Transcription
In questo video vediamo uno studio di funzione completo di una funzione razionale fratta, in particolare della funzione y = 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno.
Allora, la primissima cosa che vogliamo fare è determinare il dominio della funzione. E noi sappiamo che in una funzione razionale fratta l'unica richiesta da fare è che il denominatore sia diverso da zero, perché una frazione deve avere il denominatore diverso da zero. Quindi prendiamo il denominatore 3x meno 1 e chiediamo che sia diverso da zero e risolviamo questa che di fatto è un'equazione di primo grado. Quindi lui non lo porto dall'altra parte, diventa positivo: 3x diverso da uno. Divido il primo e il secondo membro per il coefficiente dell'aics, quindi fratto 3, fratto 3. Qua semplifico e ho x diverso da un terzo. Quindi di fatto ho proprio risolto un'equazione di primo grado. Quindi il dominio è tutto l'insieme dei numeri reali tranne un terzo. Questa cosa la posso scrivere in due modi: posso scrivere che il dominio è tutto R meno un terzo, oppure se decido di utilizzare l'unione di intervalli, posso scrivere che il dominio è uguale a meno infinito, un terzo escluso l'estremo, un terzo, più infinito. È la stessa identica cosa.
Quindi posso cominciare a fare il grafico. Quindi disegno il piano cartesiano e faccio l'unità di misura di 3 quadretti perché devo disegnare un terzo sull'asse delle x. Bene, quindi poiché ho fatto l'unità di misura di 3 quadretti, un terzo è qua. E questo un terzo io lo devo escludere dal mio dominio, quindi faccio una bella riga verticale come a dire di qua non si passa, cioè di qua la funzione non passerà, o meglio, non ci sarà nessun punto della funzione che sarà su questa riga perché nessun punto avrà un terzo come ascissa.
Passiamo adesso a vedere se ci sono delle simmetrie. In realtà, già da come ho disegnato il grafico, vediamo benissimo che non possono esserci delle simmetrie. Perché la funzione pari ha una simmetria assiale, l'asse y è l'asse di simmetria, quindi la funzione sarà proprio speculare. Quindi se la funzione è speculare rispetto all'asse y, questa riga nera che ho fatto a destra l'avrei dovuta avere anche dall'altra parte, simmetrica. Quindi l'avrei dovuta avere anche in corrispondenza di meno un terzo. Analogamente, se la funzione fosse dispari, avrà una simmetria centrale con l'origine degli assi come centro di simmetria. Quindi anche in questo caso, quello che da una parte lo devo avere dall'altra parte perché è come se facesse un giro di 180 gradi. Già so che non avrò simmetrie, però per completezza di conti faccio comunque questo passaggio.
Quindi per capire se la funzione è pari oppure dispari, devo calcolare f di meno x e quindi sostituire meno x al posto di x nella mia funzione di partenza. Quindi devo fare 9 al posto di x metto meno x alla seconda meno 4, tutto fratto 3 al posto di x metto meno x meno uno. Quindi ho 9 meno x alla seconda fa x alla seconda perché diventa meno per meno che fa più, quindi 9x alla seconda meno quattro. E il numeratore è rimasto invariato. Invece al denominatore ho 3 per meno x che fa meno 3x meno uno. Quindi vedo che questa non è uguale alla funzione di partenza, ma non è neanche uguale all'inverso della funzione, cioè la funzione che io terrei moltiplicando per meno uno, vero, mettendo meno davanti, perché in quel caso che avrei dovuto avere più uno, meno 3x più uno, così che almeno lo avrei potuto portare davanti alla linea di frazione in questo modo. Quindi il numeratore rimarrebbe così, il meno lo porto qua e sotto cambi segni, 3x più uno. E quindi vediamo che il denominatore è diverso. Se qua fosse stato più uno, qua sarebbe diventato meno uno e quindi sarebbe stato uguale a questo. Quindi la funzione non è né pari né dispari, esattamente come mi aspettavo.
Passiamo ora all'intersezione con gli assi. Dunque, per trovare le intersezioni con l'asse y, io devo risolvere il sistema x uguale a zero e y uguale la funzione che era 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. Quindi, in buona sostanza, sto mettendo a sistema l'equazione della funzione con l'equazione dell'asse y. Questo qua è l'asse y. E facciamo i conti. Com'è che facciamo i conti? Semplicemente sostituendo lo zero al posto della x. Quindi x uguale a zero e y uguale 9 per zero alla seconda che fa zero meno 4, fratto 3 per zero meno uno. Quindi questo e questo diventa uno zero e zero. E ottengo x uguale a zero, y uguale a. Quindi zero meno 4 fa meno 4, fratto zero meno uno fa meno uno. Meno 4 diviso meno uno fa più 4. Quindi il punto di intersezione con l'asse y è nel punto 0, 4. E lo disegno subito sul mio grafico. Uno, due, tre e quattro. Qui ho quattro e qui ho il punto di intersezione con l'asse y.
Continuiamo cercando i punti di intersezione con l'asse x, utilizzando più o meno lo stesso criterio, solamente che questa volta la nostra funzione la metteremo a sistema con l'equazione dell'asse x, che è y uguale a zero. Quindi y uguale a zero va a sistema con y uguale 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. Anche in questo caso devo sostituire lo zero al posto della y. Quindi mi viene uguale a zero al posto della y metto zero uguale 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. Quindi devo risolvere questa equazione fratta. Nell'equazione fratte io normalmente devo fare le condizioni di esistenza, che però di fatto ho già fatto nel dominio, quindi non c'è bisogno di ripeterle. E io so che una frazione vale zero quando il suo numeratore vale zero. Quindi questa parte la riscrivo. Al posto di questo posso scrivere semplicemente 9x alla seconda meno 4 uguale a zero, che è il numeratore. Questa è un'equazione di secondo grado pura, molto semplice da risolvere. Quindi prendo il meno 4, lo porto dall'altra parte, ho 9x alla seconda uguale a 4. Divido a destra e sinistra per il numero che moltiplica la x alla seconda. Qua semplifico, qua non posso semplificare. Ho ottenuto x alla seconda uguale a quattro noni. Io però non voglio sapere quanto vale x alla seconda, ma voglio sapere quanto vale x. Quindi voglio fare la devo fare la radice quadrata di quattro noni, che radice quadrata di 4 è 2, radice quadrata di 9 è 3. E prendere sia il valore positivo che il valore negativo. Quindi ho che x1 è uguale a due terzi, anzi, per essere precisi, a meno due terzi, perché bisognerebbe metterli in ordine crescente. E x2 uguale a due terzi. In effetti, entrambi elevati alla seconda danno 4 noni, anche meno due terzi, perché meno per meno fa più. Quindi le soluzioni del sistema sono y uguale a zero, x1 uguale a meno due terzi, x2 uguale a due terzi. Per quanto non sia proprio ortodosso scriverlo così, questo sistema di fatto mi dà le coordinate dei due punti di intersezione. Il primo punto di intersezione è il punto di coordinate meno due terzi, zero. Lo scrivo qua. Il secondo punto di intersezione è il punto di coordinate due terzi, zero, che lo scrivo qua. E anche in questo caso vado subito a mettere questi due punti sul mio grafico. Quindi ho fatto l'unità di misura di 3 quadretti, il che mi aiuta moltissimo. Meno due terzi, sì, ho meno un terzo, meno due terzi. Quindi meno due terzi è qui e due terzi invece qui. Il fatto di aver fatto l'unità di misura di 3 quadretti mi aiuta moltissimo. Quindi ho che il primo punto di intersezione è questo, il secondo punto di intersezione è questo.
Passiamo adesso allo studio del segno della funzione. Quindi voglio sapere per quali valori di x la funzione sarà positiva, quindi si troverà al di sopra dell'asse x, e per quali valori di x invece sarà negativa, si troverà quindi al di sotto dell'asse x. Quindi risolvo la disequazione fratta 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno 1 maggiore di zero. Potrei mettere anche maggiore o uguale a zero, ma tanto so già a quali sono i valori per cui questa è uguale a zero, perché ho ricercato quei numeri quando cercavo le intersezioni con l'asse x. Dunque, per risolvere una disequazione fratta, devo innanzitutto studiare il segno del numeratore. Quindi mi devo domandare per quali valori di x il numeratore è strettamente maggiore di zero. Quindi per quali valori di x 9x alla seconda meno 4 è maggiore di zero. Abbiamo già trovato le due soluzioni dell'equazione 9x alla seconda meno 4. Sono le due radici, sono meno due terzi e due terzi. Quindi questa disequazione di secondo grado la posso risolvere disegnando una parabola con concavità verso l'alto, perché 9 è un numero positivo, che interseca l'asse delle x nei due punti di coordinate meno due terzi, due terzi. Non è necessario fare l'unità di misura precisa, però visto che ci siamo, proprio facciamo. Quindi ho meno due terzi, due terzi, qua e qua. E quindi ho che la mia parabola è così. Bene, quali sono i valori di x per cui questo è maggiore di zero? Devo guardare quale pezzo di parabola sta nei semi-piani positivi. Questo e questo. Quindi i valori di x per cui la parabola sta nel semi-piani positivi sono tutti i valori più piccoli di meno due terzi, tutti i valori più grandi di due terzi. Quindi tutti i valori più piccoli di meno due terzi vuol dire x minore di meno due terzi. E invece tutti i valori più grandi di due terzi vuol dire x maggiore di due terzi.
Stessa cosa con il denominatore, ma col denominatore più semplice perché di primo grado. Quando il denominatore è maggiore di zero, cioè quando 3x meno uno è maggiore di zero, l'uno lo porto dall'altra parte, quindi ho 3x maggiore di 1. Fratto 3, fratto 3. Semplifico esattamente come se dovessi risolvere un'equazione, anzi, come se dovessi risolvere l'equazione per cui ho risolto nel dominio. E qua ottengo x maggiore, rimane il verso perché ho diviso per un numero positivo, quindi maggiore di un terzo. Quindi il denominatore positivo quando x maggiore di un terzo.
Ora devo fare la tabellina, mettendo in ordine crescente i numeri che mi sono venuti fuori, che sono meno due terzi, due terzi e un terzo. Quindi in ordine crescente ho prima a meno due terzi, che è l'unico numero negativo, poi ho un terzo, poi due terzi. Ok. Sulla prima riga, quindi, più o meno i segni del numeratore. Dunque, so che il numeratore positivo quando x è minore di meno due terzi, quindi a sinistra di meno due terzi, e quando x è maggiore di due terzi, quindi a destra di due terzi. Per esclusione, quando la x è compresa tra meno due terzi e due terzi, il numeratore sarà negativo. Il denominatore invece è positivo quando x è maggiore di un terzo, quindi a destra di un terzo. Io metto dei più e per esclusione, a sinistra di un terzo metto dei meno. Ora faccio la riga e faccio il prodotto dei segni. Meno per meno, meno. Meno per meno, più. Meno per più, meno. Più per più, più. Quindi quando x sarà minore di meno due terzi, la funzione sarà negativa, quindi starà sotto l'asse x. Qui sarà positiva, e quindi sarà sopra l'asse x. Però prendiamo anche il grafico. X minore di meno due terzi, la funzione negativa, quindi innanzitutto faccio una linea tratteggiata in corrispondenza di meno due terzi e di due terzi perché qui ci sono dei cambi di segno. Quindi per i minori di meno due terzi abbiamo dato quella funzione negativa, quindi io cancello tutta questa parte perché la funzione qua non ci starà. Poi per tutti i valori di x compresi tra meno due terzi e un terzo, la funzione positiva, quindi la parte sotto la cancello. Poi tra un terzo e due terzi, la funzione è negativa, quindi tra un terzo e due terzi cancello la parte sopra perché tanto la funzione sarà nella parte sotto. E infine, per tutti i valori più grandi di due terzi, la funzione sarà nel semi-piano positivo, e quindi cancello tutta la parte che sta sotto perché di cui la funzione non passerà.
Bene, passiamo ai limiti. I limiti ci permettono di capire come si comporta la funzione in corrispondenza di un terzo, che è stato escluso dal dominio. Quindi dobbiamo capire, in buona sostanza, se x uguale a un terzo è un asintoto verticale. E poi ci permettono anche di capire come si comporta la funzione a infinito, a meno infinito. Ci permette anche di vedere se per caso ci sono degli asintoti obliqui oppure degli asintoti orizzontali. E adesso vediamo tutti i passaggi.
Allora, innanzitutto studio come si comporta vicino a un terzo, quindi studio il limite per x che tende a un terzo meno, quindi a sinistra di un terzo, della funzione 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. Quindi sostituisco un terzo, un terzo meno in corrispondenza della x al passo della e quindi qua mi viene 9 per un terzo alla seconda fa un nono. Posso non preoccuparmi di mettere un terzo meno oppure no, perché tanto il numeratore non si annullerà, perché se io qua metto un nono, farà uno meno 4, diventerà meno tre. Quindi si sa che io metta uno più, uno meno, il numeratore rimarrà comunque meno tre. Meno tre, più o meno tre, meno, rimane comunque un numero negativo. Invece il problema c'è al denominatore. Quindi se io metto tre per un terzo meno meno uno, uno e quindi devo capire se fa uno meno o uno più, proprio per vedere se qua sotto fa zero più, zero meno. Allora, quindi sopra abbiamo detto che 9 e 9 si semplificano, quindi mi rimane uno meno 4 che fa meno tre. Al denominatore invece ho che 3 e 3 si semplificano, quindi qua fa uno, meno uno, meno uno. Quindi al numeratore meno tre e al denominatore devo capire se fa zero, zero meno. Uno meno, vuol dire poco meno di uno, quindi come se fosse 0,9. Quindi se noi facciamo 0,9 meno uno, otteniamo meno 0,1, quindi zero o meno. Quindi tre diviso zero fa infinito. Devo capire se più infinito o meno infinito. Qua un numero negativo fratto un numero negativo, quindi meno per meno fa più, fatti un infinito.
Vediamo adesso il limite per x che tende a un terzo più di 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. Stessa cosa di prima, quindi al numeratore posso fare 9 per un nono meno 4, fratto 3 per un terzo più meno uno. Quindi al numeratore esattamente come prima fa meno tre, non cambia nulla. Al denominatore invece, se è semplice, come viene uno più, uno più meno uno. Allora, uno più è un pochino di più di uno, quindi è come se fosse 1,1. 1,1 a meno uno va a 0,1. Quindi qua mi rimane zero più. Quindi ho meno tre fratto zero più. Di nuovo, un numero finito fratto zero fa infinito, ma questa volta ho un numero negativo al numeratore, numero positivo al denominatore, quindi meno per più o meno infinito.
Bene, il fatto che il limite per x che tende a un terzo faccia infinito, più infinito, meno infinito, ci dice che la retta verticale x uguale a un terzo è un asintoto verticale. Benissimo, adesso facciamo i limiti a infinito per vedere se per caso ci capita di avere un asintoto orizzontale oppure un asintoto obliquo.
Quindi, limite per x che tende a più infinito di 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. Vediamo che cosa succede. Allora, se sostituiamo così l'infinito, otteniamo 9 per l'infinito che fa infinito, meno 4 rimane infinito, perché l'infinito o meno una quantità finita rimane comunque infinito. Al denominatore abbiamo invece 3 per infinito che fa infinito, meno uno rimane infinito. Quindi abbiamo una forma di indecisione del tipo infinito su infinito. Ma noi sappiamo che quando abbiamo il limite per x che tende a infinito di qualcosa, lo possiamo trasformare, cioè nel raccoglimento per la x di grado massimo. Quindi possiamo scriverlo come il limite per x che tenda più infinito di qua raccogliamo x alla seconda, perché quello di grado massimo, e nella parentesi ci rimane 9x alla seconda divisa x alla seconda che fa 9, meno 4 divisa x alla seconda che fa 4 fratto x alla seconda. Stessa cosa al denominatore, però al denominatore il grado massimo è il primo grado, quindi raccolgo la x e quindi nella parentesi ci rimane 3, meno 1 fratto x, che rimane appunto uno fratto x. Quindi adesso, nel momento in cui noi sostituiamo l'infinito, abbiamo che qua ci viene, qua ci viene 4 fratto infinito che tende a zero, qua ci viene 1 fratto infinito che tende a zero, e invece qua possiamo semplificare questa x alla seconda con questa dividendoli entrambi per x. Quindi qua si semplifica e qua fa x. Quindi questo è uguale al limite per x che tenga più infinito di 9x fratto 3, in buona sostanza, ovvero 3x, perché poi dentro è rimasto 9, qua dentro è rimasto 3, 9 diviso 3 fa 3, quel d3x. E il limite per x che tende a infinito di 3x è uguale a più infinito.
Analogamente, la stessa cosa la facciamo con il limite per x che tende a meno infinito. Chiaramente, anche in questo caso, anche se sostituissi il meno infinito a 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno 1, otterrei una forma di indecisione di questo tipo, con la sola differenza che sostituendo meno infinito qua mi viene più infinito e qua sotto invece mi viene meno infinito, però comunque sempre una forma di indecisione del tipo infinito su infinito. E quindi non cambia molto. Bene, anche in questo caso, sostituendo meno infinito, che cosa succede? Faccio proprio lo stesso ragionamento di prima, quindi raccolgo la x alla seconda al numeratore e mi rimane 9 meno 4 fratto x alla seconda, e sotto raccolgo la x e mi rimane 3 meno 1 fratto x. Come prima, qua va zero e qua va zero. Questo e questo si semplificano e quindi rimane il limite per x che tende a più infinito di 3x. Ho sbagliato, questo era meno infinito. Questo era meno infinito. Ok, così ha senso, sennò stavo riscrivendo esattamente la stessa cosa. Ok, quindi questa volta sostituendo meno infinito al posto della x succede che ho 3 per meno infinito e fa meno infinito. Ok.
Questa cosa, il fatto che il limite per x che tende a infinito della funzione tende a infinito, faccia infinito, ci sta dicendo che io non ho asintoti orizzontali. Avrei avuto un asintoto orizzontale nel caso in cui qua fosse venuto un numero finito. Ma poiché mi è venuto infinito, devo domandarmi se per caso non ho degli asintoti obliqui. E per vedere gli asintoti obliqui, devo calcolare altri limiti.
Dunque, se questa funzione dovesse avere un asintoto obliquo, questo asintoto obliquo sarebbe una retta del tipo y uguale mx più q. Dove m il coefficiente angolare deve essere diverso da zero, perché se fosse uguale a zero, otterrei y uguale a q, che in realtà è una retta orizzontale. Quindi se m nel calcolo mi venisse zero, in realtà io starei trovando un asintoto orizzontale, non un asintoto obliquo. Ma m deve essere anche diverso da più infinito, meno infinito, perché se nel calcolo che mi porta a cercare l'asintoto orizzontale mi dovesse venire più infinito, meno infinito, questo mi direbbe che in realtà la funzione tende a infinito ma senza asintoto obliquo, tipo la parabola che va più infinito ma senza asintoto obliquo. E per trovare m e q, cioè il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine, esistono due formule. Allora, per trovare m devo calcolare il limite per x che tende a infinito di f(x) fratto x. Invece per trovare q devo calcolare il limite per x che tende a infinito di f(x) meno mx, che ho trovato prima. Ora, io ho scritto limite per x che tende a infinito senza mettere il segno, perché in realtà nel caso delle funzioni razionali fratte, l'asintoto obliquo, se c'è, è unico. Però non è detto che tutte le funzioni siano così, potrebbero avere un asintoto obliquo per x che tende a infinito, un asintoto obliquo diverso per x che tenda a meno infinito. Quindi in quel caso il conto da fare sarebbe doppio: x che tende a più infinito, x che tende a meno infinito. Sia qua.
Bene, quindi cominciamo a vedere se esiste questo coefficiente angolare. Quindi devo calcolare il limite per x che tende a infinito di f(x) fratto x. Allora, la mia f(x) è quella di prima, 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno, fratto x. Anziché scrivere fratto x, perché io adesso per fare fratto x, dovrei fare una frazione di frazione, cioè dovrei tirare una linea di frazione qua sotto, 3x meno 1, scrivere x. La frazione di frazione è sempre un po' antipatica da gestire, quindi è meglio se noi anziché dividere per x, ics moltiplichiamo per uno fratto x, è esattamente la stessa identica cosa. E com'è che viene? Viene limite per x che tende a infinito. Il numeratore è 9x alla seconda meno 4 per uno, quindi rimane lui, 9x alla seconda meno 4. Al denominatore invece ho 3x meno 1 per x. Quindi posso anche metterlo all'inizio, x per 3x meno uno. E qua devo moltiplicare i denominatori. Quindi mi viene limite per x che tende a infinito di 9x alla seconda meno 4 fratto x per 3x fa 3x alla seconda, x per meno uno fa meno x. Adesso arrivato il momento, questo uguale di troppo, chiedo scusa. Adesso arrivato il momento di sostituire l'infinito al posto della x e mi viene 9 per infinito che fa infinito, meno 4 che rimane infinito. Quindi mi viene infinito al numeratore. Al denominatore mi viene 3 per infinito meno infinito. In realtà questo qui è di grado massimo, quindi questo infinito alla seconda meno infinito mi dice che in realtà rimane infinito, non infinito meno infinito. Però anche se non lo dovessimo sapere, non cambia nulla. In ogni caso, noi abbiamo una forma di indecisione. Questo è poco ma sicuro. E quindi, siccome stiamo calcolando un limite per x che tende a infinito, possiamo fare come prima e raccogliere per la x di grado massimo. Quindi questo avviene limite per x che tende a infinito. Al numeratore il grado massimo è la x alla seconda, quindi raccolgo per la x alla seconda. Nella parentesi mi rimane 9x alla seconda diviso quello per cui ha raccolto, mi rimane semplicemente il 9, meno 4 diviso x alla seconda, che è 4 fratto x alla seconda. Fratto. Bene, prendiamo come riferimento questa qua, che era l'ultima prima di sostituire, quindi è quella su cui dobbiamo fare i calcoli. Anche qua il grado massimo è la x alla seconda, quindi x alla seconda lo raccolgo e mi rimane 3x alla seconda diviso quello per cui è raccolto, che ho proprio che è proprio alla seconda, e quindi mi rimane 3, meno x diviso x alla seconda, rimane uno fratto x. Uno fratto x. E adesso sostituendo infinito, 4 fratto infinito va a zero, 1 fratto infinito va a zero. X alla seconda, x alla seconda si semplificano e qua mi rimane 9 fratto 3 che fa 3. Quindi m mi è venuto un numero finito, il che significa che io ho un asintoto obliquo.
Adesso calcoliamo la q. Quindi per calcolare la q io devo fare limite per x che tende a infinito della funzione 9x alla seconda meno 4, sempre lei, fratto 3x meno uno, meno mx. M mi è venuto 3, quindi meno 3x. E qua devo fare i conti per capire chi è questa funzione per poter sostituire questo infinito un pochino più agilmente. Quindi limite per x che tende a infinito di questo, come se avesse uno come denominatore. Quindi il minimo comune multiplo tra i denominatori 3x meno uno è 3x meno uno. Quindi il primo numeratore rimane identico, meno 3x meno uno diviso uno fa 3x meno uno per 3x. E facciamo questi calcoli. Quindi il limite per x che tende a infinito di 9x alla seconda meno 4 meno 3x per 3x che fa 9x alla seconda, meno 1 per 3x fa meno 3x, ma con meno davanti qua diventa più 3x. Forse sarebbe stato più agile metterlo qua davanti questo 3x, così vengono più chiari i conti. Meno 3x per 3x fa meno 9x alla seconda, meno 3x per meno uno fa più 3x. Comunque è identico. E al denominatore ho sempre 3x meno uno. 9x alla seconda, 9x alla seconda li posso eliminare, li posso elidere. E quindi mi rimane limite per x che tende a infinito di 3x meno 4 fratto 3x meno uno. Ora, sostituendo anche in questo caso mi viene infinito su infinito, perché 3 per infinito fa infinito, meno 4 rimane infinito, fratto 3 per infinito fa infinito, meno uno rimane infinito. E quindi, siccome sto facendo il limite per x che tende a infinito, anche qua posso raccogliere per la x di grado massimo, che questa volta però è la x di primo grado. Quindi il limite per x che tende a infinito. Al numeratore raccolgo la x e dentro la funzione mi rimane 3 meno 4 diviso quello per cui ho raccolto, 4 fratto x. Al denominatore mi rimane x aperta 3 meno 1 fratto quello per cui ho raccolto, esattamente come prima. Quindi sostituendo infinito, qua fa zero, qua fa zero. X e x si possono semplificare. Mi rimane 3 fratto 3 che fa 1. Quindi fa uno. Bene, quindi m 3, q 1. L'asintoto obliquo è la retta y uguale 3x più uno. Questo qui è l'asintoto obliquo.
Ve ne riportiamo tutte queste cose sul grafico. Allora, innanzitutto avevamo scoperto che il limite per x che tende a un terzo meno va più infinito, quindi la funzione andrà qua. E invece limite per x che tenga un terzo più faceva meno infinito, quindi si avvicinerà qua. E questo era un asintoto verticale. Poi abbiamo l'asintoto obliquo di equazione y uguale, lo riscrivo qua, 3x più uno. Allora, per disegnare una retta in modo rapido, innanzitutto disegno l'ordinata all'origine, quindi cerco uno sull'asse y, che è qua. E poi 3 è la pendenza, il coefficiente angolare. Quindi lo vedo come se fosse tre primi. E a partire dal primo punto che ho disegnato, devo salire di 3 quadretti, andare a destra di 1. Uno, due, tre. E di nuovo, uno, due, tre. Uno, due, tre, uno. Quindi, in buona sostanza, tagli quadretti in questo modo. E questo qui sarà il mio asintoto obliquo.
Vediamo adesso l'andamento della funzione. Per calcolare l'andamento della funzione, quindi capire quando la funzione è crescente o decrescente, devo calcolare la derivata prima. Allora, la mia funzione era y uguale 9x alla seconda meno 4 fratto 3x meno uno. La derivata prima di una funzione fratta si calcola mettendo il denominatore il quadrato del denominatore della funzione che alla seconda. Al numeratore devo derivare il numeratore, quindi la derivata di 9x alla seconda 2x9 18 e abbasso la x di 1, quindi 18x. Meno 4 rimane zero. Quindi la derivata del numeratore per il denominatore, per 3x meno uno, meno la derivata del denominatore, quindi la derivata di 3x è tre, la derivata di meno uno è zero, per il numeratore 9x alla seconda meno quattro. E faccio i conti. 18 per 3 fa 54 x alla seconda. 18 per meno uno fa meno 18x. Meno 3 per 9 fa meno 27 x alla seconda. Meno 3 per meno 4 fa più 12. E il denominatore per ora lo lascio così, 3x meno uno tutto alla seconda. Quindi rimane 54 meno 27 fa 27 x alla seconda meno 18x più 12. Tutto fratto il denominatore lo lascio così. Allora, 27, 18 e 12 sono tutti divisibili per tre. Quindi raccolgo oltre 27 diviso 3, 9x alla seconda meno 18 diviso 3, meno 6x più 12 diviso 3, 4. Fratto 3x meno uno alla seconda. Vediamo se per caso questo polinomio non è scomponibile in qualche modo. Io l'ho già fatto, quindi so che non lo è, però com'è che si fa a verificare? Ci pensiamo un pochino. Vediamo se troviamo due numeri che sommati mi danno meno 6 e moltiplicati mi danno 9 per 4, fa 36. Ci penso un po'. Se non mi viene in mente, calcolo il delta. E il delta è b alla seconda, quindi meno 6 alla seconda che fa 36, meno 4 per 9 per 4, quindi 36 meno 4 per 9, 36, 36 per 4, 144. Quindi è chiaramente un numero negativo. Non lo calcolo nemmeno. Quindi questo questo polinomio è irriducibile, non si può scomporre.
Bene, allora per capire l'andamento bisogna studiare il segno della derivata prima. Quindi capire per quali valori di x la funzione 3 per 9x alla seconda meno 6x più 4 tutto fratto 3x meno uno alla seconda è maggiore o uguale a zero. Questa volta l'uguale lo possiamo mettere. Allora, come prima, dobbiamo studiare il segno del numeratore, segno del denominatore. Quindi numeratore, dobbiamo capire quando sarà maggiore o uguale a zero. Il denominatore strettamente maggiore di zero. Quindi 3 per 9x alla seconda meno 6x più 4 maggiore o uguale a zero. Quando? Allora, 3 è un numero sempre positivo. E questa qua invece è un polinomio di secondo grado con il delta negativo, quindi irriducibile. A questo polinomio di secondo grado si può associare una parabola con la concavità verso l'alto, perché il coefficiente direttivo è positivo, cioè il numero che moltiplica la x alla seconda, numero positivo. E avendo il delta negativo, non interseca l'asse delle x, quindi è sempre positiva. Quindi il numeratore è maggiore di zero sempre, perché il prodotto di due numeri sempre positivi. Quindi per ogni x appartenente ad R. Il denominatore è 3x meno uno alla seconda. E sappiamo che in una quantità elevata alla seconda è sempre maggiore di zero. Quindi per ogni x appartenente al dominio, per essere precisi, perché in realtà abbiamo escluso un terzo, che è lo stesso numero che cita dei problemi qua. Quindi questo è sempre positivo, questo è sempre positivo. Più diviso più che farà sempre più. Quindi la derivata prima è sempre positiva. Quindi se io so che la derivata prima è sempre positiva, questo significa che la funzione sarà sempre crescente. Non avrà mai dei momenti in cui scenderà.
E infine, concludiamo con la concavità e la ricerca di eventuali flessi. E questo si vede calcolando innanzitutto la derivata seconda. Allora, la derivata seconda è la derivata prima della derivata prima. Quindi riscriviamo c'è un attimo la derivata prima. La derivata prima era 3 per 9x alla seconda meno 6x più 4 fratto 3x meno uno alla seconda. Quindi come prima, devo fare il denominatore alla seconda, solamente che qua è già alla seconda, quindi devo fare alla seconda la seconda, mi viene 3x meno uno alla quarta. Poi devo derivare il numeratore, che quindi, forse in questo caso mi conviene vedere come 27x alla seconda meno 18x più 12. Quindi la derivata del numeratore è 2 per 27 che fa 54x meno del 18x derivato rimane meno 18x. Per il denominatore, che è 3x meno uno tutto alla seconda. Meno la derivata del denominatore, che è quindi due per 3x meno uno, quindi sto derivando il fatto che si è levato alla seconda, per la derivata dell'argomento, quindi per la derivata della base, quindi la derivata di 3x meno uno è 3. Quindi in realtà potrei scrivere, anzi lo scrivo qua, 6 per questo e questo 3 lo cancello. Quindi appunto, derivata del denominatore per il numeratore, quindi per 3 per 9x alla seconda meno 6x più quattro. Ok, tutta questa roba la riscrivo un po' meglio, già che ci sono, tiro fuori questo 18, perché il 54 è divisibile per 18. Quindi poi mi rimane 18 per 54 diviso 18 fa 3x per 3x meno alla seconda. Questo è comodo. Quindi in realtà, mm3 x1 alla terza, meno 6x3 18 per 3x meno uno per tutta questa roba qua, 9x alla seconda meno sei più quattro. E al denominatore mi rimane questo, quindi 3x meno uno alla quarta. Bene, meglio non svolgere i conti perché qua un 3x meno uno, 3x meno uno, che mi fanno molto comodo. Anzi, per essere precisi, un 18 per 3x meno uno. Quindi raccogliamo lo. O 18 per 3x meno uno. Ok, raccolto. Quindi 18 per 3x meno alla terza diviso tutta questa roba qua, per cui ho raccolto, a mi viene 3x meno uno alla seconda, che risolvo direttamente. Quindi 9x alla seconda meno doppio prodotto tra 3x e 1 fa meno sei più uno. Poi meno qua ho raccolto questa parte qua e quindi mi rimane questa, meno tutto questo, tutta questa parentesi, quindi devo cambiare i segni a questa parentesi. Meno 9x alla seconda più 6x meno 4. Tutto fratto il denominatore 3x meno uno alla quarta. Quindi questo e questo vanno in via. Bellissimo. Questo e questo vanno via pure loro. Mi rimane 18 per 3x meno 11 meno 4 per meno 3. Fratto 3x meno uno alla quarta. Potevo semplificarlo anche prima, mi è sfuggito. Lo semplifico adesso. Questo e questo, quindi questo sparisce, qui rimane 3. Quindi 18 per meno 3 fa meno 54. Fratto 3x meno uno alla terza. Ok, questa è la derivata seconda. Un sacco di conti, però alla fine siamo arrivati a una cosa abbastanza snella. Devo studiare il segno della derivata seconda. Quindi risolvere la disequazioni meno 54 fratto 3x meno uno alla terza maggiore o uguale a zero. Come prima, il numeratore quando è maggiore o uguale a zero? Il numeratore è meno 54. E quando è maggiore o uguale a zero? Mai. È sempre negativo. O meno 54, numero negativo. Quindi per nessun x appartenente ad R. Metterò tanti meno nella mia tabellina. Il denominatore invece quando è maggiore di zero? Quando 3x meno uno alla terza è strettamente maggiore di zero. E quando una cosa è elevata alla terza maggiore di zero? Quando la base è maggiore di zero. Quindi quando 3x meno uno è maggiore di zero. Ma questa disequazioni l'avevamo già risolta, aveva come soluzione x maggiore di un terzo. Quindi nella mia tabellina devo mettere solo un terzo, perché è l'unico numero che mi è venuto fuori. Ed è una tabellina molto semplice, perché sulla riga del numeratore metto tanti meno, sulla riga del denominatore metto i più a destra di un terzo e meno a sinistra. Quindi o meno per meno, più. Meno per più, meno. E un terzo so che è escluso, quindi non sarà un punto di flesso. Quindi so che qua la funzione avrà concavità verso l'alto e qua avrà concavità verso il basso.
Adesso tutti gli elementi per tracciare il grafico qualitativo della funzione. Ok, qua avrà concavità verso l'alto, qua avrà concavità verso il basso. Non era difficile da immaginarselo. Quindi deve passare la funzione, deve passare qua e qua, dove ho messo i punti verdi. E anche qui, dove passare qua. Quindi, ma si avvicina all'asintoto verticale. Passa qua. Forse per qua si avvicina all'asintoto obliquo. Qui l'ho fatta salire un attimo, non andava bene perché questo qua è l'asintoto obliquo. Ok, in effetti qua la concavità verso l'alto e qua la concavità verso il basso.