Ableitungen geometrisch erklärkt - Das Wesen der Infinitesimalrechnung 3

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Hi, willkommen zum dritten Video. Da wir jetzt gesehen haben, was die Ableitung ist und was sie bedeutet, können wir beginnen zu lernen, wie man sie berechnet. Also, wenn ich dir die reine Funktion gebe, solltest du dann die Ableitung berechnen können. Und vielleicht fragst du dich, warum das überhaupt wichtig ist. Also, ich werde kurz auf ein paar konkreten eingehen und erzählen, wo sie verwendet werden und warum Schüler überall auf der Welt so viel Zeit darauf verwenden, Ableitungen zu berechnen. Der Grund ist, weil viele Phänomene in der echten Welt mit solchen Funktionen modelliert bzw. angenähert werden. Also Polynome, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen sind Annäherungen für die Dinge in der echten Welt. Und wenn man ein Gefühl für die Änderungsraten dieser abstrakten Funktionen entwickelt, dann hat man auch ein tieferes Verständnis für ein konkretes Phänomen, wie zum Beispiel die Ausbreitung eines Virus.

Es kann ganz leicht passieren, dass das alles weg wie das Auswendiglernen von Regeln ist. Und wenn das passiert, kann man auch leicht vergessen, dass Ableitungen nur beschreiben, wie sich eine kleine Änderung einer Variablen auf die Änderung einer davon abhängigen Variablen auswirkt, nach dem Funktionswert. Also möchte ich in diesem Video versuchen zu zeigen, wie man sich diese Funktionen geometrisch vorstellen kann. Und ich will, dass du immer daran denkst, dass der Kern von Ableitungen auf diesen kleinen Änderungen beruht.

Lasst uns mit einer relativ einfachen Funktion beginnen: f(x) = x². Was glaubst du, ist dir eine Ableitung? Also, wenn du dir einen Wert x, z.B. x = 2, ansiehst und es mit einem Wert vergleichst, der nur ein wenig größer ist, nennen wir es wie zuvor Δx. Was ist die Änderung von f(x) und nennen wir diese Änderung Δf? Und was ist das Verhältnis der beiden Änderungen, Δf durch Δx?

Als ersten Schritt wissen wir ja aus dem vorigen Video, dass die Ableitung df nach dx gleich die Steigung der Tangente am Punkt x ist. Und du kannst sehen, dass die Steigung grundsätzlich größer ist, wenn x größer ist. Bei Null ist die Tangente horizontal, bei x=1 ist sie etwas steiler und bei x=2 ist sie noch steiler. Aber um die tatsächliche Ableitung zu verstehen, ist es oft nicht die beste Idee, den Funktionsgraphen direkt anzusehen. Dafür sollte man sich genau ansehen, was x² eigentlich ist.

Nehmen wir ein Quadrat mit Seitenlänge x. Der Flächeninhalt ist also x². Wenn man x ein wenig größer macht, nennen wir es wieder Δx, dann vergrößert sich ja auch die Fläche. Diese Vergrößerung ist genau das, was Δf bedeutet: die kleine Änderung, die entsteht, wenn man das Argument, also x, ein wenig ändert. Du kannst sehen, dass es drei kleine Flächen gibt: zwei dünne Rechtecke und ein Mini-Quadrat. Und die beiden Rechtecke haben die Seiten x und Δx. Ihre Fläche ist also 2 * x * Δx. Wenn z.B. x=3 ist und Δx = 0,01, dann ist die zusätzliche Fläche von den beiden dünnen Rechtecken gleich 2 * 3 * 0,01, was gleich 0,06 ist. Das kleine Quadrat hat eine Fläche von Δx². Und das ist wirklich winzig, quasi vernachlässigbar. Wenn Δx = 0,01 ist, dann ist diese Fläche nur 0,0001. Und vergiss nicht, ich zeichne die Δx ziemlich dick, um es besser sehen zu können. Aber in Wirklichkeit lassen wir Δx gegen Null gehen und man sollte es sich wirklich klein vorstellen, um eine gute Intuition zu bekommen. Und für diese kleinen Dinge gilt die Faustregel, dass man alle Terme ignorieren kann, die Δx mit einer Hochzahl größer als 1 enthalten. Warum genau, haben wir im letzten Video eigentlich schon gesehen, ist aber hier nicht so wichtig. Was übrig bleibt ist Δf = irgendetwas * Δx. Und dieses irgendetwas, in diesem Fall 2x, kann man auch schreiben als Δf durch Δx. Und das ist die Ableitung von x².

Wenn man z.B. bei x=3 startet und dann eine kleine Änderung Δx vornimmt, dann ist die Änderung des Flächeninhalts, also Δx², nach Δx gleich 2 * 3, also 6. Und wenn man bei x=5 startet, dann wäre die Änderungsrate der Fläche gleich 10.

Lasst uns eine andere einfache Funktion betrachten: f(x) = x³. Das Beispiel hatten wir schon im letzten Video gelöst, indem wir gerechnet haben. Diesmal betrachten wir das geometrisch. Das Schöne ist, dass wir uns die Funktion als das Volumen eines Würfels mit Seitenlänge x vorstellen können. Und wenn man x um ein kleines Stückchen Δx vergrößert, dann vergrößert sich das Volumen um die Stücke, die ich hier gelb markiert sind. Da sind also alle Volumenstücke vom Würfel mit Kantenlänge x, Δx, die nicht schon im Würfel mit Kantenlänge x sind. Und fast das ganze zusätzliche Volumen kommt von diesen drei Platten. Oder etwas präziser gesagt: Wenn Δx gegen Null geht, wird der Anteil dieser drei Platten am neuen Volumen immer näher gegen hundert Prozent gehen. Jede dieser Platten hat ein Volumen von x² * Δx, die Grundfläche mal dieser kleinen Dicke. Zusammen haben wir also 3x² * Δx an Volumensänderung. Und ja, das sind auch diese kleinen Volumina. Aber wenn man sie berechnet, enthalten sie alle Δx². Wir können sie also vernachlässigen. Und nochmal: Wir können sie ignorieren, weil wenn wir später die Ableitung berechnen, indem wir die Formel von Δf durch Δx dividieren, dann ist bei diesen Termen immer noch ein Δx übrig. Und deswegen überleben diese Terme nicht, wenn Δx gegen Null geht. Das bedeutet also, dass die Ableitung von x³ gleich 3x² ist. Wenn man den Graphen betrachtet, bedeutet das, dass die Steigung der Kurve von x³ genau 3x² ist. Und wenn man darüber nachdenkt, macht es Sinn, dass die Ableitung groß ist, wenn man links vom Ursprung ist, dann beim Ursprung Null ist und dann wieder größer wird, wenn man nach rechts geht. Aber den Graphen zu betrachten hilft uns wenig, um die genaue Formel der Ableitung, also 3x², zu finden. Dafür mussten wir uns ansehen, was x³ eigentlich bedeutet.

In der Praxis stellt man sich nicht immer das Quadrat vor, wenn man im Quadrat ableiten möchte, und auch nicht den Würfel, wenn x³ dran ist. Beide fallen unter die Potenzfunktionen. Zum Beispiel ist die Ableitung von x⁴ gleich 4x³. Und die Ableitung von x⁵ ist 5x⁴. Allgemein kann man die Regel so aufschreiben: Die Ableitung von xⁿ nach dx ist n * xⁿ⁻¹. Für alle natürlichen Zahlen n größer als 1. In der Praxis stellt man sich vor, dass der alte Exponent vor die Potenz geschrieben wird und der Exponent einfach um 1 reduziert wird. Und selten denkt man über die geometrischen Schönheiten nach, die hinter diesen Aussagen stecken. Aber lasst uns kurz darüber nachdenken, warum das für Exponenten funktioniert, die größer als zwei oder drei sind.

Wenn man die Funktion xⁿ betrachtet und das x um diesen kleinen Wert Δx vergrößert, dann kann man das ja schreiben als Multiplikation von n Termen, die alle (x + Δx) sind. Es ist super langwierig, das alles aus zu multiplizieren. Das Tolle an der Ableitung und daran, dass wir Δx gegen Null gehen lassen, ist, dass wir das meiste davon ignorieren können, weil die meisten Terme die Δx² oder höhere Hochzahlen davon enthalten. Der erste Term beim Ausmultiplizieren ist xⁿ. Das ist dasselbe, was in der grafischen Methode das ursprüngliche Quadrat war, bzw. das Volumen des ursprünglichen Würfels. Für den nächsten Term kann man über all x nehmen, mit der Ausnahme von einem einzigen Δx. Und das kann man aus der ersten Klammer nehmen oder aus der zweiten oder dritten und so weiter bis zum Ende. Wenn man die also zusammenzählt, dann hat man n Terme, die jeweils ein xⁿ⁻¹ mal Δx haben. Das ist analog zu den beiden Rechtecken, die den Großteil der neuen Fläche ausgemacht haben. Jede davon hatte die Fläche x * Δx. Und genauso wie der Großteil des neuen Volumens des Würfels von den drei Platten mit x² * Δx kam, kann es noch viel mehr Terme beim Ausmultiplizieren geben. Aber alle davon müssen mindestens zwei Δx Terme enthalten, sind also Vielfache von Δx². Und deswegen können wir sie ignorieren. Und das bedeutet, dass die einzige Vergrößerung, die wir nicht vernachlässigen können, von diesem Term n * xⁿ⁻¹ * Δx kommt. Das ist, was es bedeutet, dass die Ableitung von xⁿ gleich n * xⁿ⁻¹ ist. Und auch wenn man in der Praxis, wie schon gesagt, einfach die Hochzahl nach vorne schreibt und dann um 1 verringert, hin und wieder ist es gut darüber nachzudenken, warum diese Regeln eigentlich funktionieren. Nicht nur, weil es schön ist oder weil es uns daran erinnert, dass die Mathematik tatsächlich Sinn macht und nicht nur eine Sammlung von Formeln ist, die man auswendig lernen muss, sondern auch, weil es unserem Gehirn Muskel trainiert, indem man die Ableitung als die Auswirkung dieser kleinen Änderungen betrachtet.

Ein anderes Beispiel ist f(x) = 1/x. Einerseits kann man einfach die Potenzregel anwenden. Man kann ja 1/x als x⁻¹ schreiben. Man würde also die -1 nach vorne schreiben und die Hochzahl um 1 verkleinern, was -2 ergibt. Und das stimmt. Und das wirst du wohl in der Praxis auch meistens so machen. Aber wir können uns das auch geometrisch vorstellen. Wenn man darüber nachdenkt, dann ist die Funktion 1/x die Antwort auf die Frage, womit man x multiplizieren muss, damit alles herauskommt. Also kann man sich das so vorstellen: Nehmen wir ein rechteckiges Pool mit Flächeninhalt gleich 1. Und die Breite ist x. Also muss die Höhe 1/x sein. Wenn x also 2 ist, dann muss die Höhe ein halb sein. Und wenn wir für x=3 vergrößern, dann muss die Höhe auf ein Drittel sinken. So kann man sich auch die Kurve von 1/x gut vorstellen. Der Eckpunkt oben rechts ist bei (x, 1/x). Und das zeigt uns immer an, welcher Höhe das Pool haben muss, damit die Fläche zwischen den Achsen und dem Punkt genau 1 ergibt.

Und stell dir jetzt vor, was passiert, wenn man x um ein kleines Δx vergrößert. Um wie viel muss sich die Höhe des Rechtecks ändern, damit der Flächeninhalt immer noch 1 ist? Also, wenn man um Δx nach rechts geht, entsteht diese neue Fläche hier rechts. Also muss die Höhe um den Wert Δh kleiner werden, damit sich die neue Fläche rechts mit der Fläche oben aufgibt und man sieht jetzt also schon, dass die Änderung der Höhe negativ sein muss, weil es ja die Höhe kleiner macht. Und du hast dich jetzt berechnet, was die Änderung von f(x) durch Δx ist. Und wenn du das geschafft hast, möchte ich, dass du das mit dem vergleichst, was bei der Potenzregel herauskommt, also wenn du den Exponenten nach vorne ziehst und um 1 verringerst.

Ich habe noch ein Beispiel für dich. Wenn du Lust hast, versuche mit der Visualisierung herauszufinden, was die Ableitung von √x nach dx ist.

Zum Abschluss möchte ich noch eine Klasse von Funktionen genauer ansehen: trigonometrische Funktionen und im Speziellen die Sinusfunktion. Wir wollen herausfinden, was die Ableitung von sin(θ) nach dθ ist. Ich gehe davon aus, dass du schon weißt, wie Sinus und Kosinus mit dem Einheitskreis zusammenhängen, also dem Kreis mit Radius 1 und im Mittelpunkt im Ursprung. Für ein gegebenes θ im Bogenmaß kann man sich einfach vorstellen, dass man im Kreis abgeht und zwar genau θ Einheiten. Das ist es, was es bedeutet, dass der Winkel θ im Bogenmaß hat. Sinus von θ ist dann die Höhe dieses Punktes über der x-Achse. Und wenn man θ größer macht und immer weiter im Kreis geht, geht die Höhe mal rauf und dann wieder runter zwischen 1 und -1. Also, wenn du dir die Kurve von sin(θ) in Abhängigkeit von θ ansiehst, dann bekommst du dieses schönen Wellen. Und wenn du dir die Steigung dieser Kurve an verschiedenen Punkten ansiehst, dann kannst du ein Gefühl dafür bekommen, wie die Ableitung von sin(θ) aussieht. Die Steigung bei Null ist irgendetwas Positives. Und wenn man ein wenig nach rechts geht, wo sin(θ) seinen Höhepunkt erreicht, dann geht die Steigung langsam gegen Null. Dann wird die Steigung negativ für eine kurze Zeit, weil die Kurve nach unten geht. Und wenn man noch weiter nach rechts geht, geht die Steigung wieder Richtung Null, wenn man zum Tiefpunkt kommt. Und wenn du so weitermachst und das alles aufzeichnest und dich mit den trigonometrischen Funktionen ein wenig auskennst, dann kannst du dir vielleicht denken, dass diese Kurve wieder cos(θ) aussieht, weil alle Hoch-, Tief- und Nullpunkte passen. Und du hättest recht. Aber woher weißt du, dass es genau der Kosinus von θ herauskommt? Es gibt ganz viele Funktionen, die die Hoch-, Tief- und Nullpunkte an denselben Stellen haben. Und wer weiß, vielleicht hätte die Ableitung von der Sinusfunktion eine komplett andere Funktion ergeben können, die nur rein zufällig eine ähnliche Form hat.

Und wie beim vorigen Beispiel, um ein Gefühl für die exakte Ableitung zu bekommen, ist es notwendig, sich anzusehen, was die Sinusfunktion eigentlich ist. Also sehen wir uns noch einmal den Einheitskreis an. Wir haben einen Winkel von θ im Bogenmaß und wissen, dass die Höhe des Punktes sin(θ) ist. Lasst uns auf den Punkt am Kreis hineinzoomen und stell dir vor, dass wir einen Mini-Schritt entlang des Kreises weitergehen, dθ. Wie viel ändert sich dadurch an der Höhe? Wir nennen diese Änderung, wenig überraschend, d(sin(θ)). Wenn man so nah heranzoomt, sieht die Linie des Kreises wie eine Gerade aus. Also lasst uns diese Annäherung hier machen und sehen wir uns dieses Dreieck an. Die Hypotenuse ist dθ und die linke Seite ist die Änderung der Höhe, also d(sin(θ)). Und dieses kleine Dreieck ist ähnlich zu diesem größeren Dreieck mit dem Winkel θ und der Hypotenuse mit Länge 1. Ist dieser Winkel im oberen Eck auch genau θ im Bogenmaß? Und wenn du überlegst, was die Ableitung von sin(θ) ist, dann ist es ja genau das Verhältnis von d(sin(θ)) durch dθ. Und das ist in diesem Dreieck genau die Ankathete von θ durch die Hypotenuse. Und das ist die genaue Definition von cos(θ).

Wir haben jetzt also zwei verschiedene Arten, wie wir uns die Ableitung der Sinusfunktion ansehen können. Eine davon ist die Funktionskurve, sie gibt uns ein Gefühl dafür, welche Form der Ableitung ungefähr hat, indem wir die Steigung der Sinuskurve an vielen verschiedenen Punkten betrachtet haben. Und die andere ist die präzisere Art, indem wir uns am Einheitskreis angesehen haben, was die Sinusfunktion eigentlich ist. Und wenn du einer derjenigen bist, die ab und zu gerne pausieren und über Dinge nachdenken, dann überlege dir mal, ob du ganz ähnlich herausfinden kannst, was die Ableitung von cos(θ) ist.

Im nächsten Video werde ich darüber reden, wie man Ableitungen von Funktionen finden kann, die aus einfachen Funktionen zusammengesetzt sind, also z.B. als Summe, Produkt oder Verkettung von Funktionen. Und wie in diesem Video, werden wir versuchen, diese Dinge mit Hilfe von Visualisierungen zu erkennen, was hoffentlich dabei hilft, sich die dahinter liegenden Regeln besser zu merken.