langsam beginnen.
nehmen wir einen kreis mit radius zb 3. im versuch die fläche zu berechnen kannst du viele möglichkeiten probieren wie du den kreis unterteilen und wieder zusammensetzen kannst. einige davon ergeben vielleicht ihre eigenen interessanten beobachtungen. vielleicht kommst du auf die idee den kreis sind viele konzentrische kreise zu unterteilen. das könnte funktionieren weil diese unterteilung die symmetrie des kreises berücksichtigt und der mathematik hat eine sonderbare artig zu belohnen wenn du ihre symmetrien berücksichtigt. nehmen wir einen dieser ringe mit innerem radius er irgendwann werde zwischen null und drei. wenn wir für jeden kreis ring dessen fläche berechnen können dann müssen wir sie ja nur alle aus summieren um die fläche des geistes zu bekommen. du könntest zb versuchen den ring aufzuschneiden und gerade zu ziehen und du könntest du überlegen wie genau diese fläche aussieht und wie man sie berechnen kann. aber lassen uns zunächst diese fläche mit einem rechteck annähern. gebreitet des rechtecks ist der umfang des kreis rings also zweimal er und die höhe na ja das kommt darauf an wie für den kreis aufgeschnitten hast. nennen wir die höhe einfach die ehre. du wirst später sehen warum. und lasst uns annehmen dass die ehre 0,1 ist. also ist die fläche des kreistages ungefähr wir nehmen sie ihr mit einem rechten die breite zweimal er mal der höhe dr. und auch wenn die annäherung nicht perfekt ist wie kleiner die er wird desto besser ist dieser annäherung weil die ober und unbekannte des tages immer ähnlicher werden.
machen wir mit der annäherung weiter und lasst uns sehen was passiert. vergiss nicht dass die annäherung immer besser wird die kleine er wird. also wenn du den kreisen immer dünnere kreis ringer teilen. um noch einmal zu wiederholen wo wir stehen. du hast die fläche des kreises in all diese kreis aufgeteilt und dann erst die fläche von jedem davon an mit zwei team all seinem inneren radio sr mal dr wobei die werte dieser inneren radien zwischen 0 für den kleinsten ring bis knapp unter 3 für den grössten ring liegen. unter unterschied vom innen radius eines kreis ringes zum innen radius des nächst größeren kreis ringes ist genau dicke des kreis ring ist die duh zuvor gewählt hast die rzb 0,1. passierte kurz das video um das klar zu machen. alles klar.
jetzt können wir die annäherung die wir für die fläche gewählt haben das rechteck auf die untere achse auftragen und wenn wir für alle kreis ringe deren annäherten rechtecke auftragen er gibt es kein muster. jedes davon hat die breite dr und die höhe für das rechteck an der stelle rzb er gleich 0,6 ist zweimal diesem wert. das war ja genau der innere umfang des ringes der zu diesem rechte gehört. lasst uns die y-achse under skalieren damit wir auch die größeren werte sehen können. zweimal 3 ist nicht ganz 20 auf das können wir also gut skalieren. eine schöne sichtweise ergibt sich wenn die gerade zweimal pima lerche auftragen. jedes der rechtecke ist so hoch dass es gerade so die gerade berührt. lasst uns nicht vergessen dass wir uns der fläche nur annähern und ich habe ja gesagt dass die annäherung für kleinere die er immer besser wird und das sieht man besonders schön wenn wir uns die summe all diese rechtecke ansehen. wenn wir die er immer kleiner werden lassen. man könnte ja denken dass das eine unglaublich komplizierte berechnung wird aber schon wie all diese kleinen rechtecke auf einmal wie die fläche unter der geraden aussieht und diese fläche ist ein recht winkel iges dreieck mit einer kantenlänge von drei und einer höhe von 2 x b x 3. die fläche ist also ein halb mal der kantenlänge drei mal der höhe zweimal 3 gekürzt also pi mal 13 betrat oder wenn der radius des kreises nicht drei sondern groß er wäre dann wäre die fläche eben pi mal groß erz und betrat und das ist die form für die kreisfläche. egal was du sonst von der mathematik elst ist das nicht ein wunderbares argument.
aber wenn du denkst wenn mathematiker dann geht es dir nicht nur darum ein beispiel zu lösen sondern darum werkzeuge zu finden um viele probleme lösen zu können. also nimmt er kurz zeit um darüber nachzudenken was gerade passiert ist und warum es funktioniert hat. weil die art und weise wie wir von einer annäherung auf das präzise ergebnis gekommen sind ist sehr subtil und dringt tief in das wesen der informiert das normal rechnung ein. wir haben das problem als summe vieler kleiner werte engagiert. jeder davon hat ausgesehen wie zweimal dr für werte von er zwischen null und drei und die kleine zahl die er repräsentiert die dicke jedes dieser kreis zum beispiel 0,1. zwei dinge sind dabei zu beachten. die er war nicht nur ein faktor in der formel 2 pds war auch der abstand zwischen zwei er werten auf der achse und zweitens je kleiner wir die er wählen desto besser wird die annäherung. wir haben dann einen anderen ziemlich cleveren blickwinkel benutzt um allen die werte aus um ihren zu können. wir haben dann immer dünnere kreis ringe geschnitten also der immer kleiner werden lassen dass du immer besseren annäherungen für die fläche geführt hat und gleichzeitig hat sich diese fläche immer näher an die fläche unter einer kurve in diesem fall der geraden zweimal er angenähert. daraus können wir folgern dass die antwort zur ursprünglichen frage wie groß der flächen inhalts des kreises genau ist genau dieselbe ist wie die fläche unter dieser kurve.
es gibt viele andere schwierige fragen in der mathematik die sich halt summe vieler kleiner werte annehmen lassen zum beispiel herauszufinden wie weit ein auto fährt wenn man nur dessen geschwindigkeit zu jedem zeitpunkt kennt. in diesem fall könnte es zu vielen zeitpunkten die geschwindigkeit zu diesem zeitpunkt mit der zeit änderung nennen wir sie dt multiplizieren. das ergibt die strecke die in dieser kurzen zeit zurückgelegt wurde. ich werde später in der serie noch mehr auf die details einer solchen beispielen eingehen aber grundsätzlich lassen sich viele dieser probleme lösen indem man die fläche und einer kurve berechnet. das passiert immer wenn man sich die kleinen werte die man aufsummieren möchte als kleine rechtecke nebeneinander vorstellen kann und falls immer bessere annäherungen an das eigentliche problem immer dünnere balken ergeben dann ist die lösung zum ursprünglichen problem äquivalent dazu die fläche unter einer kurve zu finden. nochmal das ist eine idee die wir uns später in der serie noch genauer ansehen werden also mach dir keinen kopf findet das noch nicht hundertprozentig klar ist. der punkt ist dass du als mathematiker gerade ein problem gelöst hast in dem du es als die fläche unter einer kurve betrachtet hast.
vielleicht denkst du jetzt an über flächen unter anderem kurven nachzudenken. wir hatten glück beim kreis problem dass die flächen 3 gab aber stell dir stattdessen so etwas vor wie eine parabel die kurve unter der funktion im quadrat. was ist die flächen unter diese kurve sagen wir zwischen den werten xs gleich 0 3 gar nicht so einfach wurde. und lass mich die frage etwas anders formulieren. lasst uns den linken endpunkt bei null fixieren und lassen wir den rechten endpunkt variieren. kannst du eine funktional von iks finden die auf die fläche unter der kurve zwischen null und nix gibt. eine solche funktion wird das integral von iks und betrat genannt. die in fantasy x rechnung enthält die werkzeuge und formen und diese integrale zu berechnen aber vorerst ist diese funktion zumindest für uns unbekannt. wir wissen nur dass sie uns die fläche unter der funktion iks quadrat zwischen null und nix gibt. und nochmal wir fragen uns das nicht nur um schwierige geometrie aufgaben lösen zu können sondern weil viele praktische probleme durch die summe vieler kleiner werte angenähert werden können welche man als fläche und einer kurve darstellen kann. und es stimmt dass finden dieser fläche der integral funktion ist wirklich schwierig und immer wenn man auf ein wirklich schwieriges problem in der mathematik stößt ist es ratsam nicht zu verbissen zu versuchen die an tote tiere zu finden. das ist wie zu versuchen mit dem kopf durch die wand zu rennen. es endet meistens schmerzhaft. stattdessen spielt mit der idee herum was ist der zusammenhang zwischen der funktion die die kurve beschreibt in diesem beispiel rat und der funktion die die fläche unter der kurve gibt. und wenn du glück hast du merkst du vielleicht folgendes. wenn du iks um einen kleinen wert die iks enders sieht die änderung der fläche an einen cd a. diese fläche der können wir ziemlich gut annähernd mit dem rechteck der höhe iks quadrat unterbreitet die iks und je kleiner die iks ist desto weniger falsch ist die annäherung mit dem rechteck. und das gibt uns einen interessanten einblick wie aaron xx quadrat zusammenhängt. die änderung von a das kleine ta ist ungefähr ex quadrat der wert mit dem wir begonnen haben mal die iks die kleine änderung die wir nach rechts gemacht haben oder umgeformt die a dividiert durch die iks also das verhältnis von einer kleinen änderung in a durch die kleine änderungen iks diese verursacht hat ist ungefähr was auch immer iks quadrat und diesem punkt ist und das ist eine annäherung besser und besser wird für kleiner werdende dix. wir wissen also nicht was a von iks ist das bleibt vorerst unbekannt aber wir wissen eine eigenschaft die diese unbekannte funktion haben muss. wenn man sich zwei nahe gelegene punkte anzieht zb 3 und 3,01 sie den unterschied von aa zwischen diesen punkten an 3,00 1 und 3 das dividiert durch die änderung ist also 0,001 sollte ungefähr iks quadrat an diesem punkt seien also in diesem fall 13 betrat. und dieses verhältnis zwischen kleinen änderungen in der unbekannten funktion und iks ist überall ungefähr xp draht nicht nur betreiben. das hilft uns noch nicht direkte funktion aber nichts zu finden aber es gibt uns einen tollen hinweis mit dem wir arbeiten können. und da ist nichts besonderes an ex quadrat. alle funktionen von iks die als fläche unter einer kurve elf von nix definiert sind haben die eigenschaft dass dr dividiert durch dx ungefähr der wert der funktionär von iks an dieser stelle ist und die annäherung wird immer besser je kleiner die iks ist.
wir sind gerade über die nächste große idee der infiniti sammelrechnung gestoßen ableitungen. dieses verhältnis dr dividiert durch dx wird auch die ableitung von a genannt oder genauer gesagt die ableitung ist woran auch immer sich dieses verhältnis annähert wenn dx immer kleiner wird. wir werden uns diese idee im nächsten video noch viel genauer ansehen aber grob gesagt ist die ableitung ein maß für die sensitive deiner funktion für kleine änderungen im argument. ihr werdet im laufe der serie sehen dass es viele möglichkeiten gibt eine ableitung zu visualisieren je nachdem welcher funktion man betrachtet und wie man über kleine änderungen der werte der funktion nachdenkt. und wir interessieren uns für ableitungen weil sie uns dabei helfen probleme zu lösen. in unserer kurzen erklärung haben wir schon eine möglichkeit gesehen wie sie verwendet werden. sie sind wichtig um fragen über integrale lösen zu können probleme bei denen man die fläche unter einer kurve finden muss. wenn du dich einmal mit dem bereich nun von ableitungen vertraut gemacht hast ganz dem situationen wie diesen hier rekonstruieren wie aussehen muss damit die ableitung von ah export ist. und dieses verhältnis zwischen integralen und ableitungen wo die ableitung eine funktion die uns die fläche unter einer kurve gibt die funktion zurück gibt die die kurve erzeugt hat nennt man den fundamental satz den findet diesmal rechnung. er verbindet die beiden großen ideen von integralen und ableitungen und zeigt wie in einem gewissen sinn dass eine die umkehrung des anderen ist.
all das ist nur eine übersicht nur ein erster blick auf die grundideen der infinite mal rechnung. was folgt in der serie sind die details für ableitungen und integrale und mehr und zu jedem zeitpunkt sollst du das gefühl haben dass du hast du die richtigen dinge zeichnen ist und fragen stellst diese dinge erfinden hätte es können. diese serie ist ursprünglich auf englisch auf dem kanal 3 blu ray brown erschienen wo es auch viele videos zu höherer mathematik gibt. du kannst den link in the description finden. die übersetzung hat joel gosch in kooperation mit preview von braun unentgeltlich gemacht speziell um auch deutschsprachigen schülern dabei zu helfen die grundkonzepte der internetriese mal rechnung möglichst verständlich näher zu bringen. wenn dir das video gefallen hat würde ich mich freuen wenn du es mit anderen teils denen es hilfreich sein könnte.