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Buenos días. En el día de hoy vamos a hacer el análisis completo de la función racional f(x) = (x - 3) / (x - 2).
Lo primero que vamos a hallar es el dominio y recordemos que este es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida. Para hallar este dominio, lo primero que tenemos que tener en cuenta es que se trata de una función racional y como función racional tiene una restricción y es que el denominador no puede ser cero. Es decir, que tenemos que excluir aquellos valores de x que hagan que el denominador sea cero.
Tomamos esta expresión que encontramos en el denominador e igualamos a cero: x - 2 = 0. Despejamos: x = 2. Si tomamos este valor y lo reemplazamos en el denominador, veremos que nos quedan 2 - 2 = 0. Y recordemos que esta función tiene la restricción de que el denominador no puede ser cero. Es decir, que el dominio será igual a todos los reales excepto el valor de 2.
Ahora, para determinar las asíntotas, recordemos que existen asíntotas verticales, asíntotas horizontales y asíntotas oblicuas. Iniciamos con el cálculo de la asíntota vertical. Para hallar esta asíntota, igualamos el denominador a cero. En este caso es x - 2. Igualamos a cero y como ya habíamos visto, este valor es igual a 2. Si este valor no hace cero el numerador, entonces es una asíntota vertical. Reemplazamos este valor de 2 en el numerador y nos quedaría 2 - 3, que sería igual a -1. Es decir, que no hace cero el numerador. Es decir, que es una asíntota vertical.
Vamos a graficar la. Recordemos que este es el eje de las x, este es el eje y, que es exactamente igual a f(x). Ubicamos el valor de 2 y nos dice que en 2 vamos a encontrar una asíntota vertical, que es una línea imaginaria que parte de menos infinito hasta infinito y la representamos con líneas punteadas. Así.
Ahora, para determinar las asíntotas horizontales, debemos tener en cuenta que existen tres casos y esto dependerá del grado del polinomio que encontramos tanto en el numerador como en el denominador. Es decir, el exponente que acompaña a la variable. Si encontramos el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces en este caso no se presenta asíntota horizontal. Ahora, si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, la asíntota horizontal es y = 0. Y si el grado del numerador es igual al grado del denominador, en ese caso se presenta asíntota horizontal y vamos a calcularla teniendo en cuenta los coeficientes que acompañan esta variable.
En el caso de esta función, vemos que el grado tanto del numerador como del denominador es igual, que sería 1. La asíntota horizontal la encontramos dividiendo entre el coeficiente de el numerador, que sería el número que acompaña aquí a x, que sería 1, dividido entre el coeficiente principal del denominador, que igualmente sería 1. En este caso, 1 / 1 es igual a 1. Es decir, que en y = 1 vamos a encontrar la asíntota horizontal para esta función. Esta asíntota horizontal la trazaremos paralela al eje x, desde menos infinito hasta más infinito.
Y una función racional tiene una asíntota oblicua si el grado de el numerador es igual al grado del denominador más 1. Es decir, que para que existiera una asíntota oblicua en esta función, el grado del numerador es 1, igual al grado del denominador en este caso es 1 + 1 = 2. Como vemos, esta igualdad no se cumple. Es decir, que para esta función no hay asíntota oblicua. Para que existiera una asíntota oblicua en esta función, el exponente de x que encontramos en el numerador debía ser igual a 2. Ahora, debemos tener en cuenta que si hay asíntota horizontal, no puede existir asíntota oblicua, teniendo en cuenta que las condiciones son contradictorias.
Pasamos a determinar el rango, que recordemos es el conjunto de todos los valores que puede tomar la función f(x) o igualmente llamada y. En este caso, como vemos, la función no tomará valores en donde se presente la asíntota horizontal. Es decir, que el rango de la función serán todos los reales excepto y = 1.
Vayamos ahora los ceros o raíces de la función, que son aquellos valores en donde f(x) = 0, o también en donde la gráfica intersecta el eje x. Y tomamos nuestra función, que es esta, y vamos a igualar f(x) a 0. Es decir, que 0 será igual a (x - 3) / (x - 2). x - 2 está dividiendo, pasamos a multiplicar y 0 por (x - 2) esto será igual a 0 = x - 3. Despejamos el valor de x, en donde x será igual a 3 positivo. Es decir, que cuando x = 3, f(x) o y = 0. La coordenada para este punto es (3, 0).
Ahora, para determinar la ordenada al origen, o el punto en el que se intersecta el eje y, vamos a igualar x a 0. Tomamos igualmente nuestra función, que nos encontremos x, lo vamos a reemplazar por cero. Es decir, f(0) será igual a (0 - 3) / (0 - 2). Esto nos quedará que f(0) será igual a -3 / -2, y -3 / -2 es igual a 1.5. Es decir, que cuando x = 0, y = 1.5. Este punto tendrá coordenadas (0, 1.5).
Vamos a determinar ahora los intervalos de positividad y de negatividad. Recordemos que los intervalos de positividad son los intervalos del dominio de la función para los cuales se cumple que f(x) > 0, y el intervalo de negatividad será el intervalo del dominio de la función para los cuales se cumple que f(x) < 0. Y para determinar estos intervalos, existen varios métodos. Uno puede ser a través de los límites. Para este video, nos vamos a hallar a través de la gráfica. Sin embargo, estará apareciendo el link por acá de un video completo en el cual se calcula todo esto a través del uso de la primera y la segunda derivada.
Vamos a establecer una tabla de valores. Haremos valores como x = 1, x = 1.5. Tomaremos un valor negativo, puede ser x = -2. Después de la asíntota vertical, podremos tomar un valor como x = 2.5 y cuando x = 4. Para hallar los valores de y, que es igualmente la función, vamos a reemplazar los valores de x en nuestra función original. En este caso, vamos a reemplazar a x en donde lo encontremos por 1 y hacemos el cálculo: 1 - 3 esto será igual a -2 en el numerador y en el denominador nos quedaría 1 - 2 = -1. -2 / -1 es igual a 2. Es decir, que cuando x = 1, y = 2.
Ahora calculamos cuando x asume el valor de 1.5: 1.5 - 3 = -1.5 en el numerador y en el denominador tenemos 1.5 - 2 = -0.5. -1.5 / -0.5 = 3. Vamos ahora a determinar el valor de y cuando x = -2. Reemplazamos: -2 - 3 en el numerador nos quedan -5. -2 - 2 esto nos queda -4. -5 / -4 = 1.25.
Vamos ahora a determinar el valor de y cuando x = 2.5: 2.5 - 3 = -0.5 y 2.5 - 2 = 0.5 positivo. -0.5 / 0.5 = -1. Finalmente, hallamos el valor de y cuando x = 4. En este caso, 4 - 3 = 1 en el numerador y 4 - 2 = 2 en el denominador. Y 1 / 2 = 0.5. Es decir, que cuando x = 4, el valor de y = 0.5.
Vamos a ubicar estos puntos en nuestra gráfica: cuando x = 1, y = 2; cuando x = 1.5, y = 3; cuando x = -2, y = 1.25; cuando x = 2.5, y = -1; y cuando x = 4, y = 0.5. Unimos los puntos del lado izquierdo de la asíntota vertical así, recordemos la distancia entre los puntos y la asíntota cada vez será menor. En este caso, la gráfica viene muy cerca a la asíntota vertical, pasa por estos puntos y nuevamente empieza a aproximarse a la asíntota horizontal, pero sin cortarla.
Teniendo entonces ya la gráfica y esa definición, el intervalo de positividad será cuando f(x) > 0, es decir, cuando y > 0. Esos valores de y > 0 es esta zona. Es decir, que aquellos trazos de la gráfica que se encuentren por encima del eje x son los intervalos de positividad. En este caso, empezamos desde la izquierda hacia la derecha, es decir, que ese intervalo será desde menos infinito hasta 2, en donde encontramos la asíntota vertical, unido, recordemos que esta parte de la gráfica está por encima del eje x, unido desde 3 hasta infinito positivo.
Ahora, para establecer el intervalo de negatividad, en donde f(x) < 0, es decir, aquello que encontramos por debajo del eje x, será desde la asíntota vertical, que en donde la encontramos en 2, hasta este valor de x que es igual a 3.
Ahora, para determinar los intervalos de crecimiento de esta función, las funciones racionales siempre son o decrecientes o crecientes. Nunca vamos a encontrar una función que sea creciente en una parte y decreciente en la otra. Para esto, tomamos el eje x de izquierda a derecha y vamos a tomar dos puntos, al cual al primero de ellos llamaremos a y al segundo que encontremos llamaremos b. Y si en este caso el valor de b es mayor que el de a, quiere decir que en esta función es creciente. Si b es menor que a, en este caso la función será decreciente.
Miramos el valor de la función para b. En este caso, el valor de la función o y es igual a 2, y ya cuando x es igual a -2 es 1.25. Como 2 es mayor que 1.25, decimos entonces que nuestra función es creciente.
Y eso es todo. Espero que les haya gustado, que hayan entendido. No olviden compartir el video con sus compañeros de clase, con sus amigos, suscribirse al canal y estar pendientes de próximos videos que estaremos haciendo sobre este mismo tema. Hasta pronto.